勾股定理

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勾股定理把直角条件转成三边的平方关系；逆定理把三边的关系转回直角。求边、求面积、作根号长度、求表面最短路，都先要认清所用的直角三角形。

一、知识点概念与依据

1. 直角、两条直角边与斜边

直角三角形的两个锐角互余；反过来，一个三角形中两个内角互余，第三个角就是直角。直角所对的边叫作斜边，另外两边叫作直角边。

直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。若两直角边长为 $a,b$ ，斜边长为 $c$ ，则

a^2+b^2=c^2.

要求的量	计算式	先核什么
斜边	$c=\sqrt{a^2+b^2}$	$a,b$ 夹直角
一条直角边	$a=\sqrt{c^2-b^2}$	$c$ 是斜边，且 $c>b>0$

边长必须统一单位。平方是面积量纲，开方后才是长度；实际边长取正根。字母 $c$ 不是自动指定的斜边，直角位置才是依据。

2. 同一块面积，两种计算方法

四角拼图。 取四个两直角边为 $a,b$ 、斜边为 $c$ 的全等直角三角形，放在边长 $a+b$ 的正方形四角。中心四条边都是 $c$ ；中心每个角等于 $180^\circ$ 减两个互余锐角，所以为直角，中心确是正方形。

两种面积表达给出

(a+b)^2=4\times\frac12 ab+c^2.

展开左边，得到 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ ，两边同减 $2ab$ ，便有 $a^2+b^2=c^2$ 。

弦图。 将同样的四个直角三角形放在边长 $c$ 的外正方形中，中心正方形边长为两直角边之差的绝对值，所以

c^2=4\times\frac12 ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.

两腿相等时，中心面积为零，等式仍成立，但不再称中心为非退化的小正方形。

等面积双拼图。 两幅图外边长同为 $a+b$ ，又放入相同的四个三角形。第一幅余下边长 $c$ 的正方形，第二幅余下边长 $a,b$ 的两个正方形。总面积相等，减去相同的四块，余下面积也相等。

青朱出入图。 沿图中标线分割，按同色的“出”“入”位置搬移而不缩放，原来两正方形的面积和不变，拼成边长 $c$ 的正方形。这是割补，不是仅凭颜色相同便断言两个任意图形等面积。

欧几里得的面积证明。 在直角三角形三边外侧作正方形。图中 $CA=FA=a$ 、 $AD=AB=c$ ， $\angle CAD$ 与 $\angle FAB$ 都由 $\angle CAB$ 加 $90^\circ$ 得到，所以 $\triangle CAD\cong\triangle FAB$ （SAS），面积相等。

$\triangle CAD$ 以 $AD$ 为底，高为 $DL$ ，面积是矩形 $ADLM$ 的一半。 $\triangle FAB$ 以 $FA$ 为底； $BC\parallel FA$ ， $CA\perp FA$ ，所以从 $B$ 到 $FA$ 的高等于 $CA$ ，面积为 $a^2/2$ 。于是矩形 $ADLM$ 的面积为 $a^2$ 。另一侧同理得到矩形 $MLEB$ 的面积为 $b^2$ 。两矩形组成边长 $c$ 的正方形，故 $c^2=a^2+b^2$ 。

同一平方关系还能说明：分别以三边作同一类图形时，若面积都可写成同一个常数 $k$ 乘边长平方，就有 $ka^2+kb^2=kc^2$ 。正方形取 $k=1$ ；以边为直径的圆取 $k=\pi/4$ ；等边三角形取 $k=\sqrt3/4$ 。不能把三种不同系数的图形随意混在一起相加。

3. 逆定理与三边平方比较

若一个三角形的两边平方和等于第三边平方，那么第三边所对的角为直角。 检验时先找实际最长边。

证明不能在尚未确认为直角的原三角形里先套勾股。另作两直角边为 $a,b$ 的直角三角形，它的斜边平方为 $a^2+b^2=c^2$ ，正长度为 $c$ 。新、旧三角形三边对应相等，由 SSS 全等，直角便传回原图。

给出三个正数满足 $a^2+b^2=c^2$ 时， $c$ 自动大于另外两边，且 $(a+b)^2=c^2+2ab>c^2$ ，所以 $a+b>c$ ，确实能组成三角形。

使用方向	从什么出发	得到什么
勾股定理	已确认直角	三边平方关系，是性质
勾股逆定理	三边平方关系	确认直角，是判定

进一步，先确认正三边能构成三角形，再将最长边记为 $c$ ：

比较结果	三角形类型
$a^2+b^2>c^2$	锐角三角形
$a^2+b^2=c^2$	直角三角形
$a^2+b^2<c^2$	钝角三角形

平方比较的依据。 先看任一角 $A$ ，令 $AB=a$ 、 $AC=b$ 、 $BC=c$ 。从 $C$ 向直线 $AB$ 作垂线，垂足为 $H$ ，以 $A$ 为原点、朝 $B$ 为正方向，记 $H$ 的有向位置为 $t$ 。勾股给

b^2=t^2+CH^2,\qquad c^2=(a-t)^2+CH^2,

相减得 $a^2+b^2-c^2=2at$ 。因 $a>0$ ，差值的正、零、负对应 $t$ 的正、零、负，也对应角 $A$ 的锐、直、钝。这允许垂足在延长线上；垂足恰为端点时，水平距离为零，式子仍成立。

若 $c$ 是最长边且 $a^2+b^2>c^2$ ，另外两角对应的平方差分别为 $b^2+c^2-a^2>0$ 、 $a^2+c^2-b^2>0$ ，所以另外两角也锐。这正是判整个三角形类型时不能省略“最长边”的原因。

若向最长边作高，垂足必在这条边内部：若落在一端外侧，到另一端的水平距离已大于最长边，再由勾股便会得到一腰更长，矛盾；垂足恰为端点时，另一腰也是更长的斜边。因此最长边还排除了这条高线的外垂足及端点情形。

4. 勾股数还要求正整数

能作为直角三角形三边长的三个正整数，叫作勾股数。常见的五组如下。

三个正整数	平方检验
$3,4,5$	$9+16=25$
$5,12,13$	$25+144=169$
$8,15,17$	$64+225=289$
$7,24,25$	$49+576=625$
$9,40,41$	$81+1600=1681$

若 $a^2+b^2=c^2$ ，同乘正数 $n$ 后仍有 $(na)^2+(nb)^2=(nc)^2$ 。正整数倍一定仍是勾股数；任意正数倍只保证直角，是否为勾股数还要检查三个结果是不是整数。 $1,2,\sqrt5$ 可组成直角三角形，却不是勾股数。

5. 斜边上的中线与30°的对边

直角三角形中的性质	逆向判断
斜边中线等于斜边的一半，也等于两半斜边	三角形某边的中线等于该边一半，则该边所对角为直角
$30^\circ$ 所对的直角边等于斜边的一半	已知直角，一直角边等于斜边一半，则它所对的锐角为 $30^\circ$

斜边中线的证明。 设 $C$ 为直角， $D$ 是 $AB$ 中点。延长 $CD$ 至 $E$ ，使 $DE=DC$ 。利用中点、对顶角，两次 SAS 得 $AC=BE$ 、 $CB=EA$ ，并得 $AC\parallel BE$ 、 $CB\parallel AE$ 。于是 $\angle CAE=90^\circ$ 。再比较 $\triangle ACB$ 与 $\triangle CAE$ ，公共边 $AC$ 、 $CB=AE$ 及所夹直角给 SAS 全等，所以 $AB=CE=2CD$ 。

逆向的初等证明。 若 $CD=AB/2$ ，则 $DA=DB=DC$ 。记 $\angle DAC=\angle ACD=x$ ， $\angle DBC=\angle BCD=y$ 。 $D$ 在 $AB$ 内部，故原三角形三个角为 $x,y,x+y$ ，内角和给 $2(x+y)=180^\circ$ ，所以 $\angle ACB=90^\circ$ 。学过圆后，还可用直径所对圆周角解释同一结论。

30°性质的证明。 设 $C$ 为直角、 $\angle A=30^\circ$ ，沿 $AC$ 翻折 $B$ 得 $D$ 。两小三角形全等， $AB=AD$ 、 $BC=CD$ ，且 $B,C,D$ 共线； $\angle BAD=60^\circ$ ，所以 $\triangle ABD$ 等边。于是 $AB=BD=2BC$ 。

逆向若已有直角，且 $AB=2BC$ ，同样翻折便有 $BD=2BC=AB=AD$ ，所以大三角形等边，半顶角为 $30^\circ$ 。两种证明都不能省略原直角条件。

6. 用勾股补上此前几条性质的理由

垂线段为什么最短？ 从线外点 $P$ 向直线作垂线，垂足为 $O$ 。任取线上 $A\ne O$ ，有 $PA^2=PO^2+OA^2>PO^2$ ，故 $PA>PO$ ； $A=O$ 时取等。比较的是所有允许落在整条直线上的终点，有限线段或有障碍的路线要另核范围。

HL为什么能确定全等？ 两个直角三角形斜边同为 $h$ ，一条直角边同为 $a$ ，且 $h>a>0$ ，另一直角边都等于正数 $\sqrt{h^2-a^2}$ 。三边对应相等，再用 SSS 全等。这里多出的直角条件，不能推广成一般 SSA 判据。

外心为什么有三种位置？ 对三角形任一边 $BC$ ，设其中点为 $M$ ， $BM=CM=s>0$ 。取 $BC$ 水平， $A$ 在上方，高为 $h>0$ 。以 $M$ 为原点、向 $C$ 为正方向，记 $A$ 的垂足位置为 $x$ ；在 $BC$ 中垂线上，记外心 $O$ 的有向高度为 $t$ ，向 $A$ 一侧为正。

等距 $OA=OB$ 给

x^2+(h-t)^2=s^2+t^2,\qquad 2ht=x^2+h^2-s^2.

另一方面， $AB^2=(x+s)^2+h^2$ 、 $AC^2=(x-s)^2+h^2$ 、 $BC^2=4s^2$ ，因此

AB^2+AC^2-BC^2=4ht.

由前文三边平方的比较，左边正、零、负分别对应 $\angle A$ 锐、直、钝； $h>0$ ，也分别对应外心与 $A$ 在 $BC$ 同侧、在 $BC$ 中点、在另一侧。锐角三角形对三条边都在内部一侧，故外心在三角形内部；直角时为斜边中点；钝角时在钝角对边的外侧。

二、考点方法与例题

1. 斜边中点先给三段等长

先找直角，再核中点是否在斜边上。中线与两半斜边相等，可以直接倍半换长度，也可以在小三角形中制造等腰关系。直角边不自动等于半斜边，另需角度条件。

例题 01 同一中点条件的两问知识清单例题

题目

如图, 在 Rt $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}, D$ 是 $AB$ 的中点, $CD = 6$ .

(1) AB 的长为 ______。

(2) 若 $\angle A = 60^{\circ}$ ，则 AC 的长为 ____.

答案与解析

解析

（1） $C$ 为直角， $D$ 是斜边 $AB$ 中点，所以 $CD=AB/2$ ，得 $AB=12$ 。

（2） $\angle B=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$ ， $AC$ 是这个 $30^\circ$ 的对边，所以 $AC=AB/2=6$ 。第二问另用了 $30^\circ$ 条件，不能只凭中点推出。

本题结论

（1） $AB=12$ ；（2） $AC=6$ 。

例题 02 用三段等长转成等腰求角知识清单例题

题目

如图, 在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90°, AD 是 BC 边上的中线, ED⊥BC, 交 BA 的延长线于点 E, 若 ∠E=35°, 求 ∠BDA 的度数.

答案与解析

解析

$ED\perp BC$ 、 $\angle E=35^\circ$ ，在直角三角形 $EBD$ 中得 $\angle B=55^\circ$ 。

$A$ 为直角， $D$ 是斜边 $BC$ 中点，所以 $AD=BD$ 。在 $\triangle ABD$ 中， $\angle DAB=\angle B=55^\circ$ ，于是 $\angle BDA=180^\circ-110^\circ=70^\circ$ 。

本题结论

$\angle BDA=70^\circ$ 。

2. 没有直角，先用角关系构造

不能因为图上接近垂直就使用勾股或30°性质。先借等腰底角、中垂等距、角的加减等，证明新三角形里确有直角，再认准斜边与30°对边。

例题 03 连接中垂线上的点与端点知识清单例题

题目

如图, 已知在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$ , $\angle BAC = 120^{\circ}$ , $E, F$ 分别在 $AB, BC$ 上, 且直线 $EF$ 为 $AB$ 的垂直平分线, $BF = 5 \mathrm{~cm}$ , 求 $CF$ 的长.

答案与解析

解析

连接 $AF$ 。 $AB=AC$ 、 $\angle A=120^\circ$ ，所以 $\angle B=\angle C=30^\circ$ 。

$F$ 在 $AB$ 中垂线上，故 $AF=BF=5\text{ cm}$ 。 $\triangle ABF$ 等腰，得 $\angle BAF=30^\circ$ ，于是 $\angle FAC=120^\circ-30^\circ=90^\circ$ 。

在直角三角形 $AFC$ 中， $AF$ 对着 $30^\circ$ ，所以 $CF=2AF=10\text{ cm}$ 。

本题结论

$CF=10\text{ cm}$ 。

3. 实际长度先对应到水平、竖直与斜线

抽出直角三角形，标出水平距离、竖直距离及斜距。若所求是高度差，要先求差再按点序加减；若同一物体改变摆放，找出保持不变的长度，用两次勾股列同一个方程，并检验位置范围。

例题 04 先求高度差，再求身高知识清单例题

题目

如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2.5米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,他的头顶离感应器的距离AD为1.5米,则这名学生的身高CD为____米.

答案与解析

解析

过 $D$ 作水平线 $DE\perp AB$ ，则 $DE=BC=1.2\text{ m}$ 、 $BE=CD$ 。在直角三角形 $ADE$ 中，

AE=\sqrt{1.5^2-1.2^2}=\sqrt{0.81}=0.9\text{ m}.

图中 $A,E,B$ 顺次排列，身高 $CD=BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6\text{ m}$ 。 $0.9$ 是竖直高度差， $1.5$ 是斜距，都不能直接当身高。

本题结论

身高为 $1.6\text{ m}$ 。

例题 05 底端不动，梯长不变知识清单例题

题目

某小区两面直立的墙壁之间为安全通道,一架梯子的底端 A 在两面墙壁的底端 B,E 之间,BE=2.2 m,当这架梯子斜靠在左墙时,梯子顶端 D 到地面的距离 DE 为 2.4 m,保持梯子底端 A 不动,将梯子斜靠在右墙上,梯子顶端 C 到地面的距离 CB 为 2 m,则梯子底端 A 到左墙的距离 AE 为 ____ m.

答案与解析

解析

设 $AE=x\text{ m}$ ，则 $AB=2.2-x$ ，且 $0<x<2.2$ 。同一架梯子长不变，所以 $AD=AC$ ，

x^2+2.4^2=(2.2-x)^2+2^2.

展开并消去 $x^2$ ，得 $5.76=8.84-4.4x$ ，所以 $4.4x=3.08$ ， $x=0.7$ 。回验 $AB=1.5$ ，两斜边平方均为 $6.25$ ，范围满足。

本题结论

$AE=0.7\text{ m}$ 。

例题 06 直立与拉直的长度相等 2024 四川巴中

题目

（2024四川巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，即 $AC = 5, DC = 1, BD = BA$ ，则 $BC =$ （）

A.8

B.10

C.12

D.13

答案与解析

解析

设 $BC=x>0$ ，露出水面部分 $DC=1$ ，草全长 $BD=x+1$ ，拉直后 $BA=BD=x+1$ 。

在直角三角形 $ABC$ 中， $x^2+5^2=(x+1)^2$ 。展开后同减 $x^2$ ，得 $25=2x+1$ ，所以 $x=12$ 。回验两直角边为 $5,12$ ，斜边为 $13$ 。

本题结论

选 C， $BC=12$ 。

4. 同一面积换底，求斜边上的高

先求出两条直角边，用它们作底、高；再以斜边及其对应垂高表示同一个面积。一般地，斜边高 $h=ab/c$ 来自 $ab/2=ch/2$ ，不是把斜边与任一直角边直接相乘。

例题 07 两次面积表达知识清单例题

题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB=90^\circ$ ， $AB=5\text{ cm}$ ， $BC=4\text{ cm}$ ， $CD\perp AB$ 于 $D$ ，求 $CD$ 的长。

答案与解析

解析

由勾股， $AC=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}$ 。

同一个三角形的两种面积表达为

\frac12\times3\times4=\frac12\times5\times CD.

两边乘2后再除5，得到 $CD=12/5\text{ cm}$ 。代回面积都是 $6\text{ cm}^2$ ，高的单位仍是厘米。

本题结论

$CD=\frac{12}{5}\text{ cm}$ 。

5. 面积拼图先认对象，再用完全平方

弦图外正方形边是斜边，中心边是两腿之差的绝对值。原外面积、中心面积、四三角形总面积、单块面积不能混。已知和平方与差平方时，常用两式相加或相减消去交叉项，无须先分别求每条边。

例题 08 从和平方与差平方求外面积 2024 江苏南通

题目

（2024 江苏南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为 $m, n (m > n)$ . 若小正方形面积为5， $(m+n)^2=21$ ，则大正方形面积为

A.12

B.13

C.14

D.15

答案与解析

解析

中心正方形面积给 $(m-n)^2=5$ ，另有 $(m+n)^2=21$ 。

两式展开相加，得 $2m^2+2n^2=26$ ，所以 $m^2+n^2=13$ 。外正方形边是直角三角形的斜边，由勾股定理，其面积恰为 $m^2+n^2$ 。

再用两式相减检验： $4mn=16$ ，四三角形总面积 $2mn=8$ ，加中心面积5，也得到13。

本题结论

选 B，大正方形面积为 $13$ 。

6. 网格与数轴，先造准确长度

网格中把长度的平方拆成横、纵整数格数的平方和，但三条边必须共用同一组三个端点。数轴作根式点时，先用直角三角形得到准确长度，再用圆规转移；正负坐标由所选半轴决定。

例题 09 三个边长同时满足的格点三角形知识清单例题

题目

在如图所示的正方形网格中,已知每个小正方形的边长都是1.请在网格中画出格点三角形 $ABC$ , 使 $AB = 2\sqrt{2}, BC = \sqrt{13}, AC = \sqrt{17}$ . (格点三角形的顶点均为网格线的交点)

答案与解析

解析

平方分解为 $8=2^2+2^2$ 、 $13=2^2+3^2$ 、 $17=4^2+1^2$ 。

如图取 $A$ ，从它向右2格、向上2格取 $B$ ；向右4格、向下1格取 $C$ 。于是从 $B$ 到 $C$ 自然是向右2格、向下3格。三组勾股检验同时得到原要求，且三个点都在给定网格内。

本题结论

图示三点给出一种符合要求的作法。

例题 10 在数轴上作出根式对应点知识清单例题

题目

在数轴上作出表示 $\sqrt{10}$ 的点.

答案与解析

解析

在数轴正方向取 $OA=3$ 。
过 $A$ 作数轴的垂线，取 $AB=1$ 。勾股给 $OB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ 。
以 $O$ 为圆心、 $OB$ 为半径作弧，交正半轴于 $C$ 。 $OC=OB$ ，所以 $C$ 的坐标为 $\sqrt{10}$ 。

负半轴上的另一个交点坐标为 $-\sqrt{10}$ ，不符合本题要求；不能用小数近似量取代准确作图。

本题结论

正半轴上的交点 $C$ 表示 $\sqrt{10}$ 。

7. 连接共同边，逐块求面积

连接对角线，让两个三角形共用一条边。已有直角的先用勾股求边；未给直角的，先用逆定理确认。最后根据土地实际区域，判断两面积应相加还是相减。

例题 11 两块内部区域相加知识清单例题

题目

有一块土地,其形状如图所示, $\angle B=\angle D=90^{\circ},AB=20$ 米,BC=15米,CD=7米, 请计算这块土地的面积.

答案与解析

解析

连接 $AC$ 。由 $\angle B=90^\circ$ ， $AC=\sqrt{20^2+15^2}=25\text{ m}$ 。再由 $\angle D=90^\circ$ ， $AD=\sqrt{25^2-7^2}=24\text{ m}$ 。

图中对角线 $AC$ 把地块分成两块内部三角形，因此

S=\frac12\times20\times15+\frac12\times24\times7=150+84=234\text{ m}^2.

两个乘积分别使用各自互相垂直的直角边。

本题结论

土地面积为 $234\text{ m}^2$ 。

8. 表面最短路先展开，再选择合规端点

表面展开保持路线长度。先按“绕几周、沿哪一面”选择展开后的终点，再在允许区域中比较距离。平面中看似更近的点，可能代表没有绕圈或走入物体内部，不能作为候选。

例题 12 沿圆柱侧壁绕一周知识清单例题

题目

有一个圆柱形油罐,如图所示,计划从点 A 起环绕油罐建盘梯,正好到点 A 正上方的点 B 处.现要先沿该油罐外壁画一条指示线,再沿指示线进行建造,问指示线最短是多少米?（已知油罐的底面周长是 12 m,高 AB 是 5 m）

答案与解析

解析

沿母线 $AB$ 展开侧面，得到宽12米、高5米的长方形。绕一周的终点要取另一条复制边上的 $B'$ ，不能取同侧 $B$ 。

两点间线段最短，故选择 $AB'$ 。它在矩形内，卷回后沿侧壁连续并恰绕一周。勾股给

AB'=\sqrt{12^2+5^2}=13\text{ m}.

竖直的 $AB=5\text{ m}$ 只走零周，不符合限制；穿过内部的空间线段也不沿外壁。

本题结论

最短指示线长为 $13\text{ m}$ 。

9. 翻折保长，直角要配到对应点

先找折痕上的固定点和折前、折后的对应点，写出保长关系。一个直角移到哪里也要按顶点对应，不是图中任意交点都变成直角。设未知线段后，用点序表示其余段，并检验根的范围。

例题 13 矩形的一次翻折知识清单例题

题目

如图,折叠矩形 ABCD 的一边 BC,使点 B 落在 AD 边上的点 F 处,已知 AB=3,BC=5,求 EF 的长.

答案与解析

解析

折痕为 $EC$ ， $E,C$ 固定， $B$ 折到 $F$ ，所以 $BE=EF$ 、 $BC=FC=5$ ，原 $B$ 处直角移到 $F$ 。

在直角三角形 $CDF$ 中， $CD=AB=3$ ，得 $DF=\sqrt{5^2-3^2}=4$ ，故 $AF=AD-DF=5-4=1$ 。

设 $EF=x$ ，则 $BE=x$ 、 $AE=3-x$ ，且 $0<x<3$ 。在直角三角形 $AEF$ 中，

x^2=(3-x)^2+1^2.

展开消去 $x^2$ ，得 $6x=10$ ，所以 $x=5/3$ 。回验 $AE=4/3$ 、 $AF=1$ ，平方和为 $25/9=EF^2$ ，且位置范围成立。

本题结论

$EF=\frac53$ 。

三、坑点条件与边界

1. 斜边未指定，不能只保留一种图形

给两边且只说“直角三角形”，先排除较短已知边作斜边的可能，再分别考察较长已知边与未知边作斜边。额外给了直角顶点时，才可以据此删去不符的分支。

辨析 01 只有两条已知边的长度知识清单例题

题目

在 Rt△ABC 中, AC = 3, AB = 4, 则 BC 的长为 ____.

答案与解析

解析

$AC=3<AB=4$ ，所以 $AC$ 不能是斜边。

若 $BC$ 为斜边， $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。
若 $AB$ 为斜边， $BC=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$ 。

两种均给正长度及合法三角形，题目未再限制直角位置，所以都要保留。

本题结论

$BC=5$ 或 $\sqrt7$ 。

2. 先找最长边，别让字母决定直角

逆定理检验的是较小两边平方和与最长边平方。根式、分数也可以是直角三角形边长；“不是勾股数”并不等于“不是直角三角形”。

辨析 02 由边长比例判断直角知识清单例题

题目

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A, \angle B, \angle C$ 所对的边分别是 a, b, c, a🅱️c = 9:15:12, 试判断 $\triangle ABC$ 是不是直角三角形.

答案与解析

解析

设 $a=9k$ 、 $b=15k$ 、 $c=12k$ ，其中 $k>0$ 。最长边是 $b$ ，

a^2+c^2=(81+144)k^2=225k^2=b^2.

由勾股逆定理， $b$ 所对的角 $B$ 为直角。误检 $a^2+b^2=c^2$ 得不到本题结论。

本题结论

是直角三角形， $\angle B=90^\circ$ 。

辨析 03 逐组判断四种边长知识清单例题

题目

判断由线段 a, b, c 组成的三角形是不是直角三角形.

(1) $a = 7, b = 24, c = 25$ .

（2） $a = \sqrt{41}, b = 4, c = 5$ .

（3） $a = \frac{5}{4}, b = 1, c = \frac{3}{4}$ .

（4） $a = 40, b = 50, c = 60$ .

答案与解析

解析

四组正边长都满足两较短边和大于最长边。分别检查：

小问	最长边	另两边平方和与最长边平方	判断
（1）	$25$	$7^2+24^2=625=25^2$	直角
（2）	$\sqrt{41}$	$4^2+5^2=41=(\sqrt{41})^2$	直角
（3）	$5/4$	$1^2+(3/4)^2=25/16=(5/4)^2$	直角
（4）	$60$	$40^2+50^2=4100>3600=60^2$	非直角，进一步可判锐角