命题的证明

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“是不是命题”“命题是真是假”“怎样证明它”是三个不同的问题。先把条件与结论分清，再决定需要一般推理，还是只要一个合格的反例。

一、知识点概念与依据

1. 命题、题设与结论

对一件事作出确定判断的语句，叫作命题。命题可以正确，也可以错误；疑问或操作指令没有作出这种判断。

要分清的问题	看什么	不要混淆
是不是命题	是否作出完整的肯定或否定判断	判断错误，不等于没有判断
题设是什么	已知条件、对象范围	不只是摘出一个对象名
结论是什么	声称能由条件推出的事项	还没证明时，不能先当作已知

命题常可写成“如果……，那么……”。“如果”后是题设，“那么”后是结论。共同范围也要保留，如“在同一个三角形中”“两直线被同一条截线所截”。

在本章通常的确定判断语句中：命题是陈述句，但陈述句不一定已经给出所需的确定判断；疑问句、祈使句不是命题。辨认语句类型与判断真假，应分两步进行。

2. 真命题、假命题与反例

类型	条件与结论的关系	怎样说明
真命题	范围内任意满足题设的对象，结论都成立	从定义、基本事实或已证结论进行一般推理
假命题	至少存在一个满足题设而不满足结论的对象	举出一个合格反例

反例必须同时通过两项检查：符合题设，违反结论。不满足原条件的对象，不是反例；满足条件且也满足结论，只是一个成立的例子。

一个反例足以否定“所有情形都成立”，但几个成立的例子不足以证明“所有情形都成立”。观察、测量可以帮助提出猜想，不能代替一般证明。

3. 逆命题与逆定理

把原命题的整个结论作为新的题设，把原来的整个题设作为新的结论，就得到逆命题。共同讨论范围不变，交换条件与结论，不是把词语逐个加“不”。

原推理	逆推理	真假是否自动相同
如果 $P$ ，那么 $Q$	如果 $Q$ ，那么 $P$	不自动相同，须分别判断

在本章条件、结论明确的命题中，每个命题都能写出逆命题。但“真命题的逆命题一定真”“假命题的逆命题一定假”都不成立。一个结果可能由不同条件导致，不能从结果倒推出唯一的原条件。

定理的逆命题另经证明为真，才成为它的逆定理。互逆定理一定是互逆命题；互逆命题未必都是定理。

4. 公理、定理、推论与证明

名称	在推理中的地位	使用时要检查
基本事实或公理	推理的出发依据，如两点确定一条直线	对象范围和适用条件
定理	从基本事实或已证真命题推导出的真命题	本题是否满足其全部前提
推论	从定理直接推出、可继续使用的真命题	所依赖定理的条件仍然需要
证明	从题设和可靠依据，逐步推到结论的过程	每一步为什么成立，是否循环使用目标

若每个结论都只能依赖另一个尚未证明的结论，推理便无法开始，所以需要基本事实作起点。此后的定理、推论必须经由合法推理得到，不能把一次测量或几个例子直接当成定理。

几何图应符合题设并保持一般性。题目只说斜截线，就不能擅自画成垂线后把90°当已知；画得像等腰、像平行，也不能补出题干没有的关系。

5. 分析法、综合法与反证法

方法	思考方向	正确用法
分析法	从目标倒找足以保证目标成立的条件	“要证这个，可先证什么？”直到接上已知
综合法	从已知逐步向结论推进	每一步写出依据，方向不能倒用
分析综合法	两端靠拢	常用“逆推找路，顺推写证明”
反证法	保留题设，暂设结论不成立	推出矛盾，撤销否定假设，得到原结论

分析法是在寻找目标成立的充分路线，不是先宣布目标成立；反证法是假设目标的反面，与分析法不同。若从“目标成立”推出一个已知事实，通常还不足以证明目标，因为推理未必能反向成立。

反证时，否定必须完整。例如“至少一个”的反面是“一个也没有”，“至多一个”的反面是“至少两个”；证明唯一性还须分别处理存在与至多一个。

保留原题设，准确写出“结论不成立”的完整假设。
从题设和新假设出发，按定义、基本事实或定理推理。
明确指出哪两件事不能同时成立，再撤销假设，写回原结论。

6. 辅助构造与面积法

辅助线提供新对象，不提供任意新性质。 连接两点只得到连接线；取线段中点才能直接得到两段相等；过线外点作平行线，才能使用该平行关系。构造先写清楚，随后再调用定理推导其他性质。

构造或转化	可以直接获得什么	仍需另外证明什么
连接已有两点	一条指定线段	它是否垂直、平分、等长
取一条线段的中点	该点在线段上，两部分等长	与其他线段的关系
过线外点作平行线	经过此点、与给定线平行	其他线组的平行、目标角关系
同一三角形换底、高	两种合法面积表达表示同一面积	每个底与对应高确实垂直
同底等高换三角形	两个三角形面积相等	顶点到同一底线的垂直距离相等

面积法可以用同一量的不同表达列式，也可以把一个图形割补成等面积图形。比如同一三角形用两组底高计算：

S=\frac12a h_a=\frac12b h_b.

底和高必须属于同一个三角形，并且成对垂直。分块相加时，各块内部不能重叠；换一块时，共同部分要保留。涉及角平分线等距离、勾股、正方形和圆的综合应用，分别放在相应性质建立后的章节中。

7. 开放条件题：选完条件，还要证明足够

有些题给出几条关系，让你选其中一部分作条件、另一部分作结论。写出的句子通顺，不等于它是真命题。

固定公共背景，如原有的平行、共线和点序。
把选中的关系写在“已知”，把剩下的关系写在“求证”。
证明时只使用已知和合法推导，不能偷用待证关系。
只证明一种选择，就只能保证这一种；若说“任意两条都可以”，必须分别核验。

寻找同一个中间量常有帮助：若确实已证明三条关系分别等价于 $x=y$ 、 $y=z$ 、 $x=z$ ，任意两条才能推出第三条。不能仅因为原句都含等号，就断言它们互相等价。

二、考点方法先于例题

1. 将隐含条件与结论写完整

先找讨论对象，再找作为前提的性质和声称得到的结果。补全通常省略的指代，不改变原条件；只问改写时，即使原命题是假，也不能擅自修成真命题。

例题 01 两点确定直线的题设和结论知识清单例题·改编，明确两点不同

题目

写出命题“过两个不同的点，有且只有一条直线”的题设和结论。

答案与解析

解析

可改写成：“如果给定两个不同的点，并讨论经过它们的直线，那么这样的直线存在且唯一。”

题设需要说明给定的不同点及所讨论的直线；结论含两层：“有”表示存在，“只有一条”表示唯一。若两点重合，过同一个点可以有无数条直线，不能省略不同点这一条件。

本题结论

题设：给定两个不同的点，讨论经过它们的直线。结论：这样的直线存在且唯一。

2. 判断真假：一般依据与合格反例分开

判真需要对全部合格对象成立的理由；判假只需一个符合条件又违反结论的反例。涉及其他图形的性质时，要核其条件，不把特殊图形的结论推广给整类图形。

例题 02 三个命题分别判断知识清单例题

题目

判断下列命题的真假；若为假，请举出反例。

（1）锐角的余角小于它本身。

（2）等边三角形都相似。

（3）对角线相等的四边形是矩形。

答案与解析

解析

（1）假。取锐角 $30^\circ$ ，余角为 $60^\circ$ ，反而大于它本身。既满足“锐角”，又违反“小于”。

（2）真。等边三角形的三个角都是 $60^\circ$ ，任意两个等边三角形都有对应角相等，可按两角对应相等判定相似。边长可以不同，相似不等于全等。

（3）假。非矩形的等腰梯形也有相等的两条对角线，却没有矩形的四个直角。这一反例同时满足题设、否定结论。

本题结论

（1）假，反例为30°及其余角60°；（2）真；（3）假，反例为非矩形的等腰梯形。

例题 03 四个几何判断 2024 湖南

题目

（2024 湖南）下列命题中,正确的是()

A.两点之间,线段最短

B.菱形的对角线相等

C. 正五边形的外角和为 $720^{\circ}$

D. 直角三角形是轴对称图形

答案与解析

解析

A是“两点之间，线段最短”这一基本事实，正确。

B把菱形的特殊情形当成一般性质：菱形的对角线不一定相等，只有进一步成为正方形时才相等。

C中凸正五边形按每个顶点取一个外角，转一周的外角和为 $360^\circ$ ，不是720°。

D把等腰直角三角形的对称性推广给所有直角三角形。两条直角边不等时，三边不同，不是轴对称图形。

本题结论

选 A。

3. 写逆命题时，保留共同背景

先将原条件与结论完整列出，再交换；“在同一三角形中”“被同一截线所截”这类共同范围不交换、不删除。写完后重新核验真假，不继承原命题的真值。

例题 04 平行线性质的逆命题 2024 江苏宿迁

题目

(2024 江苏宿迁) 命题“两直线平行, 同位角相等”的逆命题是 ____.

答案与解析

解析

共同背景是两条直线被同一条第三直线所截。原条件为两条被截线平行，原结论为同位角相等。

交换后：“如果两条直线被第三条直线所截，所得同位角相等，那么这两条被截线平行。”它是已学的平行线判据，因此也为真，不是仅凭原性质为真就推定它真。

本题结论

同位角相等，两直线平行。

4. 几何证明：写对象，列依据，走到目标

先把题设译成线、角关系，写出求证。每次使用性质时核对本步前提；更换截线或角名时交代来源。最后若要证明垂直，应先得到明确的直角，再由定义得出结论。

下面第一题调用三角形内角和为180°；后两题只需平行线判定、性质和等量代换。尚未学习三角形内角和时，可先读其余两题。

例题 05 同旁内角的内部平分线知识清单例题·明确内部平分线

题目

求证：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的内部平分线互相垂直。

如图， $AB\parallel CD$ ， $EF$ 与它们分别交于 $M,N$ 。 $MG$ 平分 $\angle BMN$ ， $NG$ 平分 $\angle DNM$ ，两平分线交于 $G$ 。求证 $MG\perp NG$ 。

答案与解析

解析

按不同依据分四步：

$AB\parallel CD$ ，所以 $\angle BMN+\angle DNM=180^\circ$ ，依据同旁内角互补。
由内部平分线的定义， $\angle GMN=\frac12\angle BMN$ ， $\angle GNM=\frac12\angle DNM$ 。
两式相加， $\angle GMN+\angle GNM=90^\circ$ 。由 $\triangle MNG$ 内角和， $\angle MGN=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ 。
由垂直的定义， $MG\perp NG$ 。

不能先把图画成截线垂直平行线的特殊情形，再将所得结果当作一般证明。

本题结论

$MG\perp NG$ 。

例题 06 先倒找路线，再顺写证明知识清单例题

题目

如图, 已知 $BD \perp AC$ , $EF \perp AC$ , $D$ 、 $F$ 为垂足, $G$ 是 $AB$ 上一点, 且 $\angle FEC = \angle GDB$ . 求证: $\angle AGD = \angle ABC$ .

答案与解析

解析

先分析。 要证明 $\angle AGD=\angle ABC$ ，可先证 $GD\parallel BC$ ；为此，可证 $\angle GDB=\angle DBC$ 。已知前一个角等于 $\angle FEC$ ，于是只需把 $\angle FEC$ 与 $\angle DBC$ 联系起来。原有共同垂线正能得到 $BD\parallel EF$ ，路线接上已知。

再综合顺写。

步骤	结论	依据
1	$BD\parallel EF$	两线同垂直于 $AC$
2	$\angle FEC=\angle DBC$	$BC$ 作截线，平行线同位角相等
3	$\angle GDB=\angle DBC$	与已知等角等量代换
4	$GD\parallel BC$	$BD$ 作截线，内错角相等
5	$\angle AGD=\angle ABC$	$AB$ 作截线，同位角相等

倒推是在选择足够的路线，正式证明则从题设出发；不能先假定 $GD\parallel BC$ 已经成立。

本题结论

$\angle AGD=\angle ABC$ 。

例题 07 用同一个中间角衔接知识清单例题

题目

如图, $AC \parallel DF$ , 点 $B \text{、} E$ 分别是 $AC \text{、} DF$ 上的点, 连接 $BD \text{、} CE$ , 若 $\angle 1 = 80^{\circ}, \angle 2 = 100^{\circ}$ , 求证: $\angle C = \angle D$ .

答案与解析

解析

$\angle1+\angle2=80^\circ+100^\circ=180^\circ$ 。图中这两个角是 $AF$ 截 $BD,CE$ 所得的同旁内角，所以 $BD\parallel CE$ 。

以 $DF$ 为截线，得到 $\angle D=\angle CEF$ ；又由已知 $AC\parallel DF$ ，以 $CE$ 为截线，得到 $\angle C=\angle CEF$ 。两个目标角都等于同一个中间角，故 $\angle C=\angle D$ 。

本题结论

$\angle C=\angle D$ 。

5. 反证：准确否定，再指出矛盾的双方

结论含“至少”“至多”时，先写出它的完整反面。推到矛盾后，要指出与哪个已知、定义或定理冲突，最后撤销假设，而不是直接宣布原结论显然正确。

例题 08 至少有一个内角不大于60° 知识清单例题·合组

题目

证明：三角形中至少有一个内角不大于 $60^\circ$ 。

答案与解析

解析

保留它们是同一个三角形的三个内角，假设结论不成立，即三个内角全部大于 $60^\circ$ 。则

\angle A+\angle B+\angle C>60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ.

但三角形内角和定理又给出 $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ 。两式矛盾，故假设不成立，至少有一个内角不大于60°。

这是反证法：先否定结论，再推出矛盾。不是单纯的大小比较；也不是从目标倒找充分条件的分析法。等边三角形的三个角恰为60°，说明结论不能擅自加强为“至少一个小于60°”。

本题结论

三角形中至少有一个内角小于或等于60°，证明方法为反证法。

三、坑点辨析与边界

1. 假判断仍可能是命题

先判断有没有作出断言，再判断断言对不对。命令和问句不是因为“算错”而被排除；假命题也不是没有判断。

辨析 01 逐句识别知识清单例题

题目

下列哪些语句是命题？填序号。

① 我是中国人。

② 你吃饭了吗？

③ 延长线段 $AB$ 。

④ 明天可能下雨。

⑤ 若 $a^2>b^2$ ，则 $a>b$ 。

⑥ 把 $a$ 提出来。

⑦ 内错角相等吗？

⑧ 若 $\angle1=50^\circ$ ， $\angle2=50^\circ$ ，则 $\angle1=\angle2$ 。

⑨ 直角都相等。

答案与解析

解析

①⑤⑧⑨都作出完整判断。①的真假随说话者而定，但仍有判断性；⑤虽不能保证正确，仍是命题。

②⑦是询问，③⑥是操作指令，没有断言某种关系成立。④按本题“确定判断”的初中题型口径，不作为命题；不要将这一题型约定推广为所有关于可能性的逻辑讨论。

本题结论

①⑤⑧⑨。

2. 改写不是替原命题补条件

把原句变成“如果……，那么……”只是在显露条件和结论。若加上原来没有的条件，把假命题修成真命题，就已经换题了。

辨析 02 只改写，不修正知识清单例题

题目

将下列命题改写为“如果……，那么……”：

（1）整数一定是有理数。

（2）两个锐角互余。

（3）等角的补角相等。

答案与解析

解析

（1）条件是“一个数为整数”，结论是“它是有理数”。

（2）条件仅是“两个角都是锐角”，结论是“它们互余”。原判断不一定真，但不能擅加“两角和90°”来修正它。

（3）可以比较两个相等角的各自补角，也可以把被比较的两个角直接称为“等角的补角”；两种说法须保持对应对象一致。

本题结论

（1）如果一个数是整数，那么它是有理数。

（2）如果两个角都是锐角，那么它们互余。

（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等。也可写：如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个补角相等。

3. 原命题真，不保证逆命题真

交换后的命题需要独立依据。找反例时，检查它是否满足交换后的新条件，而不是仍检查原条件。

辨析 03 三个逆命题知识清单例题

题目

写出下列命题的逆命题，并判断逆命题真假：

（1）在一个三角形中，等角对等边。

（2）四边相等的四边形是菱形。

（3）如果 $x=3$ ，那么 $x^2=9$ 。

答案与解析

解析

（1）共同范围“在一个三角形中”保持，交换成“等边对等角”，由等腰三角形性质，为真。

（2）交换成“菱形的四边相等”，由菱形性质，为真。

（3）交换成“如果 $x^2=9$ ，那么 $x=3$ ”，为假。方程 $x^2=9$ 有两个解 $3,-3$ ，其中 $-3$ 满足新题设，却不满足新结论。原命题真，逆命题却假；把二者互换，也就得到“原命题假，逆命题真”的例子。

本题结论

（1）在一个三角形中，等边对等角，真；（2）菱形的四边相等，真；（3）若 $x^2=9$ ，则 $x=3$ ，假，反例 $x=-3$ 。

4. 否定严格不等式时，别漏掉等号

反证要排除结论不成立的全部情形。只排除其中一种情况，不能保证原结论。原题设仍然保留，不能连条件一起否定。

辨析 04 反证的第一步知识清单例题

题目

用反证法证明：“在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A$ 、 $\angle B$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ ，若 $\angle A > \angle B$ ，则 $a > b$ 。”第一步应假设____。

答案与解析

解析

需要否定的是结论 $a>b$ ，它的完整反面是 $a\le b$ ，包含 $a=b$ 和 $a<b$ 。只假设 $a<b$ 会漏掉相等情形。

原条件 $\angle A>\angle B$ 保留。题目只问第一步，不需要在这里另证整个角大边大的定理。

本题结论

假设 $a\le b$ 。

5. 观察到规律，还缺一般证明

先根据若干实例提出猜想，再用含任意允许参数的式子证明。计算一个新例子仍然只是验证，不能自动覆盖所有正整数。

辨析 05 连续奇数平方差 2023 浙江舟山

题目

观察： $3^2-1^2=8\times1$ ， $5^2-3^2=8\times2$ ， $7^2-5^2=8\times3$ ， $9^2-7^2=8\times4$ ，……

（1）写出 $19^2-17^2$ 的结果。

（2）归纳出一个一般结论，用含正整数 $n$ 的等式表示。

（3）运用有关知识，推理说明结论正确。

答案与解析

解析

（1） $19^2-17^2=(19+17)(19-17)=36\times2=72$ ，对应第9组。

（2）第 $n$ 组的两个奇数为 $2n+1$ 、 $2n-1$ ，猜想平方差为 $8n$ 。

（3）对任意正整数 $n$ ，由平方差公式：

\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)]\,[(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n\times2=8n.\end{aligned}

推导对任意允许的 $n$ 成立，这才完成一般证明。

本题结论

（1）72；（2） $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ ， $n$ 为正整数；（3）由平方差公式证明成立。

6. 合作时间短，不能直接指定某一台最快

相同工作量下，时间越短，总效率越高。比较含同一台机器的两组合作效率，可以消去共同的效率；不能直接相减时间，更不能从最短合作组合里随意挑一台。

辨析 06 五台收割机的效率 2024 内蒙古赤峰

题目

（2024内蒙古赤峰）编号为A,B,C,D,E的五台收割机,若同时启动其中两台收割机,收割面积相同的田地所需时间如下表:

收割机编号	A,B	B,C	C,D	D,E	A,E
所需时间/小时	23	19	20	22	18

则收割最快的一台收割机编号是____。

答案与解析

解析

将相同田地的工作量记为1，五台效率分别为正数 $a,b,c,d,e$ 。合作效率是对应时间的倒数，比较如下：

比较的组合	总效率关系	消去共同效率
BC用19小时，AB用23小时	$b+c>b+a$	$c>a$
BC用19小时，CD用20小时	$b+c>d+c$	$b>d$
CD用20小时，DE用22小时	$c+d>e+d$	$c>e$
AE用18小时，AB用23小时	$a+e>a+b$	$e>b$

因此 $c>e>b>d$ ，又有 $c>a$ ，C比其余四台都快。不必逐一算出每台效率。AE合作时间最短，并不意味着A或E单机最快。

本推理依赖同样工作量及合作效率相加；若田地面积不同，不能只按时间这样比较。

本题结论

收割最快的是 C。

7. 反例必须真正违反结论

“不小于”包含等于。候选例子若只是满足题设，却仍满足原结论，就不是反例；只说两个角邻补，也没有确定它们谁大谁小。

A. $\angle \alpha = 60^{\circ}$ ， $\angle \alpha$ 的补角 $\angle \beta = 120^{\circ},\angle \beta >\angle \alpha$
B. $\angle \alpha = 90^{\circ}$ , $\angle \alpha$ 的补角 $\angle \beta = 90^{\circ}$ , $\angle \beta = \angle \alpha$
C. $\angle \alpha = 100^{\circ},\angle \alpha$ 的补角 $\angle \beta =$ $80^{\circ},\angle \beta < \angle \alpha$
D.两个角互为邻补角

答案与解析

解析

需要同时满足 $\alpha+\beta=180^\circ$ ，并使 $\beta\ge\alpha$ 不成立。

A中 $120^\circ>60^\circ$ ，仍支持原结论；B中 $90^\circ=90^\circ$ ，也属于“不小于”。C中 $100^\circ+80^\circ=180^\circ$ ，但 $80^\circ<100^\circ$ ，同时满足条件、违反结论。D只给邻补关系，没有给违反大小关系的具体情形。

本题结论

选 C。