整式的加减

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把数量关系写成式子，再把式子按项整理。整式加减的依据仍是运算律：括号控制整体，同类项确定哪些部分能合并，字母的意义与取值范围则始终由原题决定。

一、知识点理解概念

1. 代数式及其书写

用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式，单独一个数或字母也是代数式。 $x-2$ 表示一个量； $x-2>0$ 表示大小关系，是不等式，不是单个代数式。

同一字母在同一道题中表示同一个量，不同题中可以有不同意义。例如 $-3x=(-3)\times x$ ，表示 $-3$ 与 $x$ 的积，不是和、差或商。

情况	通常写法	要点
数与字母相乘	$9y$ 、 $-a$	数在字母前；系数1省略， $-1$ 保留负号
字母相乘	$ab$ 、 $a^3$	乘号可省；相同字母连乘可用幂
带分数作系数	$\frac72ab$	先把 $3\frac12$ 化成假分数
除以字母	$\frac xy$	分数线明确范围，且须 $y\ne0$
和或差后带单位	$(5m+2n)$ 元	单位对应整个数量

数字相乘不能靠并列表示： $1\times2$ 不能写成12。 $y\times9$ 虽与 $9y$ 同值，却不是通常采用的简洁写法，书写规范与数值正误不是同一个问题。

按关于字母的运算分类，代数式可分有理式和无理式；有理式中又有整式和分式。这里的“有理式”不表示它的值一定是有理数， $\pi$ 等固定常数可以作系数。 $\sqrt x$ 含字母开方， $\sqrt2x$ 的根号只作用于固定数2，两者结构不同。

2. 单项式、多项式与整式

名称	判断依据	例子
单项式	数与字母非负整数次幂的乘积；单个数或字母也可以	$-x$ 、 $\frac17m^2n$ 、 $10$
系数	单项式中完整的有符号常数因数	$-\frac{4\pi x^3y}5$ 的系数为 $-\frac{4\pi}5$
单项式的次数	所有变化字母的指数之和	$x^3y$ 为四次； $2^3a^2b^3$ 为五次
多项式	几个单项式的和；每项带自己的符号	$3x^2-6x-7=3x^2+(-6x)+(-7)$
多项式的次数	合并同类项后，非零项中最高的次数	$3x^2-6x-7$ 为二次三项式
整式	单项式与多项式的统称	$\frac{a+b}3$ 是整式； $\frac1x$ 不是

系数看常数，次数看指定变量。 $\pi$ 是固定常数，不计入字母次数。若题目明确“关于 $m,n$ ”，就按 $m,n$ 统计，其他字母可能是参数。非零常数项次数为0；指定一个式子是四次时，不能让它的系数变成0后仍称四次。

整式不含变化字母作分母，也不含无法消去的变化字母开方。不能把“分母没有字母”当成唯一判据，例如 $\sqrt x$ 没有字母分母，却不是整式。

多项式的项数和次数分别统计： $3x^2-6x-7$ 有3项，常数项为 $-7$ ，一次项为 $-6x$ ，最高次数为2，不能把各项次数相加。

3. 同类项与合并同类项

同类项要求所含字母相同，而且每个对应字母的指数分别相同。系数和字母排列顺序不影响是否同类；几个常数项也是同类项。

两项	对应指数	是否同类
$-2.5ab^2$ 、 $7b^2a$	$a$ 均为1， $b$ 均为2	是
$2x^2y$ 、 $2xy^2$	$x$ 为2与1， $y$ 为1与2	否，虽总次数都为3
$99$ 、 $-2025$	都无变化字母	是

合并同类项的依据是分配律的逆用： $cM+dM=(c+d)M$ 。因此系数相加，字母及其指数不变。例如 $3x^2y+4x^2y=7x^2y$ ，不是 $7x^4y^2$ 。

系数之和为0时，该组消去；没有同类伙伴的项必须保留。合并同类项后，再统计多项式的项数和次数。

4. 去括号、排列与求值

去括号并不是删去括号字符，而是执行分配律。

括号前的完整因数	等值展开	依据
$+1$	$+(a+b-c)=a+b-c$	每项乘1
$-1$	$-(a+b-c)=-a-b+c$	每项乘 $-1$
$-3$	$-3(a-b)=-3a+3b$	每项都乘 $-3$ ，包括其符号与大小

几个整式相加减，通常先去括号，再合并同类项。括号是整个除数或整体底数时，不能套用“去括号变号”把它直接删去。

排列依据加法交换律：按指定字母的指数从小到大叫升幂排列，反过来叫降幂排列。移动的是带符号的完整项；按 $x$ 排列时，不含 $x$ 的项按 $x$ 指数0处理，不比较其他字母或总次数。

求值只用符合条件的数替换字母，系数、指数、符号和常数保持。可直接代入，也可先化简再代入；若只给出字母之间的关系，就寻找已知整体，不必强求每个字母的唯一数值。

二、考点识别与处理

1. 读清数量关系和运算对象

先写“待求量等于什么”，再把相应数量换成字母。特别分清“平方和” $a^2+b^2$ 与“和的平方” $(a+b)^2$ ；相加减的量要同类，数量和费用不能直接相减。

例题 01 速度与购买总价

题目

（1）王红5 h走的路程为 $s$ km，她的平均速度是多少 km/h？

（2）每本笔记本 $m$ 元，每支笔 $n$ 元，王刚买5本笔记本和2支笔，共花多少元？

答案与解析

解析

（1）平均速度=总路程÷总时间，得到 $\frac s5$ km/h，不是 $5s$ 。

（2）笔记本费用为 $5m$ 元，笔的费用为 $2n$ 元，两项费用相加为 $(5m+2n)$ 元。实际路程和价格不取负，单位必须对应整个和。

本题结论

$\frac s5$ km/h； $(5m+2n)$ 元。

例题 02 数量与单价必须对应 2022·湖南长沙，缩写情境

题目

学校为读书活动购买甲、乙两种读本共100本，甲种每本10元，乙种每本8元。设购买甲种 $x$ 本，购买乙种读本的费用为（　）。

A. $8x$ 元　 B. $10(100-x)$ 元

C. $8(100-x)$ 元　 D. $(100-8x)$ 元

答案与解析

解析

乙种数量为 $100-x$ 本，乙种单价为8元，所以费用为 $8(100-x)$ 元。 $x$ 是0至100的整数。

A把甲数量用于乙；B用了甲单价；D把本数100与费用 $8x$ 直接相减，数量类型不一致。

本题结论

C。

2. 整数模型保留参数范围

奇偶性要求对象为整数：偶数可写 $2k$ ，奇数可写 $2k-1$ 或 $2k+1$ ，其中 $k$ 为整数。连续奇数或连续偶数相差2。多位数则先写每位数字，再乘位权；十进制数字取0至9的整数，最高位不能为0。

例题 03 连续奇数与偶数

题目

若 $n$ 表示自然数，请用 $n$ 表示两个连续奇数和三个连续偶数。

答案与解析

解析

可分别写成 $2n-1,2n+1$ 和 $2n-2,2n,2n+2$ 。前一组各与偶数差1，后一组各为2的整数倍；每组相邻两项之差均为2。

题目未要求这些数全部为正，不另加正数限制。也可换用其他满足相同间隔和奇偶性的表示，答案不唯一。

本题结论

$2n-1,2n+1$ ； $2n-2,2n,2n+2$ ，答案不唯一。

例题 04 三位数不是三个数字的乘积

题目

一个三位数，百位数字为 $a$ ，十位数字比百位小1，个位数字比十位多3。用含 $a$ 的代数式表示这个三位数。

答案与解析

解析

先分清各位：

数位	百位	十位	个位
数字	$a$	$a-1$	$(a-1)+3=a+2$
位权	100	10	1

整个数为 $100a+10(a-1)+(a+2)=111a-8$ 。数字范围要求 $a$ 为1至7的整数；这样最高位非零，另外两位也在0至9之间。

本题结论

$111a-8$ ， $a\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 。

3. 从重复结构写出第几个图形

先固定计数对象，再找每次新增的部分。从第1个开始计数，第 $n$ 个只经历 $n-1$ 次增加。代入前几项可以检查起点，但持续成立的依据应来自题给构造，而不是只凭几个数猜。

例题 05 固定部分与重复增加的部分

题目

一组图案由边长相等的正三角形摆成，第1个有4个三角形，第2个有7个，第3个有10个。按图示规律继续摆放，第 $n$ 个有多少个这样的小三角形？

答案与解析

解析

第1个有4个，以后每次增加上方、中间、右下方3个小三角形。第 $n$ 个增加了 $n-1$ 次，所以数量为 $4+3(n-1)=3n+1$ 。

也可把最左下方的1个固定，其余每组三个，第 $n$ 个有 $n$ 组，得到 $1+3n$ 。两种数法都不重复计数； $n$ 为正整数。

本题结论

$3n+1$ 个， $n$ 为正整数。

4. 先定变量，再识别系数、次数和项数

把单项式拆成“有符号系数×字母积”，把多项式拆成“带符号的各项之和”。除以非零常数只改变系数，不会自动把式子变成分式；变化字母作分母则不同。

例题 06 单项式与多项式的组成知识清单例题·合组

题目

（1）求 $-\frac{4\pi x^3y}5$ 的系数和次数。

（2）指出 $3x^2-6x-7$ 的各项、项数、常数项、一次项、次数及名称。

答案与解析

解析

（1） $\pi$ 是固定常数，系数为 $-\frac{4\pi}5$ ，字母指数和为 $3+1=4$ 。

（2）各项为 $3x^2,-6x,-7$ ，共3项；常数项 $-7$ ，一次项 $-6x$ ；各项次数为2、1、0，最高为2，因此是二次三项式。

本题结论

（1） $-\frac{4\pi}5$ ，4；（2） $3x^2,-6x,-7$ ，3项，常数项 $-7$ ，一次项 $-6x$ ，二次三项式。

例题 07 常数分母不排除整式

题目

指出下列各式中哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式：

$-x$ ， $\frac{a+b}3$ ， $10$ ， $6xy+1$ ， $\frac1x$ ， $\frac17m^2n$ ， $\frac2{x^2+x}$ ， $\frac{2\pi r}3$ 。

答案与解析

解析

单项式有 $-x,10,\frac17m^2n,\frac{2\pi r}3$ 。其中分母3、7都是固定常数， $\pi$ 也是常数。

多项式有 $\frac{a+b}3=\frac13a+\frac13b$ 和 $6xy+1$ 。

$\frac1x$ 与 $\frac2{x^2+x}$ 的分母含变化字母，不是整式。其余六式都是整式。

本题结论

单项式4个，多项式2个；除 $\frac1x$ 、 $\frac2{x^2+x}$ 外，其余都是整式。

5. 次数与项数分别约束参数

次数由字母指数决定，项是否存在还受系数是否为0控制。题给“几次几项”时，先找哪一项能提供最高次数，再检查合并后实际保留几项，最后把参数代回核验。

例题 08 四次单项式还要求系数非零

题目

已知 $(a-3)mn^{b+1}$ 是关于 $m,n$ 的四次单项式，求 $a$ 的取值范围和 $b$ 的值。

答案与解析

解析

变化字母只有 $m,n$ ，次数为 $1+(b+1)=b+2$ ，所以 $b+2=4$ ，得 $b=2$ 。

系数 $a-3$ 不能为0，否则整个式子成为0，不再满足四次的要求。因此 $a\ne3$ 。

本题结论

$a\ne3,b=2$ 。

例题 09 六次与四项各给一个条件

题目

已知 $-\frac16xy^{m+1}+x^3y-2x^3+(n+1)x+3$ 是关于 $x,y$ 的六次四项式，求 $m-n$ 。

答案与解析

解析

除首项外，其他项最高为四次，所以六次必须由首项提供： $1+(m+1)=6$ ，得 $m=4$ 。

这时五项没有同类项，首项、 $x^3y$ 、 $-2x^3$ 和常数3均非零。要剩四项，只能使 $(n+1)x$ 消失，即 $n+1=0$ ，得 $n=-1$ 。故 $m-n=4-(-1)=5$ 。

本题结论

5。

6. 按指定字母排列，而非按总次数

先标出每项中指定字母的指数，再移动整个带符号的项。升幂从小到大，降幂从大到小；其他字母的指数在本次排序中不参与比较。

例题 10 按x升幂排列由原书示例改编

题目

将 $3x^2y-\frac12xy^3-1+2x^3y^2-x^4y^4$ 按 $x$ 的升幂排列。

答案与解析

解析

原五项的 $x$ 指数依次为2、1、0、3、4。按0、1、2、3、4排列，常数 $-1$ 在前， $-\frac12xy^3$ 随后，各项符号不变。

本题结论

$-1-\frac12xy^3+3x^2y+2x^3y^2-x^4y^4$ 。

7. 逐字母核对，再合并系数

同类项要比对应字母的每一个指数。若两个非零单项式的和仍为单项式，可据同类关系反求指数；计算时只合系数，不能把加法错用成幂的乘法。

例题 11 由和的结构反求指数

题目

单项式 $-x^{a+1}y^3$ 与 $\frac12y^bx^2$ 的和仍是单项式，则 $a,b$ 分别为（　）。

A. 2，3　 B. 1，2　 C. 1，3　 D. 2，2

答案与解析

解析

原系数为 $-1$ 与 $\frac12$ ，均非零。要合成一个单项式，字母乘积必须相同，所以 $a+1=2,b=3$ ，得 $a=1,b=3$ 。

合并后系数为 $-1+\frac12=-\frac12$ ，确实仍为单项式。只要求总次数相同不够。

本题结论

C。

例题 12 保留没有同类伙伴的项

题目

合并同类项： $xy^2-5y^3-2y^2x+x^2y+5y^3$ 。

答案与解析

解析

$xy^2$ 与 $-2y^2x$ 同类， $-5y^3$ 与 $5y^3$ 同类， $x^2y$ 单独保留：

\begin{aligned} \text{原式}&=(1-2)xy^2+(-5+5)y^3+x^2y\\ &=-xy^2+x^2y. \end{aligned}

第二组消为0，不代表不同类的 $x^2y$ 也应删掉。

本题结论

$-xy^2+x^2y$ 。

8. 保住整个减数，再逐层去括号

先用括号明确减去的整个多项式。多层括号优先由里向外，每处理一层，都保留尚未使用的外层负号或因数；最后合并同类项。

例题 13 整式的差与多重括号知识清单例题·合组

题目

（1）求 $5a^2-2ab+4$ 与 $5a^2-4ab$ 的差。

（2）化简 $(3a-2a^2)-[5a-\frac13(6a^2-9a)-4a^2]$ 。

答案与解析

解析

（1） $(5a^2-2ab+4)-(5a^2-4ab)=5a^2-2ab+4-5a^2+4ab=2ab+4$ 。

（2）先去内层： $-\frac13(6a^2-9a)=-2a^2+3a$ ，中括号变成 $8a-6a^2$ 。

再去外层： $3a-2a^2-(8a-6a^2)=3a-2a^2-8a+6a^2=4a^2-5a$ 。

本题结论

（1） $2ab+4$ ；（2） $4a^2-5a$ 。

例题 14 从和中减去整个已知加数 2024·四川德阳

题目

一个多项式加上 $y^2+3xy-4$ ，结果为 $3xy+2y^2-5$ ，求这个多项式。

答案与解析

解析

所求式=和−已知加数：

(3xy+2y^2-5)-(y^2+3xy-4)=3xy+2y^2-5-y^2-3xy+4=y^2-1.

把 $y^2-1$ 与已知加数相加，得到 $3xy+2y^2-5$ ，与题意一致。

本题结论

$y^2-1$ 。

9. 选择直接代入或整体代入

全部字母值已知且式子短，可直接代入；有同类项先化简；只给一个关系时，尝试把目标写成该关系中的整体。负数代入加括号，不能连原系数和常数一起改变。

例题 15 数值代入与关系代入知识清单例题·合组

题目

（1）若 $x=\frac12,y=-2$ ，求 $4x-3y-5$ 的值。

（2）已知 $2a-b=5$ ，求 $3a-b+4a-2b-a$ 的值。

答案与解析

解析

（1） $4\times\frac12-3\times(-2)-5=2+6-5=3$ 。

（2）先合并为 $6a-3b=3(2a-b)$ ，再代入整体5，得15。条件没有分别确定 $a,b$ ，但已足以确定目标。

本题结论

3；15。

例题 16 由一次取值恢复已知整体

题目

当 $x=1$ 时， $ax^3+bx+1$ 的值为5。求当 $x=-1$ 时， $\frac12ax^3+\frac12bx+1$ 的值。

答案与解析

解析

由 $x=1$ 得 $a+b+1=5$ ，即 $a+b=4$ 。

当 $x=-1$ 时，目标为 $-\frac12a-\frac12b+1=-\frac12(a+b)+1=-2+1=-1$ 。末尾的1不在前两项的 $\frac12$ 系数作用范围内。

本题结论

$-1$ 。

例题 17 直接替换一个差 2024·江苏苏州

题目

若 $a=b+2$ ，求 $(b-a)^2$ 。

答案与解析

解析

$a-b=2$ ，所以 $b-a=-2$ 。将整个差代入， $(b-a)^2=(-2)^2=4$ ，无需分别求 $a,b$ 。

本题结论

4。

10. “不含”与“无关”要看全部相关系数

先去括号并合并同类项。“不含某项”要求该项系数为0；“与某字母取值无关”要求所有含该字母的项都消去，不是给这个字母临时取0。

例题 18 不含ab项与不含x的各次项知识清单例题·合组

题目

（1）关于 $a,b$ 的多项式 $5(a^2-2ab+b^2)-(a^2+mab-b^2)$ 中不含 $ab$ 项，求 $m$ 。

（2）若 $x^2+mx+8y-(nx^2-2x+4y+3)$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m+n$ 。

答案与解析

解析

（1）化简为 $4a^2-(10+m)ab+6b^2$ 。令 $-(10+m)=0$ ，得 $m=-10$ 。

（2）化简为 $(1-n)x^2+(m+2)x+4y-3$ 。 $x^2$ 与 $x$ 的系数都必须为0，所以 $n=1,m=-2$ ， $m+n=-1$ 。代回后只剩 $4y-3$ ，确实与 $x$ 无关。

本题结论

（1） $m=-10$ ；（2） $m+n=-1$ 。

11. 看错运算，要先还原误算关系

误算结果不是未知式本身。先写清它来自哪种运算，再用“和与加数”或“被减数、减数与差”的关系恢复目标，不能只把整个错误答案改一个符号。

例题 19 把差误看成和

题目

已知多项式 $B=3x^2-5x+1$ ，原题要求 $A-B$ 。张明把 $A-B$ 看成 $A+B$ ，算得 $5x^2+3x-7$ 。求原题的正确结果。

答案与解析

解析

设误算结果 $S=5x^2+3x-7$ ，则 $A+B=S$ ，所以 $A=S-B=2x^2+8x-8$ 。

正确目标还要再减一次 $B$ ：

(2x^2+8x-8)-(3x^2-5x+1)=-x^2+13x-9.

也可直接用 $A-B=(A+B)-2B=S-2B$ 。少减一次 $B$ ，得到的只是 $A$ 。

本题结论

$-x^2+13x-9$ 。

12. 从两种摆法中消去共同长度

把同一总高度从两侧分别表示。卡片旋转后长宽不变，但竖直边可能由长变成宽；按图列出两组关系，再作差消去共同量，不用从图片像素猜长度。

例题 20 小卡片长与宽的差

题目

有1张大长方形卡片、3张相同的小长方形卡片，按图中两种方式摆放。用含 $a,b$ 的代数式表示小长方形的长与宽的差。

答案与解析

解析

设小卡片长为 $x$ 、宽为 $y$ ，大卡片长为 $m$ 。方式一总高度： $a+2y=x+m$ ；方式二总高度： $b+2x=y+m$ 。

第一式减第二式，得 $a-b+2y-2x=x-y$ 。两边加上 $2x-2y$ ，得到 $a-b=3(x-y)$ 。

因此 $x-y=\frac{a-b}3$ 。 $a,b$ 是标出的空段，不是小卡片本身的边；长度关系还说明 $a\ge b$ 。

本题结论

$\frac{a-b}3$ 。

三、坑点辨析易错

1. 写法不规范，不等于数值必然不同

书写规范帮助读者看清运算对象，但判断时要与数值问题分开。系数 $-1$ 通常省略1，数字因数放在字母前；含字母的除法仍应检查除数非零。

辨析 01 判断通常书写规范

题目

下列写法中，哪些符合通常的代数式书写规范？

① $y\times9$ ；② $x\div y$ ；③ $-1a$ ；④ $a7$ ；⑤ $a+b$ ；⑥ $\frac dc$ ；⑦ $3\frac12ab$ ；⑧ $-\frac14a$ 。

答案与解析

解析

①通常写 $9y$ ；②写 $\frac xy$ ；③写 $-a$ ；④写 $7a$ ；⑦带分数先化为 $\frac72$ ，写 $\frac72ab$ 。⑤⑥⑧规范，其中⑥有意义还要求 $c\ne0$ 。

①明确写了乘号，值仍与 $9y$ 相同；不能把“不规范”扩大成“必然不同值”。

本题结论

⑤⑥⑧。

2. 同字母、同总次数，都不足以判断同类

同类关系比较每个字母的指数，不比较系数大小或总次数。共同结构相同才能逆用分配律；某一次代入恰好相等，也不能证明两项同类。

辨析 02 逐条辨别同类项

题目

下列说法中哪些正确？

① 99与 $-2025$ 不是同类项； ② $3a$ 与 $a^3$ 是同类项； ③ $2x^2y$ 与 $2xy^2$ 是同类项； ④ $-2.5ab^2$ 与 $7b^2a$ 是同类项。

答案与解析

解析

①错误，两者都是常数项；②错误， $a$ 的指数分别为1和3；③错误， $x,y$ 对应指数分别为2、1与1、2；④正确，都是 $a^1b^2$ ，字母排列次序和系数不同不影响同类关系。

本题结论

只有④正确。

3. 完整因数必须乘到每一项

漏乘系数、只变首项符号，都是没有执行完整分配律。先把括号前的带符号因数写清，再逐项相乘，外层未处理的负号不能提前丢掉。

辨析 03 检查去括号的每一项

题目

下列等式哪些错误？

① $a-(b+c)=a-b-c$ ； ② $a+(b-c)=a+b-c$ ； ③ $2(a-b)=2a-b$ ； ④ $-(a-2b)=-a+2b$ ； ⑤ $-3(a-b)=-3a-3b$ 。

答案与解析

解析

①②④正确。③漏乘第二项的2，应为 $2a-2b$ ；⑤第二项为 $(-3)\times(-b)=+3b$ ，应为 $-3a+3b$ 。

本题结论

③⑤错误。

4. 固定常数不计入变化字母的次数

$\pi$ 是常数， $2^3$ 也是常数因子。 $2^3a^2b^3$ 的次数为 $2+3=5$ ，不是8； $-2a^2b$ 的次数为 $2+1=3$ ； $-5ab$ 的系数为 $-5$ ，不能漏负号。

若题目说“关于 $x,y$ ”，参数 $a$ 可以属于系数；例如 $-3ax^2y$ 关于 $x,y$ 的系数是 $-3a$ 。但 $a=0$ 会使整项消失，因此指定次数时还必须检查系数非零。