三角函数把角的大小与边的比联系起来。计算前先找到直角和目标角；测量问题则要把视线、方向、坡面转成明确的直角三角形。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 对边、邻边、斜边与三个比

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$。对锐角 $A$ 而言，记对边 $BC=a$、邻直角边 $AC=b$、斜边 $AB=c$。

名称	记号	对应边比
正弦	$\sin A$	$a/c$，对边比斜边
余弦	$\cos A$	$b/c$，邻直角边比斜边
正切	$\tan A$	$a/b$，对边比邻直角边

先认直角，再认目标角，最后认边。 斜边永远对着直角；对边、邻边则随目标角改变。边长须用相同单位，三个比都没有单位。

为什么只由角决定？ 两个直角三角形若有一个锐角相等，由 AA 可知相似，对应边同比，因此上述三个边比相等。三角形放大或缩小，函数值不变。锐角 $A$ 是自变量，$\sin A,\cos A,\tan A$ 是随它确定的函数值；$\sin A$ 是完整记号，不是“sin乘A”。

2. 范围与增减变化

锐角范围 $0^\circ<A<90^\circ$	函数值范围	$A$ 增大时
正弦	$0<\sin A<1$	增大
余弦	$0<\cos A<1$	减小
正切	$\tan A>0$，可以超过1	增大

范围的依据： 两条直角边为正且都短于斜边，所以正弦、余弦在0与1之间；两直角边的比只要求为正。

增减的依据： 固定邻直角边为1，锐角增大时，对边随射线向上抬升而增大，故正切增大。令 $t=\tan A>0$，由勾股定理得

$$\sin^2 A=\frac{t^2}{1+t^2}=1-\frac1{1+t^2},\qquad \cos^2 A=\frac1{1+t^2}.$$

$t$ 增大时，前式增大、后式减小；正弦与余弦均为正，取正平方根后增减方向不变。这也说明：已知锐角的函数值，至多对应一个锐角。又因 $\tan45^\circ=1$，$\tan A<1$、$=1$、$>1$ 分别对应 $A<45^\circ$、$=45^\circ$、$>45^\circ$。

3. 互余关系与同角关系

在同一个直角三角形中，$A+B=90^\circ$，换角后两直角边的对、邻角色交换：

$$\sin A=\cos B,\qquad \cos A=\sin B,\qquad \tan A\tan B=1.$$

同一锐角还满足

$$\sin^2 A+\cos^2 A=1,\qquad \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}.$$

第一式来自 $(a^2+b^2)/c^2=1$，第二式来自 $(a/c)/(b/c)=a/b$。这里 $\sin^2 A$ 表示 $(\sin A)^2$，不是 $\sin(A^2)$。

4. 特殊角的函数值

30度与60度三角尺的三边为1、根号3、2

等腰直角三角尺的两直角边为1，斜边为根号2

先推导，再记忆。 边长2的等边三角形作高，得到短直角边1、长直角边 $\sqrt3$、斜边2的直角三角形；两直角边均为1的等腰直角三角形，斜边为 $\sqrt2$。代入三个定义即可得到全部九个值。

函数	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$
$\cos$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$
$\tan$	$\sqrt3/3$	$1$	$\sqrt3$

按角度由小到大，正弦可记成 $\sqrt1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2$，余弦倒过来；正切可记成 $\sqrt3/3,\sqrt9/3,\sqrt{27}/3$。这些排列只帮助回忆，忘记时仍可从三角尺恢复。

5. 解直角三角形需要哪些条件

“解三角形”是求出未知的边与角。已知直角后，还需两个独立条件，且至少一个是边长；仅有两个锐角只能确定形状，不能确定大小。

已知条件	先求什么	再求什么
斜边 $c$ 和锐角 $A$	$B=90^\circ-A$	$a=c\sin A,\ b=c\cos A$
邻直角边 $b$ 和锐角 $A$	$B=90^\circ-A$	$a=b\tan A,\ c=b/\cos A$
对边 $a$ 和锐角 $A$	$B=90^\circ-A$	$b=a/\tan A,\ c=a/\sin A$
两边	勾股定理求第三边	由合适的边比求锐角，再取余角

检查边长为正、斜边最长；含未知角的边比要与该角的对边、邻边相配。两条腿用平方和，斜边与一条腿用平方差。

6. 仰角、俯角、方向角与坡度

概念	从哪里量角	转化时注意
仰角	视线在观测点水平线上方，与水平线夹角	求得的常是目标比眼睛高出的部分
俯角	视线在观测点水平线下方，与水平线夹角	平行水平线可把它转成目标处仰角；不是与竖直线夹角
方向角	题目指定的正北、正南、正东或正西方向	如北偏东30°，不能直接当作与正东夹30°
坡角 $\theta$	坡面与水平面的夹角	坡角是角度，坡度不是角度
坡度 $i$	竖直高度 $h$ 与水平宽度 $l$ 的比	$i=h/l=\tan\theta$；分母不是坡长

方向名称的第一个方向决定基准：“北偏东”从正北量，“东偏北”从正东量，同一射线的这两个偏角互余。

仰角、俯角是在竖直截面内看高低，方位角是在平面图内看方向，两种“水平”不要混用。高度题要分清物体总高、相对眼高和观测仪器高度；同一方向反向观察时，北偏东变为南偏西，偏角大小不变。

7. 六种测高模型：用共同距离或共同高度联立

先检查图中的角与高度是从哪里量的，再列式。下面的 $h,h_1,a,a_1,a_2,x$ 都以各图标记为准；不同图的同一字母不代表同一段长度。

1. 观测点在垂足两侧

观测点在垂足两侧的高度、水平距离和角度标记

$h/\tan\alpha+h/\tan\beta=a$。两个水平距离相加。

2. 观测点在垂足同侧

观测点在垂足同侧的高度、水平距离和角度标记

$h/\tan\alpha-h/\tan\beta=a$。远处角小、近处角大，两水平距离作差。

3. 在高处同时看顶部与底部

在高处同时看顶部与底部的高度、水平距离和角度标记

先由俯角求 $x=a/\tan\beta$，再求 $h_1=x\tan\alpha$；总高 $h=a+h_1$。

4. 两处等高观测，仪器离地

两处等高观测，仪器离地的高度、水平距离和角度标记

$h_1/\tan\alpha-h_1/\tan\beta=a_1$，解出相对眼高 $h_1$ 后，总高 $h=a_2+h_1$。

5. 两处不同高度看同一顶部

两处不同高度看同一顶部的高度、水平距离和角度标记

$x=h/\tan\alpha=(h-a)/\tan\beta$。两个三角形共用水平距离，竖直差为 $a$。

6. 同处看两个不同高度的目标

同处看两个不同高度的目标的高度、水平距离和角度标记

$x=h/\tan\alpha=(h+a)/\tan\beta$。上方目标较高，对应较大的仰角。

二、考点 识别、方法与例题

1. 直接求值与特殊角计算

计算边比时先写“在某直角三角形中”，再对应边长；特殊角表达式先逐项代值，保留括号，最后合并。看到平方与绝对值之和为0，应先利用每项非负分别令其为0，再识别锐角。

例题 01 已知两直角边 知识清单例题

题目

已知在 Rt△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c, ∠C = 90°, $a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt{3}$ , 求 ∠A 的正弦、余弦、正切的值.

答案与解析

解析

由勾股定理，$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt5$。对角 $A$ 的对边为 $a$，邻直角边为 $b$，所以

$$\sin A=\frac{\sqrt2}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{10}}5,\quad\cos A=\frac{\sqrt3}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{15}}5,\quad\tan A=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3.$$

本题结论

$\sin A=\sqrt{10}/5$，$\cos A=\sqrt{15}/5$，$\tan A=\sqrt6/3$。

例题 02 直角顶点改变后的边比 2024云南

题目

（2024云南）如图，在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle B=90^{\circ},AB=3,BC=4$ ，则 $\tan A=$ （ ）

A. $\frac{4}{5}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{4}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

直角在B的三角形ABC

答案与解析

解析

这里直角在 $B$，斜边是 $AC$。对锐角 $A$ 而言，$BC$ 是对边、$AB$ 是邻直角边，所以 $\tan A=BC/AB=4/3$。不必先求斜边。

本题结论

C。

例题 03 把函数值代入表达式 知识清单例题与2024天津题合组，保留原选择项

题目

计算：

（1）$2\sin30^\circ+3\cos60^\circ-4\tan45^\circ$。

（2）$\tan60^\circ-(4-\pi)^0+2\cos30^\circ+(1/4)^{-1}$。

（3）（2024天津）$\sqrt2\cos45^\circ-1$ 的值为（　）。

A. $0$　B. $1$　C. $\sqrt2/2-1$　D. $\sqrt2-1$

答案与解析

解析

（1）$2\times\frac12+3\times\frac12-4\times1=-\frac32$。

（2）$4-\pi\ne0$，故零次幂为1；$(1/4)^{-1}=4$。原式 $=\sqrt3-1+\sqrt3+4=2\sqrt3+3$。

（3）$\sqrt2\times\frac{\sqrt2}2-1=0$，选A。B漏减1，C把乘积的根号2误漏，D把 $\cos45^\circ$ 误作1。

本题结论

（1）$-3/2$；（2）$2\sqrt3+3$；（3）A，0。

例题 04 非负式确定三角形的角 知识清单例题

题目

若 $(3\tan A-\sqrt{3})^{2}+|2\sin B-\sqrt{3}|=0$ ，则以锐角A、B为内角的△ABC的形状是____。

答案与解析

解析

两个非负项之和为0，必须各自为0：$3\tan A-\sqrt3=0$，$2\sin B-\sqrt3=0$。因此 $\tan A=\sqrt3/3$、$\sin B=\sqrt3/2$。由 $A,B$ 都是锐角及函数的严格增减性，得到 $A=30^\circ,B=60^\circ$，所以 $C=90^\circ$。

本题结论

直角三角形，∠C=90°。

2. 已知一个比，把有关边设为共同倍数

例如 $\sin A=3/5$ 表示对边与斜边同比，不表示两边就是3和5。可设为 $3t,5t$，由勾股定理求出另一腿 $4t$，再利用中点、已知长度等恢复目标比。

例题 05 中线提供了哪一倍长度 知识清单例题

题目

如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AM 是 BC 边上的中线, $\sin\angle CAM=\frac{3}{5}$ , 求 tan B 的值.

直角三角形ABC中，AM连接A与BC的中点M

答案与解析

解析

在直角 $\triangle ACM$ 中，设 $CM=3t,AM=5t$，其中 $t>0$。勾股定理给出 $AC=4t$。因为 $AM$ 是 $BC$ 边上的中线，$BC=2CM=6t$。回到直角 $\triangle ABC$，$\tan B=AC/BC=4t/(6t)=2/3$。

本题结论

$2/3$。

3. 搬角：等角或互余，把目标放进好算的三角形

斜边上的高常产生与原锐角相等的角，圆中可用同弧所对圆周角相等。先证明角关系，再改写函数；每次换三角形后重新认斜边，不能沿用前一个三角形的边名角色。

例题 06 斜边高中的共同锐角 知识清单例题

题目

如图所示, 在 Rt△ABC 中, $\angle ACB = 90^{\circ}, CD \perp AB$ 于点 D, $\sin A=\frac{3}{5}, BD=4$ , 则 BC 的长为 ____.

直角三角形ABC中，从C向斜边AB作高CD

答案与解析

解析

原三角形中 $A+B=90^\circ$，所以 $\cos B=\sin A=3/5$。在直角 $\triangle BCD$ 中，$BC$ 是斜边，$\cos B=BD/BC$，因此 $4/BC=3/5$，得 $BC=20/3$。

也可由斜边高的射影关系 $BC^2=AB\cdot BD$，结合 $BC/AB=3/5$，得到 $BC=(3/5)^{-1}BD=20/3$。两法都须分清原形与小形的斜边。

本题结论

$BC=20/3$。

例题 07 高分出的角与原来的角 知识清单例题

题目

如图所示,在直角三角形 ABC 中, $\angle ACB=90^{\circ},CD\perp AB$ 于 D,已知 $AC=\sqrt{5},AB=3$ ,那么 $\sin\angle ACD$ 的值为 ____.

直角三角形ABC及斜边上的垂足D

答案与解析

解析

$\angle ACD+\angle BCD=90^\circ$，而 $\angle B+\angle BCD=90^\circ$，相减得 $\angle ACD=\angle B$。于是 $\sin\angle ACD=\sin B=AC/AB=\sqrt5/3$。

本题结论

$\sqrt5/3$。

例题 08 借直径得到直角 知识清单例题

题目

如图, $\odot O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆, $AD$ 是 $\odot O$ 的直径, $\odot O$ 的半径为 $\frac{3}{2}, AC = 2$ , 求 $\sin B$ 的值.

圆O内的三角形ABC和直径AD

答案与解析

解析

连接 $CD$。$AD$ 是直径，故 $\angle ACD=90^\circ$，且 $AD=2R=3$。按图，$B,D$ 在弦 $AC$ 同侧的圆弧上，同弦所对圆周角相等，$\angle ABC=\angle ADC$。因此 $\sin B=\sin\angle ADC=AC/AD=2/3$。

本题结论

$2/3$。

4. 目标角不在直角三角形中，先作高

从目标角另一边上的已知点向一边作垂线，把目标放进一个直角三角形。网格题也可找垂足，再用小格的勾股关系求边；若另有角相等、平行或中点条件，先把它们转成可计算的长度。

例题 09 斜放网格中的正切 知识清单例题

题目

如图, 在 $5 \times 5$ 的正方形网格中, 每个小正方形的边长为 $1, \triangle ABC$ 的三个顶点 $A, B, C$ 均在格点上, 则 $\tan A$ 的值为 ____.

正方形网格中的三角形ABC

答案与解析

解析

过 $B$ 作 $BD\perp AC$。由网格，$AC$ 沿方格对角方向；垂线方向对应横纵各1格，故 $BD=\sqrt2$。从 $A$ 到垂足 $D$ 横纵各3格，故 $AD=3\sqrt2$。于是 $\tan A=BD/AD=1/3$。

本题结论

$1/3$。

例题 10 角BAD的邻边先补出来 知识清单例题

题目

如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, sin B=3/5, 点 D 在 BC 边上, 且 ∠ADC=45°, DC=6, 求 ∠BAD 的正切值.

直角三角形ABC中，D位于BC上，连接AD

答案与解析

解析

从D向AB作垂线DE后的辅助图

$\angle ADC=45^\circ$ 且 $C$ 为直角，所以 $AC=DC=6$。由 $\sin B=AC/AB=3/5$ 得 $AB=10$，再由勾股定理得 $BC=8$，故 $BD=2$。

作 $DE\perp AB$。在直角 $\triangle BDE$ 中，$DE=BD\sin B=6/5$；$\cos B=BC/AB=4/5$，故 $BE=BD\cos B=8/5$。于是 $AE=AB-BE=42/5$，所求 $\tan\angle BAD=DE/AE=1/7$。

本题结论

$1/7$。

例题 11 七巧板中的对角线交点 2024江西

题目

(2024 江西) 将图 1 所示的七巧板, 拼成图 2 所示的四边形 ABCD, 连接 AC, 则 $\tan \angle CAB =$ ____ .

原正方形七巧板的七块分割图

图1：原正方形七巧板。

七巧板拼成的四边形ABCD及线段AC、BD

图2：拼成的四边形ABCD。

答案与解析

解析

由七巧板拼法，$\triangle ABD,\triangle BCD$ 是全等的等腰直角三角形，$AB=BD=CD$，且 $AB\perp BD,CD\perp BD$。所以 $AB\parallel CD$ 且 $AB=CD$，四边形是平行四边形。

设对角线交于 $O$，则 $BO=BD/2=AB/2$。在直角 $\triangle ABO$ 中，$\angle BAO=\angle CAB$，故 $\tan\angle CAB=BO/AB=1/2$。不能把整条 $BD$ 当作该小三角形的对边。

本题结论

$1/2$。

例题 12 锐角三角形先分成两个直角三角形 知识清单例题

题目

在锐角三角形 $ABC$ 中, $\angle C = 45^{\circ}, AC = \sqrt{6}, AB = 2$ , 求这个三角形未知边的边长和未知角的度数.

答案与解析

解析

从锐角三角形的A向BC作高AD，垂足在BC内部

因为原三角形是锐角三角形，作 $AD\perp BC$ 时垂足在 $BC$ 内。由 $C=45^\circ$、$AC=\sqrt6$ 得 $AD=CD=\sqrt6\sin45^\circ=\sqrt3$。

在直角 $\triangle ABD$ 中，$AB=2$，所以 $BD=\sqrt{4-3}=1$，$\sin B=AD/AB=\sqrt3/2$，故 $B=60^\circ$。于是 $A=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ$，$BC=CD+BD=\sqrt3+1$。

本题结论

$\angle A=75^\circ$，$\angle B=60^\circ$，$BC=\sqrt3+1$。

例题 13 两腰相等时，高也是中线 2024甘肃临夏

题目

（2024甘肃临夏州）如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=AC=5, \sin B=\frac{4}{5}$ ，则BC的长是 （）

A.3

B.6

C.8

D.9

两腰AB、AC相等的三角形ABC

答案与解析

解析

作 $AD\perp BC$。等腰三角形的三线合一给出 $BD=DC$。在直角 $\triangle ABD$ 中，$AD=AB\sin B=5\times4/5=4$，故 $BD=\sqrt{25-16}=3$，$BC=2BD=6$。

本题结论

B，BC=6。

5. 两个直角三角形，用公共边传递长度

先在信息充分的小三角形求公共边，再用线段和差进入大三角形。圆中的半径、弦中点，或由垂线得到的邻边，都是常见的连接量。不要在尚未证明直角的三角形内直接写三角函数边比。

例题 14 由小三角形的正切求大三角形的余弦 知识清单例题

题目

如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, 点 D 是 AC 边上一点, $\tan\angle DBC=\frac{4}{3}$ , 且 BC=6, AD=4. 求 $\cos A$ 的值.

直角三角形ABC中，D在AC上，连接BD

答案与解析

解析

在直角 $\triangle DBC$ 中，$CD=BC\tan\angle DBC=6\times4/3=8$。所以 $AC=AD+DC=12$，$AB=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5$。在直角 $\triangle ABC$ 中，$\cos A=AC/AB=2\sqrt5/5$。

本题结论

$2\sqrt5/5$。

例题 15 弦长、半径与另一个正切 知识清单例题

题目

如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $AB$ 的长为 8 , 点 $C$ 在 $BO$ 的延长线上, 且 $\cos \angle ABC = \frac{4}{5}, OC = \frac{1}{2} OB$ .

(1) 求 $\odot O$ 的半径.

(2) 求 $\angle BAC$ 的正切值.

圆O中弦AB与OB反向延长线上的点C

答案与解析

解析

从O、C分别向弦AB作垂线OD、CE的辅助图

（1）作 $OD\perp AB$。垂径定理给出 $BD=AB/2=4$。因为 $B,O,C$ 依次共线，$\cos\angle ABC=BD/BO=4/5$，所以半径 $BO=5$。

（2）$OC=OB/2=5/2$，故 $BC=15/2$。作 $CE\perp AB$，则 $BE=BC\cos B=(15/2)(4/5)=6$。在直角 $\triangle BCE$ 中，$CE=\sqrt{(15/2)^2-6^2}=9/2$。按图 $AE=AB-BE=2$，因此 $\tan\angle BAC=CE/AE=9/4$。

本题结论

（1）半径5；（2）$\tan\angle BAC=9/4$。

6. 按已知条件选择解直角三角形的入口

对照已知边和角，选择只含一个未知量的关系。每求出一项，就把它标回原三角形；最后同时报告所有未知边、角，而不只报告中间结果。

例题 16 四组独立条件 知识清单例题，原四组条件

题目

在直角三角形 $ABC$ 中，$C=90^\circ$，$a,b,c$ 分别是 $A,B,C$ 的对边。分别求各组条件下其余的边、角：

（1）$a=8,B=60^\circ$。

（2）$c=10,B=45^\circ$。

（3）$a=2\sqrt6,b=6\sqrt2$。

（4）$c=3\sqrt{10},b=3\sqrt5$。

答案与解析

解析

（1）$A=30^\circ$。$c=a/\sin A=16$，$b=c\cos A=8\sqrt3$。

（2）$A=45^\circ$。$a=c\sin A=5\sqrt2$，$b=c\cos A=5\sqrt2$。

（3）$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{24+72}=4\sqrt6$。$\sin A=a/c=1/2$，故 $A=30^\circ,B=60^\circ$。

（4）$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{90-45}=3\sqrt5=b$，故 $A=B=45^\circ$。

本题结论

（1）$A=30^\circ,b=8\sqrt3,c=16$；（2）$A=45^\circ,a=b=5\sqrt2$；（3）$A=30^\circ,B=60^\circ,c=4\sqrt6$；（4）$A=B=45^\circ,a=3\sqrt5$。

7. 视角测高：共同水平距离与眼高

画出观测点的水平线，把每个仰角、俯角标在正确的位置。先用一个直角三角形求共同水平距离，再把另一个三角形的竖直差求出；最后按位置加减，恢复总高。用近似三角函数值时，中间结果保留足够位数，最后按题意取整。

例题 17 前进十米后的两次仰角 知识清单例题

题目

某大楼外墙上有一块电子显示屏 DC, 在点 A 处测得显示屏顶端 D 的仰角为 $30^{\circ}$ , 向显示屏方向前进 10 米后, 在点 B 处测得显示屏顶端 D 的仰角为 $45^{\circ}$ , 已知点 A、B、C 离地面的高度都为 1.5 米, 求显示屏顶端 D 点距离地面的高度。(结果保留根号)

两处等高观测点A、B与显示屏底端C和顶端D

答案与解析

解析

设显示屏顶端比观测点高 $h=CD$ 米。近处仰角45°，所以 $BC=h/\tan45^\circ=h$；远处仰角30°，所以 $AC=h/\tan30^\circ=\sqrt3h$。

$AB=AC-BC=10$，于是 $(\sqrt3-1)h=10$，$h=5\sqrt3+5$。这只是顶端比 $C$ 高的部分，还须加上 $C$ 离地1.5米，所以顶端离地高为 $5\sqrt3+6.5$ 米。

本题结论

$(5\sqrt3+6.5)\ \mathrm m$。

例题 18 同一观测点看塔的顶部与底部 知识清单例题

题目

如图,为测量电视塔观景台 A 处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶 D 处测得 A 处的仰角为 $45^{\circ}$ , 塔底部 B 处的俯角为 $22^{\circ}$ . 已知建筑物的高 CD 约为 61 米, 请计算观景台 A 处的高度 AB. (结果精确到 1 米. 参考数据: $\sin 22^{\circ} \approx 0.37$ , $\cos 22^{\circ} \approx 0.93$ , $\tan 22^{\circ} \approx 0.40$ )

从建筑顶端D观测塔顶A和塔底B

答案与解析

解析

从D作水平线交塔身AB于F，分出AF与BF

作 $DF\perp AB$，则 $BF=CD\approx61$ 米。俯角22°给出 $DF=BF/\tan22^\circ\approx61/0.40=152.5$ 米。

仰角45°给出 $AF=DF\tan45^\circ\approx152.5$ 米。因此 $AB=AF+BF\approx213.5$ 米，按题意取整为214米。

本题结论

塔高约214米。

例题 19 水平飞行后，观测的是另一个目标 2024山东日照；省略不参与条件判读的背景照片

题目

（2024 山东日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌。某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 AB 的高度，测量方案如图所示，无人机在距水平地面 119 m 的 M 点处测得潮汐塔顶端 A 的俯角为 $22^{\circ}$ ，再将无人机沿水平方向飞行 74 m 到达点 N，测得潮汐塔底端 B 的俯角为 $45^{\circ}$ （点 M, N, A, B 在同一平面内），则潮汐塔 AB 的高度为（）

(结果精确到 1 m, 参考数据: $\sin 22^{\circ} \approx 0.37$ , $\cos 22^{\circ} \approx 0.93$ , $\tan 22^{\circ} \approx 0.40$ )

A.41 m

B.42 m

C.48 m

D. $51 \mathrm{~m}$

等高的M、N处两条视线分别指向塔顶A与塔底B

答案与解析

解析

延长塔身至飞行高度C，画出MC与NC的辅助图

延长 $BA$ 至飞行高度上的 $C$。无人机距地119米，所以 $BC=119$。在直角 $\triangle NBC$ 中，俯角45°，故 $NC=BC=119$ 米。由于 $MN=74$ 米，$MC=MN+NC=193$ 米。

在直角 $\triangle MAC$ 中，$AC=MC\tan22^\circ\approx193\times0.40=77.2$ 米。因此塔高 $AB=BC-AC\approx41.8$ 米，取整约42米。这里 $AC$ 是无人机比塔顶高出的部分，不能直接当塔高。

本题结论

B，约42米。

8. 方位问题：先把方向角放进几何图形

先画各观测点的南北、东西方向线，利用平行线关系换成三角形内角；不要直接把题目里的两个方向角相加减后当成内角。沿海航行题常通过岸线的垂线，把斜向距离转成东西、南北两个分量。

例题 20 海岸线与两次方位观测 知识清单例题

题目

如图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B,D,某海岛上的观测塔A距离海岸5海里,在A处测得B位于南偏西22°方向,一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南偏东67°方向,求此时观测塔A与渔船之间的距离(结果精确到0.1海里).

参考数据：$\sin22^\circ\approx3/8$，$\cos22^\circ\approx15/16$，$\tan22^\circ\approx2/5$。

$\sin67^\circ\approx12/13$，$\cos67^\circ\approx5/13$，$\tan67^\circ\approx12/5$。

东西海岸线上的B、D与海中A、C的位置

答案与解析

解析

从A作海岸线垂线AE，从C作CF垂直AE的辅助图

作 $AE\perp BD$，$CF\perp AE$。题给距海岸线5海里，即 $AE=5$。$B$ 在 $A$ 的南偏西22°方向，所以 $BE=AE\tan22^\circ\approx5\times2/5=2$ 海里。

$BD=6$，故 $DE=6-2=4$。船从 $D$ 正北航行至 $C$，因而 $CF=DE=4$。$C$ 在 $A$ 南偏东67°方向，在直角 $\triangle AFC$ 中 $\sin67^\circ=CF/AC$，所以 $AC\approx4/(12/13)=13/3\approx4.3$ 海里。

本题结论

观测塔与渔船相距约4.3海里。

三、坑点 条件边界与易错辨析

1. 三个比的使用条件不能省

正切可以大于1；一般三角形的两边比不一定是某角的正切；三角函数也不满足“角相加，函数值相加”。先核直角，再核边与角的对应。

辨析 01 判断三个说法 知识清单例题

题目

下列说法: ①若 $\alpha$ 为锐角, 则 $0 < \tan \alpha < 1$ ; ②在 $\triangle ABC$ 中, 已知 BC = 3, AC = 4, 则 $\tan A = \frac{3}{4}$ ; ③ $\tan 60^{\circ} = \tan (30^{\circ} + 30^{\circ}) = \tan 30^{\circ} + \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ . 其中正确说法的个数是 ____.

答案与解析

解析

①错误。$\tan60^\circ=\sqrt3>1$。

②错误。未给 $\angle C=90^\circ$，不能把 $BC/AC$ 当作 $\tan A$。例如保持这两条边长却改变夹角，目标角也会改变。

③错误。$\tan60^\circ=\sqrt3$，而 $\tan30^\circ+\tan30^\circ=2\sqrt3/3$，两者不等。角的和可以代入函数，但不能拆成两个函数值之和。

本题结论

正确说法0个。

2. 方向角不等于三角形的内角

从不同点出发的方向线互相平行，但指向有正、反。把“北偏西”转到另一点时，必须同时检查射线方向；缺少这一步，常会把一个钝内角误算成锐角。

辨析 02 三个地点的方位与四个判断 知识清单例题

题目

已知点 C 在点 A 的北偏东 $50^{\circ}$ 方向上, 点 B 在点 C 的北偏西 $25^{\circ}$ 方向上, 点 B 在点 A 的北偏东 $20^{\circ}$ 方向上, 下列说法:

① $\triangle ABC$ 是直角三角形；

② $\angle BAC=30^{\circ}$ ; ③ $\angle ACB=75^{\circ}$ ;

④若 AC=30，则 $AB=20\sqrt{3}$ .

其中正确的有____.(填序号)

答案与解析

解析

补出各点南北方向线，并从C向AB作垂线CF

从 $A$ 出发，两条射线分别北偏东50°与北偏东20°，所以 $\angle BAC=30^\circ$，②正确。

从 $C$ 看，$CA$ 指向南偏西50°，$CB$ 指向北偏西25°，故 $\angle ACB=180^\circ-50^\circ-25^\circ=105^\circ$，③错误。于是 $\angle B=45^\circ$，三角形不是直角三角形，①错误。

若 $AC=30$，作 $CF\perp AB$。$CF=AC\sin30^\circ=15$，$AF=AC\cos30^\circ=15\sqrt3$。又因 $B=45^\circ$，$BF=CF=15$，故 $AB=AF+BF=15\sqrt3+15$，不是 $20\sqrt3$，④错误。

本题结论

只有②正确。

3. 近似值算出的门槛，不是精确安全边界

当题目问“至少”“不超过”，先保留精确不等式，最后再近似。若使用给定的粗略函数值，答案也只能称该参考值下的近似结果。下面按题设的简化几何模型讨论，不把该模型当作实际工程安全判断。

辨析 03 坡顶至少移动多远 知识清单例题，保留原数据并区分精确式与近似答案

题目

如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地. $BC \parallel AD$ , $BE \perp AD$ , 斜坡 $AB$ 长 $26 \mathrm{~m}$ , 斜坡 $AB$ 的坡比为 $12:5$ . 为了减缓坡面, 防止山体滑坡, 学校决定对该斜坡进行改造. 经地质人员勘测, 当坡角不超过 $50^{\circ}$ 时, 可有效预防山体滑坡. 如果改造时保持坡脚 $A$ 不动, 那么坡顶 $B$ 沿 $BC$ 方向至少向右移多远, 才能有效预防山体滑坡? (tan $50^{\circ} \approx 1.2$ )

坡脚A、坡顶B和水平地面上的垂足E

答案与解析

解析

坡顶移到H后，从H向水平地面作垂线HF

坡比 $12:5$ 是 $BE:AE$。设 $BE=12t,AE=5t$，由斜长 $AB=26$ 和勾股定理，$169t^2=676$，取 $t=2$，得 $BE=24,AE=10$ 米。

坡顶沿水平线移到 $H$ 后，高度 $HF$ 仍为24米。设新水平宽度 $AF=x>0$、坡角为 $\theta$，则 $\tan\theta=24/x$。锐角正切严格递增，所以

$$\theta\le50^\circ\iff\frac{24}{x}\le\tan50^\circ\iff x\ge\frac{24}{\tan50^\circ}.$$

又 $BH=EF=x-10$，故精确最小移动距离为 $24/\tan50^\circ-10$ 米，等号对应坡角恰为50°。

使用题给 $\tan50^\circ\approx1.2$，算得该最小值约为 $24/1.2-10=10$ 米。不能由这个近似值反推“恰移10米就一定达到精确50°边界”。坡长26米也不能放进正切的水平分母。

本题结论

精确最小值为 $(24/\tan50^\circ-10)\ \mathrm m$；按给定参考值约10米。

常见误用	正确检查
原三角形的斜边到小三角形中仍当斜边	每换一个直角三角形，重新认直角对边
中线只使用一半底边，却忘了恢复整边	先标中点关系，再决定目标比的分母
只给角度就求唯一的边长	检查是否至少给出一个实际边长尺度
仰角求得的高直接当物体总高	按观测点离地高度和目标上下位置加减
把坡比写成角度，或用坡长作正切分母	坡度是竖高与水平宽度的无单位比

上一页位似图形

下一页4. 投影与视图