分式

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分式把分数的分子、分母扩展为整式。计算方法可以类比分数，但字母使“除数不能为零”成为贯穿全章的条件：化简改变写法，不会改变原式允许取什么值。

一、知识点理解概念

1. 分式与取值条件

若 $A,B$ 都是整式，且 $B$ 中含有变化字母，形如 $A/B$ 的式子叫作分式。 $A$ 是分子， $B$ 是分母，分数线既表示除法，也把分子、分母各自连成一个整体。

式子	判断	依据
$\frac3a$ 、 $\frac{x+8}{3x-2}$	分式	分子分母均为整式，分母含变化字母
$\frac1\pi$ 、 $\frac{x+y}3$	整式	$\pi$ 和3是固定非零常数
$\frac1{\sqrt a}$	不是本章所说的分式	分母 $\sqrt a$ 不是整式
$\frac{x^2}x$	原式是分式	虽可约为 $x$ ，原式仍要求 $x\ne0$

取值时必须满足 $B\ne0$ 。因为除以0没有定义，所以：

所问问题	需要同时满足的条件
分式有意义	分母不等于0
分式无意义	分母等于0
分式的值为0	分子等于0，且分母不等于0

$0/0$ 无意义，不等于0。判断多个分式组成的算式，应满足每一个原分母的限制；含除法时，还要保证整个除式不为0。

2. 基本性质：同一个非零因式

在 $B\ne0,C\ne0$ 时，

\frac AB=\frac{AC}{BC}.

分子、分母同乘一个非零量，等于把原式乘 $C/C=1$ ，值不变；反过来把共同非零因式除去，值也不变。关键是上下整体、同一个量、乘或除、非零，不能换成同加或同减。

上下同乘 $-1$ ，可得 $A/B=(-A)/(-B)$ ；仅改分子或分母的整体符号，分式值取相反数。多项式整体变号时，每一项都要变号，而不只是第一项。

同乘一个固定非零数不会增加禁值；若同乘含字母的 $C$ ，必须另外保证 $C\ne0$ ，不能声称新式在所有原允许取值下都有意义。

3. 约分和通分解决不同问题

操作	目的	做法	检查重点
约分	把一个分式化简	分子分母分解成乘积，约去共同非零因式	只能约因式，不能跨分数线约和差中的某一项
通分	把几个分式改为同分母	找公分母，分子分母同步补乘缺少的因式	原分子是整体，常数项也须补乘

最简分式是分子分母没有可继续约去的整式公因式的分式。约分结果也可能是整式，但原分母限制仍保留。

求最简公分母时，先分解各分母：整数系数取最小公倍数，每一种因式取出现的最高次数。共有因式无需把次数相加，独有因式不能漏。相反因式先统一方向，负号留在整体分子前。

例如分母 $2a^2b^3$ 与 $3ab^2$ 的最简公分母为 $6a^2b^3$ 。若先约分再通分，运算量可能更小，但原禁值不因此减少。

4. 乘除、乘方和加减

运算	规则	必要条件
乘法	$\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}$	$B,D\ne0$
除法	$\frac AB\div\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC$	$B,D,C\ne0$ ，除式本身不能为0
正整数次幂	$(\frac AB)^n=\frac{A^n}{B^n}$	$B\ne0$ ， $n$ 为正整数
同分母加减	$\frac AB\pm\frac CB=\frac{A\pm C}B$	$B\ne0$
异分母加减	先通分，再合并分子	原分母均非零

分式乘方来自同一分式连乘，整个分子、整个分母都乘方。和的平方不能逐项平方后相加，负号和系数也在乘方范围内。

同分母加减来自分配律： $A/B+C/B=(A+C)\times(1/B)$ 。减一个多项式分子，应写成 $A-(C+D)$ ，再逐项去括号。

混合运算先括号，再乘方、乘除、加减。连续乘除同级从左到右，或把每个除法分别改成乘完整倒数；不能看到相邻分式互为倒数就直接消掉。除式是和差时，先把整个除式通分，再取倒数。

5. 负整数指数幂

非零数 $a$ 的 $-n$ 次幂定义为其 $n$ 次幂的倒数， $n$ 为正整数：

a^{-n}=\frac1{a^n}=\left(\frac1a\right)^n\qquad(a\ne0).

例如 $a^2/a^5=1/a^3$ 。为了使指数相减的写法继续一致，把 $a^{2-5}=a^{-3}$ 定义为 $1/a^3$ 。这是扩充记号的动机，不是先用未定义的负幂证明自己。

负指数表示取倒数，不表示取相反数。 $2^{-3}=1/8$ ，不是 $-8$ 或 $-1/8$ 。外面的负号与底数中的负号要分开： $-3^{-2}=-1/9$ ， $(-3)^{-2}=1/9$ 。

在所有相关底数非零的前提下，幂的乘除、幂的乘方、积的乘方法则可扩充到整数指数。分式 $(A/B)^n$ 若指数为0或负整数，除 $B\ne0$ 外，还必须 $A\ne0$ ；不能只检查分母。

6. 小于1的数与科学记数法

非零数可写成 $a\times10^n$ ，其中 $1\le|a|<10$ ， $n$ 为整数。绝对值小于1时，小数点向右移 $k$ 位才能得到标准系数，原数应乘 $10^{-k}$ 还原。

例如 $0.000072=7.2\times10^{-5}$ ，因为 $10^{-5}=1/100000$ 。数值相等和系数合规必须同时满足； $0.72\times10^{-4}$ 虽数值相等，却不是标准科学记数法。

二、考点识别与处理

1. 先找原分母的禁值

不必先约分，直接列原分母不等于0。分母为乘积，要求每个因式都非零；分母为平方加正数，可用非负性判断是否永远为正。几个分式同时出现，所有限制都须满足。

例题 01 三类分母分别判断知识清单例题

题目

当 $x$ 满足什么条件时，下列分式有意义？

（1） $\frac{1-x}{3x-2}$ ；（2） $\frac5{x^2+1}$ ；（3） $\frac{x^2+1}{(x-1)(x+2)}$ 。

答案与解析

解析

（1） $3x-2\ne0$ ，所以 $x\ne2/3$ ，分子是否为0不影响有意义。

（2）实数平方非负， $x^2+1\ge1>0$ ，所有实数都可以。

（3） $(x-1)(x+2)\ne0$ ，即 $x\ne1$ 且 $x\ne-2$ 。这里是“且”，任一因式为0都会使分母为0。

本题结论

$x\ne\frac23$ ；任意实数； $x\ne1,-2$ 。

例题 02 分母非零，分子为零（1）2024·湖南长沙；（2）2024·山东济南·合组

题目

（1）要使 $\frac6{x-19}$ 有意义， $x$ 须满足什么条件？

（2）若 $\frac{x-1}{2x}$ 的值为0，求实数 $x$ 。

答案与解析

解析

（1）原分母 $x-19\ne0$ ，得 $x\ne19$ 。

（2）先由分子 $x-1=0$ 得 $x=1$ ，再查此时分母 $2x=2\ne0$ ，故可取1。求分母等于0是在找禁值，不是在求分式的零值。

本题结论

（1） $x\ne19$ ；（2） $x=1$ 。

2. 求零值：列全候选，再筛分母

先解分子等于0，积为零至少一个因式为零，绝对值或平方条件可能有两个候选。再把每个候选代回原分母，只有分母非零的候选才保留。约掉的因式不能使禁值重新合法。

例题 03 积、绝对值和平方差的零值知识清单例题·合组

题目

（1）若 $\frac{(m-1)(m-3)}{m^2-3m+2}=0$ ，求 $m$ 。

（2）当 $x$ 取何值时， $\frac{x+2}{2x-3}$ 、 $\frac{|x|-2}{x+2}$ 、 $\frac{x^2-9}{x-3}$ 分别为0？

答案与解析

解析

（1）分子为0给出 $m=1$ 或3；分母 $=(m-1)(m-2)$ ，排除1、2。只剩 $m=3$ ，分母为2，符合要求。

（2）逐式核对：

分子给出的候选	原分母检查	保留值
$x=-2$	$2(-2)-3=-7\ne0$	$-2$
$x=2,-2$	$x+2\ne0$ 排除 $-2$	2
$x=3,-3$	$x-3\ne0$ 排除3	$-3$

不能只看分子，也不能把 $0/0$ 当作0。

本题结论

（1） $m=3$ ；（2）依次为 $-2,2,-3$ 。

3. 基本性质用于清除系数的分母

小数系数可同乘足够大的10的整数次幂；分数系数可同乘各系数分母的最小公倍数。乘的是完整分子与分母，每一项都应覆盖，且原分母不能为0。

例题 04 把各项系数化为整数知识清单例题

题目

不改变值，把各式分子分母的各项系数化为整数：

（1） $\frac{0.03x-0.2y}{0.08x-0.5y}$ ；（2） $\frac{m/2+n/3}{2m/5-2n/3}$ 。

答案与解析

解析

（1）整个分子分母同乘100，得 $\frac{3x-20y}{8x-50y}$ ，条件 $8x-50y\ne0$ 。

（2）2、3、5的最小公倍数为30，整个分子分母同乘30，得 $\frac{15m+10n}{12m-20n}$ ，条件 $12m-20n\ne0$ 。固定非零乘数不会增加禁值。

本题结论

$\frac{3x-20y}{8x-50y}$ ； $\frac{15m+10n}{12m-20n}$ ，分母均须非零。

4. 先分解，再约整个公因式

记下原禁值后，把分子分母分别因式分解。约去共同因式的较少次数，相反因式先提出一个 $-1$ 。最后检查是否最简，并把原限制保留在结果后。

例题 05 约分不消除原禁值知识清单例题·合组

题目

约分：（1） $\frac{6a^2b^3c}{-8ab^2c^2}$ ；（2） $\frac{x^2-y^2}{x+y}$ ；（3） $\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}$ ；（4） $\frac{m^2-3m}{9-m^2}$ 。

答案与解析

解析

（1）系数约成 $-3/4$ ，字母按指数相减，得 $-3ab/(4c)$ 。原式仍要求 $a,b,c\ne0$ 。

（2）分子 $=(x-y)(x+y)$ ，约去非零 $x+y$ ，得 $x-y$ ，仍要求 $x+y\ne0$ 。

（3） $\frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+2)}=\frac{a-2}{a+2}$ ，只约一份 $a-2$ ；原条件 $a\ne\pm2$ 。

（4） $9-m^2=(3-m)(3+m)$ ， $m-3=-(3-m)$ ，所以

\frac{m(m-3)}{(3-m)(3+m)}=-\frac m{m+3},\qquad m\ne\pm3.

相反因式之比为 $-1$ ，不是1。

本题结论

$-\frac{3ab}{4c}$ ； $x-y$ ； $\frac{a-2}{a+2}$ ； $-\frac m{m+3}$ ，各自保留上述原条件。

例题 06 共有字母不等于有公因式知识清单例题

题目

下列分式中，哪些不是最简分式？

① $\frac{3x}{4x+3}$ ；② $\frac{x-y}{xy^2-x^2y}$ ；③ $\frac{2y}{3x}$ ；④ $\frac{x+y^2}{xy^3-x^2y}$ 。

答案与解析

解析

①分母中的常数3阻止整体提 $x$ ，不能直接约掉上下的 $x$ 。③系数互质，字母不同，没有公因式。

②分母 $=xy(y-x)=-xy(x-y)$ ，可约为 $-1/(xy)$ ，所以不是最简；原条件 $x,y\ne0,x\ne y$ 。

④分母 $=xy(y^2-x)$ ，分子 $x+y^2$ 与 $y^2-x$ 既不相同，也不互为相反式，没有可约的整体公因式。

本题结论

只有②。

5. 公分母取最高次，分子同步补乘

逐个分解原分母，按“系数最小公倍数、各因式最高次数”组成公分母 $D$ 。对每个原分母 $B$ ，计算缺少的因式 $D/B$ ，再给整个分子同乘它。分子中的常数也要乘。

例题 07 独有因式也要收入公分母知识清单例题

题目

求 $\frac m{2m^2-2n^2}$ 与 $\frac1{3m^2-3mn}$ 的最简公分母。

答案与解析

解析

两个分母分别为 $2(m-n)(m+n)$ 与 $3m(m-n)$ 。系数取6，共同因式 $m-n$ 只需一次，独有的 $m$ 与 $m+n$ 也各需一次，得 $6m(m+n)(m-n)$ 。

第一个分母补乘 $3m$ ，第二个补乘 $2(m+n)$ 。两个原分式同时有意义，要求 $m\ne0,m\ne n,m\ne-n$ 。

本题结论

$6m(m+n)(m-n)$ 。

例题 08 三种通分结构知识清单例题

题目

通分：

（1） $\frac3{2a^2b}$ 与 $\frac{a-b}{ab^2c}$ ；

（2） $\frac{2x}{x-5}$ 与 $\frac{3x}{x^2-25}$ ；

（3） $\frac1{x+2}$ 、 $\frac{4x}{x^2-4}$ 、 $\frac2{2-x}$ 。

答案与解析

解析

（1）公分母 $2a^2b^2c$ ，补乘量依次为 $bc,2a$ ，得

\frac{3bc}{2a^2b^2c},\qquad\frac{2a^2-2ab}{2a^2b^2c},\quad a,b,c\ne0.

（2）公分母 $(x-5)(x+5)=x^2-25$ ，第一分式补乘 $x+5$ ，第二不变，得

\frac{2x^2+10x}{x^2-25},\qquad\frac{3x}{x^2-25},\quad x\ne\pm5.

（3）先将 $2/(2-x)$ 写成 $-2/(x-2)$ ，再统一到 $x^2-4$ ，得

\frac{x-2}{x^2-4},\qquad\frac{4x}{x^2-4},\qquad\frac{-2x-4}{x^2-4},\quad x\ne\pm2.

换相反分母方向产生的负号不能丢掉。

本题结论

各组通分结果如上，原条件保留。

6. 每个除式先整体翻转

先检查原分母以及除式分子是否非零。把每个除号单独改为乘完整倒数，其他乘数不翻转；分解为因式后，才可跨乘数约分。

例题 09 乘法与除法的条件不同知识清单例题

题目

计算：（1） $\frac{ax^2}{b^2y}\cdot\frac{ay}{-bx^2}$ ；（2） $\frac{x^2-xy}{y}\div\frac{y-x}{xy}$ 。

答案与解析

解析

（1）分子分母相乘，得 $-a^2x^2y/(b^3x^2y)=-a^2/b^3$ 。原式要求 $b,x,y\ne0$ ，但 $a$ 可以为0。

（2）先乘除式的倒数： $\frac{x(x-y)}y\cdot\frac{xy}{y-x}$ 。相反因式之比为 $-1$ ，约去 $y$ 后得 $-x^2$ 。原分母要求 $x,y\ne0$ ，除式非零还要求 $x\ne y$ 。

本题结论

$-\frac{a^2}{b^3}$ ， $b,x,y\ne0$ ； $-x^2$ ， $x,y\ne0,x\ne y$ 。

例题 10 三个因子的乘除串知识清单例题

题目

计算：

（1） $\frac{8xy}{9a^2b}\div\frac{2x}{3b}\cdot\frac{3ab^2}{2x^3y}$ ；

（2） $\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}\div\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1-x}{1+x}$ ；

（3） $(xy-x^2)\div\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}\cdot\frac{x-y}{x^2}$ 。

答案与解析

解析

（1）除式改乘 $3b/(2x)$ ，系数积商为 $8\times3\times3/(9\times2\times2)=2$ ，字母约后得 $2b^2/(ax^3)$ ，原条件 $a,b,x,y\ne0$ 。

（2）分解后为 $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}\cdot\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{1-x}{1+x}$ ，前两个因子乘积为1，得 $(1-x)/(1+x)$ ，原条件 $x\ne\pm1$ 。

（3） $xy-x^2=-x(x-y)$ ，因此

-x(x-y)\cdot\frac{xy}{(x-y)^2}\cdot\frac{x-y}{x^2}=-y.

原条件 $x,y\ne0,x\ne y$ ，负号与剩下的 $y$ 都要保留。

本题结论

$\frac{2b^2}{ax^3}$ ； $\frac{1-x}{1+x}$ ； $-y$ ，各自保留原条件。

7. 乘方覆盖分子分母的全部因子

先圈定完整分子和分母，把指数分别作用于两个整体。分子含和差时用完全平方，分母含负号与数字时也完整乘方，不只处理字母。

例题 11 奇次幂与偶次幂知识清单例题

题目

计算：（1） $(\frac{x^2y}{-z^2})^3$ ；（2） $(\frac{x+y}{-2x})^2$ 。

答案与解析

解析

（1）分子为 $x^6y^3$ ，分母 $(-z^2)^3=-z^6$ ，得 $-x^6y^3/z^6$ ， $z\ne0$ 。

（2）分子 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ，分母 $(-2x)^2=4x^2$ ，得 $(x^2+2xy+y^2)/(4x^2)$ ， $x\ne0$ 。

本题结论

$-\frac{x^6y^3}{z^6}$ ， $z\ne0$ ； $\frac{x^2+2xy+y^2}{4x^2}$ ， $x\ne0$ 。

8. 先统一分母，再处理分子整体

相反分母先统一方向，异分母先通分。合并时每个多项式分子先保留括号；外减号作用于其中每一项。合并后再判断能否约分，分母不能相加减。

例题 12 相反分母与三项异分母知识清单例题

题目

计算：

（1） $\frac{a-3b}{a-b}-\frac{a+b}{b-a}$ ；

（2） $\frac{5c}{6a^2b}+\frac{7a}{8b^2c}-\frac b{12a^2c}$ ；

（3） $\frac{x^2+4x}{x^2+2x}+\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$ 。

答案与解析

解析

（1） $b-a=-(a-b)$ ，第二个减号与换向的负号相遇变成加号，分子 $a-3b+a+b=2(a-b)$ ，结果2， $a\ne b$ 。

（2）公分母为 $24a^2b^2c$ ，补乘量分别是 $4bc,3a^2,2b^2$ ，所以

\frac{20bc^2+21a^3-2b^3}{24a^2b^2c},\qquad a,b,c\ne0.

（3）先分解并约分，原式 $=\frac{x+4}{x+2}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{2x+2}{x+2}$ 。原条件 $x\ne0,-2$ ；约去 $x$ 不会使0合法。

本题结论

2； $\frac{20bc^2+21a^3-2b^3}{24a^2b^2c}$ ； $\frac{2x+2}{x+2}$ ，各自保留原条件。

9. 混合运算分层处理

先记录原禁值。括号或除式内有加减，先通分成整体；再算乘方、把除法化为乘法；最后回到外层加减。每层只使用该层允许的运算律，不跨越加减号约分。

例题 13 先平方再乘，最后相减知识清单演算·改为例题

题目

计算 $\frac{a^2+2a}{a^2-4}-\frac{a-2}{a}\cdot(\frac{2a}{a-2})^2$ 。

答案与解析

解析

原条件 $a\ne0,2,-2$ 。

乘方： $(2a/(a-2))^2=4a^2/(a-2)^2$ 。
乘除与约分：第一项为 $a/(a-2)$ ，第二个乘积为 $4a/(a-2)$ 。
同分母相减： $[a-4a]/(a-2)=-3a/(a-2)$ 。

原条件包含 $a=-2$ 的禁值，虽然它不再出现在结果分母中，也必须保留。

本题结论

$-\frac{3a}{a-2}$ ， $a\ne0,2,-2$ 。

例题 14 三种混合运算知识清单例题

题目

计算：

（1） $\frac{x^2+2x+1}{x+2}\div\frac{x^2-1}{x-1}-\frac x{x+2}$ ；

（2） $\frac{a^2+3a}{a^2-3a}-\frac{a-3}{a}\cdot(\frac{2a}{a-3})^2$ ；

（3） $(\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{x-1}{x^2-4x+4})\div\frac{x-4}{x}$ 。

答案与解析

解析

（1）原条件 $x\ne-2,1,-1$ 。除法改乘倒数后，前两项的商为 $(x+1)/(x+2)$ ，再减 $x/(x+2)$ ，得 $1/(x+2)$ 。

（2）原条件 $a\ne0,3$ 。首项约为 $(a+3)/(a-3)$ ；平方后与前因子相乘为 $4a/(a-3)$ ，相减得 $(3-3a)/(a-3)$ 。

（3）原条件 $x\ne0,2$ ，除式非零还要求 $x\ne4$ 。括号通分为

\frac{(x+2)(x-2)-x(x-1)}{x(x-2)^2}=\frac{x-4}{x(x-2)^2}.

再乘 $x/(x-4)$ ，得 $1/(x-2)^2$ 。被约掉的0和4仍是禁值。

本题结论

$\frac1{x+2}$ ； $\frac{3-3a}{a-3}$ ； $\frac1{(x-2)^2}$ ，各自保留原条件。

10. 化简求值与逆求整式

求值先筛原式允许的取值，再选择直接代入还是整体代入。给出 $x/y$ 可用 $x=ky$ ，或上下同除非零 $y^2$ ；给出差或二次关系，就把目标改写为那个整体。逆求分子时，先隔离含未知整式的一项，通分后再乘非零分母。

例题 15 一个比值，两种处理方法知识清单例题

题目

已知 $x/y=3$ ，求 $\frac{x^2+2xy-3y^2}{x^2-2xy+y^2}$ 。

答案与解析

解析

已知 $y\ne0,x=3y$ ，所以 $x-y=2y\ne0$ ，目标式有意义。

方法一：分解后代入。 分子 $=(x-y)(x+3y)$ ，分母 $=(x-y)^2$ ，约后为 $(x+3y)/(x-y)$ 。代 $x=3y$ ，得 $6y/(2y)=3$ 。

方法二：把比值直接作为整体。 上下同除 $y^2\ne0$ ，得

\frac{(x/y)^2+2(x/y)-3}{(x/y)^2-2(x/y)+1}=\frac{9+6-3}{9-6+1}=3.

条件固定的是比值，不是 $x,y$ 各自的唯一值。

本题结论

3。

例题 16 已知差时不必分别求两数 2024·北京

题目

已知 $a-b-1=0$ ，求 $\frac{3(a-2b)+3b}{a^2-2ab+b^2}$ 。

答案与解析

解析

由条件得 $a-b=1$ ，保证分母 $(a-b)^2\ne0$ 。分子合并为 $3a-3b=3(a-b)$ ，所以原式 $=3/(a-b)=3$ 。

本题结论

3。

例题 17 从区间中筛出所有合法整数知识清单例题

题目

化简 $(1-\frac3{x+2})\div\frac{x^2-2x+1}{x^2-4}$ ，并在 $0\le x<4$ 中选取所有合适的整数代入求值。

答案与解析

解析

原分母要求 $x\ne-2,2$ ，除式分子 $(x-1)^2\ne0$ 还要求 $x\ne1$ 。

\frac{x-1}{x+2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x-2}{x-1}.

区间中的整数为0、1、2、3，排除1、2，保留0、3。 $x=0$ 时值为2； $x=3$ 时值为 $1/2$ 。不能只看化简式的分母而误选2。

本题结论

$\frac{x-2}{x-1}$ ，原条件 $x\ne-2,1,2$ ；合法整数0、3，对应值2、 $\frac12$ 。

例题 18 二次关系整体替换知识清单例题

题目

先化简 $(\frac{x-1}{x}-\frac{x-2}{x+1})\div\frac{2x^2-x}{x^2+2x+1}$ ，再求 $x^2-2x-2=0$ 时的值。

答案与解析

解析

原条件 $x\ne0,-1,1/2$ 。括号通分后分子为 $(x-1)(x+1)-x(x-2)=2x-1$ ，所以

\frac{2x-1}{x(x+1)}\cdot\frac{(x+1)^2}{x(2x-1)}=\frac{x+1}{x^2}.

由已知关系得 $x^2=2(x+1)$ ，因此值为 $1/2$ 。把0、 $-1$ 、 $1/2$ 代入给定二次式均不为0，已知条件不会触及原禁值；无需先求两个具体根。

本题结论

$\frac{x+1}{x^2}$ ，原条件 $x\ne0,-1,\frac12$ ；值为 $\frac12$ 。

例题 19 从分式恒等关系逆求分子 2024·河北

题目

已知 $A$ 为整式， $\frac A{xy+y^2}-\frac y{x^2+xy}$ 的计算结果为 $\frac{x-y}{xy}$ ，则 $A$ 为（　）。

A. $x$ 　 B. $y$ 　 C. $x+y$ 　 D. $x-y$

答案与解析

解析

原分母要求 $x,y,x+y$ 均非零。移项并通分：

\frac A{y(x+y)}=\frac{x-y}{xy}+\frac y{x(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y)+y^2}{xy(x+y)}=\frac{x^2}{xy(x+y)}.

两边乘非零 $y(x+y)$ ，得 $A=x$ 。这是对全部允许取值成立的整式关系，不是只代一个特殊值碰巧相等。

本题结论

A， $A=x$ 。

11. 整数指数先处理范围与符号

先确认完整底数有意义且非零。负指数转成倒数，也可在非零底数范围内直接按整数指数法则计算，指数相减遇负数须加括号。最后写成正整数指数或规范科学记数法。

例题 20 负整数指数综合运算知识清单例题

题目

计算：（1） $(a^2b^{-2})^{-3}$ ；（2） $(2ab^2c^{-3})^{-2}\div(a^{-2}b)^3$ ；（3） $(3\times10^{-5})^3\div(3\times10^{-2})^2$ 。

答案与解析

解析

（1） $a,b\ne0$ ，原式 $=(a^2/b^2)^{-3}=b^6/a^6$ 。

（2） $a,b,c\ne0$ ，先乘方得 $2^{-2}a^{-2}b^{-4}c^6\div(a^{-6}b^3)$ 。相除时， $a$ 指数为 $-2-(-6)=4$ ， $b$ 指数为 $-4-3=-7$ ，结果 $a^4c^6/(4b^7)$ 。约后仍保留所有非零条件。

（3） $27\times10^{-15}\div(9\times10^{-4})=3\times10^{-15-(-4)}=3\times10^{-11}=3/10^{11}$ 。

本题结论

$\frac{b^6}{a^6}$ ， $a,b\ne0$ ； $\frac{a^4c^6}{4b^7}$ ， $a,b,c\ne0$ ； $3\times10^{-11}$ 。

例题 21 数值相等还不够，系数也要规范知识清单例题·改编

题目

数据0.0000036用科学记数法表示为（　）。

A. $3.6\times10^{-5}$ 　 B. $0.36\times10^{-5}$

C. $3.6\times10^{-6}$ 　 D. $0.36\times10^{-6}$

答案与解析

解析

小数点右移6位得到3.6，因此原数为 $3.6\times10^{-6}$ 。A比原数大10倍；B数值虽相等，但系数0.36小于1；D比原数小10倍且系数不规范。

本题结论

C。

三、坑点检查边界

1. 基本性质不是上下做相同动作就行

同乘或同除一个非零因式有 $C/C=1$ 的依据；同加、同减、分别平方没有这一依据。判断的是恒等变形，不是某些数值代入偶然相等。

辨析 01 四个变形辨析知识清单例题·改编，明确恒等与有意义范围

题目

下列从左到右的变形，哪些不是恒等变形？各式在所涉及分母均非零时讨论。

① $\frac nm=\frac{n-a}{m-a}$ ；② $\frac yx=\frac{y^2}{x^2}$ ；

③ $\frac{-a-b}{-a+b}=\frac{a-b}{a+b}$ ；④ $\frac nm=\frac{na}{ma}$ ， $a\ne0$ 。

答案与解析

解析

①上下同减 $a$ ，比值一般改变，例如 $n=2,m=3,a=1$ ，两边为 $2/3,1/2$ 。

②分别平方不等于上下同乘同一个量，例如 $y=1,x=2$ ，两边为 $1/2,1/4$ 。

③上下同乘 $-1$ 应得到 $(a+b)/(a-b)$ ，不是所写的倒置和差。

④上下同乘非零 $a$ ，符合基本性质，在原 $m\ne0$ 时成立。

本题结论

①②③。

2. 补乘时，整个分子都要跟着变化

公分母正确，不代表通分过程正确。分母补乘 $x-2$ 时，分子2必须变成 $2(x-2)=2x-4$ ；少乘常数项同样改变了值。

辨析 02 核验通分的四个说法知识清单例题

题目

把 $\frac1{x-2}$ 、 $\frac1{(x-2)(x+3)}$ 、 $\frac2{(x+3)^2}$ 通分，下列说法哪些正确？

① 最简公分母为 $(x-2)(x+3)^2$ ； ② $\frac1{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$ ； ③ $\frac1{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$ ； ④ $\frac2{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$ 。

答案与解析

解析

原条件 $x\ne2,-3$ 。公分母取各因式最高次，①正确。第一个分母缺 $(x+3)^2$ ，第二个缺 $x+3$ ，分子同步补乘，②③正确。

第三个分母缺 $x-2$ ，分子应为 $2x-4$ ，而非 $2x-2$ ，④错误。

本题结论

①②③正确。

3. 减的是整个分子，不只第一项

分数线把分子连成一整块。减去这一分式时，分子中的每一项都受外减号作用，先写括号再去括号可减少漏号。

辨析 03 同分母减法知识清单例题

题目

计算 $\frac4{x-2}-\frac{x+2}{x-2}$ 。

答案与解析

解析

$x\ne2$ ，合分子时写 $4-(x+2)=4-x-2=2-x$ 。由 $2-x=-(x-2)$ ，得 $-1$ ，仍要求 $x\ne2$ 。

错写 $4-x+2$ 是只把第一项变号；分母也不能相减成0。

本题结论

$-1$ ， $x\ne2$ 。

4. 除号还没处理，不能直接约相邻倒数

约分只在正确的乘积结构中进行。除法尚未改为乘倒数时，先把右侧相邻分式约掉，相当于擅自添加括号。除式本身是和差，则先通分为一个整体，不对除数分配除法。

辨析 04 同级乘除与整体除式知识清单例题与演算·合组

题目

计算：

（1） $(1-\frac1{1-a})\div\frac a{a-1}\cdot\frac{a-1}a$ ；

（2） $\frac{x-1}x\div(x-\frac1x)$ 。

答案与解析

解析

（1）原条件 $a\ne0,1$ 。括号为 $a/(a-1)$ ，每个除式整体翻转，得

\frac a{a-1}\cdot\frac{a-1}a\cdot\frac{a-1}a=\frac{a-1}a.

不能先把原题后两项当作相乘后约为1，原题中间是除号。

也可以合法地整体改写：当 $B,C\ne0$ 时， $A\div B\cdot C=A\div(B\div C)$ ，因为两边都等于 $AC/B$ 。本题在原条件 $a\ne0,1$ 下可写为

(1-\frac1{1-a})\div\left[\frac a{a-1}\div\frac{a-1}a\right] =\frac a{a-1}\div\frac{a^2}{(a-1)^2} =\frac{a-1}a.

这里括号内必须是“除”，不能改成“乘”；括号的变化由等值运算律保证，而不是任意改变运算顺序。

（2） $x\ne0$ ，除式 $x-1/x=(x^2-1)/x$ 不能为0，所以还要求 $x\ne\pm1$ 。先合成完整除式，再乘倒数：

\frac{x-1}x\cdot\frac x{(x-1)(x+1)}=\frac1{x+1}.

不能把除以两个项的差改为分别除以两项。

本题结论

$\frac{a-1}a$ ， $a\ne0,1$ ； $\frac1{x+1}$ ， $x\ne0,1,-1$ 。

5. 负指数取倒数，不是取相反数

先看括号确定底数，再看指数，最后处理外部负号。非零正数的倒数仍正，非零负数的倒数仍负；指数上的负号不会自动改变结果正负。

辨析 05 负指数、零指数与外负号知识清单例题

题目

（1）计算 $(\frac12)^{-3}$ 。

（2） $a=-3^2$ ， $b=-3^{-2}$ ， $c=(-\frac13)^{-2}$ ， $d=(-\frac23)^0$ ，用“小于”号连接它们。

答案与解析

解析

（1） $(1/2)^{-3}=1/(1/2)^3=8$ 。

（2）逐一看完整底数： $a=-9$ ， $b=-1/9$ ， $c=1/(-1/3)^2=9$ ， $d=1$ 。因此 $-9<-1/9<1<9$ ，即 $a<b<d<c$ 。所有零、负指数的底数在这里都非零。

本题结论

（1）8；（2） $a<b<d<c$ 。