圆与弧、弦、角

约 8183 字大约 27 分钟

圆题中，半径提供等长，直径提供直角，弧把分散的角联系起来。先分清圆周与区域、弦与弧，再在同一个圆中逐项寻找依据。

一、知识点概念与依据

1. 圆、圆面与确定圆的两个要素

在同一平面内，到定点 $O$ 的距离等于定长 $r>0$ 的所有点组成圆，记作 $\odot O$ 。圆心确定位置，半径确定大小，二者缺一不可。

圆是一条封闭曲线；圆面还包括它的内部。让线段 $OA$ 绕固定端点 $O$ 转一周，另一端点的轨迹就是这个圆。固定长度保证所有轨迹点等距；反过来，每一个距 $O$ 为 $r$ 的点都能由某个方向转到。

2. 弦、直径与两种圆弧

对象	定义与区别
弦	连接圆上两个不同点的线段
直径	经过圆心的弦，长为 $2r$
弧	圆周上两个端点之间的部分，是曲线而不是弦
半圆	直径两端分出的两段弧，各恰好半周
劣弧、优弧	分别小于、大于半周；优弧通常用三个字母注明经过的中间点

一条指定的弧只有一条对应弦，一条弦却对应两段弧。弧中点在圆周上，弦中点在线段上，不能混用。

直径为什么最长？ 对任意弦 $AB$ ，三角形两边和关系给 $AB\le OA+OB=2r$ ；只有 $O$ 在 $A,B$ 之间时取等，此时恰为直径。

3. 同圆、等圆、同心圆与等弧

名称	条件
同圆	圆心、半径都相同，实际是同一条圆周
等圆	能完全重合，即半径相等，圆心可以不同
同心圆	圆心相同、半径不同
等弧	在同圆或等圆中，能够重合的弧

等弧不仅长度相等，还要形状相同。不同半径的圆弧即使弧长相等，也未必能重合；同心圆也不一定是等圆。

4. 圆心角、圆周角与围成的区域

圆心角： 顶点恰在圆心。
圆周角： 顶点在圆上，两条射线还要分别与圆再次相交。仅反向延长线交圆不算。
扇形： 同一圆的两条半径与所对圆弧围成的区域。
弓形： 一条弦与它的一段对应圆弧围成的区域。

半圆是弧，半圆形是区域。直径加半圆弧围成半圆形；它既可看成180°扇形，也可看成以直径为弦的弓形。一般弓形不是扇形。

6. 等弧、等弦、等圆心角、等弦心距

在同圆或等圆中，对非直径弦，对应劣弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等可以相互推出。若弦为直径，它对应的是半圆而非劣弧，应在半圆这一类别内比较；等直径对应相等的半圆、180°圆心角和零弦心距。比较优弧时须同类对应，不能将同一弦的优弧与劣弧当成等弧。

圆心角相等时，让圆心和起始半径重合，终点也重合，弧、弦随之重合。
弦相等时，配两组等半径作 SSS，得对应圆心角相等。
半弦与半径组成直角三角形， $d^2=R^2-(a/2)^2$ ，说明等弦与等弦心距等价。

这些是“相等”的互换，不是倍数的互换。弧长是另一弧的两倍，不代表弦长也是两倍。

弧中点 $P$ 与圆心的连线是相应弦的垂直平分线：等弧给等弦 $PA=PB$ ，而 $OA=OB$ ，所以 $O,P$ 均在该弦中垂线上。弦为直径时仍直接由两个半圆中点的对称位置判断。

7. 圆周角定理：先找不包含顶点的弧

圆周角等于所截弧对应中心转角的一半。对 $\angle APB$ ，截弧指端点 $A,B$ 之间不含 $P$ 的那条弧。若它是优弧，中心转角大于180°，不能拿图上的较小圆心角直接除以2。

为什么是一半？ 先证圆心在角的一边上，再用辅助直径拆成这种情形。

圆心的位置	推理
在一条边上	若 $P,O,A$ 共线， $OP=OB$ 给两底角相等； $\angle AOB$ 是 $\triangle POB$ 的外角，等于两底角之和，即 $2\angle APB$
在角内部	作直径 $PD$ ，目标角分成 $\angle APD$ 与 $\angle DPB$ ；两段弧的转角分别为各角的两倍，相加仍为原角两倍
在角外部	同作直径 $PD$ ，目标角是两个较大、较小圆周角的差；两段弧转角也按同一顺序相减，仍为原角两倍

因此同弧或等弧所对的圆周角相等。对同一条弦，顶点同侧时截同弧，角相等；顶点异侧时截两条互补弧，两角之和为180°。

8. 直径与直角的双向关系

直径所对的圆周角是90°；90°圆周角所对的弦是直径。理由是所截半圆的中心转角为180°，圆周角取一半；反向把90°倍回180°，弦便通过圆心。

第三点必须在同一圆上且不同于两端点。半径、任意弦或圆外顶点，都不能代替这个前提。

还可不用圆周角定理直接证明直径所对的角为直角：设 $AB$ 为直径， $C$ 为圆上另一点，连接 $OC$ 。 $OA=OC$ 、 $OB=OC$ ，分别设两等腰三角形在 $A,C$ 处的底角为 $x$ ，在 $B,C$ 处的底角为 $y$ 。于是 $\triangle ABC$ 的三个内角为 $x,y,x+y$ ，由内角和得 $2x+2y=180^\circ$ ，故 $\angle ACB=x+y=90^\circ$ 。

9. 圆内接四边形的对角与外角

四个不同顶点按圆周顺序相连，得到圆内接四边形。两组对角分别互补；外角等于与它不相邻的内对角。

依据： 两对角所截的两段弧合成整圆，所以两角之和为 $360^\circ/2=180^\circ$ 。外角与相邻内角也互补，同减内角便得内对角。

反过来也成立： 凸四边形一组对角互补，则四点共圆。

设凸四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $P$ ，且 $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$ 。作经过 $A,B,D$ 的圆。 $P$ 在弦 $BD$ 内部，因此在圆内，射线 $PC$ 必定与圆交于一点 $C'$ ，且 $C'$ 与 $C$ 都在直线 $BD$ 的另一侧。

圆内接四边形的性质给 $\angle BC'D=180^\circ-\angle BAD=\angle BCD$ 。假如 $C\ne C'$ ，可设射线上 $P,C,C'$ 顺次排列。由三角形的外角性质， $\angle BCP>\angle BC'P$ ，同时 $\angle PCD>\angle PC'D$ ；两式相加得 $\angle BCD>\angle BC'D$ ，矛盾。若点序是 $P,C',C$ ，两式同时反向，也矛盾。所以 $C=C'$ ，四点共圆。这里的凸性保证对角线交点位于两条对角线内部，不能省去。

二、考点方法与例题

1. 先按定义检查对象

角先查顶点，再查两条射线；区域先查围界，特别是两条直边是否确为同一圆的半径。共圆则寻找一个到所有目标点等距的固定点，并说明距离为正。

例题 01 标出的四个角知识清单例题

题目

如图,在图中标出的 4 个角中,圆周角有 ( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

答案与解析

解析

角1、角3的顶点在圆上，两边又分别再次交圆，符合圆周角定义。角2顶点在圆内而非圆上；角4虽在圆上，却有一边向外而不再交圆。恰有2个，选B。

本题结论

B，2个。

例题 02 三种曲边区域知识清单例题·2023江苏连云港

题目

（2023 江苏连云港）如图，甲由一条直径、一条弦及一段圆弧围成；乙由两条半径与一段圆弧围成；丙由不过圆心 $O$ 的两条线段与一段圆弧围成。下列叙述正确的是哪一项？

A. 只有甲是扇形

B. 只有乙是扇形

C. 只有丙是扇形

D. 只有乙、丙是扇形

答案与解析

解析

甲的直边是直径与弦，不是从同一圆心出发的两条半径；乙符合两半径围弧的定义；丙共同顶点不是圆心。只有乙，选B。

本题结论

B。

例题 03 四个中点为什么共圆知识清单例题

题目

如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O, E, F, G, H 分别为 OA, OB, OC, OD 的中点. 求证: E, F, G, H 四点在同一个圆上.

答案与解析

解析

矩形两对角线等长且互相平分， $OA=OB=OC=OD$ 。四段再各取一半，得 $OE=OF=OG=OH>0$ 。以 $O$ 为圆心、 $OE$ 为半径作圆，四点都满足圆的等距定义，故共圆。

本题结论

四点在以O为圆心、OE为半径的同一个圆上。

2. 用半径、半弦、垂距组成直角三角形

先从圆心向弦作垂线，再用半弦。动点最短还要证明垂足在允许范围内；残圆问题常把一条直角边表示为半径与弓高之差，平方展开后消去二次项。

例题 04 同心圆中的两侧截段知识清单例题

题目

已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦 AB 交小圆于点 C, D (如图所示).

求证:AC=BD.

答案与解析

解析

作 $OE\perp AB$ 于 $E$ 。这条垂线同时垂直小圆的弦 $CD$ ，所以 $AE=BE$ 、 $CE=DE$ 。按 $A,C,E,D,B$ 的点序， $AC=AE-CE$ ， $BD=BE-DE$ 。等量减等量， $AC=BD$ 。

本题结论

$AC=BD$ 。

例题 05 弦上动点到圆心的距离知识清单例题

题目

如图, $\odot O$ 的半径为10,AB=16,点P在弦AB上,求OP的最小值.

答案与解析

解析

作 $OH\perp AB$ ，连接 $OB$ 。垂径给 $HB=AB/2=8$ ，且中点 $H$ 确在原弦上。

勾股得 $OH=\sqrt{10^2-8^2}=6$ 。任意弦上点 $P$ 满足 $OP^2=OH^2+HP^2\ge36$ ，只有 $P=H$ 取等，最小值6。

本题结论

最小值6，在P为弦AB中点时取得。

例题 06 测量残缺圆形工件知识清单例题·2024四川凉山州

题目

(2024 四川凉山州) 数学活动课上, 同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径, 小明的解决方案是: 在工件圆弧上任取两点 A, B, 连接 AB, 作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D, 交 $\widehat{AB}$ 于点 C, 测出 AB = 40 cm, CD = 10 cm, 则圆形工件的半径为

A.50 cm

B.35 cm

C.25 cm

D.20 cm

答案与解析

解析

圆心 $O$ 在弦的中垂线上。设半径为 $R$ ，半弦 $BD=20\text{ cm}$ 。按图中 $C,D,O$ 点序， $OD=R-10$ 。

由勾股， $(R-10)^2+20^2=R^2$ 。展开并消去 $R^2$ ， $-20R+500=0$ ，得 $R=25\text{ cm}$ 。回验两直角边15、20与斜边25成立，选C。

本题结论

C，25 cm。

3. 等量先转成中心角，再转弧或弦

连接半径，把等弦或半弦条件放进两个三角形，用全等取得圆心角相等，再说明所比较的弧属于同一种弧。不要把“等量互换”扩张成任意倍数互换。

例题 07 两条半径的中点作垂线知识清单例题

题目

如图, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $M, N$ 分别是 $OA, OB$ 的中点, $CM \perp AB$ 于 $M, DN \perp AB$ 于 $N$ . 求证: $\widehat{AC} = \widehat{BD}$ .

答案与解析

解析

连接 $OC,OD$ 。 $OC=OD$ 为半径， $OM=ON$ 为相等半径的一半， $\angle CMO=\angle DNO=90^\circ$ ，由 HL 得 $\triangle CMO\cong\triangle DNO$ 。

所以 $\angle COM=\angle DON$ 。 $OM$ 与 $OA$ 同向、 $ON$ 与 $OB$ 同向，故 $\angle COA=\angle DOB$ ，所对劣弧 $AC,BD$ 相等。

本题结论

$\widehat{AC}=\widehat{BD}$ 。

4. 把圆周角集中到同一条弧

为每个角标出两个弦端点及不含角顶点的弧。需要时连半径，圆周角倍回中心转角；直径提供180°；目标再取一半。若原顶点位置未确定，必须分别考虑截优弧、劣弧。

例题 08 直径两边的角度转换知识清单例题

题目

如图, $AB$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C\text{、}D\text{、}E$ 在 $\odot O$ 上, $\angle BED = 40^{\circ}$ , 则 $\angle ACD$ 的度数为 ____.

答案与解析

解析

连 $OD$ 。 $\angle BED$ 截弧 $BD$ ，所以 $\angle BOD=2\times40^\circ=80^\circ$ 。 $AB$ 是直径， $\angle AOD=180^\circ-80^\circ=100^\circ$ 。

按图 $C$ 截劣弧 $AD$ ， $\angle ACD=100^\circ/2=50^\circ$ 。

本题结论

$50^\circ$ 。

例题 09 圆周角与等腰底角的和知识清单例题·2024陕西

题目

(2024 陕西) 如图, BC 是 $\odot O$ 的弦, 连接 OB, OC, $\angle A$ 是 $\widehat{BC}$ 所对的圆周角, 则 $\angle A$ 与 $\angle OBC$ 的度数的和是 ____.

答案与解析

解析

$OB=OC$ ，所以 $2\angle OBC+\angle BOC=180^\circ$ 。按图 $A$ 在优弧 $BC$ 上， $\angle A=\angle BOC/2$ 。前式除以2，得 $\angle OBC+\angle A=90^\circ$ 。

本题结论

$90^\circ$ 。

5. 直径先造直角，再接等腰或勾股

直径与圆上第三点组成直角三角形。若还给等腰，考虑顶点高线同时是中线；若给长度，明确每个直角三角形的斜边，不把不同位置的直角混作一个。

例题 10 同一图中的求角与证中点知识清单例题

题目

如图, $AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $AB = AC$ , $AC$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ , $BC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ , 连接 $BE$ , $\angle BAC = 45^{\circ}$ .

(1) 求 $\angle EBC$ 的度数. (2) 求证: BD = CD.

答案与解析

解析

（1） $E$ 在直径圆上， $\angle AEB=90^\circ$ 。 $\angle BAE=45^\circ$ ，故 $\angle ABE=45^\circ$ 。 $AB=AC$ ，两底角各 $(180^\circ-45^\circ)/2=67.5^\circ$ ，所以 $\angle EBC=67.5^\circ-45^\circ=22.5^\circ$ 。

（2）连接 $AD$ ，直径给 $\angle ADB=90^\circ$ 。 $B,D,C$ 共线，所以 $AD\perp BC$ 。等腰三角形的顶点高也是底边中线，故 $BD=CD$ 。也可用斜边 $AB=AC$ 、公共直角边 $AD$ 作 HL 后取对应边。

本题结论

（1） $22.5^\circ$ ；（2） $BD=CD$ 。

例题 11 同弧换角后取余角知识清单例题·2024江苏常州

题目

（2024江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD.若 $\angle BCD=20^{\circ}$ ，则 $\angle ABD=$ ____°.

答案与解析

解析

$\angle BCD$ 与 $\angle BAD$ 截同一弧 $BD$ ，所以 $\angle BAD=20^\circ$ 。直径给 $\angle ADB=90^\circ$ ，三角形角和得 $\angle ABD=90^\circ-20^\circ=70^\circ$ 。

本题结论

$70^\circ$ 。

6. 内接四边形先找真正的对角

先用平行线或圆周角定理求出一个内角，再与不相邻内角互补。外角也可以与内对角直接相等，但必须确认延长射线的方向。

例题 12 两个角的比值知识清单例题

题目

如图, 四边形 ABCD 内接于 $\odot O$ , 连接 OA, OC, 若 $\angle AOC : \angle ADC = 2 : 3$ , 则 $\angle ABC$ 的度数为

答案与解析

解析

设 $\angle AOC=2x^\circ$ ，则 $\angle ADC=3x^\circ$ 。按图 $B$ 截劣弧 $AC$ ， $\angle ABC=x^\circ$ 。内接四边形两对角互补， $3x+x=180$ ，解得 $x=45$ 。回验中心角90°、另一对角135°，比值2∶3。

本题结论

$45^\circ$ 。

例题 13 平行线把已知角移到圆上知识清单例题·2024吉林

题目

（2024 吉林）如图, 四边形 ABCD 内接于 $\odot O$ . 过点 B 作 BE // AD, 交 CD 于点 E. 若 $\angle BEC = 50^{\circ}$ , 则 $\angle ABC$ 的度数是 ( )

A. ${50}^{ \circ }$

B. ${100}^{ \circ }$

C.130°

D. $150^{\circ}$

答案与解析

解析

$BE\parallel AD$ ， $D,E,C$ 顺次共线，同位角给 $\angle ADC=\angle BEC=50^\circ$ 。内接四边形对角互补，所以 $\angle ABC=180^\circ-50^\circ=130^\circ$ ，选C。

本题结论

C， $130^\circ$ 。

例题 14 圆周角的外角知识清单例题

题目

如图, 圆心角 $\angle AOB = 120^{\circ}$ , 若 $P$ 是弧 $AB$ 上任意一点 (不与点 $A, B$ 重合), 点 $C$ 在 $AP$ 的延长线上, 则 $\angle BPC$ 的度数为 ____.

答案与解析

解析

按图 $P$ 位于120°对应的劣弧 $AB$ 内。它截另一条240°优弧，所以 $\angle APB=120^\circ$ ； $PC$ 是 $PA$ 的反向射线， $\angle BPC=60^\circ$ 。

也可在优弧上取 $E$ ， $\angle AEB=120^\circ/2=60^\circ$ ； $\angle AEB$ 与 $\angle APB$ 是内接四边形的对角， $\angle BPC$ 与 $\angle APB$ 是邻补角，因此前两者同补而相等。若P换到优弧，不能沿用该结果。

本题结论

$60^\circ$ 。

7. 遇到弧中点，连接半径并补出直角三角形

弧中点到两端点的弦相等，连圆心与弧中点，就得到弦的垂直平分线。若题中还有直径，先标出直径所对的直角，再观察半径与半弦能否组成三角形中位线。每用一次勾股定理，都应重新指出这一组三边中的斜边。

例题 15 直径、弧中点与两条弦知识清单例题

题目

如图， $AB$ 是 $\odot O$ 的直径， $P$ 是弧 $BC$ 的中点， $AB=13$ ， $AC=5$ ，求 $PA$ 的长。

答案与解析

解析

连接 $PB,BC$ ，连接 $OP$ 交 $BC$ 于 $D$ 。

$P$ 为弧中点，所以 $OP\perp BC$ ， $BD=CD$ 。又 $O$ 是 $AB$ 中点， $OD$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，故 $OD=\frac12AC=\frac52$ 。由图中点序， $PD=OP-OD=\frac{13}2-\frac52=4$ 。
$AB$ 是直径，故 $\angle ACB=90^\circ$ 。在 $\triangle ABC$ 中， $BC=\sqrt{13^2-5^2}=12$ ，从而 $BD=6$ 。
在直角三角形 $PDB$ 中， $PB=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$ 。
同样因为 $AB$ 是直径， $\angle APB=90^\circ$ ，所以 $PA=\sqrt{AB^2-PB^2}=\sqrt{169-52}=3\sqrt{13}$ 。