实数

约 6566 字大约 22 分钟

平方与立方从一个数求乘积，开方则从结果反求原数。分清“求全部平方根”与“取非负平方根”，再把数的范围从有理数扩展到实数；比较、估算和计算仍要依据数值及其条件。

一、知识点理解概念

1. 平方根与算术平方根

若 $x^2=a$ ， $x$ 叫作 $a$ 的一个平方根。求一个数的平方根的运算叫开平方，它与平方互为逆运算。

相反数平方相等，如 $3^2=(-3)^2=9$ ，所以正数的平方根要保留正、负两个。实数的平方不能为负，因此负数没有实数平方根。

被开方数 $a$	平方根的全部结果	算术平方根
$a>0$	两个， $\pm\sqrt a$	一个， $\sqrt a>0$
$a=0$	只有0	0
$a<0$	在实数范围不存在	在实数范围不存在

算术平方根是平方根中非负的一个，记作 $\sqrt a$ 。根号同时表达两项限制：输入 $a\ge0$ ，输出 $\sqrt a\ge0$ 。例如 $\sqrt{25}=5$ ，不能写成 $\pm5$ ；而25的平方根是 $\pm5$ 。

正数范围内，平方随原数增大而增大，所以同一个正平方值不可能对应两个不同的正根；加上其相反数，就是全部平方根。0的两种符号 $+0,-0$ 表示同一个数。

“5是25的一个平方根”成立，但“25的平方根只有5”漏了−5。
一个数可以是它自身的一个平方根，如0、1；若要求全部平方根仅有它自身，则只有0。
算术平方根等于自身的数是0、1，均可代入 $\sqrt a=a$ 检查。

2. 立方根保留正负方向

若 $x^3=a$ ， $x$ 叫作 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]a$ 。求立方根的运算叫开立方，与立方互逆。根指数3不能省略。

$a$	立方根的符号	示例
正数	正	$\sqrt[3]{343}=7$
0	0	$\sqrt[3]0=0$
负数	负	$\sqrt[3]{-8}=-2$

每个实数都有且只有一个实数立方根，结果前不加 $\pm$ 。立方与平方不同： $(-x)^3=-x^3$ ，正负方向不会合并；立方在实数范围随原数增大而增大，所以一个结果对应唯一原数。

\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]a,\qquad (\sqrt[3]a)^3=a,\qquad \sqrt[3]{a^3}=a.

以上对任意实数 $a$ 成立。立方根等于自身的数是 $-1,0,1$ 。

3. 从有理数扩展到实数

无限不循环小数叫作无理数，它不能写成两个整数之比。有理数与无理数统称实数。

分类依据	类别	例子与边界
能否写成整数之比	有理数	整数、有限小数、无限循环小数
能否写成整数之比	无理数	$\sqrt2$ 、 $-\sqrt[3]5$ 、 $\pi$
与0的关系	正实数、0、负实数	正负实数都包含有理数与无理数，0单列

分数除法的余数只有有限种，最终不是余数为0而终止，就是余数重复而循环。因此，无限不循环的十进制小数超出有理数范围。

有规律不等于循环。 $0.3030030003\ldots$ 若相邻两个3之间的零依次增多，就没有固定有限循环节，仍是无理数。
有根号不等于无理数。 $\sqrt[3]{64}=4$ ；无根号的 $\pi$ 却是无理数。 $3.14$ 是有限小数，不是 $\pi$ 的准确值。
非完全平方正整数的平方根是无理数。若它能写成最简分数 $p/q$ ，平方后 $p^2=aq^2$ ；互质要求 $q=1$ ，便推出 $a=p^2$ ，与“非完全平方”矛盾。

分类须先确认式子有实数意义。 $-\sqrt2$ 是负无理数， $\sqrt{-2}$ 在实数范围没有意义，不能把它放进负无理数一类。

4. 数轴、相反数、绝对值和倒数仍然适用

实数与数轴上的点一一对应。每个点表示一个实数，每个实数也有唯一对应点。有理数不能占满数轴，无理数同样有确定位置。

关系	实数范围中的含义	条件
相反数	$a$ 的相反数为 $-a$ ，两数和为0	包括0
绝对值	到原点的距离，非负	先判断内部整体正负
倒数	$a$ 的倒数为 $1/a$ ，两数积为1	$a\ne0$
大小	右边的点表示较大的数	两负数比较绝对值后反向

任意两个不同实数之间，都有有理数，也有无理数。两无理数运算后未必仍是无理数，例如 $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$ 。

有理数的运算律在实数范围仍成立。含根式运算先求能求出的根、处理绝对值，再按乘除和加减顺序计算；同一个根式可视作同一整体合并系数，如 $\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$ 。根次数或被开方数不同，不能直接合并。

二、考点方法与例题

1. 读清求根对象和题目问法

方法归纳

先圈定“求谁的根”，把对象本身化简；再看是平方根、算术平方根还是立方根。全部平方根与一个非负根的答案形式不同；求边长时还要用实际条件筛选。最后把结果平方或立方回去核对。

例题 01 平方根与算术平方根分别填写

题目

分别求225、 $1\frac79$ 、0.09的平方根和算术平方根。

答案与解析

解析

$225=15^2$ ； $1\frac79=\frac{16}9=(\frac43)^2$ ； $0.09=0.3^2$ 。

原数	平方根	算术平方根
225	$\pm15$	15
$1\frac79$	$\pm\frac43$	$\frac43$
0.09	$\pm0.3$	0.3

本题结论

正数的平方根取正负两个；算术平方根只取非负的一个。

例题 02 总面积先分给每个正方形 2024·广东

题目

完全相同的4个正方形面积之和是100，则每个正方形的边长是（　）。

A. 2　 B. 5　 C. 10　 D. 20

答案与解析

解析

四个完全相同，所以一个正方形的面积为 $100\div4=25$ 。设边长为 $s$ ，则 $s^2=25$ 。代数候选为 $\pm5$ ，边长必须为正，因此取5。

不能直接对总面积100开方，那求的是面积100的单个正方形的边长。

本题结论

B，边长为5。

例题 03 开立方与反求原数知识清单例题·合组

题目

（1）343的立方根是多少？−0.512的立方根是多少？9是哪个数的立方根？

（2）计算 $-\sqrt[3]{-\frac1{27}}$ 、 $\sqrt[3]{0.064}$ 、 $\sqrt[3]{-3\frac38}$ 、 $\sqrt[3]{\frac{10}{27}-5}$ 。

答案与解析

解析

（1）由 $7^3=343$ 、 $(-0.8)^3=-0.512$ ，前两空为7、−0.8。9是某数的立方根，原数应为 $9^3=729$ 。

（2）分别处理根号内外：

-\sqrt[3]{-\frac1{27}}=-(-\tfrac13)=\tfrac13;

\sqrt[3]{0.064}=0.4;\qquad \sqrt[3]{-3\tfrac38}=\sqrt[3]{-\tfrac{27}8}=-\tfrac32;

\sqrt[3]{\tfrac{10}{27}-5}=\sqrt[3]{-\tfrac{125}{27}}=-\tfrac53.

最后一式中的减5也在根号下，必须先合并被开方数。

本题结论

（1）7，−0.8，729；（2） $\frac13,0.4,-\frac32,-\frac53$ 。

2. 把未知整体的幂单独留下

方法归纳

用等式两边同加减、同除非零系数，把方程变成 $X^2=a$ 或 $X^3=a$ 。 $X$ 可以是整个括号。

二次幂先检查右边：正数给两个相反候选，0给一个，负数无实数解。
三次幂对任意实数右边都给唯一候选，不添 $\pm$ 。
得到括号的值后，继续反求字母；全部候选代回原方程。

例题 04 开平方保留两条分支

题目

求下列各式中的 $x$ ：

（1） $x^2=361$ ；（2） $81x^2-49=0$ ；（3） $(3x-1)^2=25$ 。

答案与解析

解析

（1） $361=19^2$ ，所以 $x=\pm19$ 。

（2）两边加49、再除以81，得 $x^2=\frac{49}{81}$ ，所以 $x=\pm\frac79$ 。

（3）先把 $3x-1$ 看作整体： $3x-1=5$ 或 $3x-1=-5$ 。分别解得 $x=2$ 或 $x=-\frac43$ 。代回后括号为5或−5，平方都为25。

本题结论

（1） $\pm19$ ；（2） $\pm\frac79$ ；（3） $2$ 或 $-\frac43$ 。

例题 05 开立方不添加负分支

题目

求下列各式中的 $x$ ：

（1） $8x^3+27=0$ ；（2） $(x-1)^3=64$ ；（3） $3(x-3)^3-24=0$ 。

答案与解析

解析

（1）先减27再除8，得 $x^3=-\frac{27}8$ ，故 $x=-\frac32$ 。

（2） $x-1=\sqrt[3]{64}=4$ ，所以 $x=5$ 。

（3）先加24再除3，得 $(x-3)^3=8$ ；于是 $x-3=2$ ， $x=5$ 。

立方在实数范围一一对应，每个整体只取一个值。

本题结论

（1） $-\frac32$ ；（2）5；（3）5。

3. 由方根反求原数或数量关系

方法归纳

已知方根，就按相应次数乘方恢复被开方数。求出字母后，重新读最后所求，避免把中间结果当答案。两立方根互为相反数时，它们的被开方数也互为相反数；使用分式时另查分母非零。

例题 06 已知两种根，求另一个数的平方根

题目

已知 $2a-1$ 的平方根是 $\pm3$ ， $3a+b-1$ 的算术平方根是4，求 $a+2b$ 的平方根。

答案与解析

解析

平方根为 $\pm3$ ，说明原数为9： $2a-1=9$ ，得 $a=5$ 。算术平方根为4，说明原数为16： $3a+b-1=16$ ，代入得 $15+b-1=16$ ， $b=2$ 。

于是 $a+2b=5+4=9$ 。题目最后要求9的平方根，还需写出 $\pm3$ 。

本题结论

$a+2b$ 的平方根是 $\pm3$ 。

例题 07 相反的立方根与非零分母改编，补充条件检查

题目

若 $\sqrt[3]{1-2x}$ 与 $\sqrt[3]{3y-2}$ 互为相反数，求 $\frac{2x+1}{y}$ 的值，并说明它有意义的条件。

答案与解析

解析

互为相反数的两个数立方后仍互为相反数，所以

(1-2x)+(3y-2)=0,\qquad 2x+1=3y.

当所求分式有意义，即 $y\ne0$ 时，

\frac{2x+1}{y}=\frac{3y}{y}=3.

原方根关系本身并不排除 $y=0$ ：此时取 $x=-\frac12$ 仍符合两个根互反，但所求为 $0/0$ ，没有意义。非零条件来自所求分式，不是来自立方根。

本题结论

$y\ne0$ 时值为3； $y=0$ 时所求无意义。

4. 利用非负性逐项确定零

方法归纳

先逐项说明非负，再利用“和为0”推每项为0。算术平方根存在时输出非负，平方也非负；立方根却可以为负，不能仅因都带根号就照搬这一方法。

例题 08 算术根与平方的零和条件第（2）问：2024·四川成都·合组

题目

（1）若 $\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=0$ ，则 $(x+y)^{2025}$ 等于（　）。

A. −1　 B. 1　 C. $3^{2025}$ 　 D. $-3^{2025}$

（2）若 $m,n$ 为实数，且 $(m+4)^2+\sqrt{n-5}=0$ ，求 $(m+n)^2$ 。

答案与解析

解析

（1）两算术根均非负，和为0，所以 $x-1=0,y+2=0$ ，得 $x=1,y=-2$ 。 $x+y=-1$ ，2025为奇数，因此结果为−1，选A。

（2）两项同样非负，所以 $m+4=0,n-5=0$ ，得 $m=-4,n=5$ 。 $(m+n)^2=1^2=1$ 。 $m$ 为负不矛盾，非负的是平方项而不是字母本身。

本题结论

（1）A；（2）1。

5. 根据平方或立方倍率移动小数点

方法归纳

先匹配被开方数的倍率，再决定根扩大多少。若 $r^2=a$ ，则 $(100r)^2=10000a$ ；若 $r^3=a$ ，则 $(10r)^3=1000a$ 。所以平方根“原数移动两位、根移动一位”，立方根“三位对应一位”，方向一致。近似输入缩放后仍用近似号。

例题 09 同一个23700，根次数不同知识清单例题·合组

题目

（1）已知 $\sqrt{2.37}\approx1.539$ ， $\sqrt{23.7}\approx4.868$ ，则 $\sqrt{23700}$ 约等于（　）。

A. 15.39　 B. 153.9　 C. 48.68　 D. 486.8

（2）已知 $\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$ ， $\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$ ，则 $\sqrt[3]{23700}$ 约等于（　）。

A. 28.72　 B. 287.2　 C. 13.33　 D. 133.3

答案与解析

解析

（1） $23700=2.37\times100^2$ ，所以 $\sqrt{23700}=100\sqrt{2.37}\approx153.9$ ，选B。

（2） $23700=23.7\times10^3$ ，所以 $\sqrt[3]{23700}=10\sqrt[3]{23.7}\approx28.72$ ，选A。

应先看哪个已知数能通过完整平方或立方倍率达到目标，不能看数字相似就选。

本题结论

（1）B；（2）A。

6. 先化简，再分类或计算

方法归纳

分类看数值，不看外观；运算先处理方根、绝对值，再用分配律和同类项合并。准确根式中途不任意换近似小数，除数非零与根号有意义的条件始终保留。

例题 10 带根号的选项未必无理 2024·山东烟台

题目

下列实数中的无理数是（　）。

A. $\frac23$ 　 B. 3.14　 C. $\sqrt{15}$ 　 D. $\sqrt[3]{64}$

答案与解析

解析

A是整数之比；B是有限小数 $157/50$ ；D可化为整数4，都属于有理数。15不是完全平方正整数， $\sqrt{15}$ 是无理数。

本题结论

C。

例题 11 沿用相反数、绝对值与倒数

题目

求 $-\sqrt5$ 的相反数、绝对值和倒数。

答案与解析

解析

$-\sqrt5<0$ ，取相反数与取绝对值都得到 $\sqrt5$ ；两个答案相同是由原数为负造成的，不是定义相同。

倒数为 $-1/\sqrt5$ 。分子分母同时乘非零的 $\sqrt5$ ，得 $-\sqrt5/5$ ，乘回原数为1。

本题结论

依次为 $\sqrt5,\sqrt5,-\frac{\sqrt5}5$ 。

例题 12 根式中的分配律

题目

计算 $\sqrt[3]{-27}+|-\sqrt2|+\sqrt2(2-\sqrt2)$ 。

答案与解析

解析

先求根和绝对值，再分配乘法：

\begin{aligned} &\sqrt[3]{-27}+|-\sqrt2|+\sqrt2(2-\sqrt2)\\ &=-3+\sqrt2+2\sqrt2-(\sqrt2)^2\\ &=-3+3\sqrt2-2=3\sqrt2-5. \end{aligned}

$\sqrt2$ 和 $2\sqrt2$ 可以合并系数，常数−3、−2另行相加，不能把它们塞进根号。

本题结论

$3\sqrt2-5$ 。

7. 用相邻平方数或立方数夹住范围

方法归纳

先找相邻整数的平方或立方，再夹住根的范围。表达式含多个根时，尽可能先准确化简再估值；只对每项粗估后相减，可能得到过宽区间。

若要求四舍五入到某位，夹住相邻候选还不够，要检验中点在哪侧。若要求区间内整数个数，则检查两个端点是否允许取到。

例题 13 数轴上的根式位置

题目

数轴上的 $A,O,B,C,D$ 分别表示 $-1,0,1,2,3$ 。表示 $\sqrt5-1$ 的点 $P$ 应落在（　）。

A. 线段 $AO$ 上　 B. 线段 $BO$ 上

C. 线段 $BC$ 上　 D. 线段 $CD$ 上

答案与解析

解析

$2^2=4<5<9=3^2$ ，且两端非负，所以 $2<\sqrt5<3$ 。整个不等式减1得 $1<\sqrt5-1<2$ 。因此点在 $BC$ 上，不在端点。

本题结论

C。

例题 14 先合并，再估计区间 2024·重庆A

题目

已知 $m=\sqrt{27}-\sqrt3$ ，则实数 $m$ 的范围是（　）。

A. $2<m<3$ 　 B. $3<m<4$

C. $4<m<5$ 　 D. $5<m<6$

答案与解析

解析

$3\sqrt3$ 非负且平方为27，所以 $\sqrt{27}=3\sqrt3$ 。于是 $m=2\sqrt3$ ，它非负且平方为12，即 $m=\sqrt{12}$ 。

$3^2=9<12<16=4^2$ ，所以 $3<m<4$ 。

本题结论

B。

例题 15 估到指定数位还要判断中点

题目

估算：（1） $\sqrt7$ ，精确到0.01；（2） $\sqrt[3]{100}$ ，精确到0.1。

答案与解析

解析

（1）逐层夹逼：

2^2<7<3^2;\quad 2.6^2=6.76<7<7.29=2.7^2;

2.64^2=6.9696<7<7.0225=2.65^2.

所以 $2.64<\sqrt7<2.65$ 。检验中点： $2.645^2=6.996025<7$ ，故 $\sqrt7>2.645$ ，四舍五入为2.65。

（2） $4^3=64<100<125=5^3$ ，再算 $4.6^3=97.336<100<103.823=4.7^3$ 。中点 $4.65^3=100.544625>100$ ，所以根小于4.65，应四舍五入为4.6。

本题结论

$\sqrt7\approx2.65$ ； $\sqrt[3]{100}\approx4.6$ 。

例题 16 严格区间内有多少个整数 2024·河北

题目

已知 $a,b,n$ 均为正整数。

（1）若 $n<\sqrt{10}<n+1$ ，求 $n$ 。

（2）若 $n-1<\sqrt a<n$ ， $n<\sqrt b<n+1$ ，满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少几个？

答案与解析

解析

（1） $9<10<16$ ，所以 $3<\sqrt{10}<4$ ， $n=3$ 。

（2）两边非负，平方保持顺序：

(n-1)^2<a<n^2,\qquad n^2<b<(n+1)^2.

整数端点之间且不含两端，整数个数为“右端−左端−1”。因此 $a$ 有 $n^2-(n-1)^2-1=2n-2$ 个， $b$ 有 $(n+1)^2-n^2-1=2n$ 个，相差2。

$n=1$ 时第一个区间没有正整数，第二个满足 $1<b<4$ ，只有2、3，共2个，同样成立。

本题结论

（1）3；（2）2个。

8. 正无理数的整数部分与小数部分

方法归纳

把整个正数表达式夹在相邻整数之间，较小整数是整数部分；用原数减整数部分得到小数部分，并检验它在0与1之间。根号外有减号时，先改变夹逼方向再平移，不能只对根号内一项取整。

例题 17 先确定整个差所在的区间

题目

$a,b$ 分别是 $6-\sqrt{13}$ 的整数部分与小数部分，求 $2a-b$ 。

答案与解析

解析

$9<13<16$ ，所以 $3<\sqrt{13}<4$ 。取相反数得 $-4<-\sqrt{13}<-3$ ，再加6：

2<6-\sqrt{13}<3.

所以 $a=2$ ， $b=(6-\sqrt{13})-2=4-\sqrt{13}$ ，且 $0<b<1$ 。

2a-b=4-(4-\sqrt{13})=\sqrt{13}.

代入减去的整个 $b$ 时要带括号。

本题结论

$\sqrt{13}$ 。

9. 比较实数：先判符号，再选方法

方法归纳

两数的条件	可用方法	依据
都非负，平方后简单	比较平方	非负范围平方保持顺序
都负	比绝对值，再反向	数轴上越远离0越小
异号	直接看正负	正数大于负数
作差后易判符号	前数减后数	差正则前数大，差负则前数小