整式乘法把积展开为和，因式分解反过来寻找能产生这些项的乘积。判断是否分解完成，要看整个式子的结构，并把结果展开回验。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 理解概念

1. 从多项式到整式的积

把一个多项式等值变形成几个整式的积，叫作因式分解，也叫分解因式。例如 $x^2-9=(x+3)(x-3)$。

检查项目	具体要求
变形方向	从多项式的和差形式，变为乘积形式
整体结构	不是某一部分出现积，而是全式成为积
因式范围	各因式均为整式，不能靠引入字母分母凑成乘积
等值性	展开后恢复原式，不额外排除原来允许的取值
完整性	每个因式还要检查能否继续分解，外公因式始终保留

“分解彻底”与允许的系数范围有关。本页主要在有理系数范围内讨论；找不到整数因子对，不等于证明在任何系数范围都不可分。

2. 公因式与提公因式法

多项式各项都含有的共同因子叫公因式。公因式不唯一，通常取出最大的公共部分，使余式更简洁。

部分	通常选取方法	原因
整数系数	各系数绝对值的最大公约数	每一项都含有这个整数因子
字母	各项共有的字母	某一项独有的字母不能共同提取
指数	共有字母的最低指数	提出后，每一项仍应为整式
多项式整体	先统一相同或相反形式	$y+x=x+y$，而 $3-a=-(a-3)$

提公因式法就是逆用分配律：$pA+pB=p(A+B)$。若首项为负，常提负公因式，使余式首项为正，这时每一个余项的符号都要重新确定。

可用“原项除以公因式”帮助寻找余项，但最终得到的是多项式恒等式，不能因此增加公因式非零的限制。例如 $-a+a^2=-a(1-a)$ 在 $a=0$ 时仍成立。重新展开才是检验等值性的依据。

3. 公式法、分组法与十字相乘

方法	所需结构	分解结果
平方差	两个平方的差	$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
完全平方	首末为平方，中项为带符号二倍积	$A^2\pm2AB+B^2=(A\pm B)^2$
分组分解	组内处理后出现共同因式或公式结构	$ma-mb-na+nb=(a-b)(m-n)$
首一二次三项式的十字相乘	找到 $A+B=p$、$AB=q$	$x^2+px+q=(x+A)(x+B)$

公式来自整式乘法的逆用，字母 $A,B$ 可以代表完整多项式。分组不是任意加括号，而是为了让下一步能提共同因式或套公式。

十字相乘的依据是 $(x+A)(x+B)=x^2+(A+B)x+AB$，所以积与和必须同时匹配。这里限定首项系数为1；首项系数不同，交叉乘积须另行计算，不能照搬 $A+B=p$。

二、考点 识别与处理

1. 判断是否真正完成因式分解

按“方向、整体、因式范围、恒等”依次检查。出现括号并不意味着分解完成；右侧只要还有一个在乘积之外的加减项，就还不是全式的乘积形式。

例题 01 四种变形逐一核对 知识清单例题

题目

下列变形是因式分解的是哪些？

① $3x+3y-5=3(x+y)-5$； ② $(x+1)(x-1)=x^2-1$； ③ $x^2-9=(x+3)(x-3)$； ④ $x+y=x(1+\frac yx)$，$x\ne0$。

答案与解析

解析

①右侧整体仍是差，不是乘积。②是把积展开为多项式，方向相反。③整体变为两个整式的积，展开相等，符合定义。④的因式 $1+y/x$ 不是整式，还增加了 $x\ne0$ 的限制。

本题结论

只有③。

2. 先提全，再逐项确定余式

先找共同系数、共有字母与最低指数；若有相反整体，先统一形式。提出后，原来每一项都要留下对应余项，尤其不能漏掉1或 $-1$。最后展开回验。

例题 02 共同因式可以是一个完整多项式 知识清单例题

题目

写出各式通常提取的公因式：

（1）$12a^3b^2d-8a^2bc$；（2）$4a(x+y)^2-2(y+x)^2$。

答案与解析

解析

（1）12与8的最大公约数为4；共有字母 $a,b$ 的最低指数分别为2、1。$d,c$ 不是各项共有，故取 $4a^2b$。

（2）$y+x=x+y$，两项都有 $(x+y)^2$，数系数取2，得 $2(x+y)^2$。$a$ 只在第一项，不提到外面。

本题结论

$4a^2b$；$2(x+y)^2$。

例题 03 负号、常数余项都保留 知识清单例题·合组

题目

分解因式：

（1）$-a+a^2$；（2）$9x^3+6x^2y-3x$；（3）$6a^3b^2-4ab^2-2a^2b^3$。

答案与解析

解析

（1）提 $-a$，原两项分别剩1、$-a$，得 $-a(1-a)$。

（2）提 $3x$，三项分别剩 $3x^2,2xy,-1$，得 $3x(3x^2+2xy-1)$。最后的 $-1$ 乘回 $3x$ 才能恢复 $-3x$。

（3）提 $2ab^2$，余项依次为 $3a^2,-2,-ab$，得 $2ab^2(3a^2-2-ab)$。这些分解都是恒等式，不需要把 $a,b,x$ 限制为非零。

本题结论

$-a(1-a)$；$3x(3x^2+2xy-1)$；$2ab^2(3a^2-2-ab)$。

例题 04 统一相反整体后再提出 知识清单例题

题目

分解因式：

（1）$75a^3b^5-25a^2b^4$；（2）$-4m^3+16m^2-26m$；

（3）$m(a-3)+2(3-a)$；（4）$6a(b-a)^2-2(a-b)^3$。

答案与解析

解析

（1）提 $25a^2b^4$，得 $25a^2b^4(3ab-1)$。

（2）提 $-2m$，得 $-2m(2m^2-8m+13)$。括号 $=2(m-2)^2+5>0$，不能再分为关于 $m$ 的两个实一次因式。

（3）先写 $3-a=-(a-3)$，原式 $=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)$。

（4）$(b-a)^2=(a-b)^2$，所以

$$6a(a-b)^2-2(a-b)^3=2(a-b)^2[3a-(a-b)]=2(a-b)^2(2a+b).$$

平方消去了整体负号，但余式中的 $-(a-b)$ 仍须逐项变号。

本题结论

$25a^2b^4(3ab-1)$；$-2m(2m^2-8m+13)$；$(a-3)(m-2)$；$2(a-b)^2(2a+b)$。

3. 先提公因式，再逐层套公式

先检查全式的公因式，再看余式能否匹配平方差或完全平方。把反复出现的多项式当作一个整体，可以减少展开，但最后要恢复整体，并检查每个因式是否还可分解。

例题 05 外因式和内层结构同时检查 知识清单例题·合组

题目

分解因式：

（1）$\frac14x^2+\frac12x+\frac14$；（2）$3a^4-3b^4$。

答案与解析

解析

（1）先提 $\frac14$，余式为 $x^2+2x+1=(x+1)^2$，得 $\frac14(x+1)^2$。

（2）先提3，再连续使用平方差：

$$3(a^4-b^4)=3(a^2+b^2)(a^2-b^2)=3(a^2+b^2)(a+b)(a-b).$$

$a^2+b^2$ 是平方和，不再套平方差。

本题结论

$\frac14(x+1)^2$；$3(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$。

例题 06 多层完全平方与平方差 知识清单例题

题目

分解因式：

（1）$x^3-16x$；（2）$-4x^3y-8x^2y-4xy$；

（3）$(a^2+4)^2-16a^2$；（4）$(x^2+6x)^2+18(x^2+6x)+81$。

答案与解析

解析

（1）$x(x^2-16)=x(x+4)(x-4)$。

（2）提 $-4xy$ 后余 $x^2+2x+1$，故为 $-4xy(x+1)^2$。

（3）以 $a^2+4$ 和 $4a$ 为两个整体，平方差得到

$$(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)=(a+2)^2(a-2)^2.$$

（4）先令 $M=x^2+6x$，则原式 $=M^2+18M+81=(M+9)^2$。恢复 $M$：

$$(x^2+6x+9)^2=[(x+3)^2]^2=(x+3)^4.$$

内层和外层的平方都要保留。

本题结论

$x(x+4)(x-4)$；$-4xy(x+1)^2$；$(a+2)^2(a-2)^2$；$(x+3)^4$。

例题 07 先展开，才能看见完全平方 2024·山东威海

题目

分解因式：$(x+2)(x+4)+1$。

答案与解析

解析

原式中乘积外还有 $+1$，尚未完成分解。展开并合并同类项：

$$(x+2)(x+4)+1=x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

中项 $6x=2\cdot x\cdot3$、末项 $9=3^2$，完整匹配完全平方。

本题结论

$(x+3)^2$。

4. 分组要为下一步制造共同结构

四项式可考虑两两分组，也可把三项组成完全平方。选择分组的依据不是纸面位置，而是组内分解以后，组间能否继续成为乘积。重排时符号跟着原项走，提负括号后逐项回验。

例题 08 两两分组与一三分组 知识清单例题

题目

分解因式：（1）$ma-mb-na+nb$；（2）$x^2+y^2-z^2-2xy$。

答案与解析

解析

（1）前两项提 $m$，后两项提 $-n$：

$$m(a-b)-n(a-b)=(a-b)(m-n).$$

（2）把可组成完全平方的三项放一起：

$$(x^2-2xy+y^2)-z^2=(x-y)^2-z^2=(x-y+z)(x-y-z).$$

只写出两个括号的和，还不能称分解完成；最后仍要整体成为积。

本题结论

$(a-b)(m-n)$；$(x-y+z)(x-y-z)$。

5. 十字相乘：常数看积，中项看和

对于 $x^2+px+q$，可先列 $q$ 的整数因子对，再检查其和是否为 $p$。$q>0$ 时两数同号，$q<0$ 时两数异号；再由和的符号判断具体配对。最后展开核验一次项与常数项，不能只核乘积。

例题 09 同时满足两个条件的因子对 知识清单例题

题目

分解因式：（1）$x^2+3x+2$；（2）$m^2-6m-7$。

答案与解析

解析

（1）找积为2、和为3的两数，1与2满足，所以得 $(x+1)(x+2)$。

（2）找积为 $-7$、和为 $-6$ 的两数，$-7$ 与1满足，所以得 $(m-7)(m+1)$。两数异号还不够，和必须与 $-6$ 一致。

本题结论

$(x+1)(x+2)$；$(m-7)(m+1)$。

例题 10 四种符号组合 知识清单例题

题目

分解因式：

（1）$x^2+5x+6$；（2）$x^2+5x-6$；（3）$x^2-5x+6$；（4）$x^2-5x-6$。

答案与解析

解析

题号	两数	积	和	分解结果
（1）	2、3	6	5	$(x+2)(x+3)$
（2）	6、$-1$	$-6$	5	$(x+6)(x-1)$
（3）	$-2$、$-3$	6	$-5$	$(x-2)(x-3)$
（4）	$-6$、1	$-6$	$-5$	$(x-6)(x+1)$

每一行都同时核对积和和。正常数并不意味着两数都正，也可能两数都负。

本题结论

依次为 $(x+2)(x+3)$、$(x+6)(x-1)$、$(x-2)(x-3)$、$(x-6)(x+1)$。

6. 分解后整体求值或简算

给出关系而非单个变量的值时，先把目标式分解，看看能否出现已知的积、和或差。数值简算同样可把重复乘数提出，或把完全平方、平方差反向识别出来。

例题 11 把已知积与差保留下来 知识清单例题

题目

已知 $m-4n=-3$、$mn=4$，求 $-m^3n+8m^2n^2-16mn^3$ 的值。

答案与解析

解析

先提共同因式 $-mn$，注意各余项符号：

$$-mn(m^2-8mn+16n^2)=-mn(m-4n)^2.$$

两个整体恰为已知量，所以原式 $=-4\times(-3)^2=-36$。无需解出 $m,n$。

本题结论

$-36$。

例题 12 把运算量降下来 知识清单例题

题目

简便计算：

（1）$7.6\times206+4.3\times206-1.9\times206$；

（2）$202^2+202\times196+98^2$；（3）$147^2-145^2$。

答案与解析

解析

（1）提共同因数206，得 $206(7.6+4.3-1.9)=206\times10=2060$。

（2）$202\times196=2\times202\times98$，中项是二倍积，所以原式 $=(202+98)^2=300^2=90000$。

（3）平方差：$(147+145)(147-145)=292\times2=584$。

本题结论

2060；90000；584。

三、坑点 检查遗漏

1. 出现乘积不等于分解彻底

$3a^4-3b^4$ 先分成 $3(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ 后，因式 $a^2-b^2$ 仍可继续分解。另一方面，不能把平方和 $a^2+b^2$ 错当平方差。每个因式分别检查，而不是见到括号就停。

辨析 01 既不能漏公因式，也不能改符号 2024·云南

题目

分解因式 $a^3-9a$，正确的是（　）。

A. $a(a-3)(a+3)$　 B. $a(a^2+9)$

C. $(a-3)(a+3)$　 D. $a^2(a-9)$

答案与解析

解析

先提 $a$，再平方差：$a(a^2-9)=a(a-3)(a+3)$，A正确。

B展开为 $a^3+9a$，符号错；C漏公因式，展开为 $a^2-9$；D展开为 $a^3-9a^2$，第二项的指数错。个别取值碰巧相等不能证明恒等。

本题结论

A。

2. 余项1和外面的分数不能消失

• $9x^3+6x^2y-3x$ 提 $3x$ 后最后一项是 $-1$，不是0；漏掉它就无法乘回原来的 $-3x$。
• $\frac14x^2+\frac12x+\frac14=\frac14(x+1)^2$，不能把外面的 $\frac14$ 丢掉。这里是在改写一个式子的值，不是在方程两边同时乘4。
• 提负因式要处理每一项，例如 $-a+a^2=-a(1-a)$，不是 $-a(1+a)$。
• 找余项时用到除法，不代表原多项式增加了非零限制。正确分解要在原来的全部取值下成立。

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