平移只改变位置，每一点都按同一方向移动同一距离。作图时统一位移，计算时找准对应点，遇到重叠面积与组合周长则先重新分清区域和边界。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 同一方向、同一距离

在平面内，把一个图形的所有点沿同一方向移动相同距离，得到的变换叫平移。方向可以水平、竖直或倾斜，但一次平移的各点位移必须统一。

对象	平移后的关系
每对对应点	连接线段同向、等长，平行或在同一直线上
对应边	等长，所在直线平行或重合
对应角	相等
整个图形	形状、大小、朝向保持，周长与面积不变

为什么保长？ 两点都增加相同的水平、竖直位移后，它们之间的横纵坐标差不变，故勾股计算的距离不变。各边保持，三角形由 SSS 全等，角与面积也保持。

两图全等只是平移的结果，不足以反推平移：翻折、旋转同样保全等。必须检查所有对应点是否使用同一位移。

2. 平移距离是对应点之间的距离

若 $A\to A'$、$B\to B'$，平移距离是 $AA'=BB'$，不是图形之间的一段空隙，也不一定是水平、竖直分量之和。

水平移动 $u$、竖直移动 $v$，等效于一次位移；直线平移距离为 $\sqrt{u^2+v^2}$。若题目问沿水平再竖直走的实际折线路程，才分别累加两段长度。方向不同，问题对象也不同。

3. 坐标与连续平移

操作	点 $(x,y)$ 的新坐标
向右 $a$，$a>0$	$(x+a,y)$
向左 $a$，$a>0$	$(x-a,y)$
向上 $b$，$b>0$	$(x,y+b)$
向下 $b$，$b>0$	$(x,y-b)$
水平有向位移 $u$、竖直有向位移 $v$	$(x+u,y+v)$

连续几次平移，分别累加横向、纵向的有向位移。每一步从当前点出发；不要把向左的量也当作正数累加。

图象也可以整体平移。若原图为 $y=f(x)$，向右 $a$、向上 $b$ 后的新图为 $y=f(x-a)+b$：原图象上的点 $(t,f(t))$ 移到 $(t+a,f(t)+b)$，令新横坐标 $x=t+a$，便有 $t=x-a$。函数式里的“右移减 $a$”与点坐标的“右移加 $a$”对象不同，并不矛盾。

4. 作图：一个位移应用到全部关键点

1. 从已知的一对对应点，确定方向及距离，或分别数出横纵格数。
2. 找出所有顶点和内线端点，把每一点按同一位移移动。
3. 按原连接顺序连线，保留内线、缺口和朝向。
4. 用另一对对应点复核，不能只检查一个顶点。

5. 平移割补的守恒

面积： 分块移动不会改变每块面积。重新拼成简单图形时，须确认没有重叠或遗漏。两全等图形重叠后，分别减去同一块公共区域，剩下的两块面积相等。

折线长度： 同方向的水平段可以平移拼接，竖直段也可拼接；若路径存在折返，不能仅用首尾水平差代替各水平段总长。台阶贴面还包括每段立面，首尾斜线不是贴面路径。

组合周长： 平移前后的单个图形周长相同，不代表两个图形组成的新外边界也有相同周长。应沿所求边界逐段列式。

二、考点 先方法，后例题

1. 由一对对应点完成网格作图

从原来的点到像点分别数横向格数和竖向格数，再把同样的两步应用于所有顶点。作图题不仅要画像，还要完成题目额外指定的连线。

例题 01 小船的统一位移 知识清单例题

题目

如图,经过平移,小船上的点A到了点B.

(1)请画出平移后的小船.
(2)该小船向____平移了____格,向____平移了____格.

方格中的小船及船上点A的指定像点B

答案与解析

解析

从 $A$ 到 $B$ 是向左3格、向下4格。把船的每个折点都左移3格、下移4格，按原顺序连接，船头朝向和内部线段关系不变。

左3格、下4格是两个位移分量；若每格边长为1，对应点直线距离为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，不是7。

小船每个顶点左移3格下移4格后的完整图形

本题结论

（1）作图如解析图；（2）向左3格、向下4格，或先向下4格再向左3格。

例题 02 平移线段并补画指定连接 知识清单例题

题目

(2024 黑龙江哈尔滨节选) 如图, 方格纸中每个小正方形的边长

均为1个单位长度,线段AB的端点均在小正方形的顶点上.在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到线段CD(点A的对应点为点C,点B的对应点为点D),画出线段CD,AD,BC.

方格纸中线段AB的两个端点

答案与解析

解析

从 $A$ 向右4格、向上1格得到 $C$；从 $B$ 用同样位移得到 $D$。先连接 $CD$ 得像线段，再连接题目指定的 $AD$、$BC$。

线段AB平移为CD，同时画出AD与BC

本题结论

作出 C、D 后，三条待画线段 CD、AD、BC 均须保留。

2. 平移后的对应角、对应边与距离

先写字母配对，再找所求量。已知空隙或某段截长时，要按共线点的实际顺序补足对应点之间的距离，不能把最近的两点直接当成对应点。

例题 03 沿底边移动的三角形 知识清单例题

题目

如图, 将面积为 3 的三角形 ABC 沿 BC 方向平移到三角形 DEF 的位置, CE = 5, EF = 2, $\angle B = 40^{\circ}$ .

(1) BC 的长度是 ____， $\angle DEF=$ ____°.
(2)平移的距离是____，三角形DEF的面积是____。

三角形ABC沿BC方向移到DEF，底边上B、C、E、F依次排列

答案与解析

解析

对应关系为 $A\to D$、$B\to E$、$C\to F$。因此 $BC=EF=2$，$\angle DEF=\angle B=40^\circ$，面积仍为3。

按图 $B,C,E,F$ 依次排列，$BE=BC+CE=2+5=7$。$B$ 的像是 $E$，所以平移距离为7。$CE=5$ 只是两图之间的空隙。

本题结论

（1）$BC=2$，$\angle DEF=40^\circ$；（2）平移距离为 $7$，面积为 $3$。

3. 重叠面积：同时减去公共部分

先由平移得到两个原图面积相等，再指出同一个重叠区域。两边同时减去公共面积后，剩余区域等积，便可把难算的一块换成容易计算的一块。

例题 04 把阴影换成梯形 知识清单例题

题目

如图, 将 Rt△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF, DE 与 AC 交于点 O, AB = 12, DO = 4, 平移距离为 6, 则阴影部分的面积为 ____.

直角三角形ABC平移为DEF，DE与AC交于O，图中标出阴影

答案与解析

解析

$DE=AB=12$，图中 $D,O,E$ 按序，故 $OE=DE-DO=8$。对应点 $B,E$ 的间距 $BE=6$。

两三角形面积相等，同时减去重叠的 $\triangle OEC$，得阴影面积等于梯形 $ABEO$ 的面积。其平行两底为 $AB=12$、$OE=8$，高为 $BE=6$，所以

$$S=\frac{12+8}{2}\times6=60.$$

$DO=4$ 是上部截段，不是梯形的另一条底。

本题结论

阴影面积为 $60$。

4. 组合图形周长：按边界替换

先沿所求四边形的边界列和式，再用平移对应等长替换；若出现整条共线段，用点序决定相加还是相减。不要把“原三角形周长不变”直接当作组合图形的周长。

例题 05 外边界比原周长多了哪些段 知识清单例题

题目

(2024 山东东营) 如图, 将 $\triangle DEF$ 沿 $FE$ 方向平移 $3 \mathrm{~cm}$ 得到 $\triangle ABC$ , 若 $\triangle DEF$ 的周长为 $24 \mathrm{~cm}$ , 则四边形ABFD的周长为 ____ $\mathrm{cm}$ .

三角形DEF沿FE方向平移为ABC，B、E、C、F共线

答案与解析

解析

$D\to A$、$E\to B$，所以 $AD=BE=3$，$AB=DE$。按图 $B,E,C,F$ 共线且依次，$BF=BE+EF$。

$$\begin{aligned}L_{ABFD}&=AB+BF+FD+DA\\&=DE+(BE+EF)+FD+DA\\&=24+3+3=30\text{ cm}.\end{aligned}$$

两端各有一段3 cm进入外边界，只加一次会漏段。

本题结论

四边形 ABFD 的周长为 30 cm。

5. 平移割补与实际用量

面积问题把零散绿地拼为完整矩形，逐边核实新长和新宽；贴面问题把同向小段拼为总长，再乘真实宽度。移动保持的是面积或分段长度，不是随意改变几何尺寸。

例题 06 十字道路之外的绿地 知识清单例题

题目

如图,在宽为 $20 \, m$ , 长为 $30 \, m$ 的长方形花园中, 修建两条宽度为 $1 \, m$ 的长方形道路, 余下部分进行绿化, 求绿化部分的面积.

长30米宽20米的花园，两条宽1米的道路相交

答案与解析

解析

把四块绿地平移拼接，横向总长为 $30-1=29$ m，纵向总宽为 $20-1=19$ m，面积

$$S=29\times19=551\text{ m}^2.$$

也可由总面积扣道路：$600-20-30+1=551$。最后加回的1是路口面积，因为它已被扣了两次。本题两条路分别贯通长和宽，且互相垂直。

本题结论

绿化面积为 $551\text{ m}^2$。

例题 07 台阶地毯的用量 知识清单例题

题目

某宾馆重新装修后,准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯宽2米,其侧面如图所示,则该宾馆购买地毯至少需要多少元?

台阶侧面总水平长度5.8米、总高度2.6米

答案与解析

解析

地毯紧贴踏面及立面，所需侧面长度为所有水平段和竖直段之和：$5.8+2.6=8.4$ m。

宽为2 m，面积 $8.4\times2=16.8\text{ m}^2$；所需费用 $16.8\times30=504$ 元。这里按题设不另计接缝、裁切损耗，不把真实购买的包装规格带入模型。

本题结论

按题设用量，至少需要 504 元。

三、坑点 辨析与边界

1. 全等不等于统一位移

平移不翻转边的朝向。把一个顶点移到指定位置后，若其余顶点不能使用完全相同的位移，两图就不是这一次平移得到的。

辨析 01 四幅作图是否符合平移 知识清单例题

题目

下列平移作图中，错误的是哪一幅？

第1幅三角形及其对应点连接线

①

第2幅三角形及其对应点连接线

②

第3幅三角形及其对应点连接线

③

第4幅三角形及其对应点连接线

④

答案与解析

解析

①②④中，各对应顶点可用同向、等长的位移连接。③斜边朝向翻转，两个三角形呈镜像；即使大小相同，也无法用一次统一位移让所有对应顶点到位。

本题结论

错误的是③。

2. 下笔计算前先认清所求量

易错做法	为什么不成立	正确检查
把两图之间的空隙当平移距离	空隙端点可能不是对应点	先写字母配对，再连接原来的点和像点
组合周长只增加一次位移	所求外边界可能在两端各增加一段	沿边界列全，再替换对应边
扣完两条路不加回交叉区	同一块路口被扣了两次	用集合面积或拼矩形复核
地毯长度取首尾斜线距离	斜线离开台阶表面，不能覆盖立面和踏面	累加全部贴面水平段、竖直段
水平与竖直位移相加求平移距离	得到的是折线路程，不是对应点直线距离	直线距离用勾股，两分量分别保留方向

这些问题使用同一个“平移”概念，所求量却不同。先问清是位移、路线、面积还是外周长，再决定哪种守恒关系可以使用。

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