包装盒怎样展开，平面图形绕轴后形成什么，切开的截面又是什么形状？辨认这些图形，要把纸上的示意图与它所表示的空间对象分开。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 从实物中抽象出点、线、面、体

几何研究物体的形状、大小和位置，不研究它的颜色、材料或用途。点表示位置，线描述延伸，面描述表面，体占据空间；纸上的墨点和线条只是这些理想对象的表示，并不表示点有大小、线有粗细。

对象	观察重点	联系
点	位置，没有大小	线与线相交可以得到点
线	延伸，有直线也有曲线	面与面相交可以形成线
面	平面或曲面，没有厚度	体由面围成
体	占据空间	可由若干平面、曲面围成

从运动看联系：点移动可形成线，线移动可形成面，面移动可形成体。但运动方式必须使范围展开：线沿自身方向移动仍可能只形成线，面只在自身所在平面内移动也不会形成有厚度的体。

2. 平面图形与立体图形

各部分都在同一平面内的是平面图形；各部分不都在同一平面内的是立体图形。三角形、圆是平面图形，圆柱、棱锥是立体图形。图画在纸上，不等于所表示的对象是平面图形。

常见立体可从底面的数量、形状以及侧面的结构辨认：

圆柱

圆柱结构示意

两个平行、相同的圆形底面，侧面是曲面。

棱柱

棱柱结构示意

两个平行、全等的多边形底面，侧面是平行四边形；直棱柱侧面是长方形。

圆锥

圆锥结构示意

一个圆形底面，曲侧面向同一顶点汇聚。

棱锥

棱锥结构示意

一个多边形底面，三角形侧面共享同一个锥顶。

圆台

圆台结构示意

两个平行、大小不同的圆形底面和连接它们的曲侧面。

棱台

棱台结构示意

棱锥被平行于底面的平面截去顶部后，留下的部分。

球

球结构示意

由球面围成，没有柱、锥那样的底面。

3. 棱柱、棱锥的顶点、棱和面

“几棱柱”“几棱锥”中的“几”由底面的边数决定，不是总棱数，也不是总面数。设底面为 $n$ 边形，$n\ge3$ 且为整数。

计数对象	$n$ 棱柱：分成两个底与侧部	$n$ 棱锥：分成一个底与锥顶、侧部
顶点	两底各 $n$ 个，共 $2n$ 个	底面 $n$ 个加锥顶，共 $n+1$ 个
棱	两底共 $2n$ 条，加 $n$ 条侧棱，共 $3n$ 条	底棱 $n$ 条加侧棱 $n$ 条，共 $2n$ 条
面	两底加 $n$ 个侧面，共 $n+2$ 个	一底加 $n$ 个三角形侧面，共 $n+1$ 个

背面看不见的棱、顶点也要计入；两面共用的一条棱只计一次。圆柱、圆锥没有多边形底面，不能套用这里的 $n$ 棱公式。

4. 表面展开：数量够，还要能折回

把表面沿适当位置剪开、不拉伸地铺平，可以得到展开图。完整表面展开应保留所有面；只问侧面展开时，不要求包含底面。

立体	完整展开的主要组成	合拢时还要满足
棱柱	两个全等多边形底面和若干侧面	每条底边与相应侧面边匹配
棱锥	一个多边形底面和若干三角形侧面	各侧面折回后共享一个锥顶
圆柱	两个相同的圆和一个长方形	长方形卷绕方向的边长等于底面周长，另一边是高
圆锥	一个圆和一个扇形	扇形弧长等于底面周长，扇形半径是母线长

面片的种类和数量只是第一步；边长不匹配、连接位置不合适或折后重叠，都不能围成指定立体。球面不能像圆柱侧面那样，仅靠普通剪开且不拉伸就完整铺平。

5. 正方体展开图与相对面

正方体有六个相同的正方形面，折回后要分别占据前、后、左、右、上、下六个方向。相邻面共用一条棱；相对面没有公共棱，也没有公共顶点。

检验展开图：固定一片面，沿公共边依次折转 $90^\circ$。若两片落到同一面上，就会重叠；六片分别占据六个不同面，才是有效展开。不能只凭“正好六个方片”下结论。

常见的11种基本展开图如下，整体旋转或镜像不另算一种。前六种为1—4—1型，接着三种为2—3—1型，最后分别为2—2—2型和3—3型。

展开图 1

展开图 1

展开图 2

展开图 2

展开图 3

展开图 3

展开图 4

展开图 4

展开图 5

展开图 5

展开图 6

展开图 6

展开图 7

展开图 7

展开图 8

展开图 8

展开图 9

展开图 9

展开图 10

展开图 10

展开图 11

展开图 11

相对面要按折后的空间位置判断，纸上隔得最远的两片不一定相对；不能把某一种布局的“隔一片”口诀套到所有布局。

6. 旋转与截面：都要读清位置

操作	必须确定的条件	典型结果
平面区域旋转一周	绕哪条轴、区域到轴的距离怎样变化	矩形绕一边成圆柱；直角三角形绕一直角边成圆锥
半圆区域旋转一周	轴是它的直径所在直线	形成球；若只取半圆弧，扫出的是球面
用平面截立体	切面的位置和方向	正方体的截面不一定是正方形；圆台水平截与过轴竖截不同

旋转时可沿轴逐层看：该层区域若从轴延伸到边界，绕轴形成圆截面，半径由边界到轴的距离决定；若区域与轴之间有空隙，旋转后相应部分会出现空腔。直角梯形绕垂直两底的腰旋转一周，可形成圆台。改变旋转轴，尺寸乃至是否空心都可能改变。

截面是切平面与立体相交得到的平面图形。判断时沿切面追踪它与各表面的交线，不把立体透视图中画得倾斜的角当成截面的真实角度。

二、考点 方法与例题

1. 辨认类型与结构数量

先问所表示的对象能否全部放在同一平面，再按底面、侧面和顶点辨认立体。计数时分组：棱柱分“两底＋侧部”，棱锥分“底＋锥顶＋侧部”，不沿着一张透视图随意数线条。

例题 01 平面与立体 知识清单例题

题目

下列几何图形中,属于立体图形的是____.(填序号)

①三角形；②长方形；

③正方体；④圆；

⑤四棱锥；⑥圆柱.

答案与解析

解析

三角形、长方形、圆都可以在同一平面内；正方体、四棱锥、圆柱的各部分不都共面。纸面图只是表示方式。

本题结论

③⑤⑥。

例题 02 按底部和侧部分组计数 知识清单例题

题目

n 棱柱共有 ____ 个顶点，____ 条棱，____ 个面；n 棱锥共有 ____ 个顶点，____ 条棱，____ 个面.

答案与解析

解析

棱柱顶点为 $n+n=2n$，棱为 $n+n+n=3n$，面为 $2+n$。

棱锥顶点为 $n+1$，棱为 $n+n=2n$，面为 $1+n$。每个数量都对应一个明确的计数组，不因棱被两个面共用而重复。

本题结论

六空依次为 $2n$、$3n$、$n+2$；$n+1$、$2n$、$n+1$。

2. 由展开图还原立体

先认底面与侧面，再检查数量、连接和封闭情况。遇到“有盖”或“侧面”时，先圈定所要求的表面范围。

例题 03 六种展开图 知识清单例题

题目

写出下列各展开图所对应的立体名称。

（1）

（1）

（2）

（2）

（3）

（3）

（4）

（4）

（5）

（5）

（6）

（6）

答案与解析

解析

（1）六个等大方片折成六面，是正方体。（2）长方形曲侧配两个圆底，是圆柱。

（3）两个三角形底面配三个长方形侧面，是三棱柱。（4）扇形合拢成曲侧，配圆底，是圆锥。

（5）两个五边形底面配五个侧面，是五棱柱。（6）四边形底面配四个三角形侧面，是四棱锥。

本题结论

（1）正方体；（2）圆柱；（3）三棱柱；（4）圆锥；（5）五棱柱；（6）四棱锥。

3. 固定一面，逐片追踪相对关系

把所问面固定为正面，沿公共边依次折转，并记下其他面落到左、右、上、下还是后。最后核对六片没有重叠，再找正面的对面。

例题 04 文字面折叠后的对应 知识清单例题·情境缩写，题图等位重绘

题目

一个正方体展开图的六片面分别标有“猪、牛、羊、马、鸡、狗”。折成正方体后，与“牛”相对的是哪一面？

六畜文字的正方体展开图

A. 羊　 B. 马　 C. 鸡　 D. 狗

答案与解析

解析

固定“牛”为正面，“猪”“羊”折到左右两侧；从“羊”下边接出的“马”折到底面，“鸡”继续折到背面，“狗”折到顶面。

因此三对相对面为牛与鸡、猪与羊、马与狗。羊、马、狗都与牛相邻。

本题结论

选 C，即“鸡”面。

4. 旋转时比较各层半径

先固定题给旋转轴，再比较上部、中部、下部到轴的距离。等距离形成柱形，直线变化形成锥侧，曲线变化形成相应曲侧；不能自行换轴让某选项成立。

例题 05 平面图形与旋转体 知识清单例题

题目

将选项中的平面区域绕图示轴旋转一周，哪一个能形成下图立体？

题目给定的旋转体

选项 A

选项 A

选项 B

选项 B

选项 C

选项 C

选项 D

选项 D

答案与解析

解析

目标上下较宽，中间平滑收窄。A各层半径不变，形成圆柱；B中部向外鼓，与目标相反；C的两侧都是曲边，中部的区域与轴分离，旋转后产生空腔，并非目标实心收腰体；D中间到轴的距离小、两端较大，符合目标。

本题结论

选 D。

例题 06 绕直径旋转 2024 陕西

题目

（2024 陕西）将下图的半圆绕直径所在虚线旋转一周，得到的立体是（　）。

半圆与题给旋转轴

选项 A

选项 A

选项 B

选项 B

选项 C

选项 C

选项 D

选项 D

答案与解析

解析

半圆区域绕直径转满一周，扫过整个球，不只剩半球。圆柱要求各层半径相同，圆锥要求侧轮廓是相应斜直线，都与原圆弧不符。

本题结论

选 C，球。

5. 按指定切面判断截面

沿切面与各表面的交线依次追踪边界，再看平行、垂直与边长关系。回答的是图中指定切法，不能把另一种切法的结果也填入。

例题 07 两种立体的指定截面 知识清单例题

题目

图示正方体和圆台的截面分别对应哪个选项？

正方体及指定切面

圆台及指定切面

选项 A

选项 A

选项 B

选项 B

选项 C

选项 C

选项 D

选项 D

选项 E

选项 E

选项 F

选项 F

答案与解析

解析

正方体切面沿竖直方向贯穿，上下边沿底面对角方向，两个竖边与它们垂直，形成长方形。底面对角线长于一条棱，所以不是正方形。

圆台沿过轴的竖直平面切开，两圆底给出两段平行且不等长的直径，侧边连接它们，形成梯形。圆形可以由另一种水平切法得到，但不是题给切法。

本题结论

正方体选 C；圆台选 F。

三、坑点 条件与辨析

1. 完整表面与侧面不能混看

先读范围，再判断是否缺面：有盖盒需要上下两个底，单独的侧面展开则本来就不包含底面。

辨析 01 有盖礼盒的展开设计 知识清单例题

题目

小红想设计制作一个圆柱形的有盖礼品盒,下列展开图中设计正确的是 ( )

题目所给图形

答案与解析

解析

A扇形加圆对应圆锥，不是圆柱。B只有一个圆底，缺少另一个底或盖。C长方形曲侧配两个相同圆底，组成完整圆柱表面。D小长方形不能作为圆底。

设计还应满足卷绕方向边长与底面周长匹配；本题按图给定设计辨认组成，不从示意比例猜半径。

本题结论

选 C。

辨析 02 只展开侧面 2024 江苏常州

题目

（2024 江苏常州）下列哪一幅图是四棱锥的侧面展开图？

选项 A

选项 A

选项 B

选项 B

选项 C

选项 C

选项 D

选项 D

答案与解析

解析

四棱锥有四个三角形侧面，展开时不要求附带四边形底面。A是四棱柱侧面，B是四个三角形共锥顶的侧面，C是圆锥侧面，D是正方体完整表面。

本题结论

选 B。

2. 纸上最远与折后最远是两回事

先折回并确认标点所在的空间顶点，再比较直线距离。若棱长为 $s>0$，一条棱长为 $s$，面对角线平方为 $2s^2$，体对角线平方为 $3s^2$。后两项可用勾股定理说明：先在正方形面内求面对角，再在由它与垂直棱组成的直角三角形中求体对角。

这是折后两点直接连线的长度，不是沿表面行走的路程；展开纸上的距离不能直接代替它。

辨析 03 折叠后比较顶点距离 2024 四川宜宾

题目

（2024四川宜宾）如图是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后,距顶点A最远的点是()

题目所给图形

A.B点

B.C点

C.D 点

D.E点

答案与解析

解析

原题折叠后的标点位置

固定折后的各点，$AD$ 是一条棱；$AB$、$AE$ 是面对角线；$AC$ 是连接相对顶点的体对角线。

设棱长 $s>0$，有 $AD^2=s^2$，$AB^2=AE^2=2s^2$，$AC^2=3s^2$。正长度按平方比较，$AC$ 最大。选项字母 B 对应几何点 C，二者不要混写。

本题结论

选 B，即 C 点。

上一页4. 反比例函数

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