二元一次方程组

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一个方程给出一条数量关系，方程组要求几条关系同时成立。本页从“什么样的数对才是解”出发，学习消元，再把方法用到两未知量的实际问题中。

一、知识点理解概念

1. 二元一次方程与方程组

“二元”指整理后实际含有两个未知数；“一次”指每个含未知数的项的总次数是 $1$ ；等号两边还必须是整式。

检查项目	符合的情况	要排除的情况
元数	单个方程实际含 $x,y$ 两元	系数为零，某一元消失
次数	$3x-2y=5$	$xy$ 的总次数为 $2$ ，不是一次
整式	$\dfrac{x+y}{3}=2$ ，分母是常数	$x+\dfrac1y=2$ ，分母含未知数

二元一次方程组由一次整式方程组成，整组实际含两个未知数。不要求组中每一条都同时含两元，如 $\left\{\begin{aligned}x+y&=5,\\x&=2\end{aligned}\right.$ 也是二元一次方程组。

一般的二元一次方程可以写成 $ax+by=c$ ，其中 $a,b$ 都不为 $0$ 。这里 $a,b,c$ 是给定常数，未知数是 $x,y$ ，不能把参数也算作一元。

2. 解是一个数对，公共解要同时成立

使一个二元一次方程成立的一对数，叫这个方程的一个解，通常写成 $\left\{\begin{aligned}x&=x_0,\\y&=y_0.\end{aligned}\right.$

方程组的解必须使组内每一个方程同时成立。只满足其中一条，不能算公共解。

方程组	两条关系的情况	解的情况
$x+y=5,\ x-y=1$	两条独立且相容的条件	唯一解 $x=3,y=2$
$x+y=5,\ 2x+2y=10$	第二条只是第一条的两倍	无穷多组解
$x+y=5,\ x+y=6$	要求同一个和取不同值	无解

所以，“列了两个方程”不等于“已经能唯一确定两个未知数”。

3. 消元：减少未知量，保留原关系

二元一次方程组要转化成已学过的一元一次方程。这个减少未知数的过程叫消元。

方法	依据	优先使用的情形
代入消元	相等的量可以互相替换	某一元系数为 $1$ 或 $-1$ ，容易表示
加减消元	等式两边分别相加或相减	某一元系数相同、互为相反数，或容易配成
整体代入、换元	把重复的同一表达式看成一个量	两式反复出现相同的和、差或分式块

观察系数与结构，选定要消去的元。
通过代入或加减，得到一元一次方程。
解出一个未知数，回到保留的原关系求另一个。
把数对代入所有原方程，检查后写出整组解。

消元得到的新方程是原组共同推出的关系，但单独这一条通常不足以代替整个方程组。求出一个未知数之后仍要回代；出现 $0=0$ 或 $0=5$ 时，要分别判断条件重复或条件矛盾，不能继续“除以零”。

4. 整数解与实际范围

对 $ax+by=c$ ，在实数范围内可以任取一个未知数，再求另一个，因此有无穷多组实数解。限制为整数或正整数后，必须重新筛选。

整数包括负整数、零和正整数。
非负整数包括 $0$ ；正整数从 $1$ 开始。
人数、件数通常取非负整数；“两种都要买”还要求各自至少为 $1$ 。
并非每个二元一次方程都有整数解。例如 $2x+2y=1$ 不可能有整数解，因为左边为偶数。

若 $a,b,c$ 都是整数，且已经有一组整数解 $(x_0,y_0)$ ，那么 $(x_0+bk,y_0-ak)$ 对每个整数 $k$ 都仍是整数解。这说明“有整数解”和“有多少整数解”需要先后判断。

5. 两条关系，各有依据

两个未知量不便用一个字母表示时，可以分别设元。关键不是凑够两个等式，而是找出两条不同的数量关系。

问题中的信息	常用关系	需要保留的条件
总数与倍数、差	两部分相加等于总数；一部分用另一部分表示	单位一致，倍数作用对象明确
材料配套	各部件数量÷每套所需数量相等	材料只能加工哪一类、整数限制
两种行程情景	各自路程＝各自速度×各自时间	起点、方向、先后出发的时间
增长前后	新量＝原量×增长因子	百分比以哪个时期的量为基数
图形拼接	对齐边长相等；外边周长关系	同样大小、无重叠拼接、长宽对应

求出方程组的解后，再检查它是否符合题意。负工作时间、分数人数都不能直接成为实际问题的答案。

二、考点方法与例题

1. 先检查整式，再检查元数和次数

定义判断按三个条件逐项检查；含参数时，指数条件和系数不为零要同时满足。固定常数作分母不会使式子变成分式，未知数作分母则会。

例题 01 方程与方程组的定义辨别知识清单例题·合组

题目

（1）下列方程中，二元一次方程有几个？

① $2x-5=y$ ；② $x-4=1$ ；③ $xy=3$ ；

④ $5x+\dfrac2y=1$ ；⑤ $x^2-3y=0$ ；⑥ $\dfrac{x+4y}{2}=6$ 。

A. $2$ 个　B. $3$ 个　C. $4$ 个　D. $5$ 个

（2）下列哪个是二元一次方程组？

A. $\left\{\begin{aligned}2x+y-xy&=1,\\3x-2y&=3\end{aligned}\right.$ 　B. $\left\{\begin{aligned}3x&=y-1,\\5x-4z&=7\end{aligned}\right.$

C. $\left\{\begin{aligned}x+\frac2y&=5,\\5x+y&=3\end{aligned}\right.$ 　D. $\left\{\begin{aligned}x-2y&=14,\\3x+y&=9\end{aligned}\right.$

答案与解析

解析

（1）①⑥符合条件。②只有一元；③含二次项 $xy$ ；④未知数在分母；⑤含二次项 $x^2$ 。所以选 A。

（2）A 含 $xy$ ；B 整组有 $x,y,z$ 三元；C 含字母分母；只有 D 同时满足条件。

本题结论

（1）A；（2）D。

例题 02 参数影响指数，也影响元数知识清单例题

题目

若 $(a-2)x+y^{|a-1|}=0$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程，求 $a$ 。

答案与解析

解析

$y$ 项为一次，要求 $|a-1|=1$ ，得到 $a=0$ 或 $a=2$ 。

还要有 $a-2\ne0$ ，否则 $x$ 项消失。排除 $a=2$ ；当 $a=0$ 时方程是 $-2x+y=0$ ，符合定义。

本题结论

$a=0$ 。

2. 已知解：代入全部相关方程

判定一个数对是不是解，按字母位置代入；已知某个数对是解，则把它代入，得到关于参数的等式。数对是方程组的解时，每一条原式都可用，不能只用第一条。

例题 03 逐式代入与求参数知识清单例题·合组

题目

（1）（2023 江苏无锡）下列数对中，不是 $2x+y=4$ 的解的是哪一个？

A. $(1,2)$ 　B. $(2,0)$ 　C. $(\frac12,3)$ 　D. $(-2,4)$

（2）已知 $x=2,y=3$ 是 $ax-3y=3$ 的解， $a$ 的值为多少？

A. $\dfrac16$ 　B. $6$ 　C. $\dfrac13$ 　D. $3$

（3）若 $\left\{\begin{aligned}3x-y&=m,\\x+my&=n\end{aligned}\right.$ 的解是 $x=1,y=2$ ，求 $|m-n|$ 。

答案与解析

解析

（1）A、B、C 代入左边依次为 $4,4,4$ ；D 为 $2(-2)+4=0\ne4$ ，选 D。

（2） $2a-9=3$ ，所以 $2a=12$ ， $a=6$ ，选 B。

（3）第一式给 $m=3-2=1$ ；再代第二式， $n=1+2m=3$ 。最后求绝对值： $|m-n|=|1-3|=2$ 。

本题结论

（1）D；（2）B；（3）2。

3. 正整数解：先定范围，再筛选

先由两个量都为正确定有限范围，再用整除条件筛选，最后列出数对或计数。计数时一组数量是一种方案，不把不同排列、切割顺序重复计入。

例题 04 整数范围与方案计数知识清单例题·合组

题目

（1）求 $4x+y=20$ 的所有正整数解。

（2）小碗每个 $3$ 元，大碗每个 $4$ 元，花 $30$ 元买这两种碗，两种都买。有哪些数量方案？

（3）（2023 黑龙江齐齐哈尔）把长 $150\text{ cm}$ 的铁丝全部截成 $10\text{ cm}$ 、 $20\text{ cm}$ 两种长度，每种至少一段。有多少种数量方案？

A. $5$ 　B. $6$ 　C. $7$ 　D. $8$

答案与解析

解析

（1） $y=20-4x>0$ ，所以 $0<x<5$ 。依次取 $x=1,2,3,4$ ，得到 $(x,y)=(1,16)$ 、 $(2,12)$ 、 $(3,8)$ 、 $(4,4)$ 。 $x=5$ 时 $y=0$ ，不符合正整数条件。

（2）设小碗 $x$ 个、大碗 $y$ 个，则 $3x+4y=30$ ， $x,y\ge1$ 且为整数。由 $4y\le27$ 得 $1\le y\le6$ ； $30-4y$ 是 $3$ 的倍数，故 $y$ 是 $3$ 的倍数。只有 $y=3,6$ ，对应 $x=6,2$ 。

（3）设两种段数分别为 $x,y$ ，有 $10x+20y=150$ ，即 $x=15-2y$ 。由 $x,y\ge1$ 得 $y=1,2,\ldots,7$ ，对应 $x$ 依次为 $13$ 、 $11$ 、 $9$ 、 $7$ 、 $5$ 、 $3$ 、 $1$ ，共 $7$ 种，选 C。

本题结论

（1） $(1,16)$ 、 $(2,12)$ 、 $(3,8)$ 、 $(4,4)$ ；（2）小碗6个、大碗3个，或小碗2个、大碗6个；（3）C。

4. 代入、加减：按系数选路

有单位系数时先考虑代入；同系数相减、互为相反数相加；其他情况先倍乘整条等式配系数。无论选哪条路，消元后都要回代。

例题 05 单位系数先代入知识清单例题

题目

用代入法解 $\left\{\begin{aligned}x-2y&=3,\\3x-8y&=13.\end{aligned}\right.$

答案与解析

解析

由第一式得 $x=3+2y$ ，代入第二式：

3(3+2y)-8y=13\Rightarrow9-2y=13\Rightarrow y=-2.

回代得 $x=3+2(-2)=-1$ 。检验： $-1-2(-2)=3$ ， $3(-1)-8(-2)=13$ ，两式都成立。

本题结论

$\left\{\begin{aligned}x&=-1,\\y&=-2.\end{aligned}\right.$

例题 06 同系数相减的一组题知识清单例题·合组

题目

（1）对 $\left\{\begin{aligned}3x+2y&=2,\quad\text{\textcircled{1}}\\x+2y&=0,\quad\text{\textcircled{2}}\end{aligned}\right.$ ， $\text{\textcircled{1}}-\text{\textcircled{2}}$ 消去哪个未知数？得到什么一元一次方程？

（2）用加减法解 $\left\{\begin{aligned}2x-5y&=7,\\3y+2x&=-1.\end{aligned}\right.$

（3）（2024 江苏苏州）解 $\left\{\begin{aligned}2x+y&=7,\\2x-3y&=3.\end{aligned}\right.$

答案与解析

解析

（1） $(3x+2y)-(x+2y)=2-0$ ，所以消去 $y$ ，得到 $2x=2$ 。若继续求全组解，则 $x=1,y=-\frac12$ 。

（2）第一式减第二式： $(2x-5y)-(2x+3y)=7-(-1)$ ，即 $-8y=8$ ，故 $y=-1$ 。回第一式 $2x+5=7$ ，得 $x=1$ 。

（3）第一式减第二式： $4y=4$ ，得 $y=1$ ；回代 $2x+1=7$ ，得 $x=3$ 。

三个问题都利用相同系数消元，减法的作用范围都是整条等式，不能只减选中的未知项。

本题结论

（1）消去 $y$ ，得 $2x=2$ ；（2） $x=1,y=-1$ ；（3） $x=3,y=1$ 。

例题 07 整理后配出相同系数知识清单例题

题目

用加减法解 $\left\{\begin{aligned}3(x-1)&=2(y+1),\\2(x+2)&=15-5(y-1).\end{aligned}\right.$

答案与解析

解析

先去括号、移项：

\left\{\begin{aligned}3x-2y&=5,\quad\text{\textcircled{1}}\\2x+5y&=16.\quad\text{\textcircled{2}}\end{aligned}\right.

$\text{\textcircled{1}}\times2$ 得 $6x-4y=10$ ； $\text{\textcircled{2}}\times3$ 得 $6x+15y=48$ 。后式减前式得 $19y=38$ ，所以 $y=2$ 。回代 $3x-4=5$ ，得 $x=3$ 。

检验原括号式： $3(3-1)=2(2+1)=6$ ， $2(3+2)=15-5(2-1)=10$ 。

本题结论

$x=3,y=2$ 。

5. 重复整体与所求组合

先观察能否直接求出重复块，或通过两式相加、相减得到题目所求的组合。只有结构确实重复时才换元；新变量取名后写清定义，算完必须回到原变量。

例题 08 整体代入与直接求差知识清单例题·合组

题目

（1）解 $\left\{\begin{aligned}\frac95(x+y)&=18,\\\frac23x+\frac32(x+y)&=18.\end{aligned}\right.$

（2）（2023 辽宁朝阳） $\left\{\begin{aligned}2x+y&=2a+1,\\x+2y&=a-1\end{aligned}\right.$ 的解满足 $x-y=4$ ，求 $a$ 。

答案与解析

解析

（1）第一式直接给出 $x+y=10$ 。代入第二式， $\frac23x+15=18$ ，得到 $x=\frac92$ ，再由和为 $10$ 得 $y=\frac{11}2$ 。

（2）两式相减，左边是 $x-y$ ，右边是 $(2a+1)-(a-1)=a+2$ 。因此 $a+2=4$ ， $a=2$ 。回验此时 $x=3,y=-1$ ，满足原两式与差为 $4$ 的条件。

本题结论

（1） $x=\frac92,y=\frac{11}2$ ；（2） $a=2$ 。

例题 09 换元后再回换知识清单例题

题目

乐乐解 $\left\{\begin{aligned}3(m+5)-2(n+3)&=-1,\\3(m+5)+2(n+3)&=7\end{aligned}\right.$ 时，设 $X=m+5,Y=n+3$ ，得到

\left\{\begin{aligned}3X-2Y&=-1,\\3X+2Y&=7.\end{aligned}\right.

解得 $X=1,Y=2$ ，再回换得到 $m=-4,n=-1$ 。

仿照这个方法，解 $\left\{\begin{aligned}\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{5}&=4,\\\frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{5}&=-2.\end{aligned}\right.$

答案与解析

解析

设 $M=\dfrac{x+y}{3},N=\dfrac{x-y}{5}$ ，则 $M+N=4,M-N=-2$ 。相加得 $M=1$ ，相减得 $N=3$ 。

这还不是原未知数的值。 回换：

\left\{\begin{aligned}x+y&=3,\\x-y&=15\end{aligned}\right.\Rightarrow x=9,\ y=-6.

检验原两块分别为 $1,3$ ，和为 $4$ 、差为 $-2$ 。题内示范也一样： $X=1$ 代表 $m+5=1$ ，并不代表 $m=1$ 。

本题结论

$x=9,y=-6$ 。

例题 10 已知解与变量组合对应 2024 江苏宿迁·改编，明确唯一解条件

题目

（2024 江苏宿迁题，明确唯一解条件）已知 $\left\{\begin{aligned}ax+y&=b,\\cx-y&=d\end{aligned}\right.$ 的唯一解是 $x=3,y=-2$ 。求 $\left\{\begin{aligned}ax+2y&=2a+b,\\cx-2y&=2c+d\end{aligned}\right.$ 的解。

答案与解析

解析

把新组整理成 $a(x-2)+2y=b,c(x-2)-2y=d$ 。设 $X=x-2,Y=2y$ ，它正好成为已知的方程组。因此 $X=3,Y=-2$ ，回换得 $x=5,y=-1$ 。

这里用到的是已知组的唯一解。若只知道它“有一组解”为 $(3,-2)$ ，只能推出新组有对应的一组解，不能断言没有其他解。原组相加得 $(a+c)x=b+d$ ，唯一解条件要求 $a+c\ne0$ 。

本题结论

$x=5,y=-1$ 。

6. 同解与看错系数：分清可靠的等式

“两个方程组同解”时，先用不含参数的两式确定公共数对，再代含参数的式子。“看错系数”题则相反：某人的错解只能代入他没有看错的那条原方程。

例题 11 同解确定参数组合知识清单例题

题目

方程组 $\left\{\begin{aligned}4x+y&=3,\\ax-by&=-5\end{aligned}\right.$ 与 $\left\{\begin{aligned}3x+2y&=1,\\ax+by&=1\end{aligned}\right.$ 有相同的解，求 $a^2-b^2$ 。

答案与解析

解析

先解 $4x+y=3,3x+2y=1$ ：第一式乘 $2$ 减第二式，得 $5x=5$ ，故 $x=1,y=-1$ 。

代入参数式，得 $a+b=-5,a-b=1$ ，所以

a^2-b^2=(a+b)(a-b)=-5\times1=-5.

也可解得 $a=-2,b=-3$ ；代回两个原组，数对 $(1,-1)$ 均成立，且两组都不会退化。

本题结论

$a^2-b^2=-5$ 。

例题 12 错解只用未看错的方程知识清单例题

题目

原方程组为 $\left\{\begin{aligned}ax+5y&=15,\quad\text{\textcircled{1}}\\4x-by&=-2.\quad\text{\textcircled{2}}\end{aligned}\right.$ 甲只看错①中的 $a$ ，得到 $x=-3,y=-1$ ；乙只看错②中的 $b$ ，得到 $x=5,y=4$ 。求原来的 $a,b$ 。

答案与解析

解析

人物	可信的原式	代入后所得
甲	没看错的②	$4(-3)-b(-1)=-2$ ，故 $b=10$
乙	没看错的①	$5a+5\times4=15$ ，故 $a=-1$

不能把甲的数对代入原①求 $a$ ，因为甲解的是已经看错系数的另一条方程；乙同理。

本题结论

$a=-1,b=10$ 。

7. 应用：两种情景共用同一组未知量

列式前先用文字写出两条等量关系。设元可直接也可间接，但同一个字母在所有等式中含义不变。不同情景用同一速度、单价等量时，要确认题设允许共用。

例题 13 总量与差、倍数知识清单例题·情境文字合组缩写

题目

（1）某年级有 $246$ 人，男生比女生的 $2$ 倍少 $3$ 人。设女生 $x$ 人、男生 $y$ 人，列方程组。

（2）（2024 江苏盐城）一条绳索比竿子长 $5$ 尺，把绳索对折后又比竿子短 $5$ 尺。求竿子的长度。

（3）（2024 山西）按题设数据，每吨废旧智能手机提炼出的白银比黄金多 $760$ 克； $2.5$ 吨提炼出的黄金与 $0.6$ 吨提炼出的白银质量相等。每吨能提炼出黄金、白银各多少克？

答案与解析

解析

（1）人数和、倍数差分别给 $x+y=246,y=2x-3$ 。若求人数，则 $3x-3=246$ ，得女生 $83$ 人、男生 $163$ 人。

（2）设绳长 $x$ 尺、竿长 $y$ 尺，则 $x=y+5,\frac x2=y-5$ 。把前式代入后式： $y+5=2y-10$ ，故 $y=15,x=20$ 。题问竿长，答 $15$ 尺。

（3）设每吨提炼黄金 $x$ 克、白银 $y$ 克，则 $y=x+760,2.5x=0.6y$ 。代入得 $1.9x=456$ ，所以 $x=240,y=1000$ 。两种总提炼量均为 $600$ 克，这是核验用的中间量，不是“每吨”的答案。

本题结论

（1） $x+y=246,y=2x-3$ ；（2）15尺；（3）黄金240克、白银1000克。

例题 14 相向与同向分别画路程知识清单例题·改编，明确两次起点和速度条件

题目

A、B 两地相距 $42$ 千米，甲、乙分别从 A、B 出发。相向而行时，甲比乙早 $1.5$ 小时出发，乙出发 $4$ 小时后相遇。另一次两人仍从各自原起点出发，均沿 B→A 方向走，乙比甲早 $8$ 小时出发，甲出发 $5$ 小时后，乙超出甲 $3$ 千米。两人的速度各自不变，求甲、乙的速度。

答案与解析

解析

设甲速 $x$ 、乙速 $y$ ，单位为千米/时。

情景	甲走的时间	乙走的时间	等量关系
相向	$1.5+4=5.5$	$4$	$5.5x+4y=42$
同向	$5$	$8+5=13$	$13y=42+5x+3$

同向时起点相距 $42$ 千米，不能只写两人路程差为 $3$ 。

第一式乘 $2$ 得 $11x+8y=84$ ；第二式整理为 $-5x+13y=45$ 。两式分别乘 $5,11$ 后相加，得 $183y=915$ ，所以 $y=5$ ，回代 $x=4$ 。

核验相向路程 $22+20=42$ ；同向乙走 $65$ ，等于 $42+20+3$ 。

本题结论

甲4千米/时，乙5千米/时。

例题 15 拼接图中的两条边长关系知识清单例题

题目

四个形状、大小一样的小长方形按图拼成大长方形。大长方形的周长为 $12\text{ cm}$ ，求小长方形的周长。

答案与解析

解析

设小长方形宽 $x\text{ cm}$ 、长 $y\text{ cm}$ 。

中间上下两块的高度与两侧竖块相同，所以 $2x=y$ 。
大长方形宽为 $y$ ，长为 $y+2x$ ；半周长是 $y+(y+2x)=6$ 。

因此 $\left\{\begin{aligned}2x&=y,\\2y+2x&=6\end{aligned}\right.$ ，解得 $x=1,y=2$ 。小长方形周长为 $2(x+y)=6\text{ cm}$ 。

注意半周长包含大长方形的一长一宽，不能漏掉其中一个 $y$ 。

本题结论

小长方形周长为6厘米。

8. 配套最多：先找配平方案，再证明上界

加工材料数与产出部件数不是同一个量。先按“部件数÷每套所需数”配平；题目要求“最多”时，还应说明任何方案都不能超过所得数量，而不是仅因解出一组整数就宣称最优。

例题 16 窗框材料的最优分配知识清单例题

题目

每根铝合金材料可以做竖柱 $5$ 根或者横梁 $8$ 根，而且只能做其中一种。每个窗框用 $2$ 根竖柱、 $3$ 根横梁。现有 $310$ 根材料，怎样分配才能做出最多的窗框？

答案与解析

解析

设用 $x$ 根材料做竖柱、 $y$ 根做横梁。全部使用且恰好配套时，

x+y=310,\qquad\frac{5x}{2}=\frac{8y}{3},

即 $15x=16y$ 。解得 $x=160,y=150$ ，产出竖柱 $800$ 根、横梁 $1200$ 根，恰好组成 $400$ 个窗框。

为什么不会有更多？ 若做 $N$ 个窗框，至少需要 $\frac{2N}{5}$ 根材料供应竖柱， $\frac{3N}{8}$ 根供应横梁。于是

\frac{2N}{5}+\frac{3N}{8}=\frac{31N}{40}\le310\Rightarrow N\le400.

上述整数方案达到上界，故确实最优。

本题结论

160根材料做竖柱，150根做横梁，最多400个窗框。

三、坑点辨析与边界

1. 整数、非负整数、正整数不能混用

先标出取值范围，再谈解的个数。一个方程有无穷多组实数解，不表示任意范围内都无穷多；零是否能取也会改变计数。

辨析 01 同一个方程，不同解的范围知识清单例题

题目

对二元一次方程 $x+y=1$ ，下列说法正确的是哪一个？

A. 有一组正整数解　B. 只有有限组解

C. 只有一组非负整数解　D. 有无穷多组整数解

答案与解析

解析

正整数 $x,y$ 至少都为 $1$ ，和至少为 $2$ ，所以 A 错。实数范围内任取 $x=t$ ，都有 $y=1-t$ ，所以 B 错。

非负整数解有 $(0,1),(1,0)$ 两组，不是一组，C 错。

令 $x=k,y=1-k$ ，每个整数 $k$ 都给出一组整数解，故 D 对。这个结论来自本题的结构，不能推广成“任何二元一次方程都有整数解”。

本题结论

选D。

2. 代入与相减都要保留整块

把一个表达式代替未知数时，原来的外系数仍乘整个表达式；两式相减时，后一式的每一项都要改变符号。倍乘方程则两边每一项都要乘同一个数。

辨析 02 代入后哪一步成立知识清单例题

题目

用代入法解 $y=1-x,\ x+2y=4$ ，把第一式代入第二式，正确结果是哪一个？

A. $x-2-2x=4$ 　B. $x+2-2x=4$

C. $x+2+x=4$ 　D. $x+2-x=4$

答案与解析

解析

先写 $x+2(1-x)=4$ ，再用分配律得到 $x+2-2x=4$ ，所以 B 正确。

A 错在常数符号；C 错在 $x$ 项的符号与倍数；D 漏乘了外系数 $2$ 。不要把“代入”与“去括号”混成一步心算。

本题结论

选B。

辨析 03 倍乘与消去哪一元知识清单例题

题目

解 $\left\{\begin{aligned}2x+5y&=-10,\quad\text{\textcircled{1}}\\5x-3y&=-1,\quad\text{\textcircled{2}}\end{aligned}\right.$ 时，下列操作正确的是哪一个？

A. $\text{\textcircled{1}}\times3-\text{\textcircled{2}}\times5$ 消去 $x$

B. $\text{\textcircled{1}}\times5+\text{\textcircled{2}}\times2$ 消去 $y$

C. $\text{\textcircled{1}}\times5-\text{\textcircled{2}}\times2$ 消去 $x$

D. $\text{\textcircled{1}}\times3+\text{\textcircled{2}}\times2$ 消去 $y$

答案与解析

解析

逐项只先检查声称要消去的那一元系数：

选项	对应系数结果	判断
A	$2\times3-5\times5=-19$	$x$ 未消去
B	$5\times5+(-3)\times2=19$	$y$ 未消去
C	$2\times5-5\times2=0$	$x$ 消去
D	$5\times3+(-3)\times2=9$	$y$ 未消去

执行 C 时，两式分别变成 $10x+25y=-50$ 、 $10x-6y=-2$ ，相减为 $31y=-48$ ；常数项也必须随整式倍乘。

本题结论

选C。

3. 观察者是否包括自己

“看到的人数”不一定等于总人数。分别站在每位观察者的位置列数量表，只从他自己所属的那一类减去一人，不是两类都减一。

辨析 04 帽子数量的观察范围知识清单例题·改编，明确可见范围

题目

七（1）班男生戴白帽、女生戴红帽。男生小明说：“我看到白帽比红帽多5顶。”女生小红说：“我看到红帽是白帽数量的 $\frac34$ 。”每人能看见全班其他人的帽子，但看不见自己的帽子。求男、女生人数。

答案与解析

解析

设男生 $x$ 人、女生 $y$ 人。

观察者	看见白帽	看见红帽	关系
小明	$x-1$	$y$	$x-1=y+5$
小红	$x$	$y-1$	$y-1=\frac34x$

第一式得 $x=y+6$ ；第二式乘 $4$ 后代入， $4y-4=3y+18$ ，得到 $y=22,x=28$ 。

回验：小明看见 $27$ 顶白帽与 $22$ 顶红帽；小红看见 $21$ 顶红帽与 $28$ 顶白帽，两个条件都满足。

本题结论

男生28人，女生22人。

4. 空房与多出的人，单位不能混

“空出一间”减少的是已使用的房间数；“多出几人”增加的是总人数。先写每个量的单位，再决定加减发生在乘法括号内还是括号外。

辨析 05 同一批客人的两种入住方式 2024 四川南充·情境缩写

题目

（2024 四川南充）每间客房住 $7$ 人，有 $7$ 人无房可住；每间住 $9$ 人，则空出一间。设房间 $x$ 间、客人 $y$ 人，可列哪组方程？

A. $y=7x-7,\ y=9(x+1)$ 　B. $y=7x-7,\ y=9(x-1)$

C. $y=7x+7,\ y=9(x+1)$ 　D. $y=7x+7,\ y=9(x-1)$

答案与解析

解析

每间住 $7$ 人，全部房间住下 $7x$ 人，还有 $7$ 人，所以总人数 $y=7x+7$ 。

每间住 $9$ 人，只使用 $x-1$ 间，故 $y=9(x-1)$ 。不能写 $9x-1$ ，那相当于少一人而不是空一间。

两式联立也可验证 $x=8,y=63$ ： $7\times8+7=63$ ， $9\times7=63$ 。

本题结论

选D。

5. 解出的年份要与问题一致

设去年量通常便于使用去年差值，但求出的根仍是去年量。列两年对照表，解后再按各自增长率回到今年，不能把间接设出的中间量直接当答案。

辨析 06 旅游人数的前后年份知识清单例题

题目

今年“五一”某市外来、外出旅游总人数为 $208$ 万，分别比去年同期增加 $20\%$ 、 $10\%$ ；去年外来比外出多 $20$ 万。求今年两类旅游人数。

答案与解析

解析

设去年外来 $x$ 万、外出 $y$ 万。

类别	去年	今年
外来	$x$	$1.2x$
外出	$y$	$1.1y$

去年差值给 $x-y=20$ ；今年总量给 $1.2x+1.1y=208$ 。代 $x=y+20$ ，得 $2.3y+24=208$ ，所以 $y=80,x=100$ 。

回到今年： $1.2x=120$ ， $1.1y=88$ ，和为 $208$ 。只答 $100,80$ ，回答的是去年而不是今年。

本题结论

今年外来120万人，外出88万人。

6. 形式方程有解，不代表计划可行

先后工作的时间可以相加，但工作天数必须非负。出现负天数时，应回查数量关系与原始数据；不能为了得到正数自行改题。也可以用效率上下界在求解前检查可行性。

辨析 07 一份绿化计划能否执行依据知识清单原题改编·条件辨析

题目

一块面积 $12$ 公顷的荒地，计划甲队先绿化，乙队接替，共用 $20$ 天。甲每天绿化 $0.75$ 公顷，乙每天绿化 $0.8$ 公顷。设甲、乙分别工作 $x,y$ 天，列出方程组，并判断这个计划是否可行。

答案与解析

解析

先后工作，时间不重叠，故 $x+y=20$ ；面积相加，故 $0.75x+0.8y=12$ 。形式方程组为

\left\{\begin{aligned}x+y&=20,\\0.75x+0.8y&=12.\end{aligned}\right.

代入 $y=20-x$ ，得 $0.75x+16-0.8x=12$ ，所以 $x=80,y=-60$ 。负工作时间不符合题意，计划不可行。

也可直接判断：连续工作 $20$ 天，即使每天都按较慢的 $0.75$ 公顷计算，也至少绿化 $15$ 公顷，已经超过题设的 $12$ 公顷。矛盾在给定条件，而不是消元算法。

本题结论

可列上述形式方程组，但没有满足工作时间非负的实际方案。