有理数的加减乘除

约 5434 字大约 18 分钟

加减处理有方向的变化，乘除处理倍数与还原。先辨认运算对象，再决定符号和顺序；简便计算改变的是组织方式，不是参与运算的数。

一、知识点理解概念

1. 加法：同向累积，反向抵消

把第一个加数作为数轴上的起点，加正数向右移动，加负数向左移动。两次移动同向，距离累积；反向，先抵消较短的一段。

情况	符号怎样定	大小怎样算	示范
同号两数相加	取共同符号	绝对值相加	$(-2)+(-3)=-(2+3)=-5$
异号且绝对值不等	取绝对值较大者的符号	较大绝对值减较小绝对值	$(-5)+2=-(5-2)=-3$
互为相反数相加	结果为 $0$	完全抵消	$(-5)+5=0$
与 $0$ 相加	原符号不变	原数不变	$(-89)+0=-89$

加法中的“ $+$ ”是运算符号，加数本身仍可以为负。 $3+(-5)$ 是加法，但结果比 $3$ 小，因为加上的变化向左；“和总比加数大”并不成立。

2. 减法：加上减数的相反数

a-b=a+(-b).

被减数不变，减号变加号，减数变相反数。例如 $\frac13-(-\frac12)=\frac13+\frac12=\frac56$ 。

这个转换可以用减法的意义检验：差加上减数应回到被减数，而 $[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a$ 。所以减去负数不是“照抄负号”，而是加上它的相反数。

全式改成加法后，才可把加号和加数外的括号适当省略：

-2-(+3)-(-5)+(-4)=-2+(-3)+(+5)+(-4)=-2-3+5-4.

最后一式可以读作“负2、负3、正5、负4的和”，也可按运算读作“负2减3加5减4”。换位置时，应按第一种理解，把每项和它的符号一起移动。

3. 乘法：先检查零，再判断正负

两数相乘，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘；任何数与 $0$ 相乘，积为 $0$ 。

为什么负数乘负数为正？保持分配律成立，应有

(-5)\times[4+(-4)]=(-5)\times4+(-5)\times(-4)=0.

第一项为 $-20$ ，后一项只能为 $20$ ，才能使两项的和为 $0$ 。“负负得正”说的是相乘，不能用来解释两个负数相加。

多个数相乘	结果符号	示例
含因数 $0$	积为 $0$	$(-2)\times0\times(-3)=0$
所有因数非零，负因数有奇数个	负	$(-5)\times(-6)\times3\times(-2)=-180$
所有因数非零，负因数有偶数个	正	$(-2\frac15)\times5\times(-2)=22$

两个负因数可配成一个正积；负因数有奇数个时，最后会剩一个负因数。计数对象是整个负因数，不是纸面上出现的所有负号。

4. 倒数与除法

乘积为 $1$ 的两个数互为倒数。 $a\ne0$ 时， $a$ 的倒数为 $\frac1a$ 。倒数与原数同号； $0$ 没有倒数，因为 $0$ 乘任何数都不能得到 $1$ 。

原数	倒数	回乘检验
$-\frac34$	$-\frac43$	$(-\frac34)(-\frac43)=1$
$2\frac13=\frac73$	$\frac37$	$\frac73\times\frac37=1$
$0.25=\frac14$	$4$	$0.25\times4=1$

倒数等于自身的数是 $1$ 和 $-1$ ，不是只有 $1$ ；相反数等于自身的数才是 $0$ 。

除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数：

a\div b=a\times\frac1b\qquad(b\ne0).

商乘除数应等于被除数。把右式乘 $b$ ，得到 $a\times(\frac1b\times b)=a$ ，因此转换正确。只有除数取倒数，被除数不变。

除数不能为零

$0$ 除以非零数得 $0$ 。但 $a\div0$ 没有意义：当 $a\ne0$ 时，没有任何商乘 $0$ 能得到 $a$ ；当 $a=0$ 时，任何数乘 $0$ 都得 $0$ ，无法确定唯一的商。因此 $0\div0$ 也不能算作 $1$ 。

5. 运算律与运算顺序

运算律	式子	允许改变什么
加法交换律、结合律	$a+b=b+a$ ； $(a+b)+c=a+(b+c)$	带符号加数的位置与分组
乘法交换律、结合律	$ab=ba$ ； $(ab)c=a(bc)$	整个因数的位置与分组
乘法分配律	$a(b+c)=ab+ac$	展开一个乘数与和的积，或反向提取共同乘数

减法、除法不能直接套用交换律、结合律。先把减法化为加相反数、除法化为乘倒数，才可按相应运算律重排。

只含四则运算时：有括号先算括号内，同一层先乘除、后加减；同级运算从左到右。 多层括号由内向外处理，不能只按括号的形状猜先后。

分配律也可用于差，因为 $b-c=b+(-c)$ ，所以 $a(b-c)=ab-ac$ 。共同乘数必须乘到每一项。反向使用时，每项原有的加减符号也要带入括号。

二、考点方法与例题

1. 选择能抵消或凑整的加数组合

方法归纳

先统一成带符号加数的和，再寻找相反数、同分母、同类小数或能凑整数的组合。负带分数表示整个数的相反数，如 $-23\frac13=-23-\frac13$ 。分组结束后逐项对照原式，不能漏项、改号。

例题 01 相反数与同分母分组

题目

计算： $(+3)+(+\frac14)+(-3.3)+(-3)+(+0.3)+(-6\frac14)$ 。

答案与解析

解析

用加法交换律、结合律，将六个加数分成三组：

[3+(-3)]+[-3.3+0.3]+[\tfrac14+(-6\tfrac14)] =0-3-6=-9.

第三组中 $-6\frac14=-6-\frac14$ ，分数部分恰好抵消。这里移动的是完整的带符号加数。

本题结论

$-9$ 。

例题 02 五种分组方法

题目

计算：

$(+26)+(-14)+(-16)+(+18)$ ；
$(+12\frac56)+(-23\frac13)$ ；
$4.1+(+\frac12)+(-\frac14)+(-10.1)+7$ ；
$0.75+(-2\frac34)+0.125+(-12\frac57)+(-4\frac18)$ ；
$18.56+(-5.16)+(-1.44)+(+5.16)+(-18.56)$ 。

答案与解析

解析

同号分组： $(26+18)+(-14-16)=44-30=14$ 。
拆分带分数： $(12-23)+(\frac56-\frac13)=-11+\frac12=-10\frac12$ 。负带分数拆开后，整数、分数两部分都为负。
同类凑整： $(4.1-10.1+7)+(\frac12-\frac14)=1+\frac14=1\frac14$ 。
小数化同分母分数： $0.75=\frac34$ ， $0.125=\frac18$ ，故原式为 $(\frac34-2\frac34)+(\frac18-4\frac18)-12\frac57=-18\frac57$ 。
相反数抵消： $[18.56-18.56]+[-5.16+5.16]-1.44=-1.44$ 。

本题结论

依次为 $14$ 、 $-10\frac12$ 、 $1\frac14$ 、 $-18\frac57$ 、 $-1.44$ 。

2. 先分清位置变化、距离和总路程

方法归纳

所求量	列式依据
最终位置相对起点的变化	各段带符号变化相加
终点距起点的距离	先求总变化，再取绝对值
实际总路程	每段先取绝对值，再相加
耗油量	总路程乘单位路程耗油量

正负只记录方向，向相反方向走并不让已经走过的路程消失。先统一正方向、基准和单位，计算后再把数解释回情境。

例题 03 回到出发点是否没有耗油

题目

出租车司机小石一下午均在东西走向的大街上行车。规定向东为正、向西为负，各段行车记录如下，单位为千米：

$+15$ ， $-3$ ， $+14$ ， $-11$ ， $+10$ ， $-12$ ， $+4$ ， $-15$ ， $+16$ ， $-18$ 。

（1）送完最后一名乘客时，距下午出发地点多少千米？

（2）若每千米耗油 $0.4$ 升，这一下午共耗油多少升？

答案与解析

解析

向东各段共 $15+14+10+4+16=59$ 千米；向西各段共 $3+11+12+15+18=59$ 千米。

（1）位置总变化是 $59-59=0$ 千米，终点就是起点，故距离为 $0$ 千米。

（2）每段行驶都计入路程，总路程为 $59+59=118$ 千米。耗油量为 $118\times0.4=47.2$ 升。返程抵消的是位置变化，不是路程或油耗。

本题结论

（1） $0$ 千米；（2） $47.2$ 升。

例题 04 跨越零度的温差 2024 湖南长沙

题目

“玉兔号”月球车能够耐受的最低温度为 $-180\,{}^\circ\mathrm C$ ，最高温度为 $150\,{}^\circ\mathrm C$ ，其耐受温差为（　）。

A. $-180\,{}^\circ\mathrm C$ 　B. $150\,{}^\circ\mathrm C$ 　C. $30\,{}^\circ\mathrm C$ 　D. $330\,{}^\circ\mathrm C$

答案与解析

解析

温差是最高温度减最低温度： $150-(-180)=150+180=330$ 。从 $-180$ 升到 $0$ 需变化 $180$ 度，再升到 $150$ 需变化 $150$ 度，两段合计 $330$ 度。

直接算 $150+(-180)$ 是求两个温度数值的和，不是温差；只算 $180-150$ 则遗漏了跨零的两段关系。

本题结论

D，温差为 $330\,{}^\circ\mathrm C$ 。

3. 用差与绝对值处理数轴上的距离

方法归纳

点 $A$ 、 $B$ 分别表示 $a$ 、 $b$ 时， $AB=|a-b|$ 。差带有方向，绝对值去掉方向，得到非负距离。已知距离而没有限定左右时，应检查两个位置；涉及运动时，再用方向、起点和时间条件筛选。

例题 05 距离条件对应的位置与时间

题目

数轴上两点之间的距离为它们表示的数之差的绝对值。利用此结论回答：

（1）表示 $-3$ 与 $-5$ 的两点距离是多少？表示 $1$ 与 $-4$ 的两点呢？

（2）点 $B$ 表示 $-3$ ， $AB=3$ ，点 $A$ 表示什么数？

（3）点 $A$ 表示 $8$ ，点 $B$ 在 $A$ 左侧， $AB=22$ 。

①点 $B$ 表示什么数？②动点 $P$ 从原点出发，每秒向右运动 $5$ 个单位长度。运动时间为 $t>0$ 秒，何时 $AP=2$ ？

答案与解析

解析

（1） $|-3-(-5)|=2$ ， $|1-(-4)|=5$ 。

（2）距 $-3$ 为 $3$ 的位置可能在左侧或右侧，分别是 $-3-3=-6$ 、 $-3+3=0$ 。

（3）①从 $8$ 向左走 $22$ 个单位， $B$ 表示 $8-22=-14$ 。

②距 $8$ 为 $2$ 的位置是 $6$ 或 $10$ ，二者都在原点右侧，符合运动方向。所需时间分别为 $6\div5=\frac65$ 秒、 $10\div5=2$ 秒，且都满足 $t>0$ 。

本题结论

（1） $2$ 、 $5$ ；（2） $0$ 或 $-6$ ；（3）① $-14$ ，② $\frac65$ 秒或 $2$ 秒。

4. 含共同项的和：同时去掉共同项

方法归纳

两个和相等，若都包含同一个数，可以两边同时减去这个数。十字形横、纵两组都含中心数，先比较各自剩下的两个端点之和，再安排填数。

例题 06 十字形中的中心数 2024 陕西

题目

把 $0,-2,-1,1,2$ 分别填入图中的五个小正方形，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等。中间的小正方形可以填什么数？写出一个符合题意的数即可。

答案与解析

解析

中心填 $0$ ，横向两端填 $-2,2$ ，纵向两端填 $-1,1$ ，两组和都为 $0$ ，已满足题意。

还可填 $2$ ：两组端点分别用 $(-1,0)$ 、 $(-2,1)$ ；也可填 $-2$ ：两组端点分别用 $(-1,2)$ 、 $(0,1)$ 。

若要确认所有可能：设中心为 $c$ ，每组端点和为整数 $s$ 。五数总和为 $0$ ，所以 $2s+c=0$ ， $c$ 必须是偶数。给定数中只有 $-2,0,2$ ，且上面均已构造成功。

本题结论

填 $0$ 即可； $2$ 、 $-2$ 也可以。

5. 乘除统一成乘积后再约分

方法归纳

带分数化假分数，有限小数按需要化为准确分数。
每个除号改成乘号，只对该除数取倒数；先确认除数非零。
全式成为乘积后，判断符号，约去分子分母的公共因数。
检查原本相乘的因数是否保持原样，再算剩余乘积。

例题 07 带分数与小数的乘除

题目

计算：

（1） $-81\div2\frac14\times(-\frac49)$ ；

（2） $(-12)\times2\frac13\div4$ ；

（3） $2.5\times(-0.75)\div\frac38$ 。

答案与解析

解析

（1） $2\frac14=\frac94$ ，除以它要乘 $\frac49$ ：

-81\times\frac49\times(-\frac49)=\frac{81\times4\times4}{9\times9}=16.

（2） $(-12)\times\frac73\div4=-28\div4=-7$ 。

（3）化成分数后， $\frac52\times(-\frac34)\times\frac83=-\frac{5\times3\times8}{2\times4\times3}=-5$ 。约分发生在转换后的乘积中。

本题结论

（1） $16$ ；（2） $-7$ ；（3） $-5$ 。

例题 08 互为倒数先用乘积为一 2024 内蒙古包头

题目

若 $m,n$ 互为倒数，且 $m+mn=3$ ，则 $n$ 的值为（　）。

A. $\frac14$ 　B. $\frac12$ 　C. $2$ 　D. $4$

答案与解析

解析

互为倒数给出 $mn=1$ 。代入第二个条件， $m+1=3$ ，得 $m=2$ ；再由 $2n=1$ 得 $n=\frac12$ 。

求出的 $2$ 是 $m$ ，不是所问的 $n$ 。回代检查： $2\times\frac12=1$ ，且 $2+1=3$ 。

本题结论

B， $n=\frac12$ 。

6. 分配律：拆成整数或提取共同乘数

方法归纳

一个因数接近整十、整百、整千时，可以拆成整数量加减小量；几个乘积具有共同因数时，可以反向提取。选择哪一方向，要看变形后的括号是否更容易计算，而不是逢括号就展开。

例题 09 分配律的正用与逆用

题目

例如 $98\times12=(100-2)\times12=1176$ ； $-16\times233+17\times233=(-16+17)\times233=233$ 。参考这些结构简便计算：

（1） $999\times(-15)$ ；

（2） $999\times118\frac45+999\times(-\frac15)-999\times18\frac35$ 。

答案与解析

解析

（1） $999=1000-1$ ，所以

(1000-1)\times(-15)=-15000-(-15)=-14985.

（2）三项都含因数 $999$ ，提取后保留各项符号：

999\times(118\tfrac45-\tfrac15-18\tfrac35)=999\times100=99900.

括号里整数部分 $118-18=100$ ，分数部分 $\frac45-\frac15-\frac35=0$ 。

本题结论

（1） $-14985$ ；（2） $99900$ 。

例题 10 公式代入也可以先提共同因数 2024 广东广州

题目

把 $R_1,R_2,R_3$ 三个电阻串联起来，线路 $AB$ 上电流为 $I$ 、电压为 $U$ ，满足 $U=IR_1+IR_2+IR_3$ 。当 $R_1=20.3$ 、 $R_2=31.9$ 、 $R_3=47.8$ 、 $I=2.2$ 时，求 $U$ 的值。

答案与解析

解析

题目已给公式，无需另外推导电学关系。三项共同因数是 $I$ ：

U=I(R_1+R_2+R_3)=2.2\times(20.3+31.9+47.8)=2.2\times100=220.

先相加凑整，可以避免逐项相乘。这里求题给公式的数值，原题未指定各量单位，不另补单位条件。

本题结论

$U=220$ 。

7. 多层括号逐层求值

方法归纳

从最内层开始，每一层按先乘除、后加减计算；保留尚未执行的外层符号。小数与分数混合时可先化成准确分数，不在中间擅自取近似数。

例题 11 外层减号保留到最后

题目

计算： $-3-[-5+(1-0.2\times\frac35)\div(-2)]$ 。

答案与解析

解析

最里层先乘： $0.2\times\frac35=\frac15\times\frac35=\frac3{25}$ 。

\begin{aligned} \text{原式}&=-3-\left[-5+\frac{22}{25}\div(-2)\right]\\ &=-3-\left[-5-\frac{11}{25}\right]\\ &=-3-\left(-\frac{136}{25}\right)\\ &=-\frac{75}{25}+\frac{136}{25}=\frac{61}{25}. \end{aligned}

最后一层是“ $-3$ 减去中括号的值”，不是把 $-3$ 和中括号直接相加。

本题结论

$\frac{61}{25}=2\frac{11}{25}$ 。

三、坑点辨析与纠错

1. 换位置不等于换符号

常见错法： 为了凑整，只搬数字而把原负号留在原位；或把 $-23\frac13$ 拆成 $-23+\frac13$ 。

错在何处： 运算律只允许重新排列同一批数，不能改变其中一个数。负带分数是整个正带分数的相反数。

自查： 先把每个加数连同符号圈成一块。拆带分数时先写 $-(23+\frac13)$ ，再展开为 $-23-\frac13$ 。例题2中的第二问可用于核对。

2. 回到原点，不代表路程为零

常见错法： 有向记录相加为零，就把总路程或油耗也写成零。

错在何处： 总变化允许方向抵消，已经走过的每一段长度不能抵消。

自查： 看问题问“在哪里”还是“走了多少”。前者先求带符号的和，后者先逐段取绝对值。出租车例题中，同一组数据分别给出零位移与118千米路程。

3. 除数中的和差不能拆开分别除

常见错法： 把 $a\div(b+c)$ 变为 $a\div b+a\div c$ 。

错在何处： 除数是整个和，它的倒数是 $\frac1{b+c}$ ，不是 $\frac1b+\frac1c$ 。这与 $(a+b)\div c=(a+b)\times\frac1c$ 不同；后者在 $c\ne0$ 时可以使用乘法分配律。

自查： 先圈出整个除数并求值，确认非零，才取它的倒数。

辨析 01 这个除号能分配吗改编辨析

题目

计算 $(-\frac1{63})\div(\frac19-\frac27+\frac23)$ 。能否把它拆为分别除以括号中的三项？

答案与解析

解析

不能。除数先通分： $\frac19-\frac27+\frac23=\frac{7-18+42}{63}=\frac{31}{63}\ne0$ 。

于是 $-\frac1{63}\div\frac{31}{63}=-\frac1{63}\times\frac{63}{31}=-\frac1{31}$ 。

若错拆为分别除，所得值为 $-\frac17+\frac1{18}-\frac1{42}=-\frac19$ ，与原式不等。能算出一个数，不代表变形合法。

本题结论

不能拆开，正确结果是 $-\frac1{31}$ 。

4. 有除号时，先转换再约分

常见错法： 看见相邻两个分数互为倒数，就直接约为 $1$ 。

错在何处： 若前一个分数是除数，它还不是原样参与相乘的因数；直接相乘相当于暗中改变运算顺序。

自查： 先把每个除号改成乘倒数，再写出分子、分母的乘积，最后找公共因数。

辨析 02 相邻倒数为什么不能直接约掉改编辨析

题目

小明把 $-7\div\frac34\times\frac43$ 算为 $-7$ ，理由是“ $\frac34\times\frac43=1$ ”。他的做法对吗？

答案与解析

解析

不对。除以 $\frac34$ 要乘 $\frac43$ ，原来后面的乘数不变：

-7\div\frac34\times\frac43=-7\times\frac43\times\frac43=-\frac{112}{9}.

若先把后两个分数相乘，就相当于擅自加入括号，变成 $-7\div(\frac34\times\frac43)$ ，那已经是另一个算式。

本题结论

错误；原式为 $-\frac{112}{9}$ 。

上一页：有理数与数轴 · 下一页：有理数的乘方