尺规作图不是把图画得“看起来准确”，而是用允许的工具保证每个条件。圆规留下的等半径弧、直线的交点和所选方向，都是证明图形符合要求的依据。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 工具与依据

1. 直尺定方向，圆规搬长度

尺规作图使用无刻度直尺和圆规。直尺可连接两点、作直线或射线；圆规可复制已有长度，并以指定点为圆心画圆或弧。不能读刻度、用量角器量角，也不能目测中点。

常用作图语言	必须说清的内容
连接 $A,B$	作线段 $AB$，不是无限直线
过 $A,B$ 作直线	可按需要向两端延长
作射线 $AB$	起点是 $A$，方向经过 $B$
延长 $AB$ 到 $C$	沿 $A\to B$ 方向继续，$B$ 在 $A,C$ 之间
在射线上截取某长度	从哪个点开始、朝哪个方向、圆规开口等于什么
两弧相交于某点	两次半径是否相同，选择哪个交点，交点是否确实存在

保留作图痕迹，可以让读者检查等长关系来自哪次圆规操作。题目即使“不写作法”，也不等于可以省掉保证条件的弧。

2. 复制线段与作线段的和、差

复制长度 $a$： 作射线 $OA$，以 $O$ 为圆心、$a$ 为半径画弧，交射线于 $B$，便有 $OB=a$。

以圆规开口复制线段长度

目标	作法	正确性依据
$a+b$	先截 $AB=a$，再沿同一方向从 $B$ 截 $BC=b$	$A-B-C$ 按序，所以 $AC=AB+BC=a+b$
$a-b$，其中 $a>b>0$	先截 $AB=a$，再从 $B$ 向 $A$ 在段内截 $BD=b$	$A-D-B$ 按序，所以 $AD=AB-BD=a-b$
$2a$	保持开口 $a$，在同一射线上连续截两次	两段等长且首尾顺接

作差必须先核 $a>b$。$a=b$ 时余段为零；$a<b$ 时无法按上述段内截取完成正线段 $a-b$。若从 $B$ 朝外截取，得到的是和，不是差。

3. 复制角，用三边相等保证

已知 $\angle AOB$，在新顶点 $O'$ 复制它：

1. 作射线 $O'A'$。
2. 以 $O$ 为圆心、适当正长度 $r$ 为半径作弧，交两边于 $C,D$。
3. 以 $O'$ 为圆心、同一半径 $r$ 作弧，交 $O'A'$ 于 $C'$。
4. 以 $C'$ 为圆心、线段 $CD$ 为半径作弧，交前一弧于 $D'$，按要求选取同侧或另一侧交点。
5. 作射线 $O'D'$。

原角及用相同半径、相同弦长复制出的角

$OC=O'C'$、$OD=O'D'$、$CD=C'D'$，由 SSS 两小三角形全等，所以新角等于原角。圆规搬的是弦 $CD$ 的长度，不是弧长。

常规过程针对 $0^\circ<\angle AOB<180^\circ$。零角、平角要另作直线方向，不能把退化图形代入通常的两弧交点证明。

4. 作角的内部平分线

1. 以顶点 $O$ 为圆心作弧，交两边于 $D,E$，保证 $OD=OE$。
2. 分别以 $D,E$ 为圆心，取同一个大于 $DE/2$ 的半径作弧，取角内部的交点 $C$。
3. 作射线 $OC$。

用两组等半径弧作角平分线

$OD=OE$、$DC=EC$、$OC$ 公共，SSS 得 $\triangle ODC\cong\triangle OEC$，从而 $\angle DOC=\angle COE$。交点位于原角内部，才能得到内部平分射线。

第二次两弧的半径不仅要足够大，还必须相同。半径恰为 $DE/2$ 时两圆相切，不能照搬“两侧交点”的作法。

5. 垂直平分线与两点等距

经过非零线段中点、且垂直该线段所在直线的直线，叫作垂直平分线。

方向	结论	全等依据
点在 $AB$ 的中垂线上	到 $A,B$ 等距	设中点为 $M$，$AM=BM$、$PM$ 公共、两直角，SAS
点到 $A,B$ 等距	点在 $AB$ 的中垂线上	$PA=PB$、$AM=BM$、$PM$ 公共，SSS 得两个邻补角相等，各为直角

若 $P=M$，结论直接成立，不用退化三角形证明。

作法： 分别以 $A,B$ 为圆心，用同一个大于 $AB/2$ 的半径，向线段两侧作弧，交于 $C,D$。作直线 $CD$，与 $AB$ 相交处就是中点。

两侧等半径弧确定线段的垂直平分线

$C,D$ 都到 $A,B$ 等距，因此都在中垂线上；两个不同点确定一条直线。只有一个弧交点，还不能完成这一步。

6. 过线上点与线外点作垂线

过线上的点 $C$： 以 $C$ 为圆心，在原直线两侧截出等距点 $D,E$；作 $DE$ 的垂直平分线，它通过中点 $C$，因此就是所求垂线。

过直线上点C作垂线

过线外点 $C$：

1. 在直线另一侧取点 $K$。以 $C$ 为圆心、$CK$ 为半径作弧，与原直线交于 $D,E$。
2. 以 $D,E$ 为圆心，用同一个大于 $DE/2$ 的半径作弧，取与 $C$ 不同的等距点 $F$，可选在直线另一侧。
3. 作直线 $CF$。

过线外点C作垂线的两组圆弧

$CD=CE$、$FD=FE$，所以 $C,F$ 同在 $DE$ 的中垂线上，$CF\perp DE$。第一步取直线另一侧的 $K$，使半径严格大于 $C$ 到直线的距离，保证有两个交点。不能误选 $F=C$，两个重合点无法确定直线。

二、考点 方法与例题

1. 作平行线：复制一对同位角

取经过已知点的截线，复制原直线与截线所成的角。关键不只是“角相等”，还要检查所选射线方向，保证它们确为同位角或内错角。

例题 01 过线外一点作平行线 知识清单例题·明确弧交点方向

题目

如图,已知直线 l 与直线 l 外一点 P,请过点 P 作直线 l 的平行线.(尺规作图,保留作图痕迹)

题目所给图形

答案与解析

解析

在 $l$ 上取 $A$，作射线 $AP$。以 $A$ 为圆心，取小于 $AP$ 的正半径 $r$ 作弧，交 $AP$ 于 $M$、交 $l$ 于 $N$。

以 $P$ 为圆心、同一半径作弧，取射线 $AP$ 越过 $P$ 后的交点 $K$。以 $K$ 为圆心、$MN$ 为半径作弧，交上一弧于 $Q$，选取与原 $N$ 相应的同侧方向。作直线 $PQ$。

复制同位角作出的平行线与圆规痕迹

$PK=AM$、$PQ=AN$、$KQ=MN$，由 SSS 得 $\triangle PKQ\cong\triangle AMN$，所以 $\angle KPQ=\angle MAN$。两角为同位角，因此 $PQ\parallel l$。

$K$ 取在 $P$ 的前方，而不是朝回 $A$ 的方向；若改变交点分支，原来的同位角理由不能原样照用。

本题结论

直线 $PQ$ 为所求平行线。

2. 根据给定元素，决定第三顶点

先画草图分析所需条件，再按条件作图。SAS 先复制夹角、截两边；SSS 先固定基边，再从两端作定半径弧；ASA 在基边同侧复制两端角，使射线相交。最后用相应判据说明结果为何符合要求。

例题 02 给两边及夹角作三角形 知识清单例题

题目

如图所示,已知线段 a 和 $\angle\alpha$ , 求作一个 $\triangle ABC$ , 使 BC=a, AC=2a, $\angle BCA=\angle\alpha$ . (尺规作图,保留作图痕迹)

题目所给图形

答案与解析

解析

先按复制角的方法作 $\angle MCN=\angle\alpha$。在射线 $CM$ 上保持圆规开口 $a$，连续截取两次，得 $CA=2a$；在射线 $CN$ 上截取 $CB=a$。连接 $AB$。

两射线上截取a与2a的作图结果

圆规保证两条边，复制角保证它们的夹角，因此所得三角形满足 $BC=a$、$AC=2a$、$\angle BCA=\angle\alpha$。给定角非零且非平角，图形不退化；两个给定边和夹角也按 SAS 确定形状大小。

本题结论

所作 $\triangle ABC$ 符合要求。

例题 03 复制同一个三角形的三种方法 知识清单例题

题目

如图,已知 $\triangle ABC$ ,求作 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ,使 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\cong\triangle ABC$ . (尺规作图,保留作图痕迹)

题目所给图形

答案与解析

解析

三种方法都先作 $A'B'=AB$。

SAS 法。 在 $A'$ 复制原角 $A$，得到射线 $A'M$；沿它截取 $A'C'=AC$，连接 $B'C'$。两边与夹角对应相等。

SAS法复制三角形

SSS 法。 以 $A'$ 为圆心、$AC$ 为半径作弧；以 $B'$ 为圆心、$BC$ 为半径作弧，两弧交于 $C'$，连接两边。三个长度都由圆规保证。基边另一侧的交点给出镜像图，也同样全等。

SSS法复制三角形

ASA 法。 在基边同侧，分别于 $A'$、$B'$ 复制原角 $A,B$，两射线交于 $C'$。夹边和两角对应相等。选同侧是为了让所作射线按原三角形关系相交，不能拿不相应的延长线交点代替。

ASA法复制三角形

本题结论

三种作法均得到 $\triangle A'B'C'\cong\triangle ABC$。

3. 把等距要求转成轨迹的交点

位置要求	应作的线
到两个固定点等距	两点连线段的垂直平分线
在一个角内，到两边等距	该角的内部平分线
到两条完整相交直线等距	两条夹角平分直线，不能只取一支
到三个不共线点等距	两边中垂线的交点

同时满足两组要求，就取两类轨迹的交点，并逐点回验。特殊位置可能没有交点、交点重合或出现重合直线，数量不能脱离原图直接记成常数。

例题 04 确定全部符合要求的位置 知识清单例题

题目

两个城镇 A, B 与两条公路 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的位置如图所示, 电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔, 要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等, 到两条公路 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离也必须相等, 那么点 C 应选在何处? 请在图中找出所有符合条件的点 C. (尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)

题目所给图形

答案与解析

解析

先作 $AB$ 的垂直平分线，线上每一点到两城镇的距离相等。

再作两条公路夹角的两条平分直线，包括内、外两种方向。原图中它们与中垂线分别交于 $C_1,C_2$。

中垂线与两条角平分直线的交点

$C_1,C_2$ 都在 $AB$ 的中垂线上，所以到两城镇等距；各自又在公路夹角的平分线上，所以到两条公路的垂直距离相等。两组条件都满足，两个点都应保留。

这里按公路所在整直线建模；不能把到道路的距离误作到道路交点的距离。

本题结论

原图中所有合格位置为 $C_1,C_2$。

例题 05 经过三点作圆 知识清单例题

题目

如图,已知 $\triangle ABC$ , 请作一个圆,使 A、B、C 三点都在该圆上. (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

题目所给图形

答案与解析

解析

分别作 $AB$、$BC$ 的垂直平分线，交于 $O$。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径画圆。

两边中垂线确定圆心并画圆的结果

$O$ 在第一条中垂线上，故 $OA=OB$；在第二条中垂线上，故 $OB=OC$。所以 $OA=OB=OC$，三个点都在所作圆上。

原题给非退化三角形，三点不共线，两条中垂线有唯一交点，半径随之确定。不是任意画一个把三角形包住的圆，而是三个顶点恰好都在圆周上。

本题结论

以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径的圆为所求。

4. 先作垂线，再用圆规截取相等边

题目若没有指定直角顶点，可选择便于作图的位置。先保证垂直和点在线上的要求，再截取两条相等直角边。辅助作图点不一定是最终三角形的顶点。

例题 06 在线上安排两个顶点 2024 陕西

题目

（2024陕西）如图，已知直线 $l$ 和 $l$ 外一点 $A$ . 请用尺规作图法，求作一个等腰直角 $\triangle ABC$ ，使得顶点 $B$ 和顶点 $C$ 都在直线 $l$ 上。（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

题目所给图形

答案与解析

解析

过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $C$。以 $C$ 为圆心、$CA$ 为半径作弧，与 $l$ 交于 $B$，任选一侧即可；连接 $AB$。

过A作垂线并在l上截取CB等于CA

$AC\perp CB$，所以 $\angle ACB=90^\circ$；$CB=CA$ 由同一圆的半径保证。于是 $ABC$ 是等腰直角三角形，且 $B,C$ 都在 $l$ 上。

题目没有要求直角必须在 $A$。原图的 $M,N,D$ 用来确定垂线，是辅助点，不把线外的 $D$ 当成要求在线上的顶点。

本题结论

$\triangle ABC$ 符合要求，直角顶点为 $C$。

三、坑点 痕迹与条件

1. 看懂痕迹，而不是只认一种常见画法

先把每一组同圆或同半径弧翻译成具体等长线段，再判断能否组成 SSS、SAS、ASA 或 HL。不同的作法可能得到同一个对象；不能因为图形不像熟悉的模板就否认它。

辨析 01 四组尺规作图痕迹 2024 山东烟台

题目

某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下。射线 $OP$ 为 $\angle AOB$ 的平分线的有多少个？

第1种作图痕迹

第2种作图痕迹

第3种作图痕迹

第4种作图痕迹

A. 1个　B. 2个　C. 3个　D. 4个

答案与解析

解析

图1：SSS。 同圆给 $OC=OD$，两等半径弧给 $CP=DP$，$OP$ 公共，故 $\triangle OCP\cong\triangle ODP$。

图2：先后使用三次全等。 同圆给 $OA=OB$、$OC=OD$，O 处夹角公共，SAS 得 $\triangle OAD\cong\triangle OBC$，得到两对对应角。又 $AC=OA-OC=OB-OD=BD$，两端角由共线及邻补关系对应相等，ASA 得 $\triangle ACP\cong\triangle BDP$，故 $CP=DP$。最后配 $OC=OD$ 与 $OP$ 公共，用 SSS 得两个半角相等。

图3：平行与等腰。 复制角使 $CP\parallel OB$，以 $C$ 为圆心的弧给 $CO=CP$。等腰三角形底角相等，得 $\angle COP=\angle CPO$；平行线内错角给 $\angle CPO=\angle BOP$，所以两半角相等。

图4：HL。 痕迹给 $OC=OD$，且 $OP\perp CD$，$P$ 在 $CD$ 上。两小直角三角形有相等斜边、公共直角边 $OP$，由 HL 全等，所以两半角相等。

四种都有效。A、B、C 都漏计了合法作法。

本题结论

选 D，共4个。

2. 中垂线的交点，不是重心

作三角形重心，必须先用中垂线取得两边中点，再连接顶点与对边中点，取两条中线的交点。两条中垂线直接相交得到的是等距于三个顶点的点，属于另一个几何中心。

前一页三角形的重心作图已经保留了完整例题与作图痕迹。这里检查的关键是：中垂线只是取中点的工具，中线才是定位重心的线。

3. 检查方向、半径和交点存在性

• 作角平分线，最后应作射线，不能只写“连接两点”就当作完整射线。
• 两圆心作弧时，两次半径须相同；“都大于半边”不代表它们相等。
• 线外点作垂线，第一圆弧须与直线有两个不同交点。
• 用两弧交点定直线，两个点不能重合。
• 同一射线或同一圆可能产生多个交点，要按原角区域、同侧要求和截取方向选择。

“保留作图痕迹”不只是格式要求；缺少这些关系，图形再像，也不能证明作法正确。

上一页角的平分线

下一页线段的垂直平分线