正多边形与圆的有关计算

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正多边形的长度计算归结到半径、边心距与半边长组成的直角三角形；扇形与圆锥的计算则要先认清“哪一段弧、哪一个半径、哪一块面积”。

一、知识点概念与依据

1. 正多边形与两个同心圆

各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形。只有等边或只有等角都不够，例如非正方形的菱形、非正方形的矩形都不是正多边形。

把圆周分成 $n$ 等份（ $n\ge3$ ），按顺序连接分点，得到圆内接正 $n$ 边形；过各分点作切线，相邻切线的交点又组成该圆的外切正 $n$ 边形。前者的顶点在圆上，后者的边与圆相切，不要混淆。

正多边形总有外接圆和内切圆，且两圆同心；这个公共圆心叫正多边形的中心。一般多边形并不一定同时有这两个圆。

名称	对应线段或角	作用
半径 $R$	中心到顶点的距离	外接圆半径
边心距 $r$	中心到边的垂距	内切圆半径
中心角	相邻顶点与中心的连线所夹角	$360^\circ/n$
边长 $a$	相邻顶点间的线段长	周长 $L=na$

中心到各顶点的连线把正多边形分成 $n$ 个全等的等腰三角形。等弦有等弦心距，因此各边到中心的距离相等，恰为同一个内切圆的半径。

2. 半径、边心距与半边长

从中心向一边作垂线。垂径定理使这条边平分，得到直角三角形：斜边为 $R$ ，两直角边为 $r$ 与 $a/2$ 。

R^2=r^2+\left(\frac a2\right)^2.

图形	中心角	边长与外接圆半径	边心距
正三角形	120°	$a=\sqrt3R$	$r=R/2$
正方形	90°	$a=\sqrt2R$	$r=a/2=R/\sqrt2$
正六边形	60°	$a=R$	$r=\sqrt3R/2$

这些关系由30°、45°、60°的直角三角形得到，不是三套互不相关的公式。三角形底为边长、高为边心距，合起来得正多边形面积：

S=n\times\frac12ar=\frac12Lr.

这里必须乘边心距 $r$ ，不能直接乘外接圆半径 $R$ 。

这一面积方法还可推广到有内切圆的凸多边形：把内心连向各顶点，各块三角形到对应边的高统一为内切圆半径 $r$ ，故仍有 $S=Lr/2$ 。若各边到所选点的距离不同，就不能把它们合成同一个 $r$ 。

3. 正多边形的对称性

正 $n$ 边形绕中心旋转 $360^\circ/n$ 的整数倍，可与原图形重合；最小正旋转角为 $360^\circ/n$ 。它还有 $n$ 条对称轴：

$n$ 为奇数：每条轴经过一个顶点和对边中点，不是中心对称图形。
$n$ 为偶数：一半对称轴经过相对顶点，一半经过相对边中点；旋转180°能重合，所以也是中心对称图形。

正 $n$ 边形的每个内角为 $(n-2)180^\circ/n=180^\circ-360^\circ/n$ ，每个外角为 $360^\circ/n$ 。外角与中心角数值相等，但顶点和两边不同。

判断中心对称，要看180°是否是最小旋转角的整数倍，不能把“有旋转对称”一概等同于“中心对称”。

4. 弧长与扇形面积

半径为 $R$ 的整圆周长为 $2\pi R$ 、面积为 $\pi R^2$ 。圆心角为 $\theta$ 度的弧与扇形各占整圆的 $\theta/360$ ，因此

L=\frac{\theta\pi R}{180},\qquad S=\frac{\theta\pi R^2}{360}=\frac12LR.

最后一个式子把弧长看作扇形的“曲边底”，可由前两个式子直接消去 $\theta$ 得到。已知弧长和面积求半径时， $R=2S/L$ 往往最直接。

所求	所需信息	单位
弧长	圆心角、半径	长度，如cm
扇形面积	圆心角、半径，或弧长、半径	面积，如cm²
弓形面积	扇形及与弦相连的三角形	面积，如cm²

劣弧对应的小弓形可写成“扇形减三角形”；优弧对应的大弓形可用整圆减小弓形。不能只见圆弧就把整块阴影当扇形，扇形的两条直边必须是同一圆的半径。

5. 圆柱、圆锥的展开与面积

模型	侧面展开图	对应关系	面积
圆柱，底面半径 $r$ 、高 $h$	长方形	长 $2\pi r$ ，宽 $h$	侧面积 $2\pi rh$ ；表面积 $2\pi rh+2\pi r^2$
直圆锥，底面半径 $r$ 、母线 $l$ 、高 $h$	扇形	扇形半径 $l$ ，弧长 $2\pi r$	侧面积 $\pi rl$ ；表面积 $\pi rl+\pi r^2$

圆锥的三个长度由轴截面中的直角三角形联系： $l^2=h^2+r^2$ ，其中 $l$ 是斜边，非退化圆锥满足 $l>r>0$ 。

设展开扇形的圆心角为 $\theta$ 度，弧长等于底面圆周长：

\frac{\theta\pi l}{180}=2\pi r,\qquad \theta=\frac{360r}{l}.

侧面积从扇形面积式推出： $S_{\text{侧}}=\frac12(2\pi r)l=\pi rl$ 。扇形半径是母线，不是底面半径，也不是高。

题目给出体积时

圆柱体积为 $\pi r^2h$ ，圆锥体积为 $\frac13\pi r^2h$ ，即同底同高圆柱体积的三分之一。可用同底同高的量器装水比较来理解这一比例，但一次测量不能代替一般证明。求圆锥体积可沿“弧长守恒求底面半径，再由勾股求高”的顺序处理。体积描述所占空间，不能与侧面积混用。

下面圆柱图沿用 $R$ 表示底面半径、 $l$ 表示高，对应上表的 $r,h$ ；圆锥图的 $r,h,l$ 与上表一致。

二、考点先方法，后例题

1. 由中心角定边数，由半边长求边心距

中心角已知，先用 $n=360^\circ/\theta$ 求边数并检查 $n$ 为不小于3的整数。长度计算连接相邻两顶点与中心，再从中心作边的垂线；面积则用周长乘边心距的一半。

例题 01 由中心角求内角和知识清单例题

题目

如果一个正多边形的中心角等于 $72^{\circ}$ ，那么这个正多边形的内角和为 ____。

答案与解析

解析

中心角为72°，所以边数 $n=360^\circ\div72^\circ=5$ 。五边形内角和为 $(5-2)\times180^\circ=540^\circ$ 。中心角的和与多边形内角和是两种不同的和，不能直接答360°。

本题结论

540°。

例题 02 正方形的两个半径知识清单例题

题目

已知边长为 a 的正方形的内切圆的半径为 r，外接圆的半径为 R，则 r:R:a= （）

A. $1:1:\sqrt{2}$ B. $1:\sqrt{2}:2$

C. $1: \sqrt{2}: 1$ D. $\sqrt{2}: 2: 4$

答案与解析

解析

设 $C$ 为边 $AB$ 的中点，连接 $OA,OC$ 。正方形中心到边的距离 $OC=a/2=r$ ，且 $AC=a/2$ 。在直角三角形 $OCA$ 中，

R=OA=\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=\frac{\sqrt2a}{2}.

故 $r:R:a=\frac a2:\frac{\sqrt2a}{2}:a=1:\sqrt2:2$ 。

本题结论

选 B。

例题 03 正六边形地基的周长与面积知识清单例题

题目

如图,有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求该地基的周长和面积.

答案与解析

解析

连接 $OB,OC$ ，作 $OP\perp BC$ 于 $P$ 。正六边形中心角60°，且 $OB=OC=4$ m，所以 $\triangle OBC$ 为等边三角形， $BC=4$ m。

周长为 $6\times4=24$ m。 $PC=2$ m，在直角三角形 $OPC$ 中， $OP=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3$ m。

面积为 $\frac12\times24\times2\sqrt3=24\sqrt3$ m²。

本题结论

周长24 m，面积 $24\sqrt3$ m²。

例题 04 正六边形的内切圆半径知识清单例题

题目

（2024 山东济宁）如图, 边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内接于 $\odot O$ , 则它的内切圆半径为 ( )

A.1

B.2

C. $\sqrt{2}$

D. $\sqrt{3}$

答案与解析

解析

连接 $OA,OB$ ，作 $OG\perp AB$ 于 $G$ 。中心角60°，两半径相等，所以 $\triangle OAB$ 是边长2的等边三角形。 $AG=1$ ，故

OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3.

$OG$ 是正六边形的边心距，也就是正六边形内切圆半径。不能直接把外接圆半径2当答案。

本题结论

选 D， $\sqrt3$ 。

2. 先分清求弧长还是求面积

只有圆心角和半径时，从占整圆的比例出发；弧长和面积同时给出时，用 $S=LR/2$ 。多个小问可共用这一方法，但单位和所求量须逐问核对。

例题 05 已知圆心角求扇形面积知识清单例题·原题第1问

题目

在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形面积是多少？

答案与解析

解析

该扇形占整圆的 $60/360=1/6$ ，因此 $S=\frac16\pi\times6^2=6\pi$ cm²。

本题结论

$6\pi$ cm²。

例题 06 纸扇的外边弧长知识清单例题

题目

(2024 贵州)如图,在扇形纸扇中,若 $\angle AOB=150^{\circ},OA=24$ ,则 $\widehat{AB}$ 的长为 ( )

A.30π

B. $25\pi$

C.20π

D. $10\pi$

答案与解析

解析

纸扇的圆心角150°，半径24。弧长

L=\frac{150\pi\times24}{180}=20\pi.

弧长公式分母是180；面积公式才用半径平方与分母360。

本题结论

选 C， $20\pi$ 。

例题 07 直角扇形的面积知识清单例题

题目

(2024 湖南长沙) 半径为 4, 圆心角为 $90^{\circ}$ 的扇形的面积为 ____ (结果保留 $\pi$ ).

答案与解析

解析

90°扇形是整圆的四分之一，故 $S=\frac14\pi\times4^2=4\pi$ 。

本题结论

$4\pi$ 。

3. 滚动轨迹分段找圆心、半径和转角

多边形沿直线滚动时，每一段绕当前接触点旋转。跟踪的是题目指定的同一个顶点，半径是它到本段转动中心的距离；相邻两段的中心和半径可能都不同。转角由落地条件确定，常为相应内角的补角，而非直接取内角。

例题 08 直角三角形滚动两次知识清单例题

题目

如图, 把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在直线 l 上, 按顺时针方向在 l 上滚动两次, 使它滚动到 $\triangle A''B'C'$ 的位置. 若 $BC = 1, AC = \sqrt{3}$ , 求顶点 A 运动到点 $A''$ 的位置时, 点 A 所经过的路线长.

答案与解析

解析

由勾股定理， $AB=\sqrt{1+3}=2$ 。 $\angle A=30^\circ$ ， $\angle B=60^\circ$ 。

第一次绕 $B$ 旋转，半径为 $AB=2$ ，转角为 $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ ，故弧 $AA'$ 长为 $\frac{120\pi\times2}{180}=\frac{4\pi}{3}$ 。

第二次绕 $C'$ 旋转，半径为 $C'A'=AC=\sqrt3$ ，转角为90°，故弧 $A'A''$ 长为 $\frac{90\pi\sqrt3}{180}=\frac{\sqrt3\pi}{2}$ 。

两段轨迹首尾相接，长度相加即可。

本题结论

$\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3\pi}{2}$ 。

4. 阴影面积：先说明等积，再作加减

常见思路有三种：

割补：把不规则区域移到另一处，必须先证两块全等或等面积。
差面积：把目标写成大块减小块，检查每个小块是否真的包含在大块里。
整体消元：若只需 $R^2-r^2$ ，可直接用勾股关系，不必分别求两个半径。

写出面积表达式后再代数，尤其注意“减去一整块”时括号必须保留。

例题 09 两个同心直角扇形的割补知识清单例题

题目

如图,扇形 OAB 与扇形 OCD 的圆心角均为 $90^{\circ}$ , 连接 AC, BD. 若 OA = 3 cm, OC = 1 cm, 求阴影部分的面积.

答案与解析

解析

两扇形圆心角均90°，减去公共的 $\angle AOD$ ，得 $\angle AOC=\angle BOD$ 。又 $OA=OB,OC=OD$ ，故 $\triangle AOC\cong\triangle BOD$ （SAS），两块面积相等。

用其中一块补到另一块的位置后，阴影面积等于大直角扇形减小直角扇形：

S=\frac{90\pi\times3^2}{360}-\frac{90\pi\times1^2}{360}=2\pi\text{ cm}^2.

并不是只因两圆同心就能相减，关键是两块三角形的等积保证了割补。

本题结论

$2\pi$ cm²。

例题 10 用半弦与等面积转成扇形知识清单例题

题目

如图, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $CD \perp AB$ , $\angle CDB = 30^{\circ}$ , $CD = 2\sqrt{3}$ , 求阴影部分的面积.

答案与解析

解析

连接 $OD$ ，设 $CD$ 交 $AB$ 于 $E$ 。垂径定理给 $CE=DE=\sqrt3$ ，所以同高 $OE$ 的两三角形 $OCE,ODE$ 面积相等。把其中一块补到另一侧，阴影面积等于扇形 $OBD$ 面积。

$\angle CDB=30^\circ$ 对应圆心角 $\angle COB=60^\circ$ ；对称得 $\angle BOD=60^\circ$ 。在直角三角形 $OCE$ 中， $\angle OCE=30^\circ$ ，故 $OE=OC/2$ 。由 $OC^2=OE^2+CE^2$ 得 $OC=2$ 。

因此 $S=\frac{60\pi\times2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$ 。

本题结论

$\frac{2\pi}{3}$ 。

例题 11 不必分别求出两个半径知识清单例题

题目

如图,两个半圆的直径共线,O为大半圆的圆心,AB是半圆O的弦,CD是半圆O的直径,AB与小半圆相切, $AB \parallel CD$ ,且AB=24,求图中阴影部分的面积.

答案与解析

解析

设大、小半圆半径分别为 $R,r$ 。将小半圆沿共同底线平移，使圆心与 $O$ 重合，面积不变；其最高点仍在与底线平行的切线 $AB$ 上。

设切点为 $E$ ，连接 $OE,OB$ 。 $OE\perp AB$ ，垂径定理给 $BE=12$ ，所以 $R^2-r^2=BE^2=144$ 。

阴影面积为两半圆面积之差：

S=\frac\pi2R^2-\frac\pi2r^2=\frac\pi2(R^2-r^2)=72\pi.

本题结论

$72\pi$ 。

5. 圆锥：用同一条弧连接展开图与底面

先给底面半径和母线分别命名，再写“展开弧长=底面周长”。求侧面积用母线和底面半径；求高才用勾股。剪下的扇形若以原圆上的点为圆心，其半径不必等于原圆半径，应先从原图求出。

例题 12 展开图是半圆知识清单例题

题目

某圆锥的底面积是 $15 \, cm^{2}$ ，其侧面展开图中扇形的圆心角是 $180^{\circ}$ ，则该圆锥的侧面积是 ____ $cm^{2}$ .

答案与解析

解析

设底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ 。底面积给 $\pi r^2=15$ ；展开图为半圆，弧长为 $\pi l$ ，故 $\pi l=2\pi r$ ，得到 $l=2r$ 。

侧面积为 $\pi rl=2\pi r^2=30$ cm²。无需先求出含根式的 $r$ 。

本题结论

30 cm²。

例题 13 从圆形铁皮剪出扇形知识清单例题

题目

如图,从一块半径为 $1 \, m$ 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形 ABC, 如果将剪下来的扇形围成一个无底的圆锥, 求该圆锥的底面圆的半径.

答案与解析

解析

连接 $OA,OB,OC$ 。扇形以 $A$ 为圆心，故 $AB=AC$ ；原圆半径给 $OB=OC$ ，且 $OA$ 公共，所以 $\triangle AOB\cong\triangle AOC$ （SSS）。因此 $OA$ 平分 $\angle BAC$ ， $\angle BAO=60^\circ$ 。

$OA=OB$ ，故 $\triangle AOB$ 为等边三角形， $AB=OA=1$ m。这个 $AB$ 才是剪下扇形的半径，也是圆锥母线。

展开弧长为 $\frac{120\pi\times1}{180}=\frac{2\pi}{3}$ m。设圆锥底面半径为 $r$ m， $2\pi r=\frac{2\pi}{3}$ ，故 $r=\frac13$ 。

本题结论

圆锥底面半径为 $\frac13$ m。

例题 14 先求底面半径，再求高和体积知识清单例题·体积延伸

题目

（2024 广东广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 $72^{\circ}$ 的扇形，若扇形的半径 l 是 5，则该圆锥的体积是（）

A. $\frac{3\sqrt{11}}{8}\pi$

B. $\frac{\sqrt{11}}{8}\pi$

C. $2 \sqrt{6} \pi$

D. $\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi$

答案与解析

解析

扇形半径5就是母线长。展开弧长 $L=\frac{72\pi\times5}{180}=2\pi$ ，因此圆锥底面周长为 $2\pi$ ，底面半径为1。

轴截面的一半是直角三角形， $h=\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt6$ 。体积为

V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\times1^2\times2\sqrt6=\frac{2\sqrt6\pi}{3}.

C少了圆锥体积中的 $1/3$ ，A、B也不符已求出的半径和高。

本题结论

选 D， $\frac{2\sqrt6\pi}{3}$ 。

6. 侧面最短路：展开后检查线段确实可走

沿一条母线剪开圆锥侧面，原来同一个底面点变成扇形弧两端的两个复制点。绕一周返回原点，展开后要连接这两个不同复制点，而不是把起终点仍画成同一个点。直线段只有落在相应展开区域内、未越出实际表面，才是合法最短路。

例题 15 沿圆锥侧面绕一周知识清单例题

题目

如图,圆锥底面圆的半径为 $1 \mathrm{~cm}$ , 母线长为 $3 \mathrm{~cm}$ , 有一只蚂蚁位于底面圆周上的点 $A$ 处, 它从点 $A$ 出发沿圆锥侧面爬行一周后又回到原出发点. 请你给它指出一条最短的爬行路径, 并求出最短路程.

答案与解析

解析

沿母线 $OA$ 展开，原点 $A$ 的两个复制点为 $A,A'$ 。扇形半径为3 cm，弧长等于底面周长 $2\pi$ cm，故

\frac{\theta\pi\times3}{180}=2\pi,\qquad \theta=120.

连接 $AA'$ 。该扇形角为120°，线段 $AA'$ 完全在展开扇形内，且不经过顶点，折回后是沿侧面绕一周的合法路径。平面内两点间线段最短，因此它给出最短路。

作 $OC\perp AA'$ ，则 $C$ 为中点， $\angle AOC=60^\circ$ ， $OC=OA/2=3/2$ 。由勾股定理，

AA'=2\sqrt{3^2-(3/2)^2}=3\sqrt3\text{ cm}.

本题结论

沿展开图中的线段 $AA'$ 爬行，最短路程为 $3\sqrt3$ cm。

三、坑点边界与辨析

1. 弓形要整体相减，别漏掉括号

弓形面积通常是“扇形减三角形”。若题目还要从更大区域里减去这个弓形，三角形项最后应加回来。先把每一块名称写全，再展开括号，能同时检查图形是否重扣、漏扣。

辨析 01 两个圆弧交出的阴影知识清单例题

题目

(2024 四川资阳) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 4$ , $AD = 2$ . 以点 $A$ 为圆心, $AD$ 长为半径作弧交 $AB$ 于点 $E$ , 再以 $AB$ 为直径作半圆, 与 $\widehat{DE}$ 交于点 $F$ , 则图中阴影部分的面积为 ____.

答案与解析

解析

连接 $AF,EF$ 。 $AB=4$ ，所以半圆的圆心为 $E$ 、半径为2。 $AF=AE=EF=2$ ， $\triangle AEF$ 为等边三角形，两个相关扇形的圆心角都是60°。

阴影面积等于半圆面积，减去以 $A$ 为圆心的扇形 $AEF$ ，再减去以 $E$ 为圆心的弓形 $AF$ ：

\begin{aligned}S&=2\pi-\frac{60\pi\times2^2}{360}-\left(\frac{60\pi\times2^2}{360}-\sqrt3\right)\\&=\frac{2\pi}{3}+\sqrt3.\end{aligned}

三角形边长2、高 $\sqrt3$ ，面积为 $\sqrt3$ 。最后一项前有两次相减，所以应为加号；若写成 $2\pi/3-\sqrt3$ ，就是去括号时变号错误。

本题结论

$\frac{2\pi}{3}+\sqrt3$ 。

2. 算出正数，还要检查扇形能否画出

普通扇形的弧至多是一周，所以 $0<L\le2\pi R$ ，圆心角不能超过360°。由面积关系形式求得半径后，还应检查弧长与圆周长是否相容；代数等式成立，不代表原图形一定存在。

辨析 02 弧长与面积是否相容知识清单原题改编·条件辨析

题目

给定某扇形的弧长为 $10\pi$ cm，面积为 $20\pi$ cm²。

（1）若只用 $S=LR/2$ ，形式上算出的半径是多少？

（2）这些数据能否对应一个普通扇形？说明理由。

答案与解析

解析

（1）形式上 $R=2S/L=2\times20\pi/(10\pi)=4$ cm。

（2）半径4 cm的整圆周长只有 $2\pi R=8\pi$ cm，小于给出的弧长 $10\pi$ cm。若继续代入弧长式，得到 $\theta=180L/(\pi R)=450$ ，超过一周。因此原数据不可能属于普通扇形；4 cm只是形式代数值，不是可实现图形的半径。

本题结论

（1）形式值4 cm；（2）不存在满足这组数据的普通扇形。

3. 三个长度与三种公式不可串用

容易混淆的量	正确对应	出错后会怎样
展开扇形的半径	圆锥母线 $l$	用底面半径 $r$ 代入，会把展开弧长算错
圆锥的高	$h=\sqrt{l^2-r^2}$	直接把母线当高，会把体积放大
圆锥侧面积	$\pi rl$	误写成 $\pi r^2$ 就只算了底面
圆锥表面积	侧面积加一个底面	加两个底面是误套圆柱
弧长与面积	一个是长度，一个是面积	单位可帮助发现漏平方或多平方

每次换到展开图，保留“弧长等于底面周长”的对应关系；每次换到轴截面，重新确认斜边是母线。不要让同一个字母在中途改指另一条长度。