一条垂直平分线，把“点的位置”与“到两个端点的距离相等”联系起来。求长度时用它换边，证明位置时反过来用等距判断；两个方向的条件要分清。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 既垂直，又平分

经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段所在直线的直线，叫作线段的垂直平分线，简称中垂线。 本页线段的两个端点不同。

条件	在图中的含义
平分	$AO=BO$，且 $O$ 在线段 $AB$ 上
垂直	$CD\perp AB$
对象	中垂线是无限延伸的直线，不只是图上画出的短段

这两个条件必须同时成立。经过中点的斜线、经过其他点的垂线，都不是这条线段的中垂线。

线段AB及经过其中点O的垂线CD

沿中垂线翻折，两个端点互相重合，整条线段也与自身重合。因此中垂线是这条线段的一条对称轴。

2. 线上点等距，等距点在线

使用方向	结论
已知 $P$ 在 $AB$ 的中垂线上	$PA=PB$
已知 $PA=PB$	$P$ 在 $AB$ 的中垂线上

比较的对象始终是两个端点，不是点到两条边的垂直距离。

性质的证明。 设 $M$ 是 $AB$ 的中点。若 $P\ne M$，在 $\triangle PMA$ 与 $\triangle PMB$ 中，$PM$ 公共、$MA=MB$、夹角都是直角，由 SAS 全等，得 $PA=PB$。若 $P=M$，结论直接由中点定义得到。

P在中垂线上，连接PA与PB

判定的证明。 已知 $PA=PB$，连接 $P$ 与中点 $M$。先看 $P$ 是否在直线 $AB$ 上：直线上到 $A,B$ 等距的点只有中点，故此时 $P=M$，直接符合。若 $P$ 不在直线 $AB$ 上，两小三角形有 $PA=PB$、$MA=MB$、$PM$ 公共，由 SSS 全等，得 $\angle PMA=\angle PMB$。两角又互为邻补角，因此各为 $90^\circ$，即 $PM$ 是中垂线。

到A与B等距离的点P

3. 用尺规取中点

1. 分别以 $A,B$ 为圆心，以同一长度 $r>\frac12 AB$ 为半径画弧，得到分处 $AB$ 两侧的两个交点 $X,Y$。
2. 作直线 $XY$，交 $AB$ 于 $M$。
3. $XA=XB$、$YA=YB$，所以 $X,Y$ 都在 $AB$ 的中垂线上。两点确定一条直线，故 $XY$ 就是中垂线，$M$ 就是中点。

半径恰为半段时，两弧只在中点相切，不能得到两个不同交点；半径更小时没有交点。取中点后，若要作三角形的中线，还须连接这个中点与对面顶点。

4. 三条边的中垂线交于一点

对三个不同、非共线的点 $A,B,C$，作 $AB$、$BC$ 的中垂线，交于 $O$。由两次等距，有

$$OA=OB,\qquad OB=OC,\qquad\text{所以 }OA=OC.$$

因此 $O$ 也在 $AC$ 的中垂线上。三角形三条边的中垂线交于同一点，这个点到三个顶点的距离相等。

为什么交点存在且唯一？$AB$ 与 $BC$ 不共线，它们的垂线方向也不同；同一平面内，两条不同方向的直线有且只有一个交点。任一到三点等距的点都必须落在这两条中垂线上，所以不能另有一个合格位置。

以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径的圆通过三个顶点，叫作三角形的外接圆；$O$ 叫作外心。这一定义比较的是到顶点的距离，不能与到三边等距的内心混用。

三角形类型	外心的位置
锐角三角形	三角形内部
直角三角形	斜边中点
钝角三角形	三角形外部

下面三图分别展示这三种位置。“中心”并不等于“内部”；位置结论的三边平方比较证明，要在学习勾股定理及其逆定理后再展开。

锐角三角形的外心位置

直角三角形的外心位置

钝角三角形的外心位置

二、考点 方法与例题

1. 先换成等长线段，再按点序加减

1. 看清是哪条线段的中垂线，写出到它两个端点的等距关系。
2. 若求一段长，找到整段与部分段；若求周长，先写完整三边和。
3. 用等长边替换未知边，再核对图中的共线点顺序，决定相加还是相减。

中垂线只给等距，不自动给某个点在某条边的内部。

例题 01 由整段与部分求另一段 2024 江苏镇江

题目

（2024 江苏镇江）如图, $\triangle ABC$ 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D, 连接 BD. 若 AC=8, CD=5, 则 BD= ____.

三角形ABC中，AB的中垂线经过AC上的D，连接BD

答案与解析

解析

图中 $A,D,C$ 顺次共线，所以 $AD=AC-CD=8-5=3$。

$D$ 在 $AB$ 的中垂线上，故 $DB=DA=3$。相减来自点序，换边来自等距，两步依据不同。

本题结论

$BD=3$。

例题 02 已知一个小三角形的周长 知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, DE 是 AC 的垂直平分线, AE = 3, $\triangle ABD$ 的周长为 13, 则 $\triangle ABC$ 的周长为 ____.

三角形ABC中，D在BC上，DE垂直平分AC，连接AD

答案与解析

解析

$DE$ 垂直平分 $AC$，所以 $AC=2AE=6$，且 $DA=DC$。

按图中 $B,D,C$ 的顺序，

$$\begin{aligned}C_{\triangle ABC}&=AB+BD+DC+AC\\&=AB+BD+DA+AC\\&=13+6=19.\end{aligned}$$

$13$ 已经是 $AB+BD+DA$ 的整体，不必再逐边求长度。

本题结论

$\triangle ABC$ 的周长为 $19$。

例题 03 将三边和转到同一条底边 知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $BC=10\ \text{cm}$ , $DE$ 、 $FG$ 分别垂直平分 $AB$ 、 $AC$ , $E$ 、 $G$ 为垂足, 求 $\triangle DAF$ 的周长.

三角形ABC中，B、D、F、C顺次共线，DE与FG分别垂直平分AB与AC

答案与解析

解析

$D$ 在 $AB$ 的中垂线上，得 $DA=DB$；$F$ 在 $AC$ 的中垂线上，得 $FA=FC$。

图中 $B,D,F,C$ 顺次共线，因此

$$DA+DF+FA=DB+DF+FC=BC=10\text{ cm}.$$

若点移到延长线上，等距仍成立，但末步不能不看点序就三项相加。

本题结论

周长为 $10\text{ cm}$。

2. 三点等距的位置，交两条中垂线确定

到 $A,B$ 等距，限定一条中垂线；到 $B,C$ 等距，再限定一条中垂线。交点同时满足两组条件，第三组等距由传递得到。题目若另外限制可建设区域或道路距离，还须重新核对，不能只凭几何交点就判断现实方案可行。

例题 04 确定三个村庄的等距位置 知识清单例题

题目

为了解决三个村庄孩子的就近入学问题,计划新建一所小学,使学校到三个村庄的距离相等.若三个村庄A,B,C的位置如图所示,请你在图中确定小学的位置(用点P表示).

三个不共线的村庄位置A、B、C

答案与解析

解析

连接 $AB,BC$，分别作其中垂线 $l,l'$，交于 $P$。

由性质 $PA=PB$、$PB=PC$，得 $PA=PB=PC$。反过来，任何合格点都必须在这两条中垂线上，所以 $P$ 唯一。原三点非共线，保证两条中垂线唯一相交。

这里采用直线距离，并未给出道路、地价或最短路程总和的要求。

两条中垂线交于P的作图

本题结论

小学的位置为两条中垂线的交点 $P$。

3. 证明整条直线是中垂线，有两条路线

路线	需要完成的任务
回到定义	证明经过中点，并证明垂直
使用等距判定	在待证直线上找到两个不同点，分别证明它们到两端等距

只找到一个等距点，只能证明这个点在中垂线上；经过它的其他直线并不都是中垂线。

例题 05 同一结论的两种证法 知识清单例题

题目

如图所示,AD 平分 $\angle BAC, DE \perp AB, DF \perp AC$ , 垂足分别为 E, F, 连接 EF, EF 与 AD 交于点 G. 求证: AD 垂直平分 EF.

角BAC内的AD与EF交于G，DE垂直AB、DF垂直AC

答案与解析

解析

$AD$ 是内部角平分线，且 $DE\perp AB$、$DF\perp AC$，所以 $DE=DF$。

在直角三角形 $AED,AFD$ 中，$AD$ 是公共斜边，$DE=DF$，由 HL 全等，得 $AE=AF$。

证法一：分别证明平分与垂直。 $AE=AF$、$\angle EAG=\angle FAG$、$AG$ 公共，由 SAS 得 $\triangle AEG\cong\triangle AFG$。所以 $EG=FG$、$\angle AGE=\angle AGF$；两角互为邻补角，故各为 $90^\circ$。于是 $AD$ 既平分 $EF$，又垂直 $EF$。

证法二：找到两个不同的等距点。 $AE=AF$ 说明 $A$ 在 $EF$ 的中垂线上，$DE=DF$ 说明 $D$ 也在这条中垂线上。$A\ne D$，两点确定一条直线，因此直线 $AD$ 就是这条中垂线。

本题结论

$AD$ 垂直平分 $EF$。

4. 中垂线与角平分线提供不同的距离

先找两个直角三角形。中垂线常提供到两个端点的等距，可能是斜边；角平分线配垂线提供到两边线的等距，可能是直角边。标清角色后，再核 HL 的三个前提。

例题 06 分别取得斜边与直角边 知识清单例题

题目

如图, $\angle BAC$ 的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D, $DE\perp AB$ , $DF\perp AC$ ,垂足分别为E、F.连接CD、BD,求证: $\triangle CDF\cong\triangle BDE$ .

角BAC内点D及垂线DE、DF，F在AC延长线上，DG为BC的中垂线

答案与解析

解析

$DG$ 垂直平分 $BC$，所以 $DC=DB$。

$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE\perp AB$、$DF\perp AC$，所以 $DE=DF$。

$\triangle CDF$、$\triangle BDE$ 的直角分别在 $F,E$，$CD,BD$ 是斜边，$DF,DE$ 是一对直角边，由 HL 得

$$\triangle CDF\cong\triangle BDE.$$

图中 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，仍然是到直线 $AC$ 的垂足。

本题结论

$\triangle CDF\cong\triangle BDE$。

三、坑点 条件与边界

1. 一个条件或一个点，都不足以证明整条线

• 只证垂直： 垂足未必是中点，还缺平分条件。
• 只证平分： 经过中点的直线未必垂直原线段。
• 只证一个点等距： 该点在中垂线上，不代表经过它的任一直线都是中垂线。

应补齐定义的两项条件，或找到两个不同的等距点，不能把“点在线上”写成“整线重合”。

2. 外心、内心、重心各有自己的距离或作图对象

名称	由什么相交得到	不能替换成什么
外心	三边的中垂线	不是三条中线的交点
内心	三个内角的平分线	等距对象是三边所在直线，不是三个顶点
重心	三条中线	中垂线只是帮助取中点，还要连顶点

三个不同的共线点不能照搬“三点等距选址”：两相应线段的中垂线平行且不同，没有共同交点。三角形外心在外部时，钝角是哪个顶点仍要判断，不能把任意指定顶角都认作钝角。

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