整式的乘除与乘法公式

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整式乘除依靠幂的运算和分配律。乘法公式则把常见的配对结构预先整理好：先识别完整的两个整体，再决定逐项展开还是直接用公式。

一、知识点理解概念

1. 整式乘法：每项都要配对

运算	法则	处理顺序
单项式乘单项式	系数相乘，同底数字母的指数相加，独有字母连同指数保留	先符号和系数，再逐个字母
单项式乘多项式	$p(A+B)=pA+pB$	外面一项乘里面每一项
多项式乘多项式	$(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$	一个多项式的每项，乘另一个多项式的每项，最后合并同类项

后两条都是分配律。例如 $(A+B)(C+D)=A(C+D)+B(C+D)$ ，再展开两个乘积。一式有 $m$ 项、另一式有 $n$ 项，合并前应有 $mn$ 个配对乘积，这可以帮助检查漏项，但最终项数可能因合并而减少。

各项带着自己的符号参与相乘： $(x-2)(x+3)$ 中第二项为 $-2$ ，不是2。单项式系数中的 $\pi$ 、分数与负号也必须一同相乘。

2. 整式除法：逐项相除与原范围

单项式相除，先用系数相除，再对同底数字母用指数相减。被除式独有的字母留在商中。若要求商仍是单项式，各字母的指数差应为非负整数，且原除式必须非零。

多项式除以单项式，是各项分别除以这个同一个非零除式，再相加：

\frac{A+B-C}{p}=\frac Ap+\frac Bp-\frac Cp\qquad(p\ne0).

它的依据仍是分配律：把除以 $p$ 看成乘 $1/p$ 。不能反过来拆开除数的和差， $A/(B+C)$ 一般不等于 $A/B+A/C$ 。

含乘方的除式先算乘方，例如除以 $(2x)^2$ 实际除以 $4x^2$ 。化简后即使没有分母，也不恢复原来被排除的取值。

3. 平方差公式

两个数的和与这两个数的差相乘，等于它们的平方差：

(A+B)(A-B)=A^2-B^2.

展开证明： $A^2-AB+AB-B^2=A^2-B^2$ ，两个交叉项恰好抵消。识别时找在两个括号中相同的整体 $A$ 与互为相反的整体 $B,-B$ ，不是只看书写先后。

下图在 $a>b>0$ 时，用两个正方形的面积差表示 $a^2-b^2$ 。移动右下方的长方形，可把剩余部分拼成长 $a+b$ 、宽 $a-b$ 的长方形，面积为 $(a+b)(a-b)$ 。面积解释要求边长合适；代数恒等式本身对任意实数 $A,B$ 成立。

4. 完全平方公式

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2,\qquad(A-B)^2=A^2-2AB+B^2.

展开 $(A+B)(A+B)$ 时，两项 $AB$ 相加为 $2AB$ ，这就是中间项的来源。差的平方中，两个交叉项都为 $-AB$ ；末项为 $(-B)^2=B^2$ ，不是 $-B^2$ 。

图1把边长 $a+b$ 的正方形分成面积 $a^2,b^2,ab,ab$ 四块。图2从边长 $a$ 的正方形中减去两个 $a\times b$ 长方形，再加回被重复减去的 $b^2$ ，余下面积为 $(a-b)^2$ 。图2要求 $a>b>0$ ，公式的代数证明不受这一几何条件限制。

公式中的 $A,B$ 可以是单项式或多项式，负号包含在整体中时要一起代入。常用变形均可从以上两式移项得到：

想求的整体	可用关系
平方和	$A^2+B^2=(A+B)^2-2AB=(A-B)^2+2AB$
积	$AB=\frac{(A+B)^2-(A^2+B^2)}2$
和平方与差平方的差	$(A+B)^2-(A-B)^2=4AB$
和平方与差平方的和	$(A+B)^2+(A-B)^2=2A^2+2B^2$

由差的平方求差，可能得到正负两个值；平方关系不能自动确定符号。三个数的和平方也可先把两项合成整体，得到 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ 。

5. 添括号与混合运算

添括号应保持原值不变，和去括号互为逆过程。括号前为 $+$ 时，括进去的各项不变号；括号前为 $-$ 时，各项都变号。添完后去括号回验，比只记符号口诀更可靠。

混合运算通常先乘方，再乘除，后加减；有括号先处理括号里的运算。用公式时先算整个乘积或平方，暂未处理的外层负号保留，最后才合并同类项。

二、考点识别与处理

1. 按项配对，算完再合并

单项式相乘把系数、各字母分别整理；出现多项式则先列齐所有配对，不跳过负项。两项乘三项时，应先产生6个配对乘积，再合并。

例题 01 从单项式乘法到多项式乘法知识清单例题·合组

题目

计算：（1） $2ab^2(-3a^3bc^2)$ ；（2） $(-2x^2)(\frac12xy-1)$ ；（3） $(y+2)(y-4)$ 。

答案与解析

解析

（1）系数 $2\times(-3)=-6$ ，字母分别合并为 $a^4,b^3,c^2$ ，得 $-6a^4b^3c^2$ 。

（2） $(-2x^2)\times\frac12xy=-x^3y$ ， $(-2x^2)\times(-1)=2x^2$ ，得 $-x^3y+2x^2$ 。

（3） $y^2-4y+2y-8=y^2-2y-8$ ，交叉项先带符号列出。

本题结论

$-6a^4b^3c^2$ ； $-x^3y+2x^2$ ； $y^2-2y-8$ 。

例题 02 检查配对数量知识清单例题

题目

计算：（1） $(3x-1)(2x+1)$ ；（2） $(x+2)(x^2-2x+4)$ ；（3） $(3m-2n)^2$ 。

答案与解析

解析

（1）四个配对乘积为 $6x^2,3x,-2x,-1$ ，合并得 $6x^2+x-1$ 。

（2）六个配对乘积为 $x^3$ 、 $-2x^2$ 、 $4x$ 、 $2x^2$ 、 $-4x$ 、 $8$ ，两组交叉项抵消，得 $x^3+8$ 。

（3）把平方看成两个相同括号相乘： $9m^2-6mn-6mn+4n^2=9m^2-12mn+4n^2$ ，也可直接用完全平方公式。

本题结论

$6x^2+x-1$ ； $x^3+8$ ； $9m^2-12mn+4n^2$ 。

2. 先算除式，再逐项求商

先写出除式不为零的条件。除式有乘方就先处理系数、符号、每个字母的指数，再逐项相除；某字母恰好约尽时，不把整个项删掉。

例题 03 单项式与多项式除以单项式知识清单例题·合组

题目

计算：

（1） $-3a^7b^4c\div(9a^4b^2)$ ；（2） $(-0.5a^3b)^5\div(-\frac12a^3b)^2$ ；（3） $(15x^2y-10xy^2)\div(5xy)$ 。

答案与解析

解析

（1）原除式要求 $a,b\ne0$ 。系数为 $-1/3$ ，字母指数相减， $c$ 保留，得 $-\frac13a^3b^2c$ 。

（2） $-0.5=-1/2$ ，完整底数相同，且 $a,b\ne0$ ，所以商为 $(-\frac12a^3b)^3=-\frac18a^9b^3$ 。

（3） $x,y\ne0$ ，逐项相除： $3x-2y$ 。除式 $5xy$ 对两项都起作用。

本题结论

$-\frac13a^3b^2c$ ； $-\frac18a^9b^3$ ，前两问均 $a,b\ne0$ ； $3x-2y$ ， $x,y\ne0$ 。

例题 04 除数的系数也要平方 2023·山东青岛

题目

计算 $8x^3y\div(2x)^2$ 。

答案与解析

解析

原除式要求 $x\ne0$ 。先算 $(2x)^2=4x^2$ ，再相除： $8x^3y\div4x^2=2xy$ 。不是先除以 $2x$ 再把整个商平方。

本题结论

$2xy$ ， $x\ne0$ 。

3. 识别完整的平方差与完全平方

先找两个完整整体。平方差中，相同部分平方减去相反部分平方；完全平方中，首末平方与带符号的二倍积三项都要写。多项式充当整体时，外层公式结束后再处理内层。

例题 05 相同部分不一定排在前面知识清单例题·合组

题目

计算：（1） $(3-2a)(-3-2a)$ ；（2） $(-\frac12x+y)(-y-\frac12x)$ 。

答案与解析

解析

（1）重排为 $(-2a+3)(-2a-3)$ ，相同部分为 $-2a$ ，相反部分为 $\pm3$ ，所以得 $(-2a)^2-3^2=4a^2-9$ 。

（2）重排为 $(-\frac12x+y)(-\frac12x-y)$ ，得 $(-\frac12x)^2-y^2=\frac14x^2-y^2$ 。

本题结论

$4a^2-9$ ； $\frac14x^2-y^2$ 。

例题 06 负整体的平方，末项仍为正平方知识清单例题·合组

题目

计算：（1） $(-a-2b)^2$ ；（2） $(4-3m)^2$ ；（3） $(-\frac13x-2y)^2$ 。

答案与解析

解析

（1）取整体 $-a,-2b$ ，中项 $2(-a)(-2b)=4ab$ ，得 $a^2+4ab+4b^2$ 。

（2） $4^2-2\cdot4\cdot3m+(3m)^2=16-24m+9m^2$ 。

（3）首平方为 $x^2/9$ ，二倍积为 $2(-x/3)(-2y)=4xy/3$ ，末平方为 $4y^2$ ，得 $x^2/9+4xy/3+4y^2$ 。

本题结论

$a^2+4ab+4b^2$ ； $16-24m+9m^2$ ； $\frac19x^2+\frac43xy+4y^2$ 。

例题 07 一层公式结束后，再处理里面知识清单例题

题目

计算：（1） $(a-2b+3c)^2$ ；（2） $(2a-3b+c)(2a+3b-c)$ ；（3） $(x+2)^2(x-2)^2$ 。

答案与解析

解析

（1）把 $a-2b$ 当整体，得 $(a-2b)^2+6c(a-2b)+9c^2$ ，继续展开为 $a^2-4ab+4b^2+6ac-12bc+9c^2$ 。

（2）写成 $[2a-(3b-c)][2a+(3b-c)]$ ，得 $4a^2-(3b-c)^2=4a^2-9b^2+6bc-c^2$ 。

（3）先逆用积的乘方，再平方差： $[(x+2)(x-2)]^2=(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16$ 。

本题结论

$a^2-4ab+4b^2+6ac-12bc+9c^2$ ； $4a^2-9b^2+6bc-c^2$ ； $x^4-8x^2+16$ 。

4. 利用公式简算和整体关系

接近整百整千的数，可写成“整值加减小量”；连续三个数的乘积关系，可把中间数当整体。已知和、差、积、平方和中的某些量时，先选择能直接联结目标的公式，不必先分别求两个数。

例题 08 接近整百整千时改写底数知识清单例题

题目

简便计算：（1） $103\times97$ ；（2） $999^2$ ；（3） $2025^2-2024\times2026$ 。

答案与解析

解析

（1） $(100+3)(100-3)=100^2-3^2=9991$ 。

（2） $(1000-1)^2=1000000-2000+1=998001$ 。

（3） $2024\times2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2-1$ ，所以原式为1。

本题结论

9991；998001；1。

例题 09 由平方关系求差，记得两个符号知识清单例题

题目

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=25$ ， $x+y=7$ ，求 $xy$ 和 $x-y$ 。

答案与解析

解析

由 $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ ，得 $49=25+2xy$ ，所以 $xy=12$ 。

再由 $(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ ，得 $(x-y)^2=25-24=1$ ，所以 $x-y=\pm1$ 。 $(x,y)=(4,3)$ 与 $(3,4)$ 都满足题设，不能擅自只取正号。

本题结论

$xy=12$ ， $x-y=\pm1$ 。

例题 10 相邻整体的差已经确定知识清单例题

题目

已知 $(a+2026)(a+2025)=5$ ，求 $(a+2026)^2+(a+2025)^2$ 。

答案与解析

解析

令 $A=a+2026$ 、 $B=a+2025$ ，则 $AB=5$ ， $A-B=1$ 。由 $A^2+B^2=(A-B)^2+2AB$ ，得目标值 $=1^2+2\times5=11$ 。相邻两个整体的差不随 $a$ 改变，无需解 $a$ 。

本题结论

11。

例题 11 由积与差计算（1）2024·四川凉山州；（2）2024·四川乐山·合组

题目

（1）已知 $a^2-b^2=12$ ， $a-b=-2$ ，求 $a+b$ 。

（2）已知 $a-b=3$ ， $ab=10$ ，求 $a^2+b^2$ 。

答案与解析

解析

（1）平方差 $(a-b)(a+b)=12$ ，代入 $a-b=-2\ne0$ ，得 $a+b=12/(-2)=-6$ 。

（2） $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=9+20=29$ ，这里求平方和，不是和的平方。

本题结论

（1） $-6$ ；（2）29。

5. 不含某项，就是对应系数恒为零

先展开、合并，再把关于指定字母的多项式按次数整理。“不含某项”要求其系数为0，不能通过代入某个特殊的 $x$ 让项偶然消失。含几种待消去的次数，就分别列对应的系数条件。

例题 12 同时消去一次项和二次项知识清单例题

题目

若 $(2x-m)(x^2+3x-n)$ 的积中不含 $x$ 的一次项和二次项，求 $m,n$ 。

答案与解析

解析

展开并按 $x$ 整理：

2x^3+(6-m)x^2+(-2n-3m)x+mn.

因此 $6-m=0$ 、 $-2n-3m=0$ 。先得 $m=6$ ，再得 $-2n-18=0$ ，所以 $n=-9$ 。

本题结论

$m=6$ ， $n=-9$ 。

6. 从图形的边长列面积，再判断变化

先沿同一方向读出各段长度，明确空白或阴影区域的两条边；再列面积式。面积差不随某个长度变化，意味着化简后该长度的系数为0。拼片题要按题示的分割方式确定各类面积的个数，不能只凭一个特定数值的面积相等断言拼法唯一。

例题 13 变化的宽度，固定的面积差知识清单例题·改编，明确正边长与摆放范围

题目

把5个长为 $b$ 、宽为 $a$ 的相同小长方形（ $b>a>0$ ），按图2放在宽为 $m$ 的大长方形中，相邻小长方形不重叠、不留空隙。图中阴影面积分别为 $S_1,S_2$ 。当 $m$ 在允许图示摆放的范围内变化时， $S_1-2S_2$ 始终不变，求 $a,b$ 的关系。

答案与解析

解析

左列宽为 $b$ ，3个横放小长方形占高 $3a$ ，所以 $S_1=b(m-3a)$ 。右列宽为 $2a$ ，竖放小长方形占高 $b$ ，所以 $S_2=2a(m-b)$ 。

S_1-2S_2=b(m-3a)-4a(m-b)=(b-4a)m+ab.

当 $m$ 变化而此式不变时， $m$ 的系数必须为0，得 $b=4a$ 。图示允许的非负剩余高度要求 $m\ge\max(3a,b)$ ；若两块阴影都具有正面积，应取严格大于。

本题结论

$b=4a$ 。

例题 14 按照图示的分割方式数纸片 2023·湖北随州，改编·拼接方式明确化

题目

有边长分别为 $a,b$ （ $a>b>0$ ）的A、B类正方形纸片，长为 $a$ 、宽为 $b$ 的C类长方形纸片。图示边长 $a+b$ 的正方形由1张A、1张B和2张C组成。按照这种沿 $a,b$ 长度分段的拼接方式，拼成长 $3a+b$ 、宽 $2a+2b$ 的长方形，需要C类纸片多少张（　）？

A. 6　 B. 7　 C. 8　 D. 9

答案与解析

解析

目标面积展开为

(3a+b)(2a+2b)=6a^2+6ab+2ab+2b^2=6a^2+8ab+2b^2.

按题示分段， $3a\times2a$ 区域用6张A； $b\times2b$ 区域用2张B；两个交叉区域分别用6张和2张C，共8张C。

这里依据的是图示分割结构，不是说对任意特殊数值的 $a,b$ ，仅凭总面积就能证明所有拼法都只有这一种片数。

本题结论

C，8张。

7. 混合运算与求值，先化简再选择代入

先处理乘方与乘除，保留外层符号，再合并同类项。若目标式能化成已知整体，直接代入整体；若某个字母化简后消去，它的具体数值不影响结果，但原式定义域仍需检查。

例题 15 含乘法、除法和外层负号的化简知识清单例题·合组

题目

计算：

（1） $-[(x-1)(2x-1)]-(x+1)^2+1$ ；

（2） $5x^2(-3x)-3x(x^2-x)$ ；

（3） $(x+2)(x-2)-(x-3)(x+1)$ ；

（4） $(x+y-2)(x-y-2)-(x^3-4x^2)\div x$ 。

答案与解析

解析

（1） $-(2x^2-3x+1)-(x^2+2x+1)+1=-3x^2+x-1$ 。

（2） $-15x^3-(3x^3-3x^2)=-18x^3+3x^2$ 。

（3） $x^2-4-(x^2-2x-3)=2x-1$ 。

（4）原式要求 $x\ne0$ 。前一乘积为 $[(x-2)+y][(x-2)-y]=(x-2)^2-y^2$ ，后一商为 $x^2-4x$ ，相减得 $4-y^2$ 。虽结果不含 $x$ ，仍要求 $x\ne0$ 。

本题结论

$-3x^2+x-1$ ； $-18x^3+3x^2$ ； $2x-1$ ； $4-y^2$ ，第（4）问 $x\ne0$ 。

例题 16 直接代值与整体代值知识清单例题·合组

题目

（1）化简 $(x-2)(x+2)-x(x-1)$ ，并求 $x=3$ 时的值。

（2）已知 $x^2-2x=2$ ，求 $(x-1)^2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)$ 的值。

答案与解析

解析

（1） $x^2-4-(x^2-x)=x-4$ ，代入3得 $-1$ 。

（2）展开后为 $(x^2-2x+1)+(x^2-9)+(x^2-4x+3)=3x^2-6x-5$ 。写成 $3(x^2-2x)-5$ ，代入已知整体2，得1。

本题结论

（1） $x-4$ ，值为 $-1$ ；（2）1。

例题 17 抄错一个数，结果为何仍相同知识清单例题

题目

先化简

[2x(x^2y-xy^2)+xy(2xy-x^2)]\div(x^2y).

当 $x=2025,y=2026$ 时求值。若计算者把 $y=2026$ 抄成226，其结果会改变吗？

答案与解析

解析

原式要求 $x\ne0,y\ne0$ 。分子展开为 $2x^3y-2x^2y^2+2x^2y^2-x^3y=x^3y$ ，除以 $x^2y$ 得 $x$ 。

因此结果只与 $x$ 有关，值为2025。2026和226都非零，两次代入均在定义域内，结果相同；若把 $y$ 错抄为0，则原式无意义，不能仍按化简式作答。

本题结论

化简为 $x$ ，原条件 $x,y\ne0$ ；两次合法代入均为2025。

例题 18 化简后仍要检查原除式 2024·四川南充

题目

先化简 $(x+2)^2-(x^3+3x)\div x$ ，再求 $x=-2$ 时的值。

答案与解析

解析

原式要求 $x\ne0$ ， $-2$ 符合条件。展开与逐项相除得

x^2+4x+4-(x^2+3)=4x+1.

代入 $-2$ ，得 $4\times(-2)+1=-7$ 。

本题结论

$4x+1$ ， $x\ne0$ ；值为 $-7$ 。

三、坑点检查结构

1. 完全平方不能漏掉二倍积

$(A+B)^2$ 的两项乘两项展开有4个乘积，交叉的两个 $AB$ 合并为 $2AB$ ；漏中项就是漏了配对。积的乘方则要求每个因子都乘方， $(3a)^2=9a^2$ ，不能只让字母平方。

辨析 01 四个等式中找出正确者 2024·湖北武汉

题目

下列运算正确的是（　）。

A. $a^2a^3=a^6$ 　 B. $(a^3)^4=a^{12}$

C. $(3a)^2=6a^2$ 　 D. $(a+1)^2=a^2+1$

答案与解析

解析

A应为 $a^{2+3}=a^5$ ；B指数相乘，正确；C应为 $9a^2$ ；D应为 $a^2+2a+1$ ，漏了中项。

本题结论

B。

2. 添负括号时，里面每一项都变号

添括号是保持值不变的重组，括号前为负时，括进去的每项必须取相反数。添完后按分配律展开，逐项对照原式。

辨析 02 添括号后回验知识清单例题

题目

填入适当的式子：

（1） $a-2b+c+d=a-(\quad)$ ；

（2） $a-2b+c+d=a-2b+(\quad)$ 。

答案与解析

解析

（1）括号前是负号，要把 $-2b+c+d$ 写成 $-(2b-c-d)$ ，填 $2b-c-d$ 。展开后依次为 $-2b,+c,+d$ 。

（2）括号前为正，填 $c+d$ ，各项符号不变。

本题结论

（1） $2b-c-d$ ；（2） $c+d$ 。

3. “知二求二”不一定确定正负号

公式可以从和、差、积、平方和中的已知量推出另一些关系，但由 $U^2=c>0$ 求 $U$ 时有 $U=\pm\sqrt c$ 两种可能。只有额外的大小、顺序或几何条件才能排除其中一个，不能把求出的平方直接开成正根。