很大的数需要便于读写的表示方式，测量得到的数则需要说明精确到哪里。科学记数法解决写法问题，近似数解决精度问题；两者不能混为一谈。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 理解概念

1. 科学记数法：把数量级写在指数上

把一个非零数写成 $a\times10^n$，其中 $1\le |a|<10$，$n$ 为整数，这种表示方法叫科学记数法。本页先处理绝对值不小于 $10$ 的数，此时 $n$ 是正整数。

原数	科学记数法	系数与指数的检查
$3140$	$3.14\times10^3$	$1\le3.14<10$，小数点左移3位
$141400$	$1.414\times10^5$	小数点左移5位
$-17320000$	$-1.732\times10^7$	负号保留，检查的是系数的绝对值

小数点左移几位，相当于把系数缩小为原来的多少倍，就要乘相应的 $10$ 的幂补回来。因此，指数记录小数点移动的位数，不是末尾零的个数。对于一个 $k$ 位正整数，指数为 $k-1$。

$31.4\times10^2$ 与 $3140$ 相等，但系数大于 $10$，不符合科学记数法的规范写法。

2. 准确数与近似数

通过计数或规定可以得到准确数；测量、估计或把一个数按要求取舍，常得到近似数。判断时看这个数的来历，不能仅凭有没有小数点。

数的来历	怎样判断	例子
逐一计数	在计数无误的前提下为准确数	一个班实有40人
明确规定的价格	表示规定的金额	某书定价45.50元
测量	受工具和读数精度限制，通常是近似数	测得身高约1.58 m
估计或明确写“约”	近似数	地月距离约38万 km

科学记数法本身不等于取近似数：$3140=3.14\times10^3$ 是等值改写；把 $3146$ 写成约 $3.15\times10^3$，才发生了取舍。

3. 精确度：最后保留的一位在哪里

用四舍五入得到的近似数，最后保留的一位处于什么数位，就称精确到什么数位。小数点后的零可能正在表示精度，不能随手删去。

近似数	最后一位对应原数的单位	精确到
$6.30$	$0.01$	百分位
$6.30\times10^3$	$0.01\times10^3=10$	十位
$6.30$万	$0.01$万，即100	百位

遇到“万”“亿”或 $10$ 的幂，必须把它一起带入判断。三个数都写着 $6.30$，不代表精确度相同。

4. 有效数字：从第一个非零数字数起

从左边第一个非零数字起，到最后保留的一位止，所有数字都叫有效数字。前面用于定位的小数零不计入；开始计数后，中间或末尾的零都可能要计入。

近似数	有效数字	个数
$0.03020$	$3,0,2,0$	4
$6.30\times10^3$	$6,3,0$	3
$8.90\times10^6$	$8,9,0$	3

“精确到某数位”指定最后一位的位置；“保留几个有效数字”指定从第一个非零数字开始保留的个数。二者不是同一句要求。

二、考点 方法与例题

1. 改写或还原科学记数法

方法归纳

改写时，先保留正负号，再把小数点移到最高位非零数字之后，记录移动位数，最后核验系数范围。还原时，乘 $10^n$ 就将小数点向右移动 $n$ 位；位数不够时补零。

例题 01 把指数表示还原为普通数

题目

把下列各数还原为普通数：

（1）$3.14\times10^3$；（2）$1.414\times10^5$；（3）$-1.732\times10^7$。

答案与解析

解析

分别向右移动小数点3、5、7位，原来的负号不变：

$$3.14\times10^3=3140,$$

$$1.414\times10^5=141400,$$

$$-1.732\times10^7=-17320000.$$

可反向把小数点移回去，检查补零数量。

本题结论

（1）3140；（2）141400；（3）−17320000。

2. 按指定数位四舍五入

方法归纳

1. 找到题目要求保留的最后一位。
2. 看它右边紧邻的一位，小于5舍去，大于或等于5向前进1；进位可能连续发生。
3. 写出能表达该精度的结果。较大的数用科学记数法时，也要保留必要的零。

这里使用的是题目指定的四舍五入。按箱数、人数等实际要求取值时，还应判断是否需要进一法或去尾法，不能只套四舍五入。

例题 02 保留数位与连续进位

题目

用四舍五入法按要求取近似数：

（1）$5.8964$，精确到十分位；

（2）$199.5$，精确到个位；

（3）$200499$，精确到千位。

答案与解析

解析

（1）保留十分位的8，后一位为9，要进1，得 $5.9$。

（2）保留个位的9，后一位为5；个位、十位连续进位，得 $200$。

（3）千位是0，百位为4，应舍去后续部分。为了明确最后保留的是千位，写成 $2.00\times10^5$：系数的百分位对应 $10^3$。

本题结论

（1）5.9；（2）200；（3）$2.00\times10^5$。

3. 带单位或数量级时判断精确度

方法归纳

不要先把尾零删掉，也不要只盯着系数的小数位。先确定系数最后一位的单位，再乘它后面的数量级；得到的单位就是原数的精确度。

例题 03 三个6.30，三种精度

题目

说明下列近似数分别精确到哪一位：

（1）$6.30$；（2）$6.30\times10^3$；（3）$6.30$万。

答案与解析

解析

（1）最后的0在百分位，精确到百分位。

（2）最后一位表示 $0.01\times10^3=10$，精确到十位。

（3）最后一位表示 $0.01\times10000=100$，精确到百位。

本题结论

依次为百分位、十位、百位。

4. 由四舍五入结果反推原数范围

方法归纳

先看末位单位，再取它的一半，找到相邻两次舍入的分界点。对于本页的正数、普通四舍五入，较小分界点会进位成为该结果，较大分界点会进位成下一个结果，所以区间左端取等号、右端不取等号。

边界规则依赖取舍方式。题目若改用去尾法、进一法，或涉及负数的取舍约定，必须重新检查，不能照搬区间。

例题 04 1.20来自哪些数

题目

一个数 $a$ 四舍五入后得到的近似数为 $1.20$，则 $a$ 的取值范围是（　）。

A. $1.15<a<1.25$

B. $1.15\le a<1.25$

C. $1.195<a<1.205$

D. $1.195\le a<1.205$

答案与解析

解析

$1.20$ 最后一位是百分位，半个末位单位为 $0.005$。两处分界为 $1.20-0.005=1.195$ 和 $1.20+0.005=1.205$。

$1.195$ 的千分位是5，进位后得到1.20，应包括；$1.205$ 进位后得到1.21，不应包括。A、B把百分位精度误当成十分位精度；C遗漏可以取到的左端点。

本题结论

$1.195\le a<1.205$，选D。

5. 实际数量的倍数与科学记数法

方法归纳

先按题意列出数量关系，再计算系数，最后重新调整到 $1\le|a|<10$。题干中的单位必须保留；算完系数大于或等于10时，指数也要随之调整。

例题 05 算力的五倍 2024·北京，改编

题目

某超算系统的算力达到每秒 $4\times10^{17}$ 次浮点运算。若某运算系统的算力是它的5倍，则该系统每秒的浮点运算次数用科学记数法表示为（　）。

A. $8\times10^{16}$　 B. $2\times10^{17}$

C. $5\times10^{17}$　 D. $2\times10^{18}$

答案与解析

解析

“5倍”对应乘5：

$$5\times(4\times10^{17})=20\times10^{17}=2\times10^{18}.$$

$20\times10^{17}$ 与结果相等，但系数20不符合科学记数法的范围，还需再调整一次。

本题结论

D，即每秒 $2\times10^{18}$ 次。

三、坑点 辨析与自查

1. 近似数末尾的零不能随意删

常见错法： 认为 $3.7=3.70$，所以二者精确度相同。

错在何处： 数值相等不代表测量或取近似时保留的信息相同。作为近似数，3.7精确到十分位，3.70精确到百分位；删去末尾的零会改变精度。

自查： 读一遍“最后一位是哪个数位”。若有数量级，再按精确度例题换算，不能仅数小数位。

辨析 01 数值相等与精度相同

题目

判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）近似数3.7和3.70的精确度相同。

（2）近似数 $2.24\times10^4$ 精确到百位。

（3）把8903000保留三个有效数字，可写为 $8.90\times10^6$。

（4）求近似数时，无论什么实际问题，都应使用四舍五入法。

（5）实际问题中，有时要根据需要使用进一法或去尾法。

答案与解析

解析

（1）错误。分别精确到十分位、百分位。

（2）正确。$0.01\times10^4=100$。

（3）正确。$8903000=8.903\times10^6$，保留三个有效数字，看第四个数字3，得 $8.90\times10^6$；最后的0不可删。

（4）错误。例如确定装完物品所需的箱数时，不足一箱仍需一箱，不能无条件四舍五入。

（5）正确。方法由实际条件和取值要求决定。

本题结论

（1）错；（2）对；（3）对；（4）错；（5）对。

2. 系数合格、数值相等、精度合适要分别检查

常见错法： 写成 $20\times10^{17}$ 就结束；或把 $200499$ 精确到千位后只写 $2\times10^5$。

错在何处： 前者数值对了，但不是规范的科学记数法；后者没有用末位清楚表达题目要求的千位精度。

自查： 依次检查三项：系数绝对值是否在 $[1,10)$ 内；展开后数值或舍入结果是否正确；最后保留的一位是否对应题目要求的数位。参看倍数问题和四舍五入例题。

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