直线、射线与线段

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同一条线上写着几个点，可以表示哪些线段、射线？计算一段长度之前，又该先确认什么？本页围绕端点、方向和点的顺序，建立几何语言与长度关系的对应。

一、知识点概念与依据

1. 三个对象的区别

对象	端点	延伸情况	能否度量总长	命名
直线	没有	两个方向无限延伸	不能	直线 $AB$ 、 $BA$ 或 $l$
射线	一个	从端点向一个方向无限延伸	不能	射线 $OA$ ，端点必须写在前
线段	两个	两端之间的有限部分	能	线段 $AB$ 与 $BA$ 是同一条

直线、射线在纸上只画出有限的一段，但不能按笔画长短比较它们谁“更长”。线段是图形，线段的长度是数量；计算中常把线段 $AB$ 的长度也简写为 $AB$ ，应按语境区分。

同名与同一对象：射线 $OA$ 与 $AO$ 端点不同，不是同一射线；若 $A$ 、 $B$ 在从 $O$ 出发的同一方向上，射线 $OA$ 与 $OB$ 才是同一条。直线与线段的两个命名字母可以交换，射线不能这样交换。

2. 两点确定直线，两点间的线段最短

两点确定一条直线：经过两个不同点，有且只有一条直线。“有”说明能作出，“只有一条”说明位置唯一。
两点之间，线段最短：连接两个点的各种路线中，直接线段最短。两点间的距离是连接它们的线段的长度。

前一句解释位置为何确定，后一句比较路径的长度，不能互相替代。两条不同直线至多有一个公共点；若有两个不同公共点，它们就由同两点确定，应是同一条直线。

三个不同点若共线，两两连接所确定的是同一条直线，只计 1 条；若不共线，每一对点确定的直线都不同，共有 3 条。计数的是不同的直线，不是它们的不同名称，不能将 $AB$ 与 $BA$ 重复计数。

平面上的点可在线上，也可在线外。图中画得很近，不能代替“点在直线上”的条件。

3. 长度比较与线段和差

比较线段，可以用同一刻度尺沿线段方向度量；也可把一端重合、两段置于同一方向，看另一端谁更远。平移、转动不改变长度，斜线段的水平投影却不等于它本身的长度。

当 $A,B,C$ 共线且依次排列时， $B$ 在 $AC$ 内部，因此

AB+BC=AC,\qquad AB=AC-BC,\qquad BC=AC-AB.

先确认顺序，再写加减。若 $B$ 不在线段 $AC$ 上，就不能直接套 $AB+BC=AC$ 。

“延长 $AB$ 至 $C$ ”表示沿 $A\to B$ 方向越过 $B$ ；“反向延长 $AB$ ”表示从 $A$ 向背离 $B$ 的方向延伸。直线本来就两向无限，射线正向也已无限，不能再说向这些原方向“延长”。

4. 中点与等分点

在线段 $AB$ 上，把它分成两段相等线段的点 $M$ ，叫它的中点。在线段上、两段相等两个条件缺一不可。

AB=AM+MB=2AM=2MB\quad\Rightarrow\quad AM=MB=\frac12AB.

三等分有两个内部等分点，四等分有三个；一般 $n$ 等分有 $n-1$ 个内部点。靠近 $A$ 的三等分点 $C$ 满足 $AC=AB/3$ ，而 $CB=2AB/3=2AC$ 。

若已知 $P$ 在线段 $AB$ 上，则等长或半长关系可用于判断中点。若未给位置，只有 $AP=PB$ 或只有 $AP=AB/2$ 都不够。非退化线段默认两端不同、长度为正。

5. 用圆规截取线段的和与差

尺规作图用无刻度直尺画直线，用圆规保持和搬移长度，不靠读刻度得到所求段。

作和 $a+b$

画直线 $AF$ ，从 $A$ 沿一个方向截取 $AB=a$ 。
在 $AB$ 的延长线上，从 $B$ 截取 $BC=b$ 。
$A,B,C$ 依次排列，故 $AC=AB+BC=a+b$ 。

作差 $a-b$ ，得到正线段需 $a>b>0$ ：

先截取 $AB=a$ 。
从 $B$ 向 $A$ 所在一侧，在 $AB$ 上截取 $BD=b$ 。
顺序是 $A,D,B$ ，所以 $AD=AB-BD=a-b$ 。

若 $a=b$ ，差为零，点 $D$ 与 $A$ 重合；若 $a<b$ ，就不能在 $AB$ 内截出长为 $b$ 的段。向 $B$ 外侧截取后得到的是和，不是差。

二、考点方法与例题

1. 按端点、方向去重计数

线段按两个端点组成的无序点对计数， $AB$ 与 $BA$ 不重复。射线按“端点＋方向”计数，同端同向只算一条。先确定图中哪里真的无限延伸，不能自行把有限边延长后再计数。

若一条直线上有 $n$ 个指定点，以这些点为端点的射线，每点两向，共 $2n$ 条；由这些点两两确定的线段有 $n(n-1)/2$ 条，因为每段若从两端分别计数，会重复一次。

例题 01 两类计数的对象知识清单例题·合组改编，明确计数端点范围

题目

（1）直线上有 $n$ 个不同点， $n$ 为正整数。以这些已给点为端点、沿这条直线的射线有多少条？

（2）如图，直线 $l$ 上有 $A,B,C,D$ 四个点，以图中标出的点为端点，共有多少条线段？

答案与解析

解析

（1）每个给定点分别向两侧形成一条射线，不同端点的射线也不同，故为 $2n$ 。

（2）从左到右计： $A$ 可配 $B,C,D$ ，有3条； $B$ 再配 $C,D$ ，有2条； $C$ 再配 $D$ ，有1条。共 $3+2+1=6$ 条，也可用 $4\times3/2=6$ 。

本题结论

（1） $2n$ 条；（2）6条。

例题 02 按题图给定的范围计数知识清单例题

题目

下图中共有 ____ 条线段, ____ 条射线, ____ 条直线, 其中以 B 为端点的线段是 ____.

答案与解析

解析

线段为 $AB$ 、 $AC$ 、 $AD$ 、 $BC$ 、 $BD$ 、 $CD$ ，共6条，长段 $AD$ 不能因包含小段就漏掉。

沿 $A,C,D$ 的方向向外延伸，以 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 为端点分别有一条射线。同一端点向 $C$ 、 $D$ 的同向命名不能重复算。 $B$ 处没有画出无限延伸，图中也没有两向无限的直线。

以 $B$ 为端点的线段是 $AB$ 、 $BC$ 、 $BD$ 。

本题结论

6条线段，3条射线，0条直线；以 $B$ 为端点的线段是 $AB$ 、 $BC$ 、 $BD$ 。

2. 由中点和包含关系求长度

把中点先翻译成半长，再按图中的实际顺序写“整段＝部分＋部分”。这一步确定该加还是该减，不应只看题中出现两个数就选择减法。

例题 03 中点与内部点知识清单例题

题目

如图,已知 AB=8 cm,BD=3 cm,C 为 AB 的中点,则线段 CD 的长为 ____ cm.

答案与解析

解析

$C$ 为 $AB$ 中点，所以 $BC=AB/2=4\ \mathrm{cm}$ 。图中 $D$ 在 $CB$ 内， $BC=CD+DB$ ，故 $CD=4-3=1\ \mathrm{cm}$ 。

本题结论

1 cm。

3. 先画清延长与反向延长

先按命名字母确定越过哪一端，排列全部点，再把半长、等长翻译成数量关系。作图、判中点、求比值和求长度是不同任务，要逐问作答。

例题 04 四个点的排列与长度知识清单例题

题目

已知线段 AB=2 cm, 延长线段 AB 至点 C, 使得 $BC=\frac{1}{2}AB$ , 再反向延长 AC 至点 D, 使得 AD=AC.

(1) 准确地画出图形, 并标出相应的字母.
(2)哪个点是线段 $DC$ 的中点？线段 $AB$ 的长是线段 $DC$ 长的几分之几？
(3) 求线段 BD 的长度.

答案与解析

解析

（1）沿 $A\to B$ 延长得到 $C$ ， $BC=1\ \mathrm{cm}$ ，所以 $AC=3\ \mathrm{cm}$ 。反向延长 $AC$ 越过 $A$ 得 $D$ ， $AD=AC=3\ \mathrm{cm}$ ，顺序为 $D,A,B,C$ 。

（2） $A$ 在 $DC$ 内，且 $AD=AC$ ，所以 $A$ 为 $DC$ 中点。 $DC=6\ \mathrm{cm}$ ，故 $AB/DC=2/6=1/3$ 。

（3） $D,B$ 分处 $A$ 两侧， $BD=DA+AB=3+2=5\ \mathrm{cm}$ 。

本题结论

（1）图见解析，顺序 $D,A,B,C$ ；（2） $A$ 是中点， $AB=DC/3$ ；（3） $BD=5\ \mathrm{cm}$ 。

4. 等分与比例统一成一份量

有比例时设每份为同一个正数；有等分时先辨较短段占整段几份。再用已给的和、差建立方程，求得一份后还要换算成题目真正要求的长度。

例题 05 三等分点与比例知识清单例题

题目

如图, 点 C 是线段 AB 上靠近 A 的三等分点, 点 D 在线段 CB 上, CD:DB=17:2, 且 CD-AC=3 cm, 求线段 AB 的长.

答案与解析

解析

设 $CD=17x\ \mathrm{cm}$ 、 $DB=2x\ \mathrm{cm}$ ， $x>0$ 。因为 $D$ 在 $CB$ 内， $CB=19x\ \mathrm{cm}$ 。

$C$ 是靠近 $A$ 的三等分点，所以 $CB=2AC$ ， $AC=19x/2\ \mathrm{cm}$ 。由差为3，

17x-\frac{19x}{2}=3\Rightarrow15x=6\Rightarrow x=0.4.

因此 $AC=3.8\ \mathrm{cm}$ ， $AB=3AC=11.4\ \mathrm{cm}$ 。回代 $CD=6.8$ 、 $DB=0.8$ ，差和比都符合原条件。

本题结论

$AB=11.4\ \mathrm{cm}$ 。

5. 区分定位与最短路径的依据

看情境要解决的是“线的位置唯一”还是“路径长度最短”。不要只因题中出现绳子或两点，就把两条基本事实混用。

例题 06 砌墙的参照线 2022 湖北十堰·略去非必要情境图

题目

（2022 湖北十堰）工人砌墙时,先在两个墙脚的位置分别插一根木桩,再拉一条直的参照线,就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是()

A.两点之间,线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

答案与解析

解析

两个不同墙脚的位置固定了一条且仅一条直线，砖沿这条参照线排列，所以用“两点确定一条直线”。其余选项涉及路径长度或垂距、三角形边长，不是本题解释排直的依据。

本题结论

选 B。

三、坑点条件与辨析

1. 无限延伸的对象不能按笔画比长

逐句核对对象、端点与延伸方向。对已确定的点序，还可用长度和差检查所要求的等式是否可能成立。

辨析 01 逐句核对几何语言知识清单例题

题目

下列语句中,表述正确的是 ____.(填序号)

①延长线段 AB；②延长射线 OA；③延长直线 l；④延长线段 AB 至 C，使 AC=BC；⑤线段是直线的一部分；⑥线段是射线的一部分；⑦直线比射线长.

答案与解析

解析

①线段有限，可以延长，正确。②射线正向已无限，不能再向原方向延长；③直线两向都无限，也不能再延长。

④延长 $AB$ 至 $C$ 时， $AC=AB+BC>BC$ ，不能使 $AC=BC$ 。⑤线段可以是直线的一部分；⑥也可以是相应射线的一部分，均正确。⑦直线、射线没有可比较的有限总长，不能说直线更长。

本题结论

①⑤⑥正确。

2. 中点条件不能只剩一条等式

判断中点要同时保证位置和等长。若只给距离，可试着把点移到线段外或直线外，检查是否仍满足等式；能找到这种点，就不能断言中点。

辨析 02 哪些条件足以判断中点知识清单例题

题目

下列说法中, 正确的是 (填序号)

①若 $AP=\frac{1}{2}AB$ ，则点 P 为线段 AB 的中点；②若 AP=PB，则点 P 为线段 AB 的中点；③若 AB=2PB，则点 P 为线段 AB 的中点；④若 $AP=PB=\frac{1}{2}AB$ ，则点 P 为线段 AB 的中点.

答案与解析

解析

①只给到 $A$ 的半长距离， $P$ 可偏离 $AB$ ；②等距点也可能不在线段上；③只给到 $B$ 的半长距离，同样未限定位置，因此三项都不充分。

④同时有 $AP=PB=AB/2$ ，于是 $AP+PB=AB$ 。若 $P$ 离开线段，绕行的折路会长于直接线段；等号迫使 $P$ 在线段 $AB$ 上，再结合等长可判中点。

本题结论

只有④正确。

3. 省略点序会改变线段和差

长度字母可以简写，但位置条件不能省。把原图的顺次截取条件单独写出来，就能看清等式究竟适用于什么范围。

辨析 03 线段和的前提知识清单辨析·改编，展开原作图上下文条件

题目

在顺次截取线段的图中， $A,B,C$ 共线且依次排列。判断：

（1） $AB+BC=AC$ 。

（2）若线段 $AB$ 比线段 $CD$ 长，可以写成 $AB>CD$ 。

答案与解析

解析

（1） $B$ 在线段 $AC$ 上，整段由两部分组成，所以成立。若删掉共线且依次排列，等式不再是一般结论。

（2）这里字母表示长度，比较长短可以用 $AB>CD$ 表示；不能把图形本身理解为一个数。

本题结论

两句都正确；第一句依赖题给的位置条件。

4. 位置未定时不能只画一种情况

在一条直线上，距固定点一定长度的点通常有左右两种可能。先列两侧，再由已给大段长度排除不可能情况，不能用自己随手画的一张图补充原题条件。

辨析 04 两中点之间的距离知识清单例题

题目

已知线段 $AB = 10 \mathrm{~cm}$ , 直线 $AB$ 上有一点 $C, BC = 6 \mathrm{~cm}, M$ 为线段 $AB$ 的中点, $N$ 为线段 $BC$ 的中点, 求线段 $MN$ 的长.

答案与解析

解析

$MB=AB/2=5\ \mathrm{cm}$ ， $NB=BC/2=3\ \mathrm{cm}$ 。

当 $C$ 在线段 $AB$ 内时， $M,N$ 在 $B$ 同侧， $MN=5-3=2\ \mathrm{cm}$ 。当 $C$ 在 $AB$ 的延长线上时， $M,N$ 在 $B$ 两侧， $MN=5+3=8\ \mathrm{cm}$ 。 $C$ 若越过 $A$ ，则应有 $BC>AB$ ，与 $6<10$ 不符。