数据的分析

约 9951 字大约 33 分钟

同一组数据，平均数说明总量怎样均分，中位数说明排序中心，众数说明最常见的值；方差和极差则回答波动有多大。先明确要解决的问题，再选择指标，不能把“平均高”“更稳定”“更有区分度”当成同一件事。

一、知识点集中趋势与波动

1. 算术平均数：保持总量的均分值

对于非空的 $n$ 条数值数据，算术平均数记作 $\bar x$ ：

\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.

若把各条数据都换成同一个数，同时保持总和不变，便有 $n\bar x=x_1+\cdots+x_n$ ，由此得到公式。

平均数与原数据单位相同，但不一定是组内实际出现过的值。
重排数据不改变总和和个数，所以平均数唯一，与记录顺序无关。
每项都加 $a$ ，总和增加 $na$ ，平均数增加 $a$ ；每项都乘 $k$ ，平均数乘 $k$ 。
$n>1$ 时，去掉一个恰等于平均数的值，总和变为 $(n-1)\bar x$ ，剩余平均数仍是 $\bar x$ 。不能删成空组后继续谈平均数。

平均数用到了全部数值，个别过大或过小的数会影响它。这并不使平均数“算错”或失去意义，只是它未必适合表示典型个人的水平；研究总量或均分时仍很有用。

2. 加权平均数：值与份数一一对应

若值 $x_1,\ldots,x_k$ 对应非负权 $w_1,\ldots,w_k$ ，且总权大于0，则

\bar x=\frac{x_1w_1+\cdots+x_kw_k}{w_1+\cdots+w_k}.

权的来源	为什么要乘这个权	分母是什么
出现次数、人数、销量	一个值重复出现若干次，把重复加法写成乘法	全部记录数，不是类别数
百分比份额	该类占全部记录的比例	各份额之和；完整覆盖时为1
评分重要性或连比	按给定规则分配各项贡献	总权；权同时乘同一正数不改变结果

只有各权相等时，才可把不同类别的值直接作算术平均。非负权保证结果在最小值与最大值之间，可据此复核。求销售平均单价，以售出的商品数量为权，不能把销售收入占比误作销量占比。

3. 中位数：先排序，再找中心

将非空数据按从小到大排列，中位数由记录个数的奇偶确定：

个数	中心位置	中位数
$n$ 为奇数	第 $(n+1)/2$ 位	这一位置的数据
$n$ 为偶数	第 $n/2$ 位和第 $n/2+1$ 位	这两个数据值的平均数

奇数时中心两侧记录数相同；偶数时有两个中心位置，按定义取两值平均。中位数唯一，但偶数情况下未必是原数据中的数。

频数表也按全部记录定位，不按表的列数定位。可以累计每个值占据的序号范围，不必把几十条记录逐一展开。月份顺序、调查顺序都不能替代大小顺序。

中位数相对平均数较少受边缘极端值影响，但改变数据导致中心位置或中心值变化时，中位数也会变；“不受任何数据变化影响”是错误的。

4. 众数：最多次数对应的值

出现次数最多的数据值叫作众数。最大频数告诉我们“出现多少次”，众数告诉我们“哪个值最常出现”，二者不能互换。

众数可以不唯一。例如2、2、4、4、1中，2和4各出现两次，都是众数。若所有值出现次数一样，众数对描述最常见水平的作用很弱，不应随意挑一个当唯一代表。

众数是原数据中的值，适合描述常售尺码、常见规格等；平均尺码可能根本不是可以买到的规格。若条件说“唯一众数”，其频数必须严格超过其余每个值。

5. 三种集中趋势如何选择

指标	关注什么	优势	使用边界
平均数	总量的均分水平	用到每个数值	对极端值敏感，未必代表典型个人
中位数	排序中心位置	相对少受边缘极值影响	不反映每个值的变化；同分排名还需规则
众数	最常出现的值	对常售规格、常见类别直观	可以并列；各频数相同时意义有限

“一般水平”要结合目的解释。即使中位数和众数相等，也不能由此推出平均数相等。集中指标不能独自说明每个人的水平或整组数据的稳定程度。

6. 方差：离开本组平均数有多远

一组数据的方差是各数据与本组平均数之差的平方的平均数：

s^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}.

为什么不能直接平均“差”？因为各差之和为 $(x_1+\cdots+x_n)-n\bar x=0$ ，正负会抵消。先平方使偏离都作非负贡献，再除以 $n$ ，才不至于仅因数据条数多而增大总量。

一均：算本组平均数。
二差：每个数据减本组平均数。
三方：每个差先平方，再相加。
四再均：平方和除以实际记录条数。

方差非负，只有全部数据相同时才为0；单位是原数据单位的平方。本页描述一组数据的方差按定义除 $n$ 。

展开平方，并使用 $x_1+\cdots+x_n=n\bar x$ ，可得另一计算式：

\begin{aligned} \sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 &=\sum_{i=1}^n x_i^2-2\bar x\sum_{i=1}^n x_i+n\bar x^2\\ &=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar x^2,\\ s^2&=\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{n}-\bar x^2. \end{aligned}

其中求和符号表示把指定各项相加。公式比较的是围绕各自平均数的波动，不是平均数的高低；出现负结果时，应回查平方、平均数和舍入过程。

7. 标准差与极差：单位和信息不同

指标	定义	使用了哪些信息	单位
方差 $s^2$	离均平方的平均数	全部数据及本组平均数	原单位的平方
标准差 $s$	$s=\sqrt{s^2}$ ，取非负根	与方差对应	与原数据相同
极差	最大值减最小值	只看两端	与原数据相同

平方根在非负范围内保持大小顺序，因此比较标准差或方差会得到同一波动次序，通常不必为了比较再把平方根化小数。标准差不能写成正负两个值。

极差是粗略的波动范围；两组极差相同，方差仍可能不同。计算极差要扫全部记录，不是用原列表的首项减末项，也不需要除以人数。比较任何波动量前，都要统一单位和研究指标。

8. 每个数据统一变换，统计量怎样变

若全部数据同时变为 $y_i=kx_i+a$ ，则

\bar y=k\bar x+a,\qquad y_i-\bar y=k(x_i-\bar x).

新离均差中的常数抵消，平方后每项乘 $k^2$ ，再平均仍乘 $k^2$ ；开非负平方根则乘 $\lvert k\rvert$ 。

数据变化	新平均数	新方差	新标准差
保持不变	$\bar x$	$s^2$	$s$
每项加 $a$	$\bar x+a$	$s^2$	$s$
每项乘 $k$	$k\bar x$	$k^2s^2$	$\lvert k\rvert s$
每项变为 $kx+a$	$k\bar x+a$	$k^2s^2$	$\lvert k\rvert s$

必须每一项使用相同的变换。 $k$ 可以为0或负数： $k=0$ 时全部相等、方差为0；负数倍会倒转大小顺序，却不能产生负标准差。换单位也是倍乘，应先换成同一单位再比较。

9. 方差小表示稳定，不等于任何目的都更好

比较同一运动员多次成绩，希望发挥稳定，通常关注较小方差，同时还要看平均成绩是否达到目标。
比较一批秧苗高度，平均高度相同时，方差小表示长势整齐，不是长得更高。
若测试目的在于区分不同人的水平，题设可能关注较大的离散程度；这与评价同一个人发挥稳定是不同问题。

只靠方差不能证明现实测试的公平、效度或最终优劣。如果平均数与方差各有优劣，题目又未给选择标准，就不能自行编出唯一最佳方案。

10. 拓展：四分位数与箱线图

箱线图可用五个位置概括分布：最小值、下四分位数 $Q_1$ 、中位数 $Q_2$ 、上四分位数 $Q_3$ 、最大值。下面是须端取最小、最大值的简化示意：

箱内横线表示中位数，箱两端分别是上下四分位数；箱长表示数值差 $Q_3-Q_1$ ，不是箱内人数比外部多。

一种介绍方法是把有序数据分成上下两半，再求各半的中位数。但若要具体计算，必须明确奇数个数据时原中位数是否计入两半等约定，不能只凭示意图自行选择算法。有限样本含并列值或不能均匀四等分时，“小于等于 $Q_1$ 的恰好占25%”并非无条件成立；位置分位不能直接当成严格的数值计数。

11. 拓展：离差平方和与连续分组

离差平方和是不除以个数的总和，等于 $n s^2$ 。若将已按大小排序的 $n$ 个不同数据，限定分成前 $m$ 个与后 $n-m$ 个两组，设各组平均数为 $a,b$ ，可用

W_m=\sum_{i=1}^{m}(x_i-a)^2+\sum_{i=m+1}^{n}(x_i-b)^2

衡量组内的离散程度。

遍历切点 $m=1,2,\ldots,n-1$ ，保证两组均非空。
对每个切点重新算本组平均数 $a$ 、 $b$ ，不能沿用全体平均数或上一切点的平均数。
各数据减自己组的平均数后平方，两组平方和相加。也可用“第一组人数×第一组方差＋第二组人数×第二组方差”。
比较全部候选的 $W_m$ ，取最小者；若并列，保留所有达到最小的切点。

这一最优性只针对“按排序连续切成两组，并使组内平方和最小”的既定目标，不代表任意现实分类都应如此。不能把两组方差直接相加替代平方和，也不能在没给具体数据时凭图猜一个切点。

二、考点依定义选方法

1. 权从哪里来，先还原总量

把每个数值与它对应的人数、频数或评分权放在同一行。先求加权总量，再除总权；百分权和为1时可直接加贡献。合并组平均数时，以各组人数为权。

例题 01 人数不同的两个班怎样合并知识清单例题

题目

在一次数学测验中,八年级(1)(2)两班的平均成绩分别为78分、82分,其中(1)班有50人,(2)班有40人,问:两班的平均成绩是多少?

答案与解析

解析

（1）班总分为 $78\times50=3900$ ，（2）班为 $82\times40=3280$ 。两班合计90人、7180分，所以

\bar x=\frac{7180}{90}=\frac{718}{9}\approx79.8\text{（分）}.

直接算 $(78+82)/2=80$ 等于把两班人数都当成相同。人数较多的一班平均分较低，所以合并结果应略低于80，符合计算。

本题结论

约79.8分。

例题 02 销售量份额作权知识清单例题

题目

某超市销售 A, B, C, D 四种矿泉水, 它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元. 某天的销售情况如图所示, 则这天销售的矿泉水的平均单价是 ( )

A.1.95元

B.2.15 元

C.2.25元

D.2.75元

答案与解析

解析

各销量比例为10%、15%、55%、20%，总和为1，所以

\bar x=5\times10\%+3\times15\%+2\times55\%+1\times20\%=2.25\text{（元）}.

C正确。D的2.75是四种单价直接等权平均，忽略销量；A、B不符合四类贡献之和。这里用销量份额，不是收入份额。

本题结论

C，2.25元。

例题 03 按评分规则加权知识清单例题

题目

(2024 四川南充)学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,然后再按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分,投球技能得80分.李林综合成绩为()

A.170 分

B.86 分

C.85分

D.84 分

答案与解析

解析

控球90分对应60%，投球80分对应40%，所以综合成绩为 $90\times60\%+80\times40\%=86$ 分，选B。

A直接相加得到170，违背百分制综合；C为等权平均85，忽略权重；D为84，是把两个权交换。86在80与90之间且偏向权更大的90。

本题结论

B，86分。

2. 频数表求三数，分别执行三个定义

先加频数得到记录总数。平均数用值乘频数；中位数按累计频数定位中心记录；众数取最大频数所对应的值。三个指标不能共用一个“看起来在中间”的类别。

例题 04 投篮表中的三个统计量知识清单例题

题目

某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如下表:

进球数	0	1	2	3	4	5
人数	1	8	6	3	1	1

求被抽取的 20 名女同学进球数的众数、中位数、平均数.

答案与解析

解析

总人数为 $1+8+6+3+1+1=20$ 。

进球数	对应排序位置	次数
0	第1位	1
1	第2—9位	8
2	第10—15位	6
3	第16—18位	3
4	第19位	1
5	第20位	1

最大频数8对应进球数1，所以众数为1。第10、11位都为2，所以中位数为2。总进球为 $0\times1+1\times8+2\times6+3\times3+4\times1+5\times1=38$ ，平均为 $38/20=1.9$ 。平均1.9不要求某个人真的投进1.9球。

本题结论

众数1球，中位数2球，平均数1.9球。

例题 05 跳高成绩的三个结论知识清单例题

题目

（2024 山东滨州）在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:

成绩/m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1

某同学分析上表后得出如下结论：

①这些运动员成绩的平均数是1.65；②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75.

上述结论中正确的是（）

A.②③

B.①③

C.①②

D.①②③

答案与解析

解析

总成绩为 $1.50\times2+1.60\times3+1.65\times2+1.70\times3+1.75\times4+1.80=25$ 米，平均数 $25/15\approx1.67$ 米，①错误。

累计人数为2、5、7、10、14、15，第8位为1.70米，②正确。最大频数4对应1.75米，③正确。因此选②③，即A；其余三项都含错误的①。

本题结论

A。

3. 双图先恢复总量，再按频数求三数

找到同一类的“数量＋比例”，用数量除比例求样本总数；再核各柱之和。平均数按频数加权，中位数按全部样本排序，众数看最大频数对应的值。图中的 $m\%$ 是比例，填 $m$ 时不再带百分号。

例题 06 麦苗的总数与典型高度知识清单例题

题目

农科院为了解某种小麦的长势,随机抽取了部分麦苗,对苗高(单位:cm)进行了测量.根据统计的结果,绘制出如下统计图.

请根据相关信息,解答下列问题:

(1)本次抽取的麦苗的株数为____，图①中 m 的值为____。

(2) 求统计的这组苗高的平均数、众数和中位数.

答案与解析

解析

（1）15厘米的4株占16%，总株数 $4\div16\%=25$ ；17厘米6株占 $6/25=24\%$ ，所以 $m=24$ 。

（2）总苗高为 $13\times2+14\times3+15\times4+16\times10+17\times6=390$ 厘米，平均 $390/25=15.6$ 厘米。16厘米出现10次最多，众数为16厘米。小于16厘米的有 $2+3+4=9$ 株，16厘米占第10—19位，25株的中心第13位在其中，中位数为16厘米。

本题结论

（1）25，24；（2）平均15.6厘米，众数16厘米，中位数16厘米。

例题 07 活动学生的年龄分布知识清单例题

题目

（2023 天津）为培养青少年的劳动意识,某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动.该校为了解参加活动的学生的年龄情况,随机调查了 a 名参加活动的学生的年龄(单位:岁).根据统计的结果,绘制出如下的统计图 1 和图 2.

请根据相关信息,解答下列问题:

(1) 填空: a 的值为 ____, 图 1 中 m 的值为 ____.

(2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数.

答案与解析

解析

（1）12岁的5人占12.5%，所以 $a=5\div12.5\%=40$ 。13岁占 $6/40=15\%$ ，故 $m=15$ 。

（2）总年龄为 $12\times5+13\times6+14\times13+15\times16=560$ 岁，平均 $560/40=14$ 岁。最多16人对应15岁，众数为15岁。12、13岁合计11人，14岁占第12—24位；40人的中心第20、21位都为14，中位数为14岁。

本题结论

（1）40，15；（2）平均14岁，众数15岁，中位数14岁。

4. 折线图的时间顺序，不是中位数的排序

先按横轴读出每条记录；求平均数直接求和，求众数统计重复值，求中位数须另按数值大小排列。即使原中间月份恰巧等于中位数，也不能省去排序理由。

例题 08 空气质量为优的天数知识清单例题

题目

（2024 江西）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图,关于各月空气质量为优的天数,下列结论错误的是()

A.五月份空气质量为优的天数是16

B.这组数据的众数是15天

C. 这组数据的中位数是 15 天

D.这组数据的平均数是15天

答案与解析

解析

六个月的数据为12、14、15、15、16、15。五月为16天，A正确；15出现3次最多，B正确。排序为12、14、15、15、15、16，中间两值都是15，C正确。平均数为 $87/6=14.5$ 天，不是15天，D错误。

本题结论

D。

5. 按中心序号检查添加数据的方案

当要求中位数保持某值时，分别统计严格低于、等于、严格高于该值的记录数，检查新的中心序号是否落在等值记录范围。相等值有多条时，不能机械要求两边严格等人数。

例题 09 增加两件后中心是否改变知识清单例题

题目

（2024 江苏苏州）某公司拟推出由 7 个盲盒组成的套装产品, 现有 10 个盲盒可供选择, 统计这 10 个盲盒的质量如图所示. 序号为1到5号的盲盒已选定,这5个盲盒质量的中位数恰好为100,6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个,7号盲盒从丁、戊中选择1个,使选定7个盲盒质量的中位数仍为100,可以选择()

A.甲、丁

B.乙、戊

C.丙、丁

D.丙、戊

答案与解析

解析

原五件为2件低于100、1件等于100、2件高于100。图中甲、丁高于100，乙、丙、戊低于100。七件的中心是第4位：

选项	新增两件	100所在的位置	是否符合
A：甲、丁	两高	第3位，第4位大于100	不符合
B：乙、戊	两低	第5位，第4位小于100	不符合
C：丙、丁	一低一高	第4位	符合
D：丙、戊	两低	第5位	不符合

结合6号从甲、乙、丙中选一个、7号从丁、戊中选一个的限制，所有可行搭配为甲与戊、乙与丁、丙与丁。四个选项中只有C列出可行搭配。只需要图上相对于100的高低关系，不必猜每个盲盒的具体质量。

本题结论

C。

6. 解释典型水平，不是看到极值就删数

先按定义算指标，再说明它与题目目的怎样相配。较大极值会拉高平均数，描述中间公司的典型水平时可考虑中位数；若研究总量或均分，平均数仍适用。

例题 10 分公司的利润水平知识清单例题

题目

某一企业集团有 15 个分公司, 各分公司所创年利润如下表:

分公司年利润/百万元	6	1.9	2.5	2.1	1.4	1.6	1.2
公司数	1	1	2	4	2	2	3

(1)计算各分公司所创年利润的平均数和中位数. (2)在平均数和中位数中,你认为应该用哪一个来描述该集团各分公司所创年利润的一般水平?为什么?

答案与解析

解析

（1）公司数共15，总利润为

6+1.9+2.5\times2+2.1\times4+1.4\times2+1.6\times2+1.2\times3=30.9\text{（百万元）}.

平均数为 $30.9/15=2.06$ 百万元。按利润由小到大，1.2占第1—3位，1.4占第4—5位，1.6占第6—7位，1.9占第8位，故中位数为1.9百万元。

（2）仅一家利润6百万元，明显高于其他公司，拉高了平均数。描述处于中间公司的通常水平，中位数1.9百万元较合适；不应因此删去这家公司的数据，也不能说平均数失去总量意义。

本题结论

（1）平均2.06百万元，中位1.9百万元；（2）用中位数较合适，单个6百万元极值拉高平均数，中位数更贴近典型公司的水平。

7. 方差与极差按各自定义计算

方差先求本组均值，再逐项作差、平方、平均；分母是记录条数。极差则只找全组最大值和最小值，不需要均值，也不除记录数。

例题 11 五次投壶的波动知识清单例题

题目

春节期间,小宇体验了投壶这一民俗活动,一共投壶5次,每次要投8支箭,投进去的箭数分别为5,2,4,3,6,则这5次投壶中投进的箭数的方差为____.

答案与解析

解析

平均数为 $(5+2+4+3+6)/5=4$ 。

投中数	5	2	4	3	6
与均值之差	1	−2	0	−1	2
差的平方	1	4	0	1	4

平方和为10，方差 $s^2=10/5=2$ 。数据为五次各自投中的支数，分母是5，不是每次投出的8支箭。若另说明标准差，它为 $\sqrt2$ ，但本题问方差，答案仍是2。

本题结论

2。

例题 12 八项记录的极差知识清单例题

题目

在九年级体育测试中,某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)的测试成绩(单位:次/分)为:46,44,45,42,48,46,47,45,则这组数据的极差为____.

答案与解析

解析

全部八个数中，最大为48，最小为42，所以极差为 $48-42=6$ 次/分。列表首项46、末项45不是极端值，不能直接相减；极差也不用除以8。

本题结论

6次/分。

8. 比较表现，平均水平与稳定性分开看

平均数说明整体成绩高低，方差说明围绕本组均值的波动。先核题目要求，再分别比较；一方平均更高并不自动表示更稳定。

例题 13 两位学生的成绩比较知识清单例题

题目

甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图如图所示.

比较甲、乙的成绩,下列说法正确的是 ( )

A. 甲平均分高, 成绩稳定
B.甲平均分高,成绩不稳定
C.乙平均分高,成绩稳定
D.乙平均分高,成绩不稳定

答案与解析

解析

先直接观察同一纵轴尺度下的两条折线：甲的成绩起伏较小，乙的起伏较大，因而乙较不稳定。还可以用方差作定量核验。

甲的五次成绩为85、90、80、85、80，平均为 $420/5=84$ 分；乙为100、85、90、80、95，平均为 $450/5=90$ 分。

甲离均差平方和 $1+36+16+1+16=70$ ，方差为14；乙为 $100+25+0+100+25=250$ ，方差为50。因此乙平均分高，但相对甲波动更大，D正确。A、B误判平均分，C误判稳定性。

本题结论

D。

例题 14 平均相同时怎样选择更稳定者知识清单例题

题目

某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了8次测试,测试成绩(单位:环)如下表所示.

甲	10	8	9	8	10	9	10	8
乙	10	7	10	10	9	8	8	10

(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是____环,乙的平均成绩是____环.
(2) 分别计算甲、乙两名运动员 8 次测试成绩的方差.
(3)根据(1)(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适?并说明理由.

答案与解析

解析

（1）两人的总成绩都为72环，平均均为 $72/8=9$ 环。

（2）各数据减9后平方：

人员	八个离均平方	平方和	方差
甲	1、1、0、1、1、0、1、1	6	$6/8=0.75$
乙	1、4、1、1、0、1、1、1	10	$10/8=1.25$

（3）平均成绩相同，而甲方差更小，按本题追求稳定表现的目标，推荐甲。不能只选某一次最高成绩，因为两人都有10环。

本题结论

（1）9，9；（2）甲0.75，乙1.25；（3）甲，平均相同而更稳定。

例题 15 好且稳定，与长势整齐知识清单例题合组，保留各原题

题目

（1）（2024云南）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数 $\bar{x}$ （单位：环）和方差 $s^2$ 如下表所示.

	甲	乙	丙	丁
$\overline{x}$	9.9	9.5	8.2	8.5
$s^{2}$	0.09	0.65	0.16	2.85

根据表中数据,从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择()

A.甲

B.乙

C.丙

D. 丁

（2）（2024 湖南长沙）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势,每种秧苗各随机抽取 40 株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是 3.6、10.8、15.8,由此可知____种秧苗长势更整齐(填“甲”“乙”或“丙”).

答案与解析

解析

（1）甲的平均数9.9为四人最高，方差0.09又为最小，同时满足成绩好与发挥稳定，选A。乙、丙、丁的平均数都较低，方差也都大于甲。

（2）三组平均高度相同，甲的方差3.6最小，波动最小，所以甲长势最整齐。整齐不代表平均高度更高，题设已经说明平均相同。

本题结论

（1）A；（2）甲。

三、坑点条件与目的不能省

1. 未经排序与把众数当频数

中位数取排序后中心，众数取最多次数对应的值。若利用“唯一众数”反推未知数，必须排除其他值与它并列的可能。

辨析 01 位置与唯一众数知识清单例题合组；第（2）问改编，明确唯一众数口径

题目

（1）数据 1,2,4,5,3 的中位数是 ____.

（2）（2024四川南充）若一组数据6,6,m,7,7,8的唯一众数为7,则这组数据的中位数为____.

答案与解析

解析

（1）先排成1、2、3、4、5，第3位为3；原记录列表的第3个数4不能直接当中位数。

（2）已有6和7各两次。要使7成为唯一众数，只有 $m=7$ ，使7出现三次。排序后为6、6、7、7、7、8，中间第3、4位均为7，中位数为7。若仅说“7是众数之一”，则不能由此唯一推出 $m=7$ 。

本题结论

（1）3；（2）7。

2. 中位数不能解决所有同分排名

排序位置与数值大小不是同一件事。同一个成绩可占据多个名次，若同分跨过获奖线，只知道中位数并不足以判定具体个人。

辨析 02 统计量的用途与获奖边界依据知识清单例题改编，保原问并补检同分条件

题目

根据下列情况,选择合适的统计量填空.

(1)某次数学竞赛,45人进入复赛,其中前22名都能获奖,小明已经查出自己的成绩,他想判断自己是否获奖,只需知道45人复赛成绩的____.

(2)某专卖店专营某品牌的衬衫,店主对上一周中不同尺码的衬衫销售量情况进行统计,影响该店主决定本周进货时,多进某种尺码衬衫的统计量是____.

请对第（1）问同时检查同分时，“只需知道”是否仍充分。

答案与解析

解析

（1）通常先看中位数。45人的中位数是由低到高第23位。成绩严格高于它的至多22人，小明若严格高于中位数，处于获奖的一侧；严格低于则不能进前22。若恰等于中位数，并有人同分跨越获奖边界，仅凭中位数不能判断，还须知道同分排名规则。因此“只需知道”不是所有同分情形下都充分。

（2）应看众数，即上周售出最多的尺码。这是最常见规格的问题，不是把各尺码求平均的问题。

本题结论

（1）参考中位数，但等于中位数且同分跨界时还需规则；（2）众数。

3. 方差的大小，要放回统计目的

同一个人多次发挥的稳定性，与一群人的成绩能否拉开差异，统计对象和目标都不同。不能把“越小越稳定”改成“越小在任何情况下都越好”。

辨析 03 选拔测试的参考意义知识清单例题

题目

学校为了选拔4名播音员，对20名学生进行了两次普通话水平测试，满分10分，经统计与计算知，第一次测试结果的方差为 $s_{1}^{2}=1.2275$ ，第二次测试结果的方差为 $s_{2}^{2}=1.3475$ 。问哪次测试结果对选拔播音员更有参考意义？

答案与解析

解析

统计对象是20名不同学生的同次测试成绩，不是同一个人的反复发挥。第二次方差 $1.3475>1.2275$ ，成绩较分散。在题设用离散程度作为区分水平参考的模型下，第二次更有参考意义。

这不等于说第二次“更稳定”，也不能单凭方差证明真实测试更公平、更有效，或确定前四名的具体差距。

本题结论

按题设的区分度指标，第二次。

4. 删除一个值，平均数与方差未必同变

设 $n>1$ ，一组不全相同的数据中有一项恰等于原平均数。删除这一项后：

统计量	是否改变	依据
平均数	不变	总和与个数同时减去一个平均份额
离差平方和	不变	删除项的离均平方为0，其余均值未变
方差	增大	同一正平方和由除 $n$ 变为除 $n-1$
极差	不变	非全相同时均值严格在最大、最小之间，删除它不删极端

删除等于中位数的数据也须保证剩余非空，并检查极端仍然保留，才能讨论极差不变。删到空组时，平均数、中位数、极差均不能照常计算。

极差与分组范围还要相容：若极差为83，组距为10，8组只能覆盖长度80，不能覆盖全部数据；至少需9组，具体端点仍须按实际起点做到不重不漏。