全等三角形

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证明两条边或两个角相等，常常可以先找到它们所在的两个三角形。先确定顶点怎样对应，再选择判据；判定全等之后，才能使用对应边、对应角相等。

一、知识点概念与依据

1. 完全重合与顶点对应

能够完全重合的两个图形叫作全等图形。全等既要求形状相同，也要求大小相同；位置、朝向不同，不影响全等。

\triangle ABC\cong\triangle DEF

应按顺序读成 $A\leftrightarrow D$ 、 $B\leftrightarrow E$ 、 $C\leftrightarrow F$ 。

对应对象	由全等得到的关系
边	$AB=DE$ ， $BC=EF$ ， $CA=FD$
角	$\angle A=\angle D$ ， $\angle B=\angle E$ ， $\angle C=\angle F$
对应的高、中线、角平分线	长度分别相等
整个图形	周长相等、面积相等

完全重合时，对应线段和角也重合，因此有这些性质。全等具有传递性：两个图形若都与第三个图形全等，它们彼此全等。

反过来，仅有面积相等或周长相等，不能推出全等。这些数值不能唯一决定形状。

2. 整体移动不改变形状和大小

变换	整个图形遵守的规则	保持什么
平移	每个点沿同一方向移动同一距离	长度、角度、周长、面积
翻折	对应点关于同一条直线对称	长度、角度、周长、面积
旋转	每个点绕同一中心、沿同一方向转过同一角度	长度、角度、周长、面积

这些变换保持任意两点间的距离，因而能把原图与新图完全重合。只移动某一个顶点、其余顶点不动，通常不是整个图形的上述变换；放大、缩小也不属于保持大小的全等变换。

平移示意。 对应顺序为 $A\to D$ 、 $B\to E$ 、 $C\to F$ 。

翻折示意。 轴上的点保持不动；翻折后左右朝向可以改变。

旋转示意。 旋转中心 $A$ 不动，其他点按同一转角移动；半周旋转也是旋转的一种。

3. 五种判据及其条件

性质回答“已知全等，能得到什么”；判据回答“具备哪些条件，可以证明全等”。两者不能倒着混用。

判据	条件	首先检查
SSS，边边边	三边分别对应相等	三组边的顶点对应一致，三角形非退化
SAS，边角边	两边和它们的夹角分别对应相等	角必须夹在给出的两边之间
ASA，角边角	两角和它们的夹边分别对应相等	边连接给出的两个角的顶点
AAS，角角边	两角和其中一个角的对边分别对应相等	边与角的对应位置一致
HL，斜边、直角边	两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等	先有两个直角，再辨斜边和直角边

为什么这些条件能够确定三角形？

SSS： 固定一条边后，第三顶点到两端的距离已确定。两圆的两个可能交点关于基边对称，翻折后重合。这也解释三角形的稳定性。三边长度必须满足严格的三边关系，不能把共线的退化图形算作三角形。
SAS： 一条边重合后，夹角确定另一边的方向，另一边的长度确定第三顶点。缺少“夹角”，第三顶点可能有不同位置。
ASA： 夹边重合后，它两端的角确定两条射线，非退化时交点唯一。
AAS： 两个角对应相等，第三个角由内角和也相等。补出第三角后，给定边就成为适当两角之间的夹边，可转用 ASA。
HL： 只适用于直角三角形。学过勾股定理后，设共同斜边为 $h$ 、一条对应直角边为 $a$ ，另一边的平方都等于 $h^2-a^2$ ；正长度唯一，便可转为 SSS。这里须有 $h>a>0$ 。

直角三角形也可以使用其他合法判据。例如两条直角边对应相等，夹角又都为 $90^\circ$ ，可以用 SAS，而不必硬套 HL。

二、考点方法与例题

1. 按字母找对应，再处理线段或角的和差

逐个写出对应顶点，不按图上“左边、右边”猜。
两端点对应确定对应边，角顶点对应确定对应角。
所求不是整条对应边、整个对应角时，再按点序或射线顺序相加、相减。

最长边与最长边、最大角与最大角可以帮助核查，但有相等元素时仍以同一套顶点对应为准。公共点、公共边也不能不经核对就指定为对应元素。

例题 01 重叠线段中的长度知识清单例题

题目

如图, $\triangle EFG \cong \triangle NMH$ , $E\text{、}H\text{、}G\text{、}N$ 在同一条直线上, 若 $EH = 1.1 \mathrm{~cm}, NH = 3.3 \mathrm{~cm}$ , 求线段 $HG$ 的长.

答案与解析

解析

由 $\triangle EFG\cong\triangle NMH$ ，得 $EG=NH=3.3\text{ cm}$ 。原点序为 $E-H-G-N$ ，故

HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2\text{ cm}.

也可以由 $EH+HG=NG+HG$ 得 $NG=EH=1.1\text{ cm}$ ，再用 $HG=NH-NG$ 。两种减法都要以原点序为依据。

本题结论

$HG=2.2\text{ cm}$ 。

例题 02 对应角与两次外角关系知识清单例题

题目

如图, $\triangle AFB \cong \triangle AEC$ , $\angle A = 60^{\circ}$ , $\angle B = 26^{\circ}$ , 求 $\angle BOC$ 的度数.

答案与解析

解析

由对应顺序， $\angle C=\angle B=26^\circ$ 。

$\angle BEC$ 是 $\triangle AEC$ 在 $E$ 处的外角，故

\angle BEC=60^\circ+26^\circ=86^\circ.

$E,O,C$ 共线，所以 $\angle BOC$ 又是 $\triangle BOE$ 在 $O$ 处的外角：

\angle BOC=86^\circ+26^\circ=112^\circ.

每一步都先指定小三角形，再用外角等于两个不相邻内角之和。

本题结论

$\angle BOC=112^\circ$ 。

例题 03 用可到达的线段替代测距知识清单例题

题目

如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离,若 $\triangle PQO \cong \triangle NMO$ , 则只需测出 ( )

A.PO 的长

B.PQ 的长

C.MO 的长

D.MQ 的长

答案与解析

解析

$\triangle PQO\cong\triangle NMO$ 给出 $P\leftrightarrow N$ 、 $Q\leftrightarrow M$ 、 $O\leftrightarrow O$ ，所以 $PQ$ 对应 $NM$ 。

A 中的 $PO$ 对应 $NO$ ；C 中的 $MO$ 对应 $QO$ ；D 中的 $MQ$ 跨越两个图形，不是 $NM$ 的对应边。

本题结论

选 B，测量 $PQ$ 。

2. 先补齐条件，再选择判据

已有条件	优先寻找什么
两边对应相等	第三边用于 SSS；夹角用于 SAS；确为两个直角三角形时再检查 HL
两角对应相等	一条位置对应的边，用 ASA 或 AAS
一边及其对角对应相等	再找一对角，考虑 AAS
一边及其邻角对应相等	再找夹着该角的另一边，或再找适当的角

常见的隐藏条件来自公共边、公共角、对顶角、平行线、角平分线，以及等长线段或等角的同加同减。待证结论不属于已知条件。

下面五例各保留一种判据的完整书写，重点比较夹角、夹边和直角的位置。

例题 04 SSS：把短段接成对应边知识清单书写示例

题目

如图,点 E、F 在 BC 上,AB=DC,AF=DE, $BE = CF$ ，求证 $\triangle ABF\cong \triangle DCE.$

答案与解析

解析

原点序为 $B-E-F-C$ 。由 $BE=CF$ ，两边同加 $EF$ ，得 $BF=CE$ 。

在 $\triangle ABF$ 和 $\triangle DCE$ 中， $AB=DC$ 、 $AF=DE$ 、 $BF=CE$ ，所以由 SSS 得两三角形全等。

本题结论

$\triangle ABF\cong\triangle DCE$ 。

例题 05 SAS：对应边与夹角知识清单书写示例

题目

如图, 点 A、F、C、D 在一条直线上, $AB \parallel DE$ , AB = DE, AF = DC, 求证 $BC \parallel EF$ .

答案与解析

解析

$AF=DC$ ，两边同加 $FC$ ，得 $AC=DF$ 。由 $AB\parallel DE$ ，以 $AD$ 为截线，得 $\angle BAC=\angle EDF$ 。

$AB=DE$ 、夹角 $\angle BAC=\angle EDF$ 、 $AC=DF$ ，所以 $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ （SAS）。于是 $\angle ACB=\angle DFE$ ，这对内错角相等，故 $BC\parallel EF$ 。不能提前使用待证的平行关系来证明全等。

本题结论

$BC\parallel EF$ 。

例题 06 ASA：两端角夹住的边知识清单书写示例

题目

如图, 已知 D 是 AC 上一点, $AB = DA$ , $DE \parallel AB$ , $\angle B = \angle DAE$ , 求证 BC = AE.

答案与解析

解析

$D$ 在 $AC$ 上， $DE\parallel AB$ ，故 $\angle CAB=\angle ADE$ 。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DAE$ 中， $\angle CAB=\angle ADE$ 、 $AB=DA$ 、 $\angle B=\angle DAE$ 。给定边分别夹在两给定角之间，所以由 ASA 全等，得对应边 $BC=AE$ 。

本题结论

$BC=AE$ 。

例题 07 AAS：给定边不是夹边知识清单书写示例

题目

如图,已知 DF=CE, $\angle DAE=\angle CBF$ , $\angle D=\angle C$ , 求证 $\triangle AED\cong\triangle BFC$ .

答案与解析

解析

原点序为 $D-E-F-C$ 。 $DF=CE$ ，同减公共段 $EF$ ，得 $DE=CF$ 。

在 $\triangle AED$ 和 $\triangle BFC$ 中， $\angle DAE=\angle CBF$ 、 $\angle D=\angle C$ 、 $DE=CF$ 。 $DE$ 、 $CF$ 是第一对角的对边，而不是两给定角的夹边，因此用 AAS。

本题结论

$\triangle AED\cong\triangle BFC$ 。

例题 08 HL：先核两个直角知识清单书写示例

题目

如图,在 $\triangle ABC$ 中, $AB=CB,\angle ABC=90^{\circ},F$ 为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证 $\triangle ABE\cong\triangle CBF$ .

答案与解析

解析

$F$ 在 $AB$ 经过 $B$ 的延长线上，所以 $\angle CBF=180^\circ-\angle ABC=90^\circ$ ； $E$ 在 $BC$ 上， $\angle ABE$ 也为直角。

在直角三角形 $ABE$ 、 $CBF$ 中，斜边 $AE=CF$ ，一条直角边 $AB=CB$ ，由 HL 全等。先确认两个直角，才有使用 HL 的前提。

本题结论

$\mathrm{Rt}\triangle ABE\cong\mathrm{Rt}\triangle CBF$ 。

例题 09 添加一个足够的条件 2024 山东德州

题目

（2024 山东德州）如图，C 是 AB 的中点，CD = BE，请添加一个条件：____，使 $\triangle ACD \cong \triangle CBE$ .

答案与解析

解析

$C$ 是 $AB$ 中点，故 $AC=CB$ ；还已知 $CD=BE$ 。对应顺序应为 $A\leftrightarrow C$ 、 $C\leftrightarrow B$ 、 $D\leftrightarrow E$ 。

可添加 $AD=CE$ ，凑齐三边，用 SSS。也可添加两已知边之间的夹角相等，即 $\angle ACD=\angle CBE$ ，用 SAS。任意添加一个非夹角，并不保证足够。

本题结论

可填 $AD=CE$ ；答案不唯一。

网格中的垂线

正方形网格可以提供等长的水平、竖直边。下图红线连接的两个格点之间，横向相差3格、纵向相差1格；从两线相交的格点出发，灰线向右1格、向下3格。

分别补出水平、竖直的直角边，两小直角三角形的两条直角边分别为3格、1格，由 SAS 全等。设红线与水平线的锐夹角为 $\alpha$ ，对应角相等使灰线与竖直线的锐夹角也是 $\alpha$ 。灰线与水平线的另一锐角便为 $90^\circ-\alpha$ ，与红线的夹角是

\alpha+(90^\circ-\alpha)=90^\circ.

因此两线垂直。这里用的是正方形网格；若横纵格距不同，只交换格数，不一定保持实际边长。

3. 共顶点的角相减，建立新的全等

两组等边绕同一顶点展开时，常先从两个相等的大角中减去公共小角，得到另一对夹角。随后使用 SAS。若还要研究更小的图形，应逐层提取上一组全等给出的边角，不能直接跳到最后的对应关系。

例题 10 两个整体角的公共部分知识清单例题

题目

如图, $AB = AC$ , $AD = AE$ , $\angle BAC = \angle DAE$ . 求证: $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ .

答案与解析

解析

原射线按 $AB,AD,AC,AE$ 排列。

\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC,\qquad \angle DAE=\angle DAC+\angle CAE.

两大角相等，同减 $\angle DAC$ ，得 $\angle BAD=\angle CAE$ 。

再用 $AB=AC$ 、 $AD=AE$ ，两边及夹角对应相等，故 $\triangle ABD\cong\triangle ACE$ （SAS）。两组等腰边本身还不够，相等的旋转角是夹角相等的来源。

本题结论

$\triangle ABD\cong\triangle ACE$ 。

例题 11 一组全等怎样带出另一组知识清单例题

题目

如图, 已知 Rt△ABC≌Rt△ADE, ∠ABC = ∠ADE = 90°, 连接 CD、EB.

(1) 图中还有几对全等三角形？请你一一列举.
(2) 求证: CF = EF.

答案与解析

解析

第一种路线：先 SAS，再 AAS。

原全等给 $AC=AE$ 、 $AB=AD$ 、 $\angle CAB=\angle EAD$ 。同减 $\angle DAB$ 得 $\angle CAD=\angle EAB$ ，所以

\triangle ACD\cong\triangle AEB\quad(\mathrm{SAS}).

由此 $CD=EB$ 、 $\angle ADC=\angle ABE$ 。两大角分别减去原已知的直角，得 $\angle CDF=\angle EBF$ 。再配对顶角 $\angle DFC=\angle BFE$ ，用 AAS 得

\triangle CDF\cong\triangle EBF,\qquad CF=EF.

第二种路线：连接公共斜边。

连接 $AF$ 。直角三角形 $ABF$ 、 $ADF$ 有公共斜边 $AF$ ，且 $AB=AD$ ，由 HL 全等，得 $BF=DF$ 。原 $BC=DE$ ，且 $B-F-C$ 、 $D-F-E$ 按序，故

CF=BC-BF=DE-DF=EF.

第二种方法添加了 $AF$ ，不把新加线后的三角形算进第（1）问原图的统计。

本题结论

（1）原图另外两对为 $\triangle ADC\cong\triangle ABE$ 、 $\triangle CDF\cong\triangle EBF$ 。（2） $CF=EF$ 。

4. 同一直线上的垂足：先全等，后读点序

同一条直线上出现两个垂足，又有一个直角顶角时，可以用“同角的余角相等”补角。但还必须有对应边相等，才能由 AAS 证明全等。得到对应线段后，重新按每幅图的共线点顺序写和、差。

例题 12 转动直线后的三种位置知识清单例题·改编明确转线位置

题目

如图1, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC=90^{\circ}$ , $AB=AC$ , $AE$ 是过点 $A$ 的一条直线, 且 $B$ 、 $C$ 在 $AE$ 的异侧, $BD\perp AE$ 于 $D$ , $CE\perp AE$ 于 $E$ .

(1) 求证: $BD = DE + CE$ .
(2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到如图 2 所示的位置 ( $BD<CE$ )，保留直角、 $AB=AC$ 及两垂线条件，点的位置以本问图示为准， $B,C$ 此时在 $AE$ 同侧，则 BD 与 DE, CE 满足什么数量关系？并证明.
(3) 若直线 AE 绕 A 点旋转到如图 3 所示的位置 ( $BD>CE$ )，保留直角、 $AB=AC$ 及两垂线条件，点的位置以本问图示为准， $B,C$ 此时在 $AE$ 同侧，则 BD 与 DE，CE 满足什么数量关系？请直接写出结果，不需证明.

图 1

图 2

图3

答案与解析

解析

三图中的垂直给 $\angle ADB=\angle AEC=90^\circ$ ；由原 $\angle BAC=90^\circ$ ，结合相应角的余角关系，得 $\angle ABD=\angle CAE$ 。再有 $AB=CA$ ，所以三幅非退化图中均有

\triangle ABD\cong\triangle CAE\quad(\mathrm{AAS}),\qquad BD=AE,\quad AD=CE.

图1按 $A-D-E$ 排列， $AE=AD+DE$ ，所以 $BD=CE+DE$ 。
图2按 $D-A-E$ 排列， $AE=DE-AD$ ，所以 $BD=DE-CE$ 。
图3仍按 $D-A-E$ 排列，所以同样 $BD=DE-CE$ 。

图2的 $BD<CE$ 与图3的 $BD>CE$ ，只改变两条长度的大小比较，不改变上述点序。不能据这两个不等式自行把差式改成和式。

本题结论

（1） $BD=DE+CE$ ；（2） $BD=DE-CE$ ；（3） $BD=DE-CE$ 。

5. 倍长中线，把两条原边接进同一三角形

中点已经提供一对等长线段。把经过中点的线段延长同样长度，再用对顶角，可形成“边、角、边”。这样能把原来分散的长度搬到同一三角形中，再用三边关系。

例题 13 中线长度的范围知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 12$ , $AC = 8$ , $AD$ 是 $BC$ 边上的中线, 求 $AD$ 的取值范围.

答案与解析

解析

延长 $AD$ 到 $H$ ，使 $DH=AD$ ，连接 $BH$ 。

$BD=CD$ 、 $DH=DA$ 、 $\angle BDH=\angle CDA$ （对顶角），所以 $\triangle BDH\cong\triangle CDA$ （SAS），得到 $BH=CA=8$ 。

在 $\triangle ABH$ 中， $AB=12$ 、 $BH=8$ ，且 $AH=2AD$ ，因此

12-8<2AD<12+8,

即 $2<AD<10$ 。反过来，任意满足 $4<AH<20$ 的长度都能与 $12,8$ 构成非退化三角形；以 $AH$ 中点作对应构造，能恢复原三角形，所以这是完整范围，不只是必要限制。

两端等号都会使图形退化，不能把 $2$ 、 $10$ 当成可取得的最小值、最大值。

本题结论

$2<AD<10$ 。

6. 截长补短，把和式转成对应边相等

证明一条线段等于另外两条之和，可以在长段上截出一段，证明余段等于另一段；也可以延长一条短段，证明延长后的整段等于目标长段。圆规保证截出的长度，点序保证相加，剩下的等量要用全等证明。

“长段”不能只凭图上看起来较长。若截点必须在线段内部，先证明这个位置可实现，不能拿待证和式来反过来保证作图。

例题 14 同一线段和的两种证明知识清单例题

题目

如图, $AC \parallel BD$ , $AE$ 、 $BE$ 分别平分 $\angle CAB$ 和 $\angle DBA$ , $CD$ 过点 $E$ . 求证: $AB = AC + BD$ .

答案与解析

解析

先说明截点的位置。 由 $AC\parallel BD$ ， $\angle CAB+\angle DBA=180^\circ$ ；两角分别被平分，故 $\angle AEB=90^\circ$ 。又 $C,E,D$ 共线，得 $\angle CEA+\angle BED=90^\circ$ ，所以 $\angle CEA<90^\circ$ 。

在射线 $AB$ 上取 $AF=AC$ 。 $AE$ 公共， $\angle CAE=\angle EAF$ ，由 SAS 得 $\triangle ACE\cong\triangle AFE$ 。于是 $\angle AEF=\angle CEA<\angle AEB$ ，故 $EF$ 落在直角 $AEB$ 内部，与射线 $AB$ 相交的 $F$ 在 $A,B$ 之间。这独立保证了 $AC<AB$ 。

证法一：截长。

第一组全等给 $\angle AFE=\angle ACE$ 。 $AC\parallel BD$ ，故 $\angle ACE+\angle BDE=180^\circ$ ；又 $A,F,B$ 共线， $\angle AFE+\angle EFB=180^\circ$ ，所以 $\angle EFB=\angle BDE$ 。

再有 $\angle EBF=\angle EBD$ 、 $BE$ 公共，由 AAS 得 $\triangle EFB\cong\triangle EDB$ ，故 $FB=BD$ 。因此

AB=AF+FB=AC+BD.

证法二：补短。 延长 $AC$ 到 $G$ ，使 $AG=AB$ ，连接 $EG$ 。

由 $AG=AB$ 、 $AE$ 公共及 A 处半角相等，得 $\triangle AEG\cong\triangle AEB$ （SAS），故 $EG=EB$ 、 $\angle AGE=\angle ABE=\angle EBD$ 。

$AC\parallel BD$ 给 $\angle GCE=\angle BDE$ 。于是 $\triangle CEG\cong\triangle DEB$ （AAS），得 $CG=DB$ 。所以

AB=AG=AC+CG=AC+BD.

两种方法都经历两次全等；只证明第一组，还不足以得到目标和式。

本题结论

$AB=AC+BD$ 。

7. 延长垂线段，先形成两段相等

角平分线与某条线段垂直时，可把垂线段延到角的另一边所在直线。两直角、两个半角与公共边常能组成 ASA，得到垂线段两侧相等。如果目标还涉及别的线段，须再建立第二组对应关系。

例题 15 倍长关系中的两次全等知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle AOB$ 中, $OA = OB$ , $\angle AOB = 90^{\circ}$ , $BD$ 平分 $\angle ABO$ 交 $OA$ 于点 $D$ , $AE \perp BD$ 交 $BD$ 的延长线于点 $E$ . 求证: $BD = 2AE$ .

答案与解析

解析

延长 $AE$ 、 $BO$ 交于 $F$ 。 $\angle AEB=\angle FEB=90^\circ$ ， $BD$ 平分 $\angle ABO$ ，故 $\angle ABE=\angle FBE$ ； $BE$ 公共，由 ASA 得 $\triangle ABE\cong\triangle FBE$ 。于是 $AE=EF$ ，且按 $A-E-F$ 点序， $AF=2AE$ 。

但目标是 $BD$ ，还需证明 $BD=AF$ 。

$\angle BDO=\angle ADE$ 为对顶角， $\angle OBD$ 、 $\angle FAO$ 分别是它们的余角，所以 $\angle OBD=\angle FAO$ 。配 $BO=AO$ 及 $\angle BOD=\angle AOF=90^\circ$ ，由 ASA 得 $\triangle BDO\cong\triangle AFO$ ，故 $BD=AF$ 。

最终 $BD=AF=AE+EF=2AE$ 。

本题结论

$BD=2AE$ 。

8. 把目标面积拆成公共块与可替换块

目标四边形不易直接套面积公式时，先连合适的线把它分成两块。保留其中的公共块，用全等把另一块换到相邻位置，尝试拼成面积已知的三角形。面积相等来自全等，不是仅凭示意图的大小。

例题 16 全等替换一块面积 2024 广东广州

题目

(2024 广东广州) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 90^{\circ}$ , AB = AC = 6, D 为边 BC 的中点, 点 E, F 分别在边 AB, AC 上, AE = CF, 则四边形 AEDF 的面积为 ( )

A.18

B. $9\sqrt{2}$

C.9

D. $6\sqrt{2}$

答案与解析

解析

连接 $AD$ 。 $AB=AC$ 、 $BD=CD$ 、 $AD$ 公共，先用 SSS 得 $\triangle ABD\cong\triangle ACD$ ，所以 $AD$ 平分 A 处直角，且 $AD\perp BC$ 。

$\angle DAE=45^\circ$ ； $\triangle ADC$ 另一个锐角也为 $45^\circ$ ，所以 $AD=CD$ 。再配 $AE=CF$ 与 $\angle DAE=\angle DCF=45^\circ$ ，SAS 得 $\triangle DAE\cong\triangle DCF$ 。

因此

S_{AEDF}=S_{DAE}+S_{DAF}=S_{DCF}+S_{DAF}=S_{ACD}.

$D$ 是 $BC$ 中点，中线分成等面积两块，故

S_{AEDF}=\frac12S_{ABC}=\frac12\times\frac12\times6\times6=9.

A 是整个 $ABC$ 的面积；D 的数值是斜边长度，不是面积；B 也不符合面积计算。

本题结论

选 C，面积为 $9$ 。

9. 开放条件：选作结论的句子不能先用

先保留所有固定背景，再从候选条件中选出两条。没有选作已知的那条必须当作待证；若要声称任意两条都可以，应逐组检查。本例还用到等腰三角形的“等边对等角、等角对等边”，可在学过等腰三角形后回看。

例题 17 三个条件任选两个知识清单例题

题目

如图， $EG\parallel AF$ 。从① $AB=AC$ 、② $DE=DF$ 、③ $BE=CF$ 中选两个作已知，剩下一个作结论，构成真命题并证明，只需写一种。

原图 $E$ 在 $AB$ 上， $G,D$ 在 $BC$ 上， $F$ 在 $AC$ 的延长线上， $E,D,F$ 共线。

答案与解析

解析

选①②作已知，求证③。

$AB=AC$ ，所以 $\angle B=\angle BCA$ 。 $EG\parallel AF$ ，故 $\angle BGE=\angle BCA$ 。于是 $\triangle BEG$ 中 $\angle B=\angle BGE$ ，得到 $BE=EG$ 。

另一方面， $\angle GED=\angle CFD$ （平行线）， $\angle EDG=\angle FDC$ （对顶角），又 $DE=DF$ ，所以

\triangle DEG\cong\triangle DFC\quad(\mathrm{ASA}).

得 $EG=CF$ ，结合 $BE=EG$ ，最终 $BE=CF$ 。

其余选法为什么也可行？ 记 $x=BE$ 、 $y=EG$ 、 $z=CF$ 。在固定背景下，①由平行角关系及等腰性质、判定等价于 $x=y$ ；②由上述两角关系及 ASA/AAS 等价于 $y=z$ ；③就是 $x=z$ 。三个等量关系中，任意两条推出第三条。逆选时以 $EG=CF$ 作给定边，用 AAS，而不是仍写夹边 $DE=DF$ 已知。

本题结论

可选①②作已知，证明③；也可选①③证明②，或选②③证明①。

三、坑点条件与辨析

1. 共用一个点，不一定把它对应到自身

顶点的物理位置与全等书写中的对应关系是两件事。先逐字配对，再计算角度，尤其要检查两个三角形共用的字母。

辨析 01 两种共顶点情况原题合组·2024 山东济南、四川成都

题目

（1）（2024山东济南）如图，已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEC, \angle A = 60^{\circ}, \angle B = 40^{\circ}$ ，则 $\angle DCE$ 的度数为（）

A. ${40}^{ \circ }$

B. $60^{\circ}$

C. ${80}^{ \circ }$

D. $100^{\circ}$

（2）（2024 四川成都）如图， $\triangle ABC \cong \triangle CDE$ ，若 $\angle D = 35^{\circ}$ ， $\angle ACB = 45^{\circ}$ ，则 $\angle DCE$ 的度数为 ____.

答案与解析

解析

（1） $\triangle ABC\cong\triangle DEC$ 中， $C$ 对应 $C$ 。先算 $\angle ACB=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ$ ，故 $\angle DCE=80^\circ$ ，选 C。40°、60°来自其他对应顶点；100°是80°的补角，不是本问内角。

（2） $\triangle ABC\cong\triangle CDE$ 中，原 $C$ 对应新 $E$ ，所以 $\angle CED=45^\circ$ 。在 $\triangle CDE$ 内， $\angle DCE=180^\circ-35^\circ-45^\circ=100^\circ$ 。