变量与函数

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一张路程图、一条收费规则，都在描述“一个量怎样随另一个量变化”。读函数，先认清两个量，再看对应规则和允许范围；图象上的高低、陡缓、转折才有具体含义。

一、知识点概念与依据

1. 变量与常量要放在同一过程中判断

在一个变化过程中，数值发生改变的量叫变量，数值保持不变的量叫常量。

判断依据	正确理解	不能据此判断
是否在本过程中变化	匀速运动中的速度保持不变，是常量	用字母表示的就都是变量
题目固定了什么	固定周长时，长和宽可变，周长不变	没有给出具体数值的都是变量
研究的是哪个过程	同一物体的速度在匀速、加速过程中身份不同	速度永远是常量

常量不等于“已知量”，变量也不等于“未知量”。先说清过程，再判断各个量；几个量之间还可能受同一个等式约束，并非可以各自随意变化。

2. 函数：给定一个输入，恰有一个输出

在某个变化过程中，有两个变量 $x,y$ 。如果对于 $x$ 在允许范围内的每一个确定值， $y$ 都有唯一确定的值与它对应，就说 $y$ 是 $x$ 的函数； $x$ 叫自变量。

必须满足	可以出现
每个允许输入都有输出	不同输入得到相同输出
同一输入只能有一个输出	某一段内输出始终不变
对应规则与输入范围明确	图象分成几支，只要同一输入不对应多个输出

“唯一”检查的方向是 $x\longrightarrow y$ ，不能反过来。比如， $y=x^2$ 对每个实数 $x$ 都给出一个平方值；但给定 $y=9$ ，反求 $x$ 有 $3,-3$ 两个值，不妨碍 $y$ 是 $x$ 的函数。

图象上，固定一个横坐标相当于画一条竖直线：它与图象有两个不同交点，就出现了同一 $x$ 对应两个 $y$ 。水平线与图象相交多次则不一定有问题。

3. 函数值与自变量范围

当自变量取某个允许值时，相应的 $y$ 值叫函数值。给 $x$ 求 $y$ 是代入求值；给 $y$ 求 $x$ 则是解方程，求出后仍要检查范围。

表达式或情境	必须满足的条件	边界注意
整式	对任意实数都有意义	不要无故加“非负”条件
分式	每个分母都不能为 $0$	分子可以为 $0$
二次根式	每个被开方数都不小于 $0$	根号内的 $0$ 可以取
零次幂、负整数次幂	底数不能为 $0$	如 $(x-1)^0$ 、 $(x-1)^{-2}$ 都要求 $x\ne1$
实际问题	再加时间、长度、件数等限制	件数通常为整数，长度可能必须为正

几条条件要同时满足。先查算式，再查题意，最后取公共范围。例如 $y=\sqrt{x-2}$ 要求 $x\ge2$ ；如果还表示只持续到第 $8$ 秒的过程，就要再限定 $x\le8$ ，不能只保留根式条件。

4. 同一函数的三种表示

表示方法	怎么读	擅长说明什么	局限
列表法	输入、输出按列或按行一一配对	直接查已列出的值	未列出的值未必能确定
解析式法	按规则代入允许输入	精确计算与代数推理	必须连同适用范围阅读
图象法	点 $(a,b)$ 表示输入 $a$ 对应输出 $b$	增减、转折、交点和整体趋势	未标刻度的示意图不能任意估作精确值

画图一般先列表、描点，再根据规则决定怎样连接。不是描了几个点就一律用线连起来：时间可连续变化，排号、购买件数却只能取整数。有限几个观测值，也不能唯一确定所有未观测时刻的规律。

5. 图象的高低、陡缓和平台

先读坐标轴上的量、单位、刻度，再解释图形。

图象特征	能直接说明	还不能直接说明
向右升高	在该段，输入增大时输出增大	每次都增加同样多
向右降低	在该段，输入增大时输出减小	对象一定反向运动
水平的一段	所画的输出量不变	所有量都不变、动点一定停止
直线段较陡	同一坐标尺度下，单位输入对应较大的输出变化	不同坐标尺度下也能直接比快慢

一段直线中，单位输入对应的输出变化为

\frac{\text{末输出}-\text{初输出}}{\text{末输入}-\text{初输入}}.

若纵轴是累计路程、横轴是时间，这个比值就是该段平均速度。纵轴换成面积、温度、电量，含义也要随之改变，不能只凭形状套“速度”。

6. 分阶段读，分阶段写

动点转入另一条边、车辆开始休息、水位越过物体顶面，变化规则都可能改变。一个函数可以分段表示，但每一段的式子要与它的输入范围一起使用。

按实际过程找分界，不凭图形外观把时间等分。
每段分别找对应关系，累计路程要减去前面已经走过的部分。
核对衔接处的值与端点是否允许取。

连续移动的面积在衔接处应一致；题目排除终点时，代数式即使能算出该点，也不能把它补入图象。

二、考点方法与例题

1. 从固定条件写关系式

先找不变量，再用它表示另一个量，最后代入面积、角和、路程等关系。关系式之外，还要回答“哪些量会变”和“在哪个范围内变化”。

例题 01 固定周长与直角条件知识清单例题

题目

写出关系式，并指出其中的变量和常量。

（1）用长 $20\,\mathrm{cm}$ 的铁丝围成长方形，一边长为 $x\,\mathrm{cm}$ ，面积为 $S\,\mathrm{cm^2}$ 。

（2）直角三角形的两个锐角分别为 $\alpha,\beta$ 。

答案与解析

解析

（1）设邻边长为 $b$ 。由周长不变， $2x+2b=20$ ，得 $b=10-x$ 。因此

S=x(10-x),\qquad 0<x<10.

在改变长方形形状的过程中， $x,S$ 是变量；周长 $20$ 和两邻边之和 $10$ 保持不变，是常量。

（2）三角形内角和为 $180^\circ$ ，直角占 $90^\circ$ ，所以 $\alpha+\beta=90^\circ$ ，即 $\alpha=90^\circ-\beta$ 。两个锐角可改变， $90^\circ$ 不变。两锐角都在 $0^\circ$ 与 $90^\circ$ 之间。

本题结论

（1） $S=x(10-x)$ ， $x,S$ 为变量， $20,10$ 为常量。（2） $\alpha=90^\circ-\beta$ ， $\alpha,\beta$ 为变量， $90^\circ$ 为常量。

2. 判断是否为函数

对解析关系，固定一个允许的 $x$ ，求出全部可能的 $y$ ；对图象，用竖直线检查。找到一个输入对应两个不同输出，就足以否定；不能擅自只保留其中一支。

例题 02 四幅图中的对应关系知识清单例题

题目

下列图象中，不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是哪一个？

答案与解析

解析

A 中每个横坐标只对应直线上一个点。B 向右张开，在一些正横坐标处，竖直线同时交到上、下两支，出现两个不同的纵坐标。

C 虽有两支，但正、负输入分别落在不同分支，每个允许输入仍只有一个输出； $x=0$ 不在它的允许范围。D 的左右两部分可以有相同高度，但同一横坐标只有一个点。

本题结论

选 B。

3. 把所有限制取公共部分

逐个检查分母和根号，不要把几个根号的被开方数先相加再判断。表达式有限制时写出限制；没有限制时明确写全体实数。

例题 03 几类表达式的允许输入知识清单例题·合组；第（5）问 2024 山东滨州

题目

求下列函数中自变量 $x$ 的取值范围。

（1） $y=3x-2$ 。

（2） $y=\dfrac1{1-x}$ 。

（3） $y=\sqrt{x+3}$ 。

（4） $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}$ 。

（5） $y=\dfrac1{x-1}$ 在实数范围内有意义时， $x$ 的取值范围是什么？

答案与解析

解析

（1）整式没有额外的实数运算限制， $x$ 可取全体实数。

（2） $1-x\ne0$ ，得 $x\ne1$ 。

（3） $x+3\ge0$ ，得 $x\ge-3$ 。

（4）两个根号分别要求 $x\ge3$ 、 $x\le5$ ，同时满足得到 $3\le x\le5$ 。

（5） $x-1\ne0$ ，得 $x\ne1$ 。与（2）的分母相反，不改变分母的零点，因此范围相同。

本题结论

依次为：全体实数； $x\ne1$ ； $x\ge-3$ ； $3\le x\le5$ ； $x\ne1$ 。

4. 代入求值与按情境建式

给定输入，先检查是否合法，再整体代入，负数保留括号。实际收费要看优惠针对全部金额还是超出部分，不能把一句“八折”套到全部价款。

例题 04 同一规则的两个输入知识清单例题

题目

已知 $y=2x-3$ ，求 $x$ 取 $2$ 和 $-2$ 时的函数值。

答案与解析

解析

当 $x=2$ 时， $y=2\times2-3=1$ 。

当 $x=-2$ 时， $y=2\times(-2)-3=-4-3=-7$ 。

输入改变符号，常数 $-3$ 并不随之改变符号，不能把第一次的结果简单取相反数。

本题结论

$x=2$ 时 $y=1$ ； $x=-2$ 时 $y=-7$ 。

例题 05 超出部分打折知识清单例题

题目

商场规定：一次性购买粽子超过 $100$ 元，超过 $100$ 元的部分按八折优惠。礼盒单价 $60$ 元，购买 $x$ 件，题设 $x>2$ 。应付款 $y$ 元与 $x$ 有怎样的关系？

答案与解析

解析

先按原价算总金额 $60x$ 。前 $100$ 元不打折，剩余 $60x-100$ 元按八折支付：

y=100+0.8(60x-100)=48x+20.

题目给 $x>2$ ，又因件数为整数，本题使用范围是 $x=3,4,5,\ldots$ 。这里的 $20$ 来自展开合并，并不是题目另外发放的补贴。

本题结论

$y=48x+20$ ，其中 $x>2$ 且为整数。

例题 06 测距的计时包含哪两段 2024 广西

题目

激光测距仪 $L$ 发出的激光束以 $3\times10^5\,\mathrm{km/s}$ 射向目标 $M$ ， $t$ 秒后收到反射回来的激光束。 $L$ 到 $M$ 的距离 $d$ （千米）与 $t$ 的关系式是（　）。

A. $d=\dfrac{3\times10^5}{2}t$

B. $d=3\times10^5t$

C. $d=2\times3\times10^5t$

D. $d=3\times10^6t$

答案与解析

解析

这段时间包括去程和回程，各走 $d$ 千米，总路程为 $2d$ 。由路程等于速度乘时间，

2d=3\times10^5t,\qquad d=\frac{3\times10^5}{2}t.

B 算的是往返总路程；C 又把总路程加倍；D 无题目支持的十倍关系。速度的时间单位是秒，与 $t$ 一致。

本题结论

选 A。

5. 注水题先比较可用截面积

匀速注水指相同时间注入相同体积，不代表水位等速上升。在水平截面积固定的一层，

\text{高度增量}=\frac{\text{注入的体积}}{\text{可容水的水平截面积}}.

所以可用截面积越小，水位升得越快。遇到固定实心物体，要先从容器截面积中扣掉物体占用的面积，再按水从底向上的顺序分段。

例题 07 容器形状与水位图象知识清单例题·合组；第（2）问 2024 湖北武汉·改编，明确物体位置不变

题目

（1）均匀地向一个容器内注水，注满水的过程中，水面高度 $h$ 与时间 $t$ 的关系如图。该容器可能是哪一个？

（2）一个圆柱形水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，如图。两圆柱体在注水过程中保持图示位置不变。向水槽匀速注水，哪幅图象能大致反映水深 $h$ 与注水时间 $t$ 的关系？

答案与解析

解析

（1）图象先陡后缓，且两段都是直线，说明下层可用截面积小且固定，上层较大且固定。D 符合。A 等截面应始终同速；B 下宽上窄应先慢后快；C 截面逐渐变化，不能匹配两段恒速。

（2）从下向上，可容水的截面积依次为“水槽面积减大柱面积”“水槽面积减小柱面积”“整个水槽面积”，逐渐变大。因此水位连续上升，三段速度依次变小，图象由陡到缓，选 D。A 后面更陡，B、C 中间出现加快，都与实际截面积变化相反。

本题结论

（1）D；（2）D。

6. 用初始状态与最终趋势选曲线

先看初值，再看上升还是下降，最后看趋向稳定还是持续改变。实际过程的前提不能省：恒温热水与正在冷却的热水，会给出不同趋势。示意曲线能判断趋势，不一定能算出精确时刻。

例题 08 温度计的读数怎样变化 2024 江西

题目

把常温中的温度计插入一杯恒温的 $60^\circ\mathrm C$ 热水中，温度计读数 $y$ 与时间 $x$ 的关系可近似表示为哪幅图象？

答案与解析

解析

温度计初温低于热水温度，读数应上升。接近水温时，变化逐渐减缓，最后在测量精度内稳定，C 符合。

A 始终按相同速度上升，B 越来越快，D 上升后又下降，都不符合题定恒温环境中的近似变化。图象不提供精确到达稳定读数的时刻，不凭它虚构时间。

本题结论

选 C。

7. 把面积图转成几何量

先判断动点在什么位置时面积最大，再把峰值翻译为底与高的关系。总时间乘速度给的是沿路线的路程，不一定是两端的直线距离。题目给直角时，才能调用勾股定理。

例题 09 面积峰值与折线路程 2024 四川广元

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB=90^\circ$ 。点 $P$ 从 $A$ 出发，沿 $A\to C\to B$ 以 $1\,\mathrm{cm/s}$ 匀速运动到 $B$ 。图②是 $\triangle ABP$ 的面积 $y$ 随时间 $x$ 的变化图象。斜边 $AB$ 的长为（　）。

A. $5\,\mathrm{cm}$ 　B. $7\,\mathrm{cm}$ 　C. $3\sqrt2\,\mathrm{cm}$ 　D. $2\sqrt3\,\mathrm{cm}$

答案与解析

解析

$P$ 到达 $C$ 时， $\triangle ABP$ 就是整个 $\triangle ABC$ ，面积达到 $6\,\mathrm{cm^2}$ ，所以

AC\cdot BC=2\times6=12.

全程 $7$ 秒、速度 $1\,\mathrm{cm/s}$ ，故 $AC+BC=7$ 。用完全平方公式：

AC^2+BC^2=(AC+BC)^2-2AC\cdot BC=49-24=25.

因为 $C$ 是直角，勾股定理给 $AB^2=25$ ，取正长度 $AB=5\,\mathrm{cm}$ 。 $7$ 是两条直角边之和，不是斜边；其余选项平方分别为 $18,12$ ，也不等于 $25$ 。

本题结论

选 A，斜边长 5 cm。

三、坑点错因与边界

1. 把唯一性的方向反过来

函数要求的是给定 $x$ 能确定 $y$ ，并不要求给定 $y$ 也只能找到一个 $x$ 。检查平方关系时，不能为使它符合定义而自行删掉负根。

辨析 01 四种对应关系知识清单例题

题目

关于变量 $x,y$ 有以下关系：① $x-y=5$ ；② $y^2=2x$ ；③ $y=|x|$ ；④ $y=\dfrac3x$ 。其中 $y$ 是 $x$ 的函数的是（　）。

A. ①②③　B. ①②③④　C. ①③　D. ①③④

答案与解析

解析

①可化为 $y=x-5$ ，每个 $x$ 给出唯一值。

②取 $x=1$ ，得到 $y=\sqrt2$ 或 $y=-\sqrt2$ ，一个输入对应两个输出，不成立。

③绝对值对每个输入都有唯一结果；正、负输入可能给同一个输出，不违反定义。

④在 $x\ne0$ 的范围内，每个输入都有唯一输出。不能因范围外的 $x=0$ 没有值，就否定整个函数。

本题结论

①③④成立，选 D。

2. 只检查根号，漏掉分母

“根号内可以为零”与“分母不能为零”是不同位置的条件。分子等于零通常合法，不能把所有地方都写成“不为零”。

辨析 02 两个位置分别检查知识清单例题

题目

求 $y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-1}$ 的自变量取值范围。

答案与解析

解析

根号要求 $x+3\ge0$ ，即 $x\ge-3$ ；分母要求 $x-1\ne0$ ，即 $x\ne1$ 。二者必须同时成立。

回查边界： $x=-3$ 时分子为 $0$ 、分母为 $-4$ ，函数值为 $0$ ，可以取。 $x=1$ 虽使根号有意义，却使分母为零，不能取。

本题结论

$x\ge-3$ 且 $x\ne1$ 。

3. 把累计量当成每段新增量

累计路程图中，后一时刻的数已经包括前面走过的路。求一段新增路程要相减；求全程总路程读终点，不能把中途累计值再加一次。

辨析 03 登山图中的总路程知识清单例题

题目

小明从山脚爬到山顶，中途休息了一段时间。所用时间 $t$ （分钟）与所走路程 $s$ （米）的关系如图。下列说法错误的是（　）。

A. 中途休息 20 分钟。

B. 休息前平均速度为每分钟 70 米。

C. 全过程走了 6600 米。

D. 休息前平均速度大于休息后平均速度。

答案与解析

解析

平台从第 $40$ 分钟持续到第 $60$ 分钟，休息 $60-40=20$ 分钟，A 正确。

前段平均速度 $2800\div40=70$ 米/分。后段新增路程为 $3800-2800=1000$ 米，用时 $100-60=40$ 分钟，平均速度为 $25$ 米/分。因此 B、D 正确。

最后累计路程是 $3800$ 米。把 $2800$ 与 $3800$ 相加，会把前段重复计算一次。

本题结论

错误的是 C；总路程 3800 米。

4. 面积不变不等于动点停止

图象的平台只说明纵轴所表示的量不变。面积题应固定底，再看垂高；动点沿平行于底的直线移动时，高可以保持不变。

辨析 04 长方形边上的动点知识清单例题

题目

长方形 $ABCD$ 中， $AB=2,BC=1$ 。点 $P$ 从 $B$ 出发，沿 $B\to C\to D$ 匀速运动。 $\triangle ABP$ 的面积 $S$ 与点 $P$ 运动路程 $x$ 的关系图象大致是哪一个？

答案与解析

解析

固定底 $AB=2$ 。

从 $B$ 到 $C$ ，高为 $BP=x$ ，所以 $S=\frac12\times2\times x=x$ ， $0\le x\le1$ 。
从 $C$ 到 $D$ ， $CD\parallel AB$ ，点到直线 $AB$ 的距离始终为 $1$ ，所以 $S=1$ ， $1<x\le3$ 。

在 $x=1$ 处两段接上；起点三点共线，面积取 $0$ 。因此图象先增后保持不变，选 B。A 错在后段仍增加；C 起点、趋势不符；D 的平台高度多算了一倍，漏掉面积公式中的 $\frac12$ 。

本题结论

选 B；平台表示面积不变，点仍沿 CD 运动。

5. 递增不等于每次等量增加

“越来越大”只比较先后的大小；“每次增加同样多”还要求等输入增量对应等输出增量。在同一坐标尺度下，后者表现为固定斜率的直线，不能只看曲线向右上升。

辨析 05 两幅用电关系图 2024 河南·情境缩写

题目

把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用会使电源线发热，存在安全隐患。研究得到时长一定时，电流 $I$ 与总功率 $P$ 的关系如图①，热量 $Q$ 与电流 $I$ 的关系如图②。下列结论错误的是（　）。

A. $P=440\,\mathrm W$ 时， $I=2\,\mathrm A$ 。

B. $Q$ 随 $I$ 增大而增大。

C. $I$ 每增加 $1\,\mathrm A$ ， $Q$ 的增加量相同。

D. $P$ 越大，电源线产生的热量 $Q$ 越多。

答案与解析

解析

图①标明 $440\,\mathrm W$ 对应 $2\,\mathrm A$ ，A 正确。

图②向右上升，B 正确；但图象越来越陡，相同电流增量对应的热量增量并不相同，所以 C 错误。

图①显示 $P$ 增大时 $I$ 增大，再由图②可知 $Q$ 增大，D 正确。这只能推出两个量同向变化，不能进一步断言它们按固定差值增加。

本题结论

选 C。