旋转与中心对称

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旋转要同时确定中心、方向和角度。先用等半径与共同转角寻找对应关系，再处理角度、长度和作图；180°半转另有“共同中点”这一简洁判据。

一、知识点概念与依据

1. 旋转的三个要素

在同一平面内，把图形所有点绕固定点 $O$ ，按同一方向转过相同角度，这样的变换叫旋转。

要素	要明确的问题
中心	绕哪一个固定点转？可以在图内、边上或图外
方向	顺时针还是逆时针？
角度	实际转过多少？不是原图任意两条边的夹角

中心不动，其他点沿以中心为圆心的圆弧移动。若转角大于180°，两条半径的普通小夹角不等于实际转动量；不能只量一个小角就确定过程。

2. 旋转的等量与保形

若 $P\to P'$ 、 $Q\to Q'$ ，则 $OP=OP'$ 、 $OQ=OQ'$ ，两对半径的有向转角相同。对应边相等、对应角相等，原图与像全等，周长和面积都保持。

为什么保长？ 两条半径都同向转同角，原来两半径的夹角不变。由两对半径相等和夹角相等，SAS 得中心三角形全等，故 $PQ=P'Q'$ 。若两点与中心共线，则利用同向或反向的半径长度和差，也得到保长。整图每条边都如此保持。

等半径只是必要条件；同一圆周上有很多候选像点。还必须核同方向、同角度。

3. 半径、弦长与运动轨迹

量	对应对象	不能混用的原因
半径 $OP$	动点到旋转中心的距离	旋转中保持不变
弦长 $PP'$	起点到终点的直线距离	是最短连线，不是沿圆运动的路程
轨迹弧长	实际转动所经过的圆弧	由半径与实际转角共同确定

当半径为 $r$ 、实际转过 $\theta^\circ$ 时，轨迹长 $L=\frac{\theta\pi r}{180}$ 。例如90°旋转占一周的四分之一；若多转整周，终点可以相同，轨迹长度却不同。

4. 作旋转像与寻找旋转中心

已知中心作像： 保留中心；从每条原半径按指定方向作指定角，在新射线上截取等长半径；最后按原顺序连像点。不是只把一个顶点转动，也不是把图形内部的角改成旋转角。

已知原图与像找中心： 中心到每对不同对应点等距，所以在它们连线的中垂线上。通常取两对，交点为候选中心，再核全部对应点的共同有向转角。

两中垂线平行不相交，没有同时满足这两对的有限中心。
两中垂线重合，仅凭这两对不能唯一定位，应换点或利用已知转角。
转角为0°或整周时没有唯一中心；180°时可直接用对应点连线中点。

5. 90°旋转的坐标

中心与方向	原来的点 $(x,y)$ 的像
绕坐标原点逆时针90°	$(-y,x)$
绕坐标原点顺时针90°	$(y,-x)$

逆时针90°把向右变向上、向上变向左，所以原横向分量转成新纵向分量，原纵向分量变成新横向的相反数；顺时针则相反。负分量也按方向一起转动，规则不限第一象限。

绕 $C(h,k)$ 转动时，先减中心坐标，得到相对位置 $(x-h,y-k)$ ；按方向交换并变号后，再加回 $(h,k)$ ：

逆时针90°： $(h-(y-k),\ k+(x-h))$ 。
顺时针90°： $(h+(y-k),\ k-(x-h))$ 。

其他角不能套90°的交换式。检查时，既要核到中心距离不变，也要核方向。

6. 中心对称关系与中心对称图形

概念	判断对象
两个图形关于 $O$ 成中心对称	一个绕 $O$ 旋转180°后与另一个重合
一个中心对称图形	它绕某点旋转180°后与自身重合

180°使每条半径射线变为反向射线，再由半径相等，得到 $O$ 是每对不同对应点连线的中点。反过来，共同中点也保证反向等半径，从而确定半转。 $O$ 自身固定。

对应边所在直线平行或重合；不能无条件说必是两条不同的平行线。确定中心最稳妥的是取一对不同对应点的中点，再核其余对应点。两条对应连线相交的方法只在它们不重合时方便。

7. 半转坐标与中点关系

线段两端为 $(x,y)$ 、 $(x',y')$ 时，中点坐标为

\left(\frac{x+x'}2,\frac{y+y'}2\right).

这是沿水平、竖直方向分别平分位移的结果；每一坐标分别平均，不能横纵交叉。

若中心为 $(h,k)$ ，中点关系给 $x+x'=2h$ 、 $y+y'=2k$ ，因此像点为 $(2h-x,2k-y)$ 。只有中心为坐标原点时，才简化为 $(-x,-y)$ 。

8. 过对称中心的直线为什么平分面积

中心对称图形绕中心半转后不变；任何过中心的直线半转后仍是它自身，却把两侧互换。半转保全等及面积，所以两侧总面积相等。

两侧可能各有几块，不一定各是一块三角形。只有“图形中心对称”和“截线经过同一中心”同时成立才有这个保证；面积相等也不能反推截线必过中心。

一般平行四边形的中心是两条对角线交点；等边三角形虽然有旋转对称，却不能180°重合，不是中心对称图形。

9. 三种变换怎样分辨

变换	确定条件	对应点判据
平移	统一方向与距离	各对应点连接为同向等长位移
旋转	中心、方向、角度	各对应点到中心等距且有向转角相同
轴反射	对称轴	轴垂直平分不同对应点连线，轴上点固定

三者都保形、保长、保角和保面积，但实现方式不同。中心对称是旋转180°的特殊情况；轴对称与中心对称也可以同时存在。

二、考点先方法，后例题

1. 认清图案中的对应部件

先明确哪一部分变成哪一部分，再看对应点的移动规律。整体可能同时具有多种对称，不能因为两个部件全等就随意指定变换。

例题 01 三种变换分别出现在哪里知识清单例题

题目

甲骨文是我国古代的一种文字,下列甲骨文中,能看作用其中一部分进行平移变换得到的是____;能看作用其中一部分进行旋转变换得到的是____;能看作用其中一部分进行轴对称变换得到的是____.

答案与解析

解析

③④的对应部件保持朝向，各点同向同距移动，可看作平移。①⑤的部件围绕共同位置转动，可用同中心同有向角对应。②⑥的部件沿一条轴翻折重合，可看作轴反射。这里依题图指定部件分类，并非说整个字形只能出现一种变换。

本题结论

平移：③④；旋转：①⑤；轴对称：②⑥。

2. 中心与转角明确后逐点作图

按“连中心、转方向、截等长、连像点”处理各顶点。核查一个顶点后，还要检查其余点同角度；不能把原三角形的角与转动角混在一起。

例题 02 绕O转动60° 知识清单例题

题目

如图, 把 $\triangle AOB$ 绕点 O 按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$ , 画出旋转后的图形 $\triangle A'OB'$ .

答案与解析

解析

$O$ 不动。从 $OA$ 逆时针作60°射线，取 $OA'=OA$ ；从 $OB$ 也逆时针作60°射线，取 $OB'=OB$ ，连接 $A'B'$ 。

应满足 $\angle AOA'=\angle BOB'=60^\circ$ ，不是要求 $\angle AOB'=60^\circ$ 。

本题结论

旋转像为解析图中的三角形 A′OB′。

例题 03 在网格中找旋转中心知识清单例题

题目

如图,在 $4 \times 4$ 的正方形网格中, $\triangle MNP$ 绕某点旋转一定的角度后, 得到 $\triangle M_{1}N_{1}P_{1}$ , 则其旋转中心一定是 ( )

A.点 $E$

B.点 $F$

C. 点 $G$

D. 点 H

答案与解析

解析

按 $P\leftrightarrow P_1$ 、 $M\leftrightarrow M_1$ 、 $N\leftrightarrow N_1$ 配对。可作 $PP_1$ 与 $NN_1$ 的中垂线，交于 $G$ 。

复核 $GP=GP_1=1$ 格， $GP$ 逆时针90°到 $GP_1$ ，其他两对也同向转90°。候选 $E$ 到 $P,P_1$ 分别为 $\sqrt2,2$ ，不等； $F$ 到 $N,N_1$ 为 $\sqrt{18},\sqrt{10}$ ，不等； $H$ 到这两点的距离平方为4.5和8.5，也不等。

本题结论

选 C，旋转中心是 G。

3. 旋转求角：转角加等腰，再查射线顺序

一对对应半径确定转角，另一对半径等长常形成等腰三角形。随后先标出各角顶点和射线所在位置，再决定相加、相减或用三角形内角和。

例题 04 点落在原边上时的角度知识清单例题·合组，第（2）问为2024江苏无锡

题目

（1）如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$ , $\angle ABC = 40^{\circ}$ . 将 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转得到 $\triangle A'BC'$ , 点 $C$ 的对应点 $C'$ 恰好落在边 $AB$ 上, 则 $\angle CAA'$ 的度数是 ____.

（2）（2024 江苏无锡）如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle B = 80^{\circ}$ ， $\angle C = 65^{\circ}$ ，将 $\triangle ABC$ 绕点 A 逆时针旋转得到 $\triangle AB'C'$ 。当 $AB'$ 落在 AC 上时， $\angle BAC'$ 的度数为（）

A. $65^{\circ}$

B. $70^{\circ}$

C. $80^{\circ}$

D. $85^{\circ}$

答案与解析

解析

（1）原 $\angle CAB=50^\circ$ 。 $C'$ 在 $AB$ 上，故绕 $B$ 转40°； $BA=BA'$ ，所以 $\triangle BAA'$ 底角为70°。按图 $AC$ 与 $AA'$ 在 $AB$ 两侧， $\angle CAA'=50^\circ+70^\circ=120^\circ$ 。

（2）原 $\angle BAC=180^\circ-80^\circ-65^\circ=35^\circ$ 。 $AB'$ 落在 $AC$ 上，转角35°，旋后顶角 $\angle B'AC'=35^\circ$ 。按图射线次序， $\angle BAC'=35^\circ+35^\circ=70^\circ$ ，选 B。

本题结论

（1） $120^\circ$ ；（2） $70^\circ$ ，选 B。

例题 05 利用转角确定垂直关系知识清单例题

题目

（2024天津）如图， $\triangle ABC$ 中， $\angle B = 30^{\circ}$ ，将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle DEC$ ，点 $A, B$ 的对应点分别为 $D, E$ ，延长 $BA$ 交 $DE$ 于点 $F$ ，下列结论一定正确的是（）

A. $\angle ACB = \angle ACD$

B. $AC \parallel DE$

C.AB = EF

D. $BF \perp CE$

答案与解析

解析

设 $BF$ 与 $CE$ 交于 $O$ 。转动使 $\angle BCE=60^\circ$ ，又 $O$ 在图中 $BF,CE$ 的交点位置， $\triangle BCO$ 的另两角为30°和60°，所以 $\angle BOC=90^\circ$ ，即 $BF\perp CE$ 。

A项的 $\angle ACD$ 是60°转角，原 $\angle ACB$ 并未必为60°；B项没有足够角条件保证平行；C项真正保长的是 $AB=DE$ ， $F$ 不是 $B$ 的像，不能推出 $AB=EF$ 。

本题结论

一定正确的是 D。

4. 坐标旋转与连续变换

绕原点时按方向交换变号；绕其他点时，先减中心、转相对位置、再加回中心。连续变换使用上一步的新点；若是互相独立的小问，应回到该问指定的原图。

例题 06 绕原点逆时针作像知识清单例题

题目

如图,在平面直角坐标系中,已知 $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别是 $A(1,1),B(4,1),C(3,3)$ ,将 $\triangle ABC$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后得到 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ ,请画出 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

答案与解析

解析

逆时针90°使用 $(x,y)\mapsto(-y,x)$ ：

$A(1,1)\to A_1(-1,1)$ ；
$B(4,1)\to B_1(-1,4)$ ；
$C(3,3)\to C_1(-3,3)$ 。

在网格中标点并依次连接，距离保持且方向一致。

本题结论

像点为 $A_1(-1,1)$ 、 $B_1(-1,4)$ 、 $C_1(-3,3)$ ，作图见解析。

例题 07 先平移，再绕新顶点转动知识清单例题

题目

(2024 山东济宁) 如图, $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别是 $A(1,3)$ ,

$B(3,4), C(1,4).$

(1) 将 $\triangle ABC$ 向下平移 2 个单位长度得 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ ，画出平移后的图形，并直接写出点 $B_{1}$ 的坐标.

(2) 将 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得 $\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$ ，画出旋转后的图形，并求点 $C_{1}$ 运动到点 $C_{2}$ 所经过的路径长.

答案与解析

解析

（1）纵坐标减2： $A_1(1,1)$ 、 $B_1(3,2)$ 、 $C_1(1,2)$ 。

（2）以 $B_1(3,2)$ 为中心。 $A_1$ 的相对坐标 $(-2,-1)$ 逆转后为 $(1,-2)$ ，加回中心得 $A_2(4,0)$ 。 $C_1$ 的相对坐标 $(-2,0)$ 逆转后为 $(0,-2)$ ，得 $C_2(3,0)$ ；中心 $B_1$ 不动。

$C_1$ 到中心的距离是2，实际转90°，路径是四分之一圆弧，长为 $\frac{90\pi\times2}{180}=\pi$ 。

本题结论

（1） $B_1(3,2)$ ，平移图如解析；（2）旋转图如解析， $A_2(4,0)$ 、 $C_2(3,0)$ ，所求路径长为 $\pi$ 。

5. 借旋转把分散的线段放进同一三角形

等边或特殊等腰给出自然转角。把一条分散的线段随图旋转到目标位置，利用 SAS 证明对应，再通过额外角条件形成直角，或把两段拼接为一条线段。保长不能代替角和点序的证明。

如图,在等边三角形 ABC 中有一点 P, 连接 PA、PB、PC, 将 BP 绕点 B 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 BD, 连接 PD、AD, 有下列结论: ① $\triangle BPC \cong \triangle BDA$ ; ② $\triangle BDP$ 是等边三角形; ③ 如果 $\angle BPC = 150^{\circ}$ , 那么 $PA^{2} = PB^{2} + PC^{2}$ . 其中正确的有 ( )

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

答案与解析

解析

旋转给 $BP=BD$ 、 $\angle PBD=60^\circ$ ，所以 $\triangle BPD$ 等边，②正确。

$BC=BA$ ，且 $\angle PBC=\angle DBA$ ：两角均为原60°减去 $\angle PBA$ 。由 SAS 得 $\triangle BPC\cong\triangle BDA$ ，①正确，并得 $AD=PC$ 、 $\angle BDA=\angle BPC$ 。

在本问另加 $\angle BPC=150^\circ$ 的条件下，用图中射线次序得 $\angle PDA=150^\circ-60^\circ=90^\circ$ 。于是

PA^2=PD^2+AD^2=PB^2+PC^2,

③也正确。没有150°条件，不能对任意内部点直接使用这个平方和。

本题结论

①②③都正确，选 D。

例题 09 旋转后拼接两段长度知识清单例题·改编，明确图示点序

题目

如图， $\triangle ABC$ 为等边三角形。 $D$ 在直线 $BC$ 的另一侧，与 $A$ 异侧， $BD=CD$ ， $\angle BDC=120^\circ$ 。以 $D$ 为顶点作60°角，两边分别交线段 $AB,AC$ 的内部于 $M,N$ 。猜想 $BM,MN,NC$ 的关系，并证明。

答案与解析

解析

由等腰和等边， $\angle DBC=\angle DCB=30^\circ$ ，所以 $\angle DBM=\angle DCN=90^\circ$ 。

将 $\triangle DBM$ 绕 $D$ 顺时针120°到 $\triangle DCE$ ，得 $CE=BM$ 、 $DE=DM$ 、 $\angle DCE=90^\circ$ 。按旋转后的方向， $N,C,E$ 依次共线。

$\angle MDE=120^\circ$ ， $DN$ 在其中且 $\angle MDN=60^\circ$ ，故 $\angle NDE=60^\circ$ 。由 $DM=DE$ 、 $DN$ 公共及夹角相等，SAS 得 $\triangle DMN\cong\triangle DEN$ 。所以

MN=EN=NC+CE=NC+BM.

这依赖 $D$ 的外侧位置、 $M,N$ 在线段内部；位置改变时须重新判断角和点序。

本题结论

$MN=BM+NC$ 。

6. 半转作图与找共同中点

已知中心时，把原来的点与中心连接并越过中心，截取相等距离作像；求中心时先按字母顺序找对应点，取中点并复核其他对应点，不随意更换配对。

例题 10 作半转像与定位中心知识清单例题·合组

题目

（1）如图, 已知 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABC$ 外一点 O, 作 $\triangle A'B'C'$ , 使其与 $\triangle ABC$ 关于点 O 成中心对称.

（2）如图所示,已知 $\triangle ABC$ 和与其成中心对称的图形 $\triangle EFD$ ,请画图确定对称中心.

答案与解析

解析

（1）连 $AO$ 并越过 $O$ 延长，取 $OA'=OA$ ； $B,C$ 同法作 $B',C'$ ，按原顺序连接。每对点连线都被 $O$ 平分。

（2）对应关系为 $A\leftrightarrow E$ 、 $B\leftrightarrow F$ 、 $C\leftrightarrow D$ 。连 $AE,CD$ ，本图两线交于 $O$ ，再核 $O$ 平分两线段及 $BF$ 。也可先取 $AE$ 中点再复核。若对应连线重合，应使用中点，不能任取交点。

本题结论

（1）三角形 A′B′C′ 如解析图；（2）共同中点 O 为对称中心。

7. 中心坐标与综合作图

由中心是对应点中点，分别列横纵坐标和。面积与角平分线等后续小问仍应各自指出几何依据，不能只凭网格看起来像。

例题 11 原点对称的参数与选择知识清单例题·合组

题目

（1）若 $P(2,n)$ 与 $Q(m,-3)$ 关于坐标原点对称，求 $m+n$ 。

（2）（2024 四川成都） $P(1,-4)$ 关于坐标原点对称的点是哪一个？

A. $(-1,-4)$

B. $(-1,4)$

C. $(1,4)$

D. $(1,-4)$

答案与解析

解析

（1）对应坐标互为相反数， $m=-2$ 、 $n=3$ ，和为1。

（2）两坐标同时变号，得到 $(-1,4)$ ，选B。A只改横坐标，是 $y$ 轴反射；C只改纵坐标，是 $x$ 轴反射；D未改变非中心点，不是本次半转。

本题结论

（1）1；（2）B。

例题 12 分别完成两种旋转知识清单例题

题目

在如图所示的正方形网格中有 Rt△ABC, ∠C=90°, AC=4, BC=3.

(1)试在图中作出将 $\triangle ABC$ 以点A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形 $\triangle AB_{1}C_{1}$ .
(2) 若点 B 的坐标为 $(-4, 4)$ ，试在图中作出平面直角坐标系，并标出 A、C 两点的坐标.
(3)根据(2)中的平面直角坐标系作出与 $\triangle ABC$ 关于原点对称的图形 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ , 并标出 $B_{2}, C_{2}$ 两点的坐标.

答案与解析

解析

（1）以 $A$ 为固定中心， $AB,AC$ 同时顺时针转90°并截等长，得到解析图 $AB_1C_1$ 。

（2）由 $B(-4,4)$ ，沿格线向右4、向下4定位坐标原点，画出坐标轴。 $C$ 在 $B$ 下方3格，故 $C(-4,1)$ ； $A$ 在 $C$ 右方4格，故 $A(0,1)$ 。

用坐标复核（1）： $B$ 相对 $A$ 为 $(-4,3)$ ，顺转后为 $(3,4)$ ，得 $B_1(3,5)$ ； $C$ 相对 $A$ 为 $(-4,0)$ ，得 $C_1(0,5)$ 。

（3）此问从原三角形出发，关于原点半转： $A_2(0,-1)$ 、 $B_2(4,-4)$ 、 $C_2(4,-1)$ ，并依次连接。不是再对第（1）问的新三角形继续转动。

本题结论

（1） $AB_1C_1$ 如图；（2） $A(0,1)$ 、 $C(-4,1)$ ；（3） $B_2(4,-4)$ 、 $C_2(4,-1)$ ，完整像如图。

例题 13 非原点中心、面积与角平分线知识清单例题

题目

（2024 安徽）如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 $xOy$ ，格点（网格线的交点） $A, B, C, D$ 的坐标分别为 $(7,8), (2,8), (10,4), (5,4)$ .

(1)以点 D 为旋转中心, 将 $\triangle ABC$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ , 画出 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .
(2) 直接写出以 $B, C_{1}, B_{1}, C$ 为顶点的四边形的面积.
(3)在所给的网格图中确定一个格点 E, 使得射线 AE 平分 $\angle BAC$ , 写出点 E 的坐标.

答案与解析

解析

（1）中心 $D(5,4)$ ，对应坐标和分别为10与8，因此 $A_1(3,0)$ 、 $B_1(8,0)$ 、 $C_1(0,4)$ 。

（2）四边形按 $B,C_1,B_1,C$ 顺序连接。水平对角线 $C_1C$ 长10， $B,B_1$ 到其所在直线 $y=4$ 的距离各4，两三角形面积和为 $\frac12\times10\times4\times2=40$ 。

（3） $AB=AC=BD=CD=5$ ，故四边形 $ABDC$ 是菱形，对角线 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 。可取格点 $E=D(5,4)$ ，也可取射线 $AD$ 上的 $(6,6)$ 、 $(4,2)$ 、 $(3,0)$ 。点 $E$ 不能取 $A$ 自身。

本题结论

（1）像点 $(3,0)$ 、 $(8,0)$ 、 $(0,4)$ ，作图如解析；（2）面积 $40$ ；（3）例如 $E(5,4)$ 。

8. 过对称中心截线的等长与等积

先证明截线经过图形的对称中心。半转把对应边和交点一同交换，线段等长来自保距离，两块等积来自整个区域重合；不能用等面积倒推线段等长。

例题 14 平行四边形中的截段与面积知识清单例题

题目

如图, 直线 EF 经过平行四边形 ABCD 的对角线的交点, 若 AE = 3, 四边形 AEFB 的面积为 15, 则 CF = ____, 四边形 EDCF 的面积为 ____, 平行四边形 ABCD 的面积为 ____.

答案与解析

解析

平行四边形关于对角线交点 $O$ 中心对称，半转时 $A\leftrightarrow C$ 、 $B\leftrightarrow D$ 。过 $O$ 的直线 $EF$ 仍为自身，因此 $E\leftrightarrow F$ ， $AE$ 对应 $CF$ ，得 $CF=3$ 。

四边形 $AEFB$ 与 $EDCF$ 半转后重合，面积同为15。两块恰拼成原平行四边形，总面积30。

本题结论

$CF=3$ ；四边形 $EDCF$ 面积 $15$ ；平行四边形面积 $30$ 。

三、坑点辨析与边界

1. 半径与弦弧不能混算

先看题目问到中心的距离、前后点的直线距离，还是运动路径。三者对象不同，不能只因都与旋转有关就使用同一个数。

辨析 01 转动后的两点相距多少知识清单例题

题目

如图, $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,BC是斜边,P是 $\triangle ABC$ 内一点.将 $\triangle ABP$ 绕点A逆时针旋转得到 $\triangle ACP'$ ,若 $AP'=3$ ,则 $PP'$ 的长为____.

答案与解析

解析

$BC$ 是等腰直角三角形的斜边，故 $\angle BAC=90^\circ$ ， $B\to C$ 确定逆时针90°。 $AP=AP'=3$ ，所以在直角 $\triangle PAP'$ 中， $PP'=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2$ 。

3是半径；6是两半径组成的折线长；若问本次轨迹才是四分之一圆周 $3\pi/2$ ，都不是本题弦长。

本题结论

$PP'=3\sqrt2$ 。

2. 坐标变换不能只看保距

几种反射和旋转都可能保持到原点的距离。只有明确方向及实际中心，才能选择正确的新坐标。绕非原点转动时，先计算相对坐标。

辨析 02 顺时针还是逆时针知识清单例题

题目

(2024 湖北) 如图, 点 A 的坐标是 $(-4, 6)$ , 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 $90^{\circ}$ , 点 A 的对应点的坐标是 ()

A.(4,6)

B.(6,4)

C. $(-6,-4)$

D. $(-4,-6)$

答案与解析

解析

顺时针90°为 $(x,y)\mapsto(y,-x)$ ，所以 $(-4,6)\mapsto(6,4)$ ，选B。A是 $y$ 轴反射，C是逆时针90°，D是 $x$ 轴反射。到原点距离相同不能排除这些错误，必须再核转动方向。

本题结论

选 B，像点为 (6,4)。

3. 全等不保证关于指定点半转重合

确定对应关系后，要检验同一个点是否平分全部对应点连线。只是两个图全等，或看上去分居某点两侧，都不够。

辨析 03 两组图中的中心对称知识清单例题·合组

题目

（1）下列两图关系中，成中心对称的是哪一幅？

（2）（2024 广东广州） $O$ 为正方形中心，各图阴影两三角形全等。哪一图的阴影三角形关于 $O$ 对称？

答案与解析

解析

（1）A中每对对应点的连线都被 $O$ 平分，半转重合。B呈镜像而非半转，C、D的对应点不能全部以同一中点作180°对应。

（2）C的左下与右上三角形逐点半转重合。A、B不能把一个阴影三角形的三个顶点同时转到另一个的顶点；D虽两三角形全等，左下角的阴影顶点半转到右上角，而右上角不是另一个阴影三角形的顶点，不能因外框为正方形就判阴影也关于其中心对称。

本题结论

（1）A；（2）C。

辨析 04 对应边与点到像点的距离知识清单例题

题目

如图, 已知 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 关于点 O 中心对称, 点 A, B, C 的对称点分别为点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ . 下列结论: ① $\angle ABC = \angle A_{1}B_{1}C_{1}$ ; ② $AB=AA_1$ ; ③ $OA=OA_1$ ;

④ $AC \parallel A_{1}C_{1}$ ; ⑤ $\triangle BOC \cong \triangle B_{1}OC_{1}$ . 其中正确的有 ____. (填序号)

答案与解析

解析

①对应角相等，正确。② $AB$ 对应 $A_1B_1$ ， $AA_1$ 却是同一点前后的连接线，二者不保证相等。③ $O$ 是 $AA_1$ 中点，正确。④按图 $AC$ 不经过 $O$ ，半转后的对应直线与它不同且平行，正确；一般位置也可能重合。⑤ $OB=OB_1$ 、 $OC=OC_1$ ，两中心夹角相等，由 SAS 得全等。