一元二次方程

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一元二次方程的解法都在做同一件事：把二次关系转化成容易求解的一次关系。先理解平方、零乘积与配方，再看根的情况和实际问题，四种解法就不再是互不相干的公式。

一、知识点概念与依据

1. 定义、一般形式与根

等号两边都是整式，只含一个未知数，整理后未知数的最高次数是 $2$ ，这样的方程叫一元二次方程。一般形式为

ax^2+bx+c=0\qquad(a\ne0).

项目	含义	读取时注意
$a$	二次项系数	必须不为 $0$ ，否则降次
$b$	一次项系数	包括符号；缺一次项时为 $0$
$c$	常数项	先移到同一边；缺常数项时为 $0$

“一次、二次”要按去括号、移项、合并后的有效次数判断；但整式条件应先检查。含 $\frac1x$ 的原方程不能因为去分母后出现二次式，就改称原方程为一元二次方程。

把一个数代入原方程，能使等式成立，这个数就是方程的根。方程是二次，不代表一定有实数根。

一些可直接检查的特殊根：

$c=0$ 时， $x=0$ 是根。
$a+b+c=0$ 时， $x=1$ 是根。
$a-b+c=0$ 时， $x=-1$ 是根。

它们都来自“把候选值代回原式”，不是另立的求根法则。

2. 开平方与零乘积：两种降次依据

方程结构	等价的较简单关系	条件边界
$U^2=k$ ， $k>0$	$U=\sqrt k$ 或 $U=-\sqrt k$	两个分支都保留
$U^2=0$	$U=0$	两个符号对应同一个值
$U^2=k$ ， $k<0$	没有实数解	实数平方不为负
$AB=0$	$A=0$ 或 $B=0$	必须是乘积等于零

这里的 $U,A,B$ 可以是含未知数的整个表达式。解出整体以后，还要继续求原来的未知数。

零乘积法为什么成立？若 $A=0$ ，乘积当然为零；若 $A\ne0$ ，从 $AB=0$ 两边除以 $A$ 才得到 $B=0$ 。两种情况合起来是“或”，不是要求两个因子同时为零。

同理， $U^2=V^2$ 可化成 $U=V$ 或 $U=-V$ ，不能只保留第一支。

3. 配方为什么补“一半的平方”

完全平方公式是

(x+t)^2=x^2+2tx+t^2.

要把 $x^2+px$ 配成平方，就要让 $2t=p$ ，所以 $t=\frac p2$ ，所缺的常数是 $\left(\frac p2\right)^2$ 。

先把二次项系数化为 $1$ ，再把常数移到右边。
读取此时的一次项系数 $p$ 。
等式两边同时加 $\left(\frac p2\right)^2$ 。
左边写成完全平方，按右边的正、零、负判断并求解。

对 $ax^2+bx+c=0$ ，因为 $a\ne0$ ，可以除以 $a$ ：

x^2+\frac ba x=-\frac ca.

两边加 $\left(\frac b{2a}\right)^2$ ，得到

\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

补项要匹配化为1以后的一次项系数；只在左边补项，或忘记先处理二次项系数，都会改变原来的关系。

4. 求根公式与判别式来自同一次配方

也可把原方程两边乘非零数 $4a$ ，移项后加 $b^2$ ，直接得到

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac,

即 $\boxed{(2ax+b)^2=b^2-4ac}$ 。记 $\Delta=b^2-4ac$ ，叫根的判别式。

当 $\Delta\ge0$ 时， $2ax+b=\pm\sqrt\Delta$ ，所以

\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\qquad(a\ne0,\ \Delta\ge0).

判别式	平方关系的情况	实数根的情况
$\Delta>0$	$2ax+b$ 有正负两个不同值	两个不相等的实数根
$\Delta=0$	$2ax+b=0$	两个相等的实数根，即重根
$\Delta<0$	平方不可能等于负数	没有实数根

重根只有一个不同的数值，按重数记作两根相等。本页讨论实数范围，不对负数取实数平方根。

这个推导中 $a$ 可以为负；不要把 $\sqrt{4a^2}$ 错当成总等于 $2a$ 。使用公式前先确认 $a\ne0$ ，并把 $-b\pm\sqrt\Delta$ 整个分子除以 $2a$ 。

5. 根与系数的关系

若 $ax^2+bx+c=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$ ，其中 $a\ne0,\Delta\ge0$ ，则

x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.

从哪里来？ 把求根公式的两个分支相加，根号项抵消；相乘时分子是平方差：

x_1x_2=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca.

目标形式	可转化为	额外条件
$x_1^2+x_2^2$	$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$	不能漏掉交叉项
$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$	$\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$	$x_1x_2\ne0$
$\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$	$\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$	$x_1x_2\ne0$

只含一个根的平方时，先用它满足的方程降次；同时出现两根的和、积时，再用上面关系。

6. 实际问题中的二次关系

先设未知量并写出允许范围，再由等量关系列方程。纯方程求出的根，还要经过实际条件筛选。

模型	数量关系	边界与解释
两次平均增长	$A(1+r)^2=B$	第二次基数已变为 $A(1+r)$
两次平均下降	$A(1-r)^2=B$	原量、新量为正时 $0\le r<1$
面积	长×宽＝面积	每一条实际边都为正；不能只验乘积
调价利润	（售价−单位成本）×销量＝总利润	售价、降价额不能混用
销售额	售价×销量＝销售额	不是利润，不应擅自扣未知成本
单循环比赛	$\frac{n(n-1)}2$ 场	每两队只赛一次， $n\ge2$ 为整数
双循环比赛	$n(n-1)$ 场	每两队赛两次

单循环中，每队要与其余 $n-1$ 队比赛，先数出 $n(n-1)$ 次；每场同时被两队各算一次，所以除以 $2$ 。双循环则每对比赛两次，不再除以 $2$ 。

连续平均增长率是使总倍数相同的等效统一率，不表示实际每年的增长率必定相同，也不是把总增长率简单除以年数。

二、考点方法与例题

1. 判断类型：整理次数，不丢非零条件

先排除含未知数分母的原式，再去括号、移项、合并。参数既可能改变指数，也可能使二次项系数变成零；两个条件要同时检查。

例题 01 哪些式子一定是二次方程知识清单例题

题目

下列关于 $x$ 的方程，哪些一定是一元二次方程？

① $ax^2+bx+c=0$ ；　② $x^2+\dfrac1x-1=0$ ；

③ $2x^2-x-1=2(x-1)(x+3)$ ；　④ $(x+1)^2=2(x+1)$ 。

答案与解析

解析

序号	检查过程	结论
①	未给 $a\ne0$ ，二次项可能消失	不一定
②	原式分母含 $x$	不是整式方程
③	右边为 $2x^2+4x-6$ ，整理得 $-5x+5=0$	实际降为一次
④	整理为 $x^2-1=0$	一元二次

不要根据未整理时出现了 $x^2$ 就直接判断。

本题结论

只有④。

例题 02 指数条件与二次系数知识清单例题·合组

题目

（1） $(m-2)x^{m^2-5m+8}+(m-3)x+5=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，求 $m$ 。

（2） $(m-1)x^{|m+1|}+mx-1=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，求 $m$ 。

答案与解析

解析

（1）要求 $m^2-5m+8=2$ 且 $m-2\ne0$ 。由 $(m-2)(m-3)=0$ 得候选 $2,3$ ，排除使系数为零的 $2$ ，取 $m=3$ 。此时为 $x^2+5=0$ ，虽无实数根，仍是二次方程。

（2）要求 $|m+1|=2$ 且 $m-1\ne0$ 。指数条件给 $m=1$ 或 $-3$ ，排除 $1$ ，所以 $m=-3$ 。

本题结论

（1） $m=3$ ；（2） $m=-3$ 。

2. 由根的定义求参数或整体值

“某数是根”意味着代入原式后等式成立。目标表达式含平方项时，先展开或整理，把已知等式中的整体找出来；含倒数时先证明分母不为零，不必急着写出根式解。

例题 03 检验候选根知识清单例题

题目

判断括号里的数是不是方程的根。

（1） $2x^2-3x+1=0$ ，候选 $\frac12,1$ 。

（2） $x^2-2\sqrt3x+3=0$ ，候选 $\sqrt3,1$ 。

答案与解析

解析

（1）代入 $\frac12$ ，左边为 $\frac12-\frac32+1=0$ ；代入 $1$ ，左边为 $2-3+1=0$ 。两者都是根。

（2）代入 $\sqrt3$ ，左边为 $3-6+3=0$ ，是根；代入 $1$ ，左边为 $4-2\sqrt3>0$ ，不是根。检验的是原等式，不能只看数的形式。

本题结论

（1）两者都是；（2） $\sqrt3$ 是， $1$ 不是。

例题 04 用根的等式替换整体知识清单例题·合组

题目

（1） $m$ 是 $x^2-2x-1=0$ 的根，求 $m^2+\dfrac1{m^2}$ 。

（2）（2024 四川南充） $m$ 是 $x^2+4x-1=0$ 的一个根，求 $(m+5)(m-1)$ 。

答案与解析

解析

（1） $m^2-2m-1=0$ 。 $m=0$ 不满足原式，所以可以除以 $m$ ，得到 $m-\frac1m=2$ 。平方得

m^2-2+\frac1{m^2}=4,

所以所求为 $6$ 。交叉项是 $-2m\cdot\frac1m=-2$ 。

（2）由根的定义， $m^2+4m=1$ 。展开目标得 $m^2+4m-5=1-5=-4$ 。两个可能的根都满足这条关系，不需分别求根。

本题结论

（1）6；（2）−4。

3. 按结构选择解法

看到的结构	优先考虑	完成后检查
已是一个整体的平方等于常数	直接开平方	正负分支是否齐全
无常数项或有公共括号	因式分解	公共因子为零的分支有没有被除掉
二次系数化1后容易配平方	配方法	两边补同一个数
没有明显简便结构	公式法	一般形式、系数符号、判别式

方法选择是为了减少计算，不要求同一道题把四种方法都演一遍。若题目指定方法，则按指定方法完成。

例题 05 直接开平方知识清单例题

题目

解：（1） $2x^2=54$ ；（2） $9x^2+6x+1=8$ 。

答案与解析

解析

（1）除以 $2$ 得 $x^2=27$ ，所以 $x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt3$ 。

（2）识别左边为 $(3x+1)^2$ 。于是 $3x+1=\pm2\sqrt2$ ，每个分支再减 $1$ 、除以 $3$ ：

x=\frac{-1+2\sqrt2}{3}\quad\text{或}\quad x=\frac{-1-2\sqrt2}{3}.

两个整体值分别为 $2\sqrt2$ 、 $-2\sqrt2$ ，平方都为 $8$ 。

本题结论

（1） $x=\pm3\sqrt3$ ；（2） $x=\dfrac{-1\pm2\sqrt2}{3}$ 。

例题 06 配方后的右边可能为负知识清单例题

题目

用配方法解：（1） $x^2-4x+2=0$ ；（2） $2x^2-3x+2=0$ 。

答案与解析

解析

（1）移项得 $x^2-4x=-2$ 。两边同加 $(-2)^2=4$ ，得 $(x-2)^2=2$ ，所以 $x=2\pm\sqrt2$ 。

（2）先除以 $2$ ，再移项： $x^2-\frac32x=-1$ 。此时一次系数的一半是 $-\frac34$ ，两边同加 $\frac9{16}$ ：

\left(x-\frac34\right)^2=-1+\frac9{16}=-\frac7{16}.

实数平方不能为负，因此无实数根。这里不是“少写一个负根”，而是没有任何实数能够满足。

本题结论

（1） $x=2\pm\sqrt2$ ；（2）无实数根。

例题 07 公式法的三种根的情况知识清单例题

题目

用公式法解：

（1） $x^2-3x=2$ ；（2） $2x^2+x+1=0$ ；（3） $y^2+2=2\sqrt2y$ 。

答案与解析

解析

先整理，再连同符号读取系数。

小题	一般形式中的 $(a,b,c)$	$\Delta=b^2-4ac$	结果
（1）	$(1,-3,-2)$	$9+8=17$	$x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}2$
（2）	$(2,1,1)$	$1-8=-7$	无实数根
（3）	$(1,-2\sqrt2,2)$	$8-8=0$	$y_1=y_2=\sqrt2$

（1）右边 $2$ 移到左边是 $-2$ ；（3）先写成 $y^2-2\sqrt2y+2=0$ ，公式分子为 $2\sqrt2\pm0$ ，整体除以 $2$ 。负的判别式不继续取实数根号。

本题结论

（1） $x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}2$ ；（2）无实数根；（3） $y_1=y_2=\sqrt2$ 。

例题 08 四个结构各选一条简便路线知识清单例题

题目

用适当的方法解：

（1） $3x^2-2x-2=0$ ；（2） $(x-1)^2=3$ ；

（3） $2(x-3)=3x(x-3)$ ；（4） $x^2-4x=21$ 。

答案与解析

解析

（1）用公式法： $\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-2)=28$ ，所以 $x=\frac{2\pm\sqrt{28}}6=\frac{1\pm\sqrt7}3$ 。

（2）直接开平方： $x-1=\pm\sqrt3$ ，故 $x=1\pm\sqrt3$ 。

（3）移项提取公共因子： $(x-3)(2-3x)=0$ 。所以 $x=3$ 或 $x=\frac23$ 。不能先约掉 $x-3$ 。

（4）两边加 $4$ 配方： $(x-2)^2=25$ ，所以 $x-2=\pm5$ ，得到 $x=7$ 或 $-3$ 。

本题结论

（1） $\dfrac{1\pm\sqrt7}3$ ；（2） $1\pm\sqrt3$ ；（3） $3,\dfrac23$ ；（4） $7,-3$ 。

例题 09 移项与零乘积知识清单例题·合组

题目

解方程：

（1）（2024 山东滨州节选） $x^2-4x=0$ 。

（2）（2024 安徽） $x^2-2x=3$ 。

答案与解析

解析

（1）提公因式 $x(x-4)=0$ ，所以 $x=0$ 或 $4$ 。两个根都使原左边为零。

（2）先移项成 $x^2-2x-3=0$ ，再分解为 $(x-3)(x+1)=0$ ，所以 $x=3$ 或 $-1$ 。代原式分别为 $9-6=3$ 、 $1+2=3$ 。

第二题不能在右边还为 $3$ 时，就把左边的因子各自置零。

本题结论

（1） $x=0$ 或 $4$ ；（2） $x=3$ 或 $-1$ 。

4. 不求具体根，判断根数与参数

题目问根的情况时，计算判别式即可；问参数范围时，把文字译成 $\Delta>0$ 、 $=0$ 或 $\ge0$ 等条件，再与二次系数非零条件一起考虑。

例题 10 恒有不同实根与重根条件知识清单例题·合组

题目

（1）不解方程，判断 $x^2+2mx+m^2-1=0$ 的根的情况， $m$ 为实数。

（2）（2024 四川自贡） $x^2+mx-2=0$ 的根的情况是哪一个？

A. 两个不相等的实数根　B. 两个相等的实数根

C. 只有一个实数根　D. 没有实数根

（3）（2024 江苏连云港） $x^2-x+c=0$ 有两个相等的实数根，求 $c$ 。

答案与解析

解析

（1） $a=1$ 始终非零， $\Delta=(2m)^2-4(m^2-1)=4>0$ ，因此对每个实数 $m$ 都有两个不相等的实数根。

（2） $\Delta=m^2+8\ge8>0$ ，所以选 A。这里不论怎样计数，都有两个不同的根值。

（3）重根条件是 $\Delta=1-4c=0$ ，得 $c=\frac14$ 。代回为 $(x-\frac12)^2=0$ ，确为重根。

本题结论

（1）总有两个不相等的实数根；（2）A；（3） $c=\frac14$ 。

5. 两根表达式：先化成和与积

先检查实根与分母条件，再把目标化成两根和、积。若目标不对称，先用其中一根满足的方程降低次数，看剩下的部分能否合成根和。

例题 11 根定义与根和共同使用知识清单例题

题目

（2024 四川成都） $m,n$ 是 $x^2-5x+2=0$ 的两个实数根，求 $m+(n-2)^2$ 。

答案与解析

解析

由 $n$ 是根，得到 $n^2=5n-2$ ；由根与系数的关系， $m+n=5$ 。

展开目标再替换：

m+(n-2)^2=m+n^2-4n+4=m+(5n-2)-4n+4=m+n+2=7.

第一条条件用来降次，第二条用来求和。不能把 $n^2$ 直接写成 $5n$ 而漏掉常数 $-2$ 。

本题结论

7。

6. 连续变化：按新基数连乘

先数清变化次数：从第一阶段到第三阶段，是两次变化；从2021年到2023年也是两次。先写第一步，再写第二步，就不会把平方误成“率乘2”。

例题 12 平均增长与下一阶段知识清单例题·合组改编，目标明确为至少达到

题目

（1）水稻单位面积产量第一阶段为 $700$ 千克，第三阶段为 $1008$ 千克。求第二、第三阶段的平均增长率；若第四阶段仍按这个增长率增长，能否达到至少 $1200$ 千克？

（2）（2024 重庆A）某公司2021年缴税 $40$ 万元，2023年缴税 $48.4$ 万元。求这两年缴税的年平均增长率。

答案与解析

解析

（1）设平均增长率 $r$ ，两次连乘给出 $700(1+r)^2=1008$ 。所以 $(1+r)^2=\frac{36}{25}$ ， $1+r=\pm\frac65$ ，候选为 $r=\frac15$ 或 $-\frac{11}5$ 。

后者使中间阶段产量为负，不合题意，故平均增长率为 $20\%$ 。按同样增长因子，第四阶段为 $1008\times1.2=1209.6$ 千克，超过目标。

（2） $40(1+r)^2=48.4$ ，所以 $1+r=\pm1.1$ 。正量的增长因子取 $1.1$ ，故 $r=10\%$ ；负因子舍去。核验 $40\times1.1\times1.1=48.4$ 。

本题结论

（1）20%，按该模型可达1209.6千克；（2）10%。

7. 面积方程：先表达边长与范围

长、宽都含未知量时，乘积就可能形成二次式。剪去一角与两端各剪一角不同；条带交叉的面积不能重复计入。方程求完还要检查每条边是否为正、是否超过限制。

例题 13 四角剪去正方形知识清单例题

题目

长 $80\text{ cm}$ 、宽 $60\text{ cm}$ 的薄钢片，四角截去四个相同的小正方形，折成底面积 $1500\text{ cm}^2$ 的无盖长方体盒子。求截去的小正方形边长。

答案与解析

解析

设边长 $x\text{ cm}$ 。两端各剪去 $x$ ，底长、底宽分别为 $80-2x,60-2x$ ；所以必须 $0<x<30$ 。

\begin{aligned}(80-2x)(60-2x)&=1500,\\4x^2-280x+3300&=0,\\(x-55)(x-15)&=0.\end{aligned}

两个形式根为 $55,15$ 。 $55$ 超过允许范围，两条底边均为负，不能作为几何长度；取 $15$ ，底面为 $50\times30=1500\text{ cm}^2$ ，符合条件。

本题结论

截去的小正方形边长为15厘米。

例题 14 一横两竖的彩条知识清单例题

题目

长 $20\text{ m}$ 、宽 $12\text{ m}$ 的图案中，有一横两竖三条彩条。横条与每条竖条的宽度比为 $3:2$ ，三条覆盖的总面积是 $96\text{ m}^2$ 。求横、竖彩条的宽度。

答案与解析

解析

设横条宽 $3x$ 米，每条竖条宽 $2x$ 米。扣去彩条后，白色部分可平移拼成宽 $20-4x$ 、高 $12-3x$ 的长方形。必须 $0<x<4$ 。

\begin{aligned}(20-4x)(12-3x)&=240-96=144,\\12x^2-108x+96&=0,\\(x-1)(x-8)&=0.\end{aligned}

$x=8$ 不符合范围，取 $x=1$ 。故横条宽 $3$ 米、竖条宽 $2$ 米。

也可直接核彩色面积：横条 $20\times3=60$ ，两竖条 $2\times12\times2=48$ ；两个交叉区共 $2\times3\times2=12$ ，重复算过一次，应扣除，得到 $60+48-12=96$ 。

本题结论

横彩条宽3米，竖彩条宽2米。

8. 逐轮计数：新增与累计分开

“每轮每个已有对象新增相同数量”这类理想化模型，要逐轮注明谁参与、是否退出、是否重复计数。若旧对象仍参加下一轮，第二轮的参与数是第一轮结束的累计数，不只是第一轮新增数。

例题 15 两轮传播的计数模型知识清单例题·改编，明确理想化计数假设

题目

在一个理想化的两轮传播模型中，最初有1名感染者；每轮所有已有感染者都参与传播，每人平均新传给 $x$ 人。两轮中没有重复计人，没有退出，原感染者也计入累计人数。两轮后累计为361人，求 $x$ 。

本题只讨论上述计数约定，不用于现实疫情预测。

答案与解析

解析

阶段	本轮参与者	本轮新增	结束时累计
最初	—	—	$1$
第一轮	$1$	$x$	$1+x$
第二轮	$1+x$	$(1+x)x$	$1+x+(1+x)x$

因此 $(1+x)^2=361$ ，得 $1+x=\pm19$ ，所以 $x=18$ 或 $-20$ 。人数条件排除负值，取 $18$ 。

核验第一轮累计 $19$ 人，第二轮新增 $19\times18=342$ 人，最终累计 $19+342=361$ 。若只有第一轮新增者参加第二轮，式子会变成 $1+x+x^2$ ；不能在没有说明规则时混用。

本题结论

按题设模型，平均每人每轮新传给18人。

9. 销售问题：先区分收入与利润

将售价、降价额、销量、单位成本分栏，再写目标关系。销售额是售价乘销量；总利润还要扣去每件成本。每件成本固定，不代表每天总成本固定，因为卖出的数量会变。

例题 16 降价促销达到利润目标知识清单例题

题目

某玩具售价每个480元时，每天卖160个；每降价1元，每天可多卖2个。每个玩具成本固定为360元。

（1）每个降价5元，每天销量、总利润分别是多少？

（2）销售单价为多少时，每天总利润可达20000元？

答案与解析

解析

（1）销量 $160+2\times5=170$ 个；单件利润 $480-5-360=115$ 元；总利润 $115\times170=19550$ 元。

（2）设售价 $x$ 元。降价额为 $480-x$ ，销量为 $160+2(480-x)$ ，单件利润为 $x-360$ 。降价且目标利润为正，要求 $360<x\le480$ 。

(x-360)[160+2(480-x)]=20000.

展开、移项并除以 $-2$ ，得到 $x^2-920x+211600=0$ ，即 $(x-460)^2=0$ ，故 $x=460$ 。

此时销量 $200$ 个、单件利润 $100$ 元，总利润恰为 $20000$ 元，且售价在允许范围内。重根只对应一种售价，不需要再找一个不同价格。

本题结论

（1）170个，19550元；（2）每个460元。

例题 17 销售额目标是否可达知识清单例题

题目

（2024 辽宁）商品日销量 $y$ 件与售价 $x$ 元满足一次函数关系，部分数据如下。

售价 $x$ /元	45	55	65
日销量 $y$ /件	55	45	35

（1）求 $y$ 与 $x$ 的关系式，不要求写自变量取值范围。

（2）日销售额能否达到2600元？若能，求售价；若不能，说明理由。

答案与解析

解析

（1）一次函数关系可写为 $y=kx+b$ 。代两组数据： $45k+b=55,55k+b=45$ ，相减得 $k=-1$ ，再得 $b=100$ 。所以 $y=100-x$ ，第三组 $65,35$ 也符合。

（2）销售额为 $xy=x(100-x)$ 。若等于2600，则

x^2-100x+2600=0.

判别式 $\Delta=10000-10400=-400<0$ ，不存在实数售价，因此不能达到2600元。

从配方也能看出原因： $x(100-x)=2500-(x-50)^2\le2500$ 。按该模型，售价50元、销量50件时达到2500元，仍小于目标。题问销售额，没有给成本，不用利润公式。

本题结论

（1） $y=100-x$ ；（2）不能达到2600元。

三、坑点条件与易错

1. 已知根不能代替二次条件

“某数是根”只说明代入等式成立；原方程还必须保持二次。先求参数候选，再逐个检查二次系数，不能把退化成一次的值留下。

辨析 01 零根条件下的参数筛选知识清单例题·合组

题目

（1） $(a^2+2a-3)x^2+x+a^2-1=0$ 是一元二次方程，且一个根为0。求 $a$ 。

A. $1$ 　B. $-1$ 　C. $1$ 或 $-1$ 　D. $\frac12$

（2）（2024 四川凉山州） $(a+2)x^2+x+a^2-4=0$ 是一元二次方程，且一个根为0。求 $a$ 。

A. $2$ 　B. $-2$ 　C. $2$ 或 $-2$ 　D. $\frac12$

答案与解析

解析

（1）代入0得 $a^2-1=0$ ，候选 $a=\pm1$ 。但二次系数 $a^2+2a-3$ 不能为零： $a=1$ 时为0，排除； $a=-1$ 时为 $-4$ ，保留，选 B。

（2）代入0得 $a^2-4=0$ ，候选 $a=\pm2$ 。二次系数 $a+2\ne0$ 排除 $-2$ ，保留 $2$ ，选 A。

两题其余选项不是包含退化值，就是不满足零根条件。

本题结论

（1）B；（2）A。

2. 约掉未知因子会漏根

等式两边可以除以已知非零的数；未知表达式可能为零，不能直接约掉。移项后提公因式，并分别令各因子为零，能保留完整分支。

辨析 02 从平方等式求全部根知识清单例题

题目

求 $x^2=2x$ 的全部实数根。

答案与解析

解析

移项并因式分解： $x^2-2x=x(x-2)=0$ 。于是 $x=0$ 或 $x=2$ 。

若两边直接除以 $x$ ，实际上先假定了 $x\ne0$ ，会删除使原式两边同为0的合法根。两根回验分别为 $0=0$ 、 $4=4$ 。

本题结论

$x=0$ 或 $2$ 。

3. 判别式成立，还要排除降次

参数影响二次项系数时，要把“保持二次”和“根的情况”并列写出。判别式为正本身不能替代二次系数非零，边界重根也不能混入两个不同根的范围。

辨析 03 两个不同实根的参数范围知识清单例题

题目

一元二次方程 $kx^2-3x-1=0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的范围。

答案与解析

解析

首先 $k\ne0$ 。其次 $\Delta=(-3)^2-4k(-1)=9+4k>0$ ，得 $k>-\frac94$ 。

两条件合并为 $k>-\frac94$ 且 $k\ne0$ 。端点 $-\frac94$ 给重根，不能取； $k=0$ 时方程退化为 $-3x-1=0$ ，也不能取。

本题结论

$k>-\frac94$ 且 $k\ne0$ 。

4. 平方和不是和的平方

先用恒等式整理目标，再代根和、根积。平方和应从和的平方中减去两倍根积；根积可能为负，通分后仍要保留分母符号。

辨析 04 两个比值之和知识清单例题

题目

$\alpha,\beta$ 是 $3x^2+2x-9=0$ 的两根，求 $\dfrac\beta\alpha+\dfrac\alpha\beta$ 。

A. $\dfrac4{27}$ 　B. $-\dfrac4{27}$ 　C. $-\dfrac{58}{27}$ 　D. $\dfrac{58}{27}$

答案与解析

解析

$\Delta=4+108=112>0$ ，存在两实根； $\alpha+\beta=-\frac23,\alpha\beta=-3\ne0$ ，所以两个分母都不为零。

\frac\beta\alpha+\frac\alpha\beta=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{4/9+6}{-3}=-\frac{58}{27}.

A、B 漏掉了分子中的 $6$ ；D 漏掉了负号。平方和为正、根积为负，也能先判断结果应为负数。

本题结论

选C。

5. 两次下降不能写成一次减两倍

第二次下降按已经下降过的量计算，不再按最初量计算。写出两步新量，比记忆“平方还是乘2”更可靠。

辨析 05 年平均下降率的列式知识清单例题

题目

（2024 云南）两年前每千克某药品的生产成本为80元，现在为60元。设成本的年平均下降率为 $x$ ，正确方程是哪一个？

A. $80(1-x^2)=60$ 　B. $80(1-x)^2=60$

C. $80(1-x)=60$ 　D. $80(1-2x)=60$

答案与解析

解析

第一年成本 $80(1-x)$ ；第二年在此基础上再乘 $1-x$ ，所以 $80(1-x)^2=60$ ，选 B。

A 把连续因子误写成 $1-x^2$ ；C 只计一次；D 两次都按最初80元下降，漏掉第二次基数变化。展开正确式为 $80(1-2x+x^2)=60$ ，比 D 多了 $80x^2$ 。成本保持正值，下降率应在 $0\le x<1$ 内。

本题结论

选B。

6. 面积根还要过墙长、正边长这一关

面积乘积正确，不等于每条边都可行。设未知量时就记录上限与正值条件，求出所有形式根以后再筛选。题问哪一条边，最后就答哪一条边。

辨析 06 有门且墙长有限的围栏知识清单例题

题目

（2024 内蒙古通辽）用10米铁丝网围成一边靠墙的矩形鸭舍，墙长5.5米，鸭舍面积15平方米。在侧边中间留一个1米宽的门，门由其他材料制成。求图中 $BC$ 的长。

A. 5米或6米　B. 2.5米或3米　C. 5米　D. 3米

答案与解析

解析

设 $BC=x$ 米， $AB=h$ 米。网围三边，但门的1米不用网，故 $2h+x-1=10$ ，所以 $h=\frac{11-x}2$ 。

面积给 $\frac{11-x}2x=15$ ，整理为 $(x-5)(x-6)=0$ 。形式根为5、6，但 $BC$ 与靠墙边等长，不能超过墙长5.5米，排除6，取5。

此时 $AB=3$ ，检查网长 $2\times3+5-1=10$ 、面积 $3\times5=15$ 。题问 $BC$ ，不是 $AB$ ，故选 C。

本题结论

选C，BC长5米。

7. 配方补项与交叉面积都不能漏条件

配方：二次系数先化1，再取此时一次系数的一半；两边同时补平方。配出负的右边就是无实数根，不能擅自改成正数。
开平方：平方根的两个分支都要处理，只有实际条件才能筛去不合适的根。
彩条交叉：横条面积加竖条面积会把交叉区算两次，必须扣一次，或直接用空白补集面积。
传播累计：最终累计已经含原有人数，不能再把第一轮累计多加一次；谁参与下一轮必须按题设确定。
收入与利润：先写目标量名称，再决定是否扣单位成本。不要在无成本信息的销售额题中自行扣成本。