有理数与数轴

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用正负表示方向，用数轴表示位置，用绝对值表示距离。把这三种含义分清，再处理分类、移动、比较和偏差问题。

一、知识点理解概念

1. 正数、负数和零

大于 $0$ 的数叫作正数，小于 $0$ 的数叫作负数。 $0$ 既不是正数，也不是负数。

类别	判断依据	例子	符号写法
正数	大于 $0$	$3$ 、 $\frac12$ 、 $1.5$	前面的“ $+$ ”通常省略，如 $+3=3$
负数	小于 $0$	$-3$ 、 $-\frac12$ 、 $-1.5$	负号不能省略， $-3$ 与 $3$ 是不同的数
零	正数与负数的分界	$0$	$+0=-0=0$

实际问题中，只写大小，有时不能说清一个量。例如，“变化了 $3$ 米”没有说明是上升还是下降。约定上升为正后，就可以用 $+3$ 米和 $-3$ 米区分。

情境	约定的基准或正方向	正数表示	负数表示	$0$ 表示
升降	上升为正	上升 $3$ 米记作 $+3$ 米	下降 $3$ 米记作 $-3$ 米	高度没有变化
收支	收入为正	收入 $50$ 元记作 $+50$ 元	支出 $20$ 元记作 $-20$ 元	本次收支为零
尺寸偏差	比标准尺寸大为正	偏大 $0.1$ 毫米记作 $+0.1$ 毫米	偏小 $0.1$ 毫米记作 $-0.1$ 毫米	恰好达到标准尺寸

先定基准和正方向，再写符号。同一约定下，正、负表示相反的意义；它们不表示“好”和“坏”。例如负偏差只说明尺寸偏小，并不直接说明产品不合格。

2. 有理数及其分类

整数和分数统称有理数。 有理数都能写成 $\frac pq$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 是整数，且 $q\ne0$ 。整数也包括在内，例如 $3=\frac31$ ， $0=\frac01$ 。

按“是不是整数”分类：

有理数	进一步分类	例子
整数	正整数、 $0$ 、负整数	$2$ 、 $0$ 、 $-2$
分数	正分数、负分数	$\frac12$ 、 $-\frac34$

这里分类中的“分数”与整数分开。不能仅看书写形式： $\frac42=2$ ，仍应归入整数。

有限小数可用10、100等作分母。分数化为小数时，除法的余数只可能有有限种：余数为0便终止，余数重复便使后面的商循环。这说明有理数的小数形式为什么是有限小数或无限循环小数。

按正负分类，则分为正有理数、 $0$ 、负有理数。例如 $-2$ 既是整数，又是负有理数，这是采用了两种不同的分类标准，并不矛盾。

有限小数可以化为分数，如 $0.25=\frac14$ 。
无限循环小数也是有理数，如 $0.333\ldots=\frac13$ ，其中数字 $3$ 一直循环。
不能把“小数”全看成有理数。无限不循环小数不属于有理数； $\pi$ 也不是有理数。 $3.14$ 是 $\pi$ 的一个近似值，不等于 $\pi$ 。

分类时别漏掉零

$0$ 是整数，也是有理数，但不属于正有理数或负有理数。

“非负数”包括正数和 $0$ ；“非正数”包括负数和 $0$ 。

3. 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫作数轴。本页数轴一律规定向右为正方向。

三要素	作用
原点	确定 $0$ 的位置
正方向	区分数增大的方向与数减小的方向
单位长度	确定数值每相差 $1$ ，在直线上相隔多远

每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。正数在原点右边，负数在原点左边；例如 $-2$ 在原点左边，距原点 $2$ 个单位长度。

画一条直线，选定原点，标上 $0$ 。
用箭头标出正方向，通常向右。
选定单位长度，在原点两侧按同一标准标出刻度和数。

相邻标注的数不必只相差 $1$ ，也可以相差 $10$ 或其他数；关键是数值差与线段长度保持一致。没有标出的刻度也不等于不存在。

同一条数轴上，右边的数总比左边的数大。 因此正数大于 $0$ ， $0$ 大于负数。

两个负数相比较，绝对值较大的数在数轴上更靠左，所以反而更小。

4. 相反数

除 $0$ 外，只有符号不同的两个数互为相反数，例如 $2$ 与 $-2$ 、 $\frac34$ 与 $-\frac34$ 。 $0$ 的相反数仍是 $0$ 。

数 $a$ 的相反数写作 $-a$ 。在数轴上，取相反数相当于把对应的点移到关于原点对称的位置：离原点同样远，但方向相反；原点本身不动。

互为相反数的两个数相加为 $0$ 。
若两个数的和为 $0$ ，它们互为相反数。
取两次相反数会回到原数，所以 $-(-a)=a$ 。例如 $-(-2024)=2024$ 。

5. 绝对值

数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离，叫作 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$ 。

图中到原点的距离用单位长度计。

图中 $-2$ 与 $2$ 的位置不同，但离原点同样远，所以 $|-2|=|2|=2$ 。

$a$ 所在的位置	到原点的距离	绝对值
原点右侧， $a>0$	数值就是 $a$	$\lvert a\rvert=a$
原点， $a=0$	距离为 $0$	$\lvert a\rvert=0$
原点左侧， $a<0$	取 $a$ 的相反数才得到非负距离	$\lvert a\rvert=-a$

距离不能为负，因此 $|a|\ge0$ ，且只有 $a=0$ 时， $|a|=0$ 。绝对值保留距离，舍去方向；知道绝对值，未必能唯一确定原数。

若若干个非负数的和等于 $0$ ，则每一项都必须为 $0$ 。只要有一项大于 $0$ ，其他项又都不能为负，就不可能把总和降到 $0$ 。

数轴上两点分别表示 $a,b$ ，距离为 $|a-b|$ 。若中点表示 $c$ ，则从较小的数走过一半距离到达中点，可得 $c=\frac{a+b}{2}$ 。距离不带方向，中点的位置数仍可能为负。

二、考点方法与例题

1. 用正、负数表示相反意义的量

方法归纳

先确定基准与正方向，再按相反意义填写符号，最后写上数值和单位。题目问“记录什么数”时，不要改成求两个量的差；正负约定见正数、负数和零。

例题 01 零下温度怎样记录

题目

若零上 $150\,{}^\circ\mathrm C$ 记作 $+150\,{}^\circ\mathrm C$ ，零下 $100\,{}^\circ\mathrm C$ 应怎样记录？

答案与解析

解析

题目以 $0\,{}^\circ\mathrm C$ 为基准，约定零上为正，因此零下为负。温度偏离基准的大小是 $100\,{}^\circ\mathrm C$ ，应记作 $-100\,{}^\circ\mathrm C$ 。

这里问的是温度的记录，不是两处温度相差多少，不需要计算 $150-100$ 。 $0\,{}^\circ\mathrm C$ 也不是“没有温度”。

本题结论

应记作 $-100\,{}^\circ\mathrm C$ 。

2. 数轴上的移动

方法归纳

向右移动，表示的数增大；向左移动，表示的数减小。移动距离与点表示的数不是同一个量：距离不能为负，点表示的数可以为负。

每一步都以上一步到达的位置为起点；向右加上移动量，向左减去移动量。检查最终位置时，可以回到数轴上复核。

例题 02 连续移动后的位置

题目

点 $A$ 表示 $-2$ ，将它向右移动 $5$ 个单位长度，新位置表示什么数？点 $B$ 表示 $3$ ，先向右移动 $5$ 个单位长度，再向左移动 $2$ 个单位长度，最后表示什么数？

点 $C$ 向右移动4个单位后，新位置与原位置到原点的距离相等。点 $C$ 原来表示什么数？

答案与解析

解析

点 $A$ 从 $-2$ 向右走 $2$ 个单位长度到达 $0$ ，还剩 $3$ 个单位长度，因此到达 $3$ 。
点 $B$ 从 $3$ 向右移动到 $8$ ，再从 $8$ 向左移动到 $6$ 。第二次移动的起点是 $8$ ，不是原来的 $3$ 。
点 $C$ 移动了非零距离，所以前后位置不同；两点又到原点等距，必在原点两侧对称。总距离4平分为两段2，向右移动前位于左侧，原数为 $-2$ 。

本题结论

点 $A$ 、 $B$ 的最终位置分别表示 $3$ 、 $6$ ；点 $C$ 原来表示 $-2$ 。

3. 识别相反数

相反数的检验： 两数和为0才互为相反数。先化简，再检查这个条件，不能只看符号相反。

例题 03 相反数不能只看异号 2024·黑龙江大庆

题目

下列各组数中，互为相反数的是（　）。

A. $|-2024|$ 和 $-2024$

B. $2024$ 和 $\frac1{2024}$

C. $|-2024|$ 和 $2024$

D. $-2024$ 和 $\frac1{2024}$

答案与解析

解析

先算 $|-2024|=2024$ 。A中两数之和为0，是相反数；B是乘积为1的倒数关系，不是相反数；C是同一个正数；D虽然异号，但绝对值不同，和不为0。

本题结论

A。

4. 由绝对值确定数或范围

方法归纳

把绝对值译成“到原点的距离”。求原数时检查原点两侧；求整数个数时先确定范围，再按题意检查端点是否包含、是否包含 $0$ 。依据见绝对值。

例题 04 距离条件对应哪些数

题目

一个数的绝对值等于 $36$ ，这个数是多少？绝对值小于 $3$ 的整数有几个？

答案与解析

解析

距原点 $36$ 个单位长度的位置有两个，分别在左右两侧，所以这个数是 $36$ 或 $-36$ 。
绝对值小于 $3$ ，表示距原点不足 $3$ 个单位长度。符合条件的整数是 $-2,-1,0,1,2$ ，共 $5$ 个。 $-3$ 与 $3$ 的距离恰好为 $3$ ，不满足“小于”。

本题结论

原数为 $36$ 或 $-36$ ；满足条件的整数有 $5$ 个。

5. 比较有理数的大小

方法归纳

先分清正、零、负，再比较同一类中的数。两个负数，绝对值大的反而小：它到原点的距离更远，位置也更靠左。

分数可先通分，或比较绝对值后反向判断。不同符号的数，应先按数轴位置确定大小，不能直接套用负数间的比较规则。

例题 05 两个负数怎样比较知识清单例题·合并改编

题目

比较各组数的大小：

（1） $-7$ 与 $-2$ ；（2） $-\frac78$ 与 $-\frac89$ ；

（3） $-4\frac25$ 与 $-4.2$ ；（4） $-(-5)$ 与 $-|-5|$ 。

答案与解析

解析

$-7$ 与 $-2$ 都是负数， $7>2$ ，所以 $-7<-2$ 。
将两个分数通分，得 $-\frac78=-\frac{63}{72}$ ， $-\frac89=-\frac{64}{72}$ 。前者距原点更近，所以 $-\frac78>-\frac89$ 。

不能只比较绝对值就对任意两数下结论。例如 $-7$ 的绝对值大于 $2$ 的绝对值，但 $-7<2$ ；原数的正负必须先看清。

另两组先化简： $-4\frac25=-4.4<-4.2$ ； $-(-5)=5$ ， $-|-5|=-5$ ，所以 $-(-5)>-|-5|$ 。负带分数的负号作用于整个带分数，不能写成 $-4+\frac25$ 。

本题结论

（1） $-7<-2$ ；（2） $-\frac78>-\frac89$ ；（3） $-4\frac25<-4.2$ ；（4） $-(-5)>-|-5|$ 。

例题 06 多种写法的数从大到小排序

题目

把 $-3\frac13$ ， $-1$ ， $-0.5$ ， $4$ ， $-1.5$ ， $2\frac12$ ， $1.8$ ， $-4$ 用“ $>$ ”连接起来。

答案与解析

解析

先分正负两段，再在段内比较。正数部分为 $4>2\frac12>1.8$ 。负数中，绝对值从小到大为 $0.5$ ， $1$ ， $1.5$ ， $3\frac13$ ， $4$ ，所以对应原数从大到小恰按这个次序排列。

最后核对八个数各出现一次，所有连接符均表示左大右小。

本题结论

4>2\frac12>1.8>-0.5>-1>-1.5>-3\frac13>-4.

6. 用绝对值判断偏差

方法归纳

先分清记录的是实际值还是相对标准的偏差。偏差的符号表示方向，绝对值表示偏离程度；“不大于”包含等于。允许的正负偏差对称时，可用同一个绝对值上限判断，否则应分别检查上下限。

例题 07 哪件产品更接近标准

题目

某厂抽查 $6$ 件橡胶垫的直径。比标准直径大的记正数，比标准直径小的记负数，记录如下。

编号	1	2	3	4	5	6
偏差／毫米	$+0.4$	$-0.2$	$+0.1$	$+0.05$	$-0.3$	$+0.25$

（1）哪一件的直径最接近标准？

（2）若与标准直径相差不大于 $0.2$ 毫米为合格，有几件不合格？

答案与解析

解析

这些记录是偏差，不是实际直径。符号表示偏大还是偏小，绝对值表示偏离标准的大小。

六件的绝对偏差依次为 $0.4$ 、 $0.2$ 、 $0.1$ 、 $0.05$ 、 $0.3$ 、 $0.25$ 毫米。最小的是 $0.05$ 毫米，所以 4号最接近标准。
“不大于”包括等于。2、3、4号的绝对偏差不大于 $0.2$ 毫米，合格；1、5、6号超过上限，共3件不合格。

本题结论

4号最接近标准；1、5、6号不合格，共3件。

7. 非负数的和等于零

方法归纳

先确认每一项都非负，再由“和为零”推出每项为零，最后解出未知数并代回。这里只能使用非负数零和的条件，不能把任意两个数的和为零都拆成各自为零。

例题 08 绝对值的零和条件

题目

已知 $|a-1|+|b-2|=0$ ，求 $a+b$ 。

答案与解析

解析

两个绝对值都不小于 $0$ 。如果其中一项大于 $0$ ，另一项又不能为负，总和就不可能为 $0$ 。所以两项必须分别等于 $0$ ：

|a-1|=0,\qquad |b-2|=0.

绝对值为 $0$ 时，里面的数也为 $0$ ，因此 $a=1$ 、 $b=2$ ，得到 $a+b=3$ 。

这一推理必须有“每一项都非负”的条件。仅知道 $a+b=0$ ，不能推出 $a=b=0$ ，例如 $2+(-2)=0$ 。

本题结论

$a=1$ 、 $b=2$ ，所以 $a+b=3$ 。

8. 双数轴对齐：比较对应长度的比例

方法归纳

两条数轴的单位长度未必相同。先在各自数轴上用坐标差求距离，再按题给的对齐关系建立对应；相等的是对应线段的实际长度，不是坐标值。

标清每条轴的点序，确定比较的部分与整体。
在一条轴内求长度比，单位会约去。
把这个比例用于另一条轴，最后检查方向与范围。

例题 09 上下对齐的两条数轴 2024·河北

题目

如图，甲数轴上的 $A,B,C$ 三点依次表示 $-4,2,32$ ；乙数轴上的 $D,E,F$ 三点依次表示 $0,x,12$ 。

（1）求甲数轴上这三个数的和及 $\frac{AB}{AC}$ 。

（2）当 $A$ 与 $D$ 上下对齐时， $B,C$ 恰好分别与 $E,F$ 上下对齐，求 $x$ 。

答案与解析

解析

（1）三个数的和为 $-4+2+32=30$ 。

\frac{AB}{AC}=\frac{2-(-4)}{32-(-4)}=\frac6{36}=\frac16.

（2）对应点上下对齐， $DE$ 占 $DF$ 的比例与 $AB$ 占 $AC$ 的比例相同。乙轴上 $DF=12$ 个乙单位，因此 $DE=12\times\frac16=2$ 个乙单位。 $E$ 在0右侧，所以 $x=2$ 。

这里不能说“甲轴的6个单位等于乙轴的6个单位”。可用 $A=-4$ 与 $D=0$ 反查：对齐的点显然不必同值。

本题结论

（1）30， $\frac16$ ；（2） $x=2$ 。

9. 先判内部整体的符号，再去绝对值

方法归纳

当绝对值里不是一个确定数，而是字母的和、差时，要把内部看成整体：

内部条件	替换方式	外部操作
整体非负	保留原式	原有加减号仍保留
整体为负	取整个式子的相反数	先加括号，后展开
无法判号	按符号分类	不擅自选某一分支

数轴给出的左右次序通常已经够用，不必猜一个没有标明的具体数。去绝对值与合并同类项是两步；若尚未学习字母式的合并，可先核对每个替换是否正确，后续学习整式时再复习合并过程。