相似把“形状相同”变成可计算的对应关系。比例线段是工具，相似判定负责说明为什么能列比例，性质再把长度、面积和实际测量连接起来。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 线段之比与比例线段

两条线段先使用同一长度单位，再比较数值。$a:b=k$ 表示 $a$ 是 $b$ 的 $k$ 倍。长度为正，所以几何长度比 $k>0$；比值本身不带长度单位。

名称	数学表达	条件与含义
四条线段依次成比例	$a:b=c:d$，即 $a/b=c/d$	次序固定，$a,d$ 为外项，$b,c$ 为内项
比例基本性质	$a/b=c/d\iff ad=bc$	代数式要求分母 $b,d\ne0$
比例中项	$a:b=b:c$，即 $b^2=ac$	正线段取 $b=\sqrt{ac}$，不取负根
比例尺	图上距离∶实际距离	统一单位，并保留前后顺序

怎样变形才可靠？ 先交叉相乘，再按新分母非零的条件变回比例。例如 $a/b=c/d$ 可改为 $a/c=b/d$，但要另有 $c\ne0$；也可取倒数，但原分子不能为0。

设 $a=kb,c=kd$，就有

$$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}=k\pm1.$$

若 $a/b=c/d=\cdots=m/n=k$，则

$$\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=k,$$

前提是各原分母非零，且分母的总和也非零。代数题的公倍数 $k$ 可以为负，不能把正线段条件套给任意代数式。

2. 黄金分割：长段、短段、全长的关系

把长为 $L$ 的线段分为长段 $x$ 与短段 $L-x$。若

$$\frac{L-x}{x}=\frac{x}{L},$$

就称为黄金分割。令长段占全长的比例为 $g=x/L$，则 $1-g=g^2$，解得

$$g=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618.$$

另一根为负，不符合长度比。长段为 $gL$，短段为 $(1-g)L$；一条线段有两个黄金分割点。只说“$C$ 是 $AB$ 的黄金分割点”，并未说明 $AC$ 是长段还是短段。

3. 平行线截段成比例

两条直线被一组平行线所截，同一对平行线之间的对应线段成比例。先标“上段、下段、全段”，再保持两侧配对一致：上∶下对应上∶下，上∶全对应上∶全。

在 $\triangle ABC$ 中，若 $D,E$ 分别位于线段 $AB,AC$ 内部且 $DE\parallel BC$，则

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC},\qquad \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}.$$

A型：D在AB上、E在AC上，DE平行BC

从面积说明截段比。 连接 $BE,CD$。$\triangle BDE$ 与 $\triangle CDE$ 同底 $DE$，顶点 $B,C$ 在与 $DE$ 平行的直线上，所以面积相等。又同高三角形的面积比等于底边比，故

$$\frac{AD}{DB}=\frac{S_{ADE}}{S_{BDE}}=\frac{S_{ADE}}{S_{CDE}}=\frac{AE}{EC}.$$

加上各自的分母，便得 $AD/AB=AE/AC$。再过 $E$ 作 $EF\parallel AB$ 交 $BC$ 于 $F$，对 $\triangle CAB$ 同样比较面积得 $CE/CA=CF/CB$；由平行四边形 $DBFE$ 有 $DE=BF$，于是 $DE/BC=1-CF/CB=AE/AC$。

一般三平行线的情形，可将一条截线平移到与另一条截线在某条平行线上相交，再归入三角形；平行四边形保证相应截长不变。延长线上的情形也保留对应比例，但整段与部分段应按实际点序作和或差，不能照搬内分图的加法。

4. 相似图形与相似多边形

相似图形形状相同，允许位置和大小不同；相似比为1时，也可以大小相同。任意两个圆相似，半径比就是长度缩放比。

两个多边形相似，要求边数相同，并在同一套顶点对应下，对应角分别相等、对应边成比例。只看边或只看角都不充分。同边数的正多边形满足这两个条件，因此相似。

写 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ 时，已规定 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow F$，于是

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}.$$

只说“以 $A,B,C$ 为顶点的三角形与以 $D,E,F$ 为顶点的三角形相似”，还未给出字母对应顺序。相似比也有方向：前图∶后图与后图∶前图互为倒数。

5. 相似三角形的判定

已知条件	可用判定	必须核实
两组角分别相等	AA	两角属于不同顶点，并按对应顺序写相似式
两边对应成比例，夹角相等	SAS	相等角必须夹在这两条比例边之间
三边对应成比例	SSS	三个比采用同一方向
两个直角三角形的斜边与一直角边对应成比例	直角三角形的专门判定	斜边对应斜边，不能移用于一般 SSA

为什么两角足够？ 在较大的三角形上截取与较小三角形某边等长的线段，再作一边的平行线。小截三角与原小三角由 ASA 全等；上一节的平行截段比例便给出所有对应边的比例。第三个角由内角和自动相等。

SAS 与 SSS 的依据。 同样先用平行线截出所需大小的三角形，由截段比例使其对应边达到统一缩放；再用全等的 SAS 或 SSS，与另一三角形比较。因此对应角相等，得到相似。

直角情形为什么能用“斜边与一条直角边”？ 若这两类边分别为 $a,b$ 与 $ka,kb$，另一条直角边由勾股定理分别为 $\sqrt{a^2-b^2}$ 与 $k\sqrt{a^2-b^2}$，三边同比，故可用 SSS。没有直角，不能这样补出第三边。

6. 相似的性质：长度一次，面积平方

设前图与后图的长度比为 $k>0$。

对象	前图∶后图
对应边、对应对角线	$k$
对应高、中线、角平分线	$k$
周长	$k$
面积	$k^2$
对应角的大小	相等，不乘 $k$

对应高所在的小直角三角形由 AA 相似，故高比为 $k$；中线由对应边各取一半，再用 SAS 判定小三角相似；角平分线由半角相等和另一对应角相等，用 AA 得到相同比例。

周长是各对应边的和，每项都乘 $k$，总和仍乘 $k$。三角形面积为底乘高的一半，两个长度因子都乘 $k$，所以面积乘 $k^2$；多边形可分割为对应的三角形，面积比仍为 $k^2$。由面积比反求长度比，应取正平方根。

7. 常见结构：图形提示不等于定理条件

A 型与 X 型： 先找到平行线，再由共有角或对顶角配合平行角，得到 AA 相似。图形可以旋转、翻折，真正有效的是角关系，不是字母外形。

X型：两条直线交于A，DE平行BC

没有平行线的变形： 也可以直接用图中标出的等角与共有角、对顶角寻找 AA，不要为了套模型而捏造平行条件。

图③：三角形内标出一对等角，另有共有角A

图④：三角形内标出一对等角，另有共有角A

图⑤：交叉三角形中标出等角，并在A处有对顶角

直角三角形斜边上的高： 若 $\angle ACB=90^\circ$、$CD\perp AB$，则

$$\triangle ACD\sim\triangle ABC\sim\triangle CBD.$$

直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高

第一对有共有角 $A$ 和直角 $D,C$；第二对有共有角 $B$ 和直角 $C,D$。由对应比例得到

$$AC^2=AB\cdot AD,\quad BC^2=AB\cdot BD,\quad CD^2=AD\cdot BD.$$

例如 $AC/AB=AD/AC$ 给出第一式；$BC/AB=BD/BC$ 给出第二式；$AD/CD=CD/BD$ 给出第三式。一般三角形作一条高，并不能得到三个相似三角形。

一线三等角，不限于三个直角。 如下图，$B,C,E$ 依次共线，且 $\angle ABC=\angle ACD=\angle CED=\alpha$。按图射线 $CA,CD$ 在直线同侧且依次排列，有

$$\angle ACB+\alpha+\angle DCE=180^\circ.$$

而 $\triangle ABC$ 内角和给 $\angle A+\alpha+\angle ACB=180^\circ$，同减得到 $\angle A=\angle DCE$。再配 $\angle B=\angle E$，故 $\triangle ABC\sim\triangle CED$。三直角折叠图只是这一结构的特例，不应把等角都强行认作90°。

B、C、E依次共线，图中B、ACD、E三角标相等

8. 测高与测距的实际条件

情境	相等角从哪里来	使用前检查
太阳光下的高度与影长	同一时刻附近太阳光近似平行	两物体竖直、地面同一水平面，影长从各自底端量起
平面镜测高	反射角等于入射角，等角的余角相等	镜面水平，使用眼睛高度，地面高差另计
标杆与视线	眼睛、标杆顶、目标顶共线	先以眼睛高度作水平基线，再恢复总高
跨河距离	人工设置平行或垂直，配合共线或对顶角	斜线段长度未必就是河宽，河宽要垂直于两岸

相似比例表达的是模型关系。观察位置、时刻或基线改变，原比例可能不再适用。

二、考点 先方法，后例题

1. 比例计算：统一单位，必要时设公倍数

先写出四个量的顺序，再把单位统一。若已知代数比，可把两个量表示为固定整数乘同一个 $k$，约分前检查 $k$ 与新分母是否非零。

例题 01 按次序求第四条线段 知识清单例题

题目

已知线段 a、b、c、d 成比例，且 $a=6\ cm, b=3\ dm, d=\frac{3}{2}\ dm$ ，则线段 c 的长度为 ____.

答案与解析

解析

$b=30$ cm，$d=15$ cm。依题给顺序 $a:b=c:d$，所以 $6/30=c/15$，解得 $c=3$ cm。回验 $6:30=3:15=1:5$。

本题结论

$c=3\text{ cm}$。

例题 02 用同一个公倍数化简 知识清单例题

题目

已知 $2a=3b(a\neq0,b\neq0)$ ，求下列各式的值：(1) $\frac{a+b}{b}$ .(2) $\frac{2a+b}{a-2b}$ .

答案与解析

解析

由 $2a=3b$，设 $a=3k,b=2k$，其中 $k\ne0$。

（1）$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3k+2k}{2k}=\dfrac52$。

（2）$\dfrac{2a+b}{a-2b}=\dfrac{6k+2k}{3k-4k}=-8$。

两个分母分别为 $2k$、$-k$，均非零；第二问的负号不能丢掉。

本题结论

（1）$\frac52$；（2）$-8$。

2. 黄金分割：先确定哪段较长

若题目已给某段与全长之比为黄金分割数，就已指定长段；若只给黄金分割点，则要分别考虑所求段为长段、短段。含图形背景时，先由几何条件求全长，不靠视觉比例。

例题 03 习字格中的分割线 知识清单例题·2024山西·背景文字整理

题目

(2024 山西) 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点 $A, B$ 分别在习字格的边 $MN, PQ$ 上, 且 $AB \parallel NP$ , “晋”字的笔画“丶”的位置在 $AB$ 的黄金分割点 $C$ 处, 且 $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ . 若 $NP = 2 \mathrm{~cm}$ , 则 $BC$ 的长为 ____ cm (结果保留根号).

正方形习字格MNPQ中，AB平行NP，C标在AB上

答案与解析

解析

正方形给 $MN\parallel PQ$，又 $AB\parallel NP$，所以 $ANPB$ 为矩形，$AB=NP=2$ cm。

题目已明确 $BC/AB=(\sqrt5-1)/2$，故 $BC=\sqrt5-1$ cm，不必再列短段一支。结论依赖题给比例，不把字体背景当作所有汉字都满足黄金分割的断言。

本题结论

$BC=(\sqrt5-1)\text{ cm}$。

3. 平行截段：先找对应层，再列和差

圈出同一对平行线之间的两段；全段与部分段不能错配。两组平行线同时出现时，寻找共同的中间比，把两个比例串起来。

例题 04 两种截段结构 知识清单例题

题目

(1)如图 1,AB 与 CD 相交于点 E,AD∥BC, $\frac{BE}{AE}=\frac{3}{5}$ ,CD=16,则 DE 的长为 ____.

(2)如图 2, $DE \parallel AB, EF \parallel BC, AF = 15, FB = 9, CD = 6$ , 则 BD 的长为 ____.

图1：AB与CD交于E，AD平行BC

图2：DE平行AB、EF平行BC，F在AB上，D在BC上

答案与解析

解析

（1）$AD\parallel BC$，得 $CE:DE=BE:AE=3:5$。按图 $C,E,D$ 依次，$CD=CE+DE=16$，所以 $DE=16\times5/(3+5)=10$。

（2）$EF\parallel BC$，得 $AE/EC=AF/FB=15/9=5/3$；再由 $DE\parallel AB$ 得 $BD/CD=AE/EC=5/3$。因此 $BD=6\times5/3=10$。

第一问用的是和为8份；第二问把同一个 $AE/EC$ 作为传递比例的桥梁。

本题结论

（1）DE=10；（2）BD=10。

例题 05 三条平行线之间的分段 知识清单例题·2024黑龙江哈尔滨

题目

(2024 黑龙江哈尔滨) 如图, 在四边形 ABCD 中, $AD \parallel BC$ , 点 E 在 AB 上, $EF \parallel AD$ 交 CD 于点 F, 若 AE:BE=1:2, DF=3, 则 FC 的长为 ( )

A.6

B.3

C.5

D.9

AD与BC平行，AB上的E作平行线EF交CD于F

答案与解析

解析

$AD\parallel EF\parallel BC$，所以 $AE/EB=DF/FC$。代入 $1/2=3/FC$，得 $FC=6$。

B 项3把 $DF$ 当作 $FC$；D 项9是整段 $CD$，不是所问余段；C 项5不满足原比例。

本题结论

选 A，FC=6。

4. 没有直接比例时，作平行线搭桥

若已知比在一条边上，中点在另一条线段上，可过一个已知点作平行线，让两条件都转移到同一条直线。新交点应命名，并按图核实各段的先后顺序。

例题 06 让中点条件与底边比相遇 知识清单例题

题目

如图, $\triangle ABC$ 中,D 在 BC 边上,F 是 AD 的中点,连接 CF 并延长,交 AB 于点 E,已知 $\frac{CD}{BD}=\frac{3}{2}$ ,则 $\frac{AE}{BE}$ 等于 ____.

三角形ABC中D在BC上，F为AD中点，CF延长交AB于E

答案与解析

解析

过 $D$ 作 $DG\parallel CE$，交 $AB$ 于 $G$。在 $\triangle BCE$ 中，$BD/DC=2/3$，故 $BG/GE=2/3$。设 $BG=2x,GE=3x$，$x>0$。

又 $EF\parallel DG$，$F$ 是 $AD$ 中点，由截段比例得 $AE/EG=AF/FD=1$，所以 $AE=EG=3x$。

沿 $AB$ 的点序为 $A,E,G,B$，因此 $BE=EG+GB=5x$，所求为 $AE/BE=3/5$。

本题结论

$\frac{AE}{BE}=\frac35$。

5. 判断相似：角与边必须属于同一套对应

多边形先核角、再核边；三角形可优先找 AA。若只有边长，先计算缺边，再选 SAS 或 SSS。题目写定相似字母顺序时，要按这个顺序补条件，不默认靠近同一顶点的边就互相对应。

例题 07 三个矩形的形状 知识清单例题

题目

如图所示的三个矩形中,相似的是____与____.

甲乙丙三个矩形，分别标出两邻边长4与3、2与1、4与2

答案与解析

解析

三矩形四角都为直角，但还需边同比。长边与短边之比分别为：甲 $4/3$，乙 $2/1=2$，丙 $4/2=2$。只有乙、丙的对应角和边比同时满足要求。

本题结论

乙与丙相似。

例题 08 直角三角形补出第三边 知识清单例题

题目

如图, 在 Rt△ACB 和 Rt△ADC 中, ∠B = ∠ACD = 90°, AD = 8, AB = 2, BC = 2√3. 求证: Rt△ACB ∼ Rt△ADC.

直角三角形ACB与ADC，直角分别在B和C

答案与解析

解析

在 $\triangle ACB$ 中，$AC=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$；在 $\triangle ADC$ 中，$CD=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3$。

因此 $AC/AD=AB/AC=BC/CD=1/2$，由 SSS 得 $\triangle ACB\sim\triangle ADC$。也可直接用两个直角三角形斜边和一直角边同比的专门判定。

本题结论

$\triangle ACB\sim\triangle ADC$。

例题 09 给指定顺序补一个条件 知识清单例题·2024山东滨州

题目

(2024 山东滨州) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, 点 $D, E$ 分别在边 $AB, AC$ 上. 添加一个条件使 $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ , 则这个条件可以是 ____. (写出一种情况即可)

三角形ABC中D在AB上、E在AC上，连接DE

答案与解析

解析

已有 $\angle DAE=\angle CAB$，而题目要求 $D\leftrightarrow C$、$E\leftrightarrow B$。

添加 $\angle ADE=\angle C$，由 AA 即可。也可添加 $\angle AED=\angle B$，或 $AD/AC=AE/AB$ 用 SAS。

单写 $DE\parallel BC$ 通常得到 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，并非题目指定的交换顺序。

本题结论

例如 $\angle ADE=\angle C$；答案不唯一。

例题 10 正方形里的两个直角三角形 知识清单例题·2024广东广州

题目

(2024 广东广州) 如图, 点 E, F 分别在正方形 ABCD 的边 BC, CD 上, BE = 3, EC = 6, CF = 2. 求证: $\triangle ABE \sim \triangle ECF$ .

正方形ABCD中E在BC上、F在CD上，连接AE与EF

答案与解析

解析

$BC=BE+EC=3+6=9$，正方形给 $AB=BC=9$、$\angle B=\angle C=90^\circ$。

$AB/EC=9/6=3/2$，$BE/CF=3/2$，比例边正好夹着相等直角，故由 SAS 得 $\triangle ABE\sim\triangle ECF$。

本题结论

$\triangle ABE\sim\triangle ECF$。

6. 模型中的角关系：每一组都要有依据

中线先转中点和中位线，平行再转等角；折叠先转保角，直线再转平角。寻找相似时每次写出两组角分别来自哪里，不因共用某个交点就认定相似。

例题 11 两条中线与新增等角 知识清单例题

题目

(A型、X型)如图,在 $\triangle ABC$ 中,两条中线BE,CD相交于点O.

(1) 写出图中两对相似的三角形.
(2) 若 $\angle BOD = \angle A$ ，写出与(1)中不同的两对相似三角形.

三角形ABC的中线BE与CD交于O，连接中点D与E

答案与解析

解析

（1）$D,E$ 分别为 $AB,AC$ 中点，故 $DE\parallel BC$。共有角 $A$ 配合平行角，得 $\triangle ABC\sim\triangle ADE$；$O$ 处对顶角配合平行角，得 $\triangle BOC\sim\triangle EOD$。

（2）新增 $\angle BOD=\angle A$，且 $\angle OBD=\angle ABE$，故 $\triangle OBD\sim\triangle ABE$。又 $\angle COE=\angle BOD=\angle A$、$\angle OCE=\angle ACD$，故 $\triangle OCE\sim\triangle ACD$。

本题结论

（1）$\triangle ABC\sim\triangle ADE$、$\triangle BOC\sim\triangle EOD$；（2）$\triangle OBD\sim\triangle ABE$、$\triangle OCE\sim\triangle ACD$。

例题 12 折叠后在同一直线上比较余角 知识清单例题·改编，明确图示内点

题目

(一线三等角型)在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD内部,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC内部,求证:△NDM∽△MCB.

矩形ABCD沿BN折叠，A的像M位于DC上

答案与解析

解析

矩形给 $\angle D=\angle C=90^\circ$，折叠给 $\angle NMB=\angle A=90^\circ$。

在 $\triangle NDM$ 中，$\angle NMD+\angle MND=90^\circ$；按图 $D,M,C$ 共线，$\angle NMD+\angle BMC=90^\circ$。所以 $\angle MND=\angle BMC$，再配 $D,C$ 的直角，由 AA 得结论。

折叠只在这里提供等角，不能据此把这两个三角形升级为全等。

本题结论

$\triangle NDM\sim\triangle MCB$。

7. 边积与平方：先改写成能对应的比例

要证两段乘积相等，可先把目标改写为比例，反找能承载这四段的两个三角形。若已知边积相等，则先除以正长度转为两边同比，再补夹角；比例不允许脱离实际对应关系任意拼接。

例题 13 从已知边积证明角相等 知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 中, 点 E 为 BC 边上一点, 且 $\angle 1 = \angle 2, AD \cdot AC = AB \cdot AE$ .

求证: $\angle2=\angle DEB.$

三角形ABC和ADE，E在BC上，A处标出角1和角2

答案与解析

解析

由 $\angle1=\angle2$，同加公共的 $\angle BAE$，得 $\angle DAE=\angle BAC$。由 $AD\cdot AC=AB\cdot AE$ 得 $AD/AB=AE/AC$，故 SAS 判定 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，于是 $\angle AED=\angle ACB$。

$\triangle AEC$ 的内角和给 $\angle2+\angle ACB+\angle AEC=180^\circ$；直线 $BEC$ 给 $\angle DEB+\angle AED+\angle AEC=180^\circ$。同减相等的两项，得到 $\angle2=\angle DEB$。

本题结论

$\angle2=\angle DEB$。

例题 14 从目标平方反找相似 知识清单例题

题目

如图,在等边三角形 ABC 的边 AC, BC 上各取一点 E, F, 连接 AF, BE, 相交于点 P, $\angle BPF = 60^{\circ}$ . 求证: $AE^{2} = BE \cdot PE$ .

等边三角形ABC中E在AC上、F在BC上，AF与BE交于P

答案与解析

解析

目标可写成 $PE/AE=AE/BE$，考虑 $\triangle AEP$ 与 $\triangle BEA$。

等边三角形给 $\angle BAP+\angle EAP=60^\circ$；$\angle BPF=60^\circ$ 是 $\triangle ABP$ 的外角，故 $\angle BAP+\angle ABE=60^\circ$。两式相减得 $\angle EAP=\angle ABE$。

又 $E,P,B$ 共线且同向对应 $\angle AEP=\angle AEB$，所以 AA 得 $\triangle AEP\sim\triangle BEA$，对应比例正是 $PE/AE=AE/BE$。交叉相乘即得所求。

本题结论

$AE^2=BE\cdot PE$。

8. 相似性质的长度与面积计算

由中点或延长段求出真正的对应边比，再决定是线性量还是面积。图中两次“取中点”要连续计算，不能只做一次。

例题 15 两个中点缩出的小三角形 知识清单例题·2024河南

题目

(2024 河南) 如图, 在 平行四边形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$ , 点 $E$ 为 $OC$ 的中点, $EF \parallel AB$ 交 $BC$ 于点 $F$ . 若 $AB = 4$ , 则 $EF$ 的长为 ( )

A. $\frac{1}{2}$

B.1

C. $\frac{4}{3}$

D.2

平行四边形ABCD的两对角线交于O，OC上E作EF平行AB

答案与解析

解析

平行四边形对角线互相平分，$OC=AC/2$；$E$ 又为 $OC$ 中点，所以 $CE=AC/4$。

$EF\parallel AB$，故 $\triangle CEF\sim\triangle CAB$，$EF/AB=CE/CA=1/4$，从而 $EF=1$。A、C不满足该比；D只考虑了一次平分。

本题结论

选 B，EF=1。

例题 16 延长段与中点构成的面积比 知识清单例题

题目

如图,已知平行四边形 $ABCD$中,F为BC的中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,则 $S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=$ ( )

A.2:3

B.3:2

C.9:4

D.4:9

平行四边形ABCD中AD延长至E，F在BC上，EF交DC于G

答案与解析

解析

设 $DE=x>0$，则 $AD=BC=3x$。$F$ 为 $BC$ 中点，故 $CF=3x/2$。

$DE\parallel CF$，$G$ 处对顶角相等，得 $\triangle DEG\sim\triangle CFG$。对应长度比 $DE/CF=2/3$，所以面积比为 $(2/3)^2=4/9$。

A 忘记平方；B 倒置且未平方；C 是反向的面积比。

本题结论

选 D，$S_{DEG}:S_{CFG}=4:9$。

9. 几何关系写成函数，退化端点另查

变量仍是长度，先给出几何定义域。把一个整段拆成两部分后列比例，整理得到函数。若端点使小三角形退化，不能继续引用相似，必须直接观察该位置再检验公式。

例题 17 矩形中的变动交点 知识清单例题

题目

如图, 在矩形 ABCD 中, AB=6, AD=8, 点 E 在边 AD 上, CE 与 BD 相交于点 F.

(1) 若 DE=2，则 BF 的长度为 ____。

(2) 设 DE = x, BF = y，当 $0 \leqslant x \leqslant 8$ 时，y 关于 x 的函数关系式为 ____.

矩形ABCD中E在AD上，CE与BD相交于F

答案与解析

解析

由勾股定理 $BD=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

（1）$DE\parallel BC$，得 $\triangle DEF\sim\triangle BCF$。设 $BF=y$，则 $DF=10-y$，有 $2/8=(10-y)/y$，解得 $y=8$。

（2）当 $0<x\le8$，同样由相似得 $x/8=(10-y)/y$，整理为 $(x+8)y=80$，故 $y=80/(x+8)$。

当 $x=0$，$E=D$、$F=D$，小三角形已退化，但直接得 $y=BD=10$，仍符合公式。$x=8$ 时 $E=A$，两对角线交点将 $BD$ 平分，$y=5$，也可回验。

本题结论

（1）$BF=8$；（2）$y=\dfrac{80}{x+8}$，$0\le x\le8$。

10. 测量：先画基线，再确认所求是总高还是差高

先标地面水平线与垂线，再指出相等的锐角；写出两个三角形的对应顺序，列比例。视线法常先得到超出眼睛的部分，最后要加回眼高。测河时把“跨河两点距离”和“垂直河岸的宽度”分开。

例题 18 从平面镜观察楼顶 知识清单例题

题目

如图,小明为了测量楼房MN的高度,在离N点20 m的A处放了一个平面镜(平面镜的厚度忽略不计),小明从A处沿NA方向走到C点,正好从镜中看到楼顶M点,若AC=1.5 m,小明眼睛离地面的高度BC为1.6 m,则楼房MN的高度约为____(结果保留小数点后一位).

地面上的镜面A、眼睛B与楼顶M，标出地面点C和N

答案与解析

解析

水平镜的入射角等于反射角，两光线与地面的夹角也相等，即 $\angle BAC=\angle MAN$。$BC,MN$ 都垂直同一水平地面，故 $\triangle BCA\sim\triangle MNA$。

$$\frac{1.6}{MN}=\frac{1.5}{20},\qquad MN=\frac{64}{3}\approx21.3\text{ m}.$$

用的是眼睛离地的高度，不是任意人体全高。镜面不水平或地面有高差时，应重建模型。

本题结论

楼高约为21.3 m。

例题 19 两村之间的距离 知识清单例题

题目

如图, 河两岸分别有 A, B 两村, 现测得 A, B, D 在一条直线上, A, C, E 在一条直线上, BC // DE, DE = 90 m, BC = 70 m, BD = 20 m, 则 A, B 两村之间的距离为 ____ m.

河两岸的村庄A、B及同射线上D、C、E，BC平行DE

答案与解析

解析

$BC\parallel DE$，故 $\triangle ABC\sim\triangle ADE$。按图 $A,B,D$ 依次排列，$AD=AB+20$，所以

$$\frac{AB}{AB+20}=\frac{70}{90},$$

解得 $AB=70$ m。这是两村之间的距离；题目没有给出 $AB$ 垂直河岸，不能另称它就是河宽。

本题结论

两村之间距离为70 m。

例题 20 标杆与眼睛所在的水平线 知识清单例题

题目

如图,直立在 B 处的标杆 AB=2.4 米,站立在 F 处的观测者从 E 处看到标杆顶端 A、树顶 C 在同一条直线上(点 F,B,D 也在同一条直线上).已知 BD =8 米,FB=2.5 米,EF=1.5 米,求树高 CD.

观测者眼睛E、标杆顶A与树顶C共线，地面上F、B、D共线

答案与解析

解析

过眼睛 $E$ 作水平线 $EH$，交标杆于 $G$、交树干于 $H$。两矩形给 $GB=DH=1.5$，$EG=2.5$，$EH=2.5+8=10.5$。

标杆超眼高为 $AG=2.4-1.5=0.9$。视线 $E,A,C$ 共线，$AG\parallel CH$，故 $\triangle AEG\sim\triangle CEH$。

$$\frac{0.9}{CH}=\frac{2.5}{10.5},\quad CH=3.78.$$

树高应为 $CD=CH+DH=3.78+1.5=5.28$ m。先减眼高建立共同基线，最后加回眼高恢复总高。

由眼睛E作水平线，交标杆于G、树干于H

本题结论

树高为5.28 m。

例题 21 用交叉视线测河宽 知识清单例题

题目

如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸的岸边选定一个目标,记为点A,再在河的另一边选定点B和点C,使 $AB\perp BC$ ,BC与河岸平行,再选定点E,使 $EC\perp BC$ ,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110m,CD=55m,EC=52m,求河的宽度AB.

河岸垂线AB与EC，视线AE与基线BC交于D

答案与解析

解析

$AB\perp BC$、$EC\perp BC$，两三角形在 $B,C$ 处均为直角；$\angle ADB=\angle EDC$ 为对顶角，故 $\triangle ABD\sim\triangle ECD$。

$$\frac{AB}{52}=\frac{110}{55}=2,$$

得 $AB=104$ m。$AB$ 垂直与河岸平行的基线，才表示河宽；$BD,CD$ 是两小三角形的底边，不能换成整段 $BC$。

本题结论

河宽AB为104 m。

例题 22 同一时刻的旗杆与人影 知识清单例题·2024四川自贡节选

题目

（2024 四川自贡节选）为测量水平操场上旗杆的高度,小张采用了如图所示的测量方法.小张在测量时发现,自己在操场上的影长 EF 恰好等于自己的身高 DE.此时,小组同学测得旗杆 AB 的影长 BC 为 11.3 m,据此可得旗杆高度为 ____ m。

同一水平操场上的旗杆AB和人DE，以及两者的影子BC、EF

答案与解析

解析

同一时刻附近阳光近似平行，人和旗杆均竖直、操场水平，故 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$。

$AB/DE=BC/EF$，又 $DE=EF$，因此 $AB=BC=11.3$ m。不必另假设人的具体身高。时刻改变后，不能继续沿用高度与影长相等的比例。

本题结论

旗杆高度为11.3 m。

三、坑点 辨析与边界

1. 比例尺必须同单位、同顺序

图上长度与实际长度先统一单位；比例尺写图上∶实际。计算出的长度要带单位，但比值本身不写“厘米”。

辨析 01 图上8厘米代表什么 知识清单例题

题目

甲、乙两地相距 1600 米，在地图上，表示这两地的点之间的距离是 8 厘米，则这幅地图的比例尺是（）

A.1:200

B.1:20 000

C.200:1

D.20 000:1

答案与解析

解析

$1600$ m $=160000$ cm，故比例尺为 $8:160000=1:20000$。

A 直接拿不同单位的数值相比，少了100倍换算；C 同时有单位与顺序错误；D 把正确比例倒置。

本题结论

选 B，比例尺为1:20000。

2. 黄金分割点未指定长短时不能漏解

已给“黄金分割点”不等于已给“所求段是长段”。两种位置都要列出，再检查长度为正且小于全长。

辨析 02 分割点的两种位置 知识清单例题

题目

已知线段 AB=2，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长度为 ____.

答案与解析

解析

若 $AC$ 为长段，$AC=2\times(\sqrt5-1)/2=\sqrt5-1$；若 $AC$ 为短段，则 $BC=\sqrt5-1$，$AC=2-BC=3-\sqrt5$。两值均在0与2之间，分别对应两个黄金分割点。

本题结论

$AC=\sqrt5-1$ 或 $3-\sqrt5$。

3. 所求可能是整段，不是比例中的那一段

解出比例中的未知段后，再回题目检查最终问的是哪一段。画出共线点序，确定是否还需加上或减去已知段。

辨析 03 先求下段，再求全段 知识清单例题

题目

如图, 已知 $AB \parallel CD \parallel EF$ , $\frac{BC}{CE}=\frac{3}{4},AD=9$ , 则 AF 的长度为 ____.

三条平行线AB、CD、EF截两条交叉直线，A、D、F在同一直线上

答案与解析

解析

三条平行线给 $AD/DF=BC/CE=3/4$。$AD=9$，故 $DF=12$。题问 $AF$，而 $A,D,F$ 依次排列，所以 $AF=AD+DF=9+12=21$。

直接把 $AF$ 代到 $DF$ 的比例位置，会把全段错配为下段。

本题结论

AF=21。

4. 没有写定相似顺序，就要检查对应分支

已有公共角，不一定确定其余两个顶点谁与谁对应。先把可能的相似式逐一写出，再用边所在范围、边长与角关系排除不合要求的分支。

辨析 04 共有顶点之外的两种对应 知识清单例题

题目

已知 $\triangle ABC$ 中, AB=8, BC=7, AC=6, 点 D、E 分别在 AB、AC 上, 如果以 A、D、E 为顶点的三角形和以 A、B、C 为顶点的三角形相似, 且相似比为 $\frac{1}{4}$ , 试求 AD 和 AE 的长.

答案与解析

解析

原三角形三边8、7、6互不相等，各角也互不相等。小三角形与原三角形共有 $A$ 角，因而 $A$ 对应 $A$，其余两个顶点有两种配对。

若 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，则 $AD/8=AE/6=1/4$，得 $AD=2,AE=1.5$。

若 $\triangle AED\sim\triangle ABC$，则 $AE/8=AD/6=1/4$，得 $AD=1.5,AE=2$。

两组点都在相应边内，并且两邻边同比、共有夹角，均可由 SAS 验证，不能漏掉第二组。

本题结论

AD、AE分别为2、1.5，或1.5、2。

5. 面积比不是把相似比乘2

面积由两个长度因子相乘，比例应平方；由面积比返回长度比，则取正平方根。先后顺序与比例的幂次要分别检查。

辨析 05 把长度缩到三分之一 知识清单例题·2024重庆A

题目

(2024 重庆 A) 若两个相似三角形的相似比是 $1:3$ , 则这两个相似三角形的面积比是 ( )

A. $1:3$

B.1:4

C. $1:6$

D.1:9

答案与解析

解析

对应底边和高均缩为原来的 $1/3$，所以面积缩为 $(1/3)^2=1/9$。A 是长度比，C 把分母乘2而没有平方，B 与题给比例无关。

本题结论

选 D，面积比为1:9。

6. 多边形不能只套三角形的AA

三角形两角相等就固定了形状；多边形还要核对应边。任意同边数正多边形相似，但任意矩形未必相似。只给六边形边同比，或只给五边形对应角相等，也不足以保证相似。

辨析 06 等宽花边的内外轮廓 知识清单例题

题目

手工制作课上,小红将一些花布的边角料剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内、外边缘所围成的几何图形不一定相似的是()

选项A的题给图形

A

选项B的题给图形

B

选项C的题给图形

C

选项D的题给图形

D

答案与解析

解析

A、B 的内外三角形对应边平行，角对应相等，由 AA 相似。C 的内外图形都为正方形，各角和边比均满足相似条件。

D 虽内外均为矩形，但等宽花边使长、宽都减少相同的两倍边框宽度，并不是按同一倍数缩小。非正方形时长宽比会改变，因此不一定相似。

本题结论

选 D。

7. 判据不能使用，不等于结论一定为假

“两边成比例”若未配等夹角，不能直接用 SAS；但这只说明当前论证不足，并不能反过来证明两个三角形不相似。选择题仍应逐项核实；需要排除时，检查所有可能的对应，而不是把判据当作否定命题。

辨析 07 剪下的三角形是否相似 知识清单例题·补足排除论证

题目

如图, $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 78^{\circ}, AB = 4, AC = 6$ . 将 $\triangle ABC$ 沿图示中的虚线剪下一部分, 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )

三角形ABC标出角A为78度

选项A的题给图形

A

选项B的题给图形

B

选项C的题给图形

C

选项D的题给图形

D

答案与解析

解析

A 共享原来的 $C$ 角，图中另一个角为 $78^\circ$，由 AA 相似。B 共享原来的 $B$ 角，另一个角为 $78^\circ$，同样相似。

D 的阴影三角形在 $A$ 两侧留下的边长为 $4-1=3$ 与 $6-4=2$；它们分别对应原边6与4，比均为 $1/2$，夹角都是 $A$，由 SAS 相似。

对 C，不能只说“夹角不符，所以不相似”。 设阴影三角形在 $BA,BC$ 上的截点为 $D,E$，即 $BD=2,BE=3$，并令 $BC=a$。两三角形共有 $B$ 角；若相似，可以把相等的这个角配为对应角，其两邻边必须无序成比例，因此只有

$$\frac24=\frac3a\quad\text{或}\quad\frac2a=\frac34,$$

即 $a=6$ 或 $a=8/3$。

• 若 $a=8/3$，则 $BC<AB<AC$，由大边对大角得 $\angle A<\angle C<\angle B$。由于 $\angle A=78^\circ$，三角和必大于 $3\times78^\circ$，矛盾。
• 若 $a=6$，则 $AC=BC=6$，故 $\angle A=\angle B=78^\circ$，$\angle C=24^\circ$。这时 $AB$ 是半径6、圆心角 $24^\circ$ 的弦，比同圆 $30^\circ$ 的弦短。

计算这条 $30^\circ$ 弦可只用已学勾股：以圆心为坐标原点、其中一条半径沿横轴，另一半径与横轴成 $30^\circ$。由30°所对直角边等于斜边的一半，其端点的纵坐标为3，横坐标由勾股为 $3\sqrt3$，所以弦长平方为

$$(6-3\sqrt3)^2+3^2=72-36\sqrt3<16.$$

最后的不等式由 $\sqrt3>14/9$ 得到，平方比较 $3>196/81$ 即可。因此 $24^\circ$ 的弦更短于4，与 $AB=4$ 矛盾。

两种可能都排除，C 确实不相似。这一步说明“不符合某个判据”与“已证明不相似”的区别。

本题结论

选 C。

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