平行四边形及特殊平行四边形

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平行四边形是共同基础，矩形多了直角，菱形多了邻边相等，正方形兼有二者。证明时先分清已有哪一类图形，再决定还缺什么条件；计算时把四边形拆成有依据的三角形。

一、知识点概念与依据

1. 平行四边形：边、角、对角线

两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。顶点字母须沿边界顺次命名；本页的四边形均指简单、非退化图形。

对象	性质	从哪里来
两组对边	分别平行且相等	平行是定义；连一条对角线，由两组内错角及公共边 ASA 得两三角形全等
角	邻角互补，对角相等	两组平行线的同旁内角互补，再作等量相减
对角线	在同一点互相平分	在 $AOB,COD$ 中用平行所得等角和对边相等作 ASA
面积	底×对应的垂直高	将一端突出部分平移到另一端，拼成同底同高的矩形

一条对角线分出两个全等三角形；两条对角线分出四个等面积三角形，但一般只有两两相对的三角形全等。等面积不等于全等。

对角线交点 $O$ 是对称中心，绕它旋转180°， $A,C$ 与 $B,D$ 分别交换。因此任何过 $O$ 的直线都把图形分成两个全等部分，面积和周长均相等。

反过来，若一条直线平分此凸图形的面积，它必过中心：与它平行且过中心的直线本已平分面积；两线若不重合，中间会截出正面积条带，原直线两侧面积便不可能仍相等。

2. 判定平行四边形：条件须成套

充分条件	证明路线
两组对边分别平行	定义
两组对边分别相等	连一条对角线，由 SSS 得全等，再用内错角相等判平行
同一组对边平行且相等	连对角线，借平行内错角、共边作 SAS，补出另一组平行
两组对角分别相等	总内角和360°，推出每对邻角和180°，再判两组平行
两条对角线互相平分	两组半对角线与对顶角作 SAS，得到两组内错角相等

“平行且相等”必须说的是同一组对边；“互相平分”必须是两条对角线在同一交点分别被平分。一组平行、另一组相等，不属于第三条判据。

3. 平行线间的距离与斜跨段

两条不同平行直线之间的距离，是一条线上任一点到另一条线的垂直距离，处处相等。

图中两垂线互相平行，配合原两条平行线构成平行四边形，故两条垂线段相等。若改用两条互相平行的斜线段跨接两条直线，它们也相等，理由仍是平行四边形的对边相等。

斜跨段的长度不是两平行线间的距离。任意两条跨段若不互相平行，也不保证相等。同底或等底、同高或等高的平行四边形面积相等，三角形也可按同底等高替换面积。

4. 矩形：等对角线来自直角

有一个直角的平行四边形是矩形。由邻角互补、对角相等，四个角全为直角。

性质： 保留平行四边形全部性质；两对角线还相等，所以交点到四顶点等距。
判定： 已是平行四边形时，加一个直角或加两对角线相等即可；一般四边形有三个直角，也能判为矩形。
对称： 非正方形的矩形有两条过对边中点的对称轴；正方形作为特殊矩形另有两条对角线轴。中心始终是对角线交点。

等对角线的证明： 比较 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BAC$ ，有 $AB$ 公共、 $AD=BC$ 、两夹角都是直角，SAS 得全等，故 $BD=AC$ 。

等对角线判矩形： 已知平行四边形且 $AC=BD$ ，用 $AB$ 公共、 $AD=BC$ 作 SSS 得 $\triangle BAD\cong\triangle ABC$ ，从而两邻角相等；它们又互补，只能各为90°。一般四边形若没有平行基础，仅两对角线相等还不够。

5. 菱形：垂直对角线来自等边

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；等价地，四边都相等的简单非退化四边形是菱形。四边等先由 SSS 得内错角相等，保证两组对边平行。

性质	理由或用途
四边相等	周长除以4求边长
两对角线互相垂直平分	用半条对角线构造直角三角形
每条对角线平分对应一组对角	将整个顶角与半角区分开
两条对角线所在直线为对称轴	非正方形菱形有2条轴；正方形特例有4条

设对角线交于 $O$ 。由 $AB=AD$ 、 $BO=DO$ 、 $AO$ 公共，SSS 得 $\triangle AOB\cong\triangle AOD$ 。相等的两个邻补角 $\angle AOB,\angle AOD$ 各为90°，并得 $\angle BAO=\angle DAO$ 。其他顶点同理。四个半三角形由两条半对角线及夹直角又可证全等。

判定方向： 在平行四边形基础上，邻边相等或对角线垂直都能判菱形。后者用 $AO$ 公共、 $BO=DO$ 与夹直角作 SAS，得到 $AB=AD$ 。若一条对角线平分一顶角，也可借平行内错角在一个三角形中得到等底角，进而得到邻边相等。

6. 面积：整条对角线与垂直高

菱形可以用两种面积式：

S=\text{底}\times\text{对应高}=\frac12\times\text{两条完整对角线的乘积}.

后一公式其实适用于任何对角线互相垂直的凸四边形，不要求对角线互相平分。设交点为 $O$ ，四个小直角三角形面积相加：

S=\frac12(AO\cdot BO+BO\cdot CO+CO\cdot DO+DO\cdot AO) =\frac12(AO+CO)(BO+DO)=\frac12 AC\cdot BD.

这里交点在两条有限对角线内部，所以各段可以按正长度相加。输入若是半对角线，要先倍回完整长度；若对角线不垂直，不能无条件套积的一半。

7. 正方形同时具备矩形与菱形的条件

一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形。它同时是矩形和菱形，因而有四等边、四直角、等长且互相垂直平分的对角线，每条对角线将对应直角平分为45°。

边长 $s$ 、对角线长 $d$ 时，等腰直角三角形给 $d^2=2s^2$ ，所以 $S=s^2=d^2/2$ 。不能把对角线当边长直接平方。

已知基础	再增加什么即可判正方形
矩形	邻边相等，或两对角线垂直
菱形	一个直角，或两对角线相等
平行四边形	同时获得矩形与菱形的条件
一般四边形	两对角线等长、垂直且互相平分，三项齐全

一般不保证，不等于绝不可能。矩形可以有垂直对角线，菱形可以有等长对角线，那就是它们的正方形特例。平行四边形也可能有对称轴，不能把“并非所有都有”写成“所有都没有”。

8. 正方形三种构造的条件与依据

十字垂线：比较的是跨越对边的完整线段。 下图的两线段分别跨越两组对边，且互相垂直。

第一图比较 $\triangle ADE$ 与 $\triangle BAF$ ： $AD=BA$ ，两直角相等； $AE\perp BF$ 、 $AD\perp BA$ 使 $\angle DAE=\angle ABF$ ，由 ASA 得全等，故 $AE=BF$ 。后两图可将跨段平行移动到从顶点出发，利用同一组平行线间同向跨段等长，再化回第一图。普通矩形两组宽度不同，任意垂直的半截线段也不符合这个结论。

45°半角：把散段接成一条。 $E,F$ 分别在 $BC,CD$ 上，且 $\angle EAF=45^\circ$ 。

把 $\triangle ADF$ 绕 $A$ 旋转90°到 $\triangle ABG$ ， $G$ 在 $BC$ 经 $B$ 的反向延长线上。旋转给 $AG=AF$ 、 $BG=DF$ 、 $\angle BAG=\angle DAF$ 。原直角去掉45°后， $\angle BAE+\angle DAF=45^\circ$ ，故 $\angle EAG=\angle EAF$ 。再用公共边 $AE$ 作 SAS，得 $\triangle AEG\cong\triangle AEF$ 。

因此 $EF=EG=BE+DF$ ，两三角形面积也相等。等式中的“加”依赖 $G,B,E$ 的顺序；点在延长线上时须重读角和点序，不能直接照搬。边端的退化小三角形须另作直接核验。

中心直角：先确认等距，再割补。 $O$ 为正方形中心， $E,F$ 在相邻边 $AB,BC$ 上，且 $\angle EOF=90^\circ$ 。

$OA=OB$ ， $\angle OAB=\angle OBF=45^\circ$ 。由 $\angle AOB=\angle EOF=90^\circ$ 同减 $\angle EOB$ ，得到 $\angle AOE=\angle BOF$ ，ASA 得 $\triangle AOE\cong\triangle BOF$ 。将 $BEOF$ 中的 $\triangle BOF$ 换成等面积的 $\triangle AOE$ ，恰拼成 $\triangle AOB$ ，所以面积为原正方形的四分之一。

这个模型需要中心等距、相邻有限边和完整区域条件。两正方形重叠题还要核其他两边有没有切入目标区域，不能只凭一个直角就写四分之一。原书另列的三角形迁移图如下，若不补等腰、中点或等距条件，不能作无条件推广。

9. 梯形：让分散的边进入同一个三角形

本资料的梯形指恰有一组对边平行、另一组不平行的四边形。平行的两边叫底，另两边叫腰。梯形可以有对称轴，但没有对称中心；若半转后重合，就会迫使两组对边都平行。

辅助线	希望得到的结构
从上底两端作高	将两腰放入直角三角形
平移一条对角线	把两条原对角线转到同一个三角形中
延长两腰	得到有公共顶角的两三角形，后续可比较形状
连接一腰端点与另一腰中点并延长	借半腰相等与平行角构造全等，转移等面积块
平移一腰	分出一个平行四边形和一个三角形，将两底差集中

辅助线不是越多越好，先看目标是长度、角还是面积，再选择要搬动的对象。延长两腰仅给公共角，并不自动使两三角形全等。

二、考点方法与例题

1. 先把边、角、对角线换成小三角形的条件

已知平行四边形，先标对边相等与两对角互平分，再寻找目标三角形。矩形还能给半对角线相等，菱形还能给对角垂直与顶角平分；不要把后两类的额外性质无条件送给一般平行四边形。

例题 01 平行四边形中的小三角形周长知识清单例题

题目

如图, 已知 $\square ABCD$ 的对角线 AC, BD 交于点 O, 且 AC = 8, BD = 10, AB = 5, 则 $\triangle OCD$ 的周长为 ____.

答案与解析

解析

$CD=AB=5$ ， $OC=AC/2=4$ ， $OD=BD/2=5$ 。因此 $\triangle OCD$ 周长为 $5+4+5=14$ 。两条对角线并不等长，不能取 $OC=OD$ 。

本题结论

14。

例题 02 矩形对角线的交角知识清单例题

题目

如图, 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 相交于点 O, $\angle BOC = 120^{\circ}$ , AB = 6. 求对角线的长.

答案与解析

解析

矩形对角线相等且互平分，所以 $OA=OB$ 。 $A,O,C$ 共线，得 $\angle AOB=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ 。等腰三角形 $AOB$ 的顶角为60°，故为等边三角形， $OA=AB=6$ 。于是 $AC=2OA=12$ ， $BD=AC=12$ 。

本题结论

两条对角线长都为12。

例题 03 菱形的整角与半角知识清单例题

题目

如图,在菱形 ABCD 中, $\angle D=150^{\circ}$ ,则 $\angle1=$ ____°.

答案与解析

解析

对角相等给 $\angle B=\angle D=150^\circ$ ，且 $AB=BC$ ，所以 $\triangle ABC$ 的两底角各为 $(180^\circ-150^\circ)/2=15^\circ$ 。

图中角1是 $\angle BAC$ ，不是整个菱形在 $A$ 处的30°内角。

本题结论

$15^\circ$ 。

2. 角平分配平行，把角关系转成等腰边长

用平行线把一个半角移进同一个三角形，与另一个半角组成等底角，便得到等腰。求目标线段时，再按实际点序相加或相减，不把图中的重叠段漏掉。

例题 04 两段等腰底边的重叠知识清单例题

题目

如图, 在 $\square ABCD$ 中, $AB = 8$ , $AD = 5$ , $\angle DAB$ , $\angle ABC$ 的平分线 $AE$ , $BF$ 分别与直线 $CD$ 交于点 $E$ , $F$ , 求 $EF$ 的长.

答案与解析

解析

$CD=AB=8$ ， $AD=BC=5$ 。 $AE$ 平分 $\angle DAB$ ，且 $AB\parallel CD$ ，所以 $\angle DEA=\angle EAB=\angle DAE$ ，得 $DE=AD=5$ 。同理， $CF=BC=5$ 。

按图 $D,F,E,C$ 顺次共线，两段 $DE,CF$ 的重叠为 $EF$ ，故

EF=DE+CF-CD=5+5-8=2.

若换了点序，不能机械保留同一个减法式。

本题结论

$EF=2$ 。

例题 05 角平分线与外部点知识清单例题·2024广东广州

题目

（2024 广东广州）如图，□ABCD 中，BC=2，点 E 在 DA 的延长线上，BE=3，若 BA 平分 $\angle EBC$ ，则 DE= ____.

答案与解析

解析

$BC\parallel AD$ ， $AD=BC=2$ 。 $BA$ 平分 $\angle EBC$ ，故 $\angle CBA=\angle EBA$ ；平行又给 $\angle CBA=\angle BAE$ ，从而 $AE=BE=3$ 。

$D,A,E$ 顺次共线， $DE=DA+AE=2+3=5$ 。

本题结论

$DE=5$ 。

例题 06 垂线、半角与两小三角形知识清单例题

题目

如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,分别过点 A,C 作 $AE \perp BD, CF \perp BD$ ,垂足分别为 E,F.AC 平分 $\angle DAE$ .

(1) 若 $\angle AOE = 50^{\circ}$ ，求 $\angle ACB$ 的度数.

(2) 求证: AE = CF.

答案与解析

解析

（1） $\triangle AEO$ 在 $E$ 处为直角， $\angle EAO=90^\circ-50^\circ=40^\circ$ 。 $AC$ 平分 $\angle DAE$ ，得 $\angle OAD=40^\circ$ 。由 $AD\parallel BC$ 得 $\angle ACB=40^\circ$ 。

（2）对角线互平分给 $AO=CO$ ； $\angle AEO=\angle CFO=90^\circ$ ， $\angle EOA=\angle FOC$ 为对顶角。由 AAS， $\triangle AEO\cong\triangle CFO$ ，故 $AE=CF$ 。

本题结论

（1） $40^\circ$ ；（2） $AE=CF$ 。

3. 先判图形，再使用它的性质

把已有条件与判据逐项配对。尚未证明是平行四边形时，不能先用对边相等；尚未证明是矩形时，不能先用等对角线。开放补条件题要补尚未有的条件，而不是重复原已知。

例题 07 任选条件后完成证明与计算知识清单例题·2024湖南

题目

(2024 湖南) 如图, 在四边形 ABCD 中, $AB \parallel CD$ , 点 E 在边 AB 上, ____.

请从“① $\angle B=\angle AED$ ；② $AE=BE, AE=CD$ ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：

(1) 求证: 四边形 BCDE 为平行四边形.

(2) 若 $AD \perp AB, AD = 8, BC = 10$ , 求线段 AE 的长.

答案与解析

解析

（1）选择①： $\angle B=\angle AED$ ，按图中的同位角关系得 $BC\parallel DE$ ；又 $BE\parallel CD$ ，两组对边分别平行，故 $BCDE$ 为平行四边形。

选择②：由 $AE=BE$ 、 $AE=CD$ 得 $BE=CD$ ；又 $BE\parallel CD$ ，同一组对边平行且相等，也可判定。

（2）判定后才能用 $DE=BC=10$ 。在直角三角形 $ADE$ 中， $AE=\sqrt{10^2-8^2}=6$ 。

本题结论

两组条件都可选；（1） $BCDE$ 为平行四边形；（2） $AE=6$ 。

例题 08 对边减去等长段，再证明全等知识清单例题·2024湖北武汉

题目

（2024 湖北武汉）如图，在□ABCD 中，点 E, F 分别在边 BC, AD 上, AF = CE.

(1) 求证: $\triangle ABE \cong \triangle CDF.$

(2) 连接 EF. 请添加一个与线段相关的条件, 使四边形 ABEF 是平行四边形。(不需要说明理由)

答案与解析

解析

（1）原平行四边形给 $AB=CD$ 、 $AD=BC$ 、 $\angle B=\angle D$ 。又 $AF=CE$ ，所以 $DF=AD-AF=BC-CE=BE$ 。由两边及夹角相等， $\triangle ABE\cong\triangle CDF$ （SAS）。

（2）可补 $AF=BE$ 。原有 $AF\parallel BE$ ，添同一组对边相等后，即可判四边形 $ABEF$ 为平行四边形。

本题结论

（1） $\triangle ABE\cong\triangle CDF$ ；（2）例如 $AF=BE$ 。

例题 09 一般四边形从三个直角入手知识清单例题

题目

如原图，在四边形ABCD中， $AB\parallel CD$ ， $\angle BAD=90^\circ$ ， $AB=5$ ， $BC=12$ ， $AC=13$ 。求证：四边形ABCD是矩形。

答案与解析

解析

由 $AB\parallel CD$ 、 $\angle BAD=90^\circ$ ，得 $\angle ADC=90^\circ$ 。在 $\triangle ABC$ 中， $5^2+12^2=13^2$ ，由勾股定理逆定理，最长边 $AC$ 对面的 $\angle B=90^\circ$ 。

四边形已有三个直角，所以第四角也为90°， $ABCD$ 是矩形。不是由最初一个直角就能直接判定。

本题结论

$ABCD$ 是矩形。

例题 10 动点何时使图形成矩形知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, 点 $O$ 是边 $AC$ 上一动点, 过点 $O$ 作直线 $MN \parallel BC$ . 设 $MN$ 交 $\angle ACB$ 的平分线于点 $E$ , 交 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle ACD$ 的平分线于点 $F$ .

(1) 求证: OE = OF.

(2) 当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时, 四边形 AECF 是矩形? 并说明理由.

答案与解析

解析

（1）外角平分给 $\angle ACF=\angle FCD$ ，平行给 $\angle FCD=\angle CFO$ ，所以 $OF=OC$ 。同理，内角平分与平行给 $OE=OC$ ，故 $OE=OF$ 。

（2）当 $O$ 为 $AC$ 中点时， $AO=OC$ ，配合 $EO=FO$ ，新图的两对角线互相平分，先得平行四边形。内外角邻补，两平分线夹角为

\angle ECF=\tfrac12(\angle ACB+\angle ACD)=90^\circ,

因此成为矩形。反过来，若已是矩形，对角线必互相平分，交点 $O$ 必为 $AC$ 中点，所以这一位置也是必要的。 $O=C$ 时图形退化，不能称为矩形。

本题结论

（1） $OE=OF$ ；（2） $O$ 为 $AC$ 中点时，且仅此时为矩形。

例题 11 先判矩形，再换底高求长知识清单例题·2024甘肃兰州

题目

（2024甘肃兰州）如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=AC,D$ 是 $BC$ 的中点， $CE\parallel AD,AE\perp AD,EF\perp AC.$

(1) 求证: 四边形 ADCE 是矩形.
(2) 若 BC=4, CE=3, 求 EF 的长.

答案与解析

解析

（1） $AB=AC$ 且 $D$ 为 $BC$ 中点，三线合一给 $AD\perp BC$ 。结合 $CE\parallel AD$ 、 $AE\perp AD$ ，得到 $\angle ADC=\angle DCE=\angle EAD=90^\circ$ ，故 $ADCE$ 为矩形。

（2） $CD=BC/2=2$ ，矩形给 $AE=CD=2$ 、 $\angle AEC=90^\circ$ ，所以 $AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ 。

同一个三角形 $AEC$ 用两种底高表示面积， $AC\cdot EF=AE\cdot CE=6$ ，因此 $EF=6/\sqrt{13}=6\sqrt{13}/13$ 。

本题结论

（1） $ADCE$ 为矩形；（2） $EF=6\sqrt{13}/13$ 。

例题 12 中垂线与原平行边构造菱形知识清单例题

题目

如图所示, □ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD, BC, AC 分别相交于点 E, F, O, 连接 AF, EC. 四边形 AFCE 是菱形吗? 为什么?

答案与解析

解析

方法一： $AD\parallel BC$ ，故 $\angle EAO=\angle FCO$ ； $AO=CO$ ， $\angle AOE=\angle COF=90^\circ$ 。ASA 得 $\triangle AOE\cong\triangle COF$ ，所以 $AE=CF$ 。结合 $AE\parallel CF$ ，先判 $AFCE$ 为平行四边形；其对角线 $AC\perp EF$ ，再判菱形。

方法二：中垂线性质给 $AE=EC$ 、 $AF=FC$ 。由等腰及平行得到 $\angle ECA=\angle EAC=\angle FCA$ 。 $\triangle ECO,\triangle FCO$ 有两个等角及共同夹边 $CO$ ，ASA 得 $EC=FC$ 。于是四边 $AE=EC=CF=FA$ ，直接判菱形。

本题结论

$AFCE$ 是菱形。

例题 13 从矩形或菱形出发补条件知识清单例题·合组；（2）2024黑龙江龙东地区

题目

（1）如图, 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O, $\angle OAB = \angle OBA$ .

(1) 证明: 平行四边形 ABCD 是矩形.
(2) 请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形.

（2）(2024 黑龙江龙东地区) 如图, 在菱形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 相交于点 O, 请添加一个条件: , 使得菱形 ABCD 为正方形.

答案与解析

解析

（1） $\angle OAB=\angle OBA$ ，所以 $OA=OB$ 。原平行四边形又给 $OA=OC$ 、 $OB=OD$ ，故 $AC=2OA=2OB=BD$ ，先判矩形。再加 $AC\perp BD$ ，便同时具有菱形条件，成为正方形；也可加 $AB=BC$ 。

（2）原图已是菱形，可加 $AC=BD$ ，使其又是矩形，进而为正方形；也可加一个角为90°。不能只重复菱形本有的“对角线垂直”作为新条件。

本题结论

（1）原图为矩形，再添例如 $AC\perp BD$ ；（2）例如 $AC=BD$ 。答案均不唯一。

例题 14 外部等距点连接两次判定知识清单例题

题目

如图, 在 $\square ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 交于点 $O, E$ 是 $BD$ 延长线上的点, 且 $EA = EC$ .

(1) 求证: 四边形 ABCD 是菱形.
(2) 若 $\angle DAC = \angle EAD + \angle AED$ ，求证：四边形 ABCD 是正方形.

答案与解析

解析

（1） $AO=CO$ ，且 $EA=EC$ ，所以 $E$ 在 $AC$ 中垂线上。 $O$ 是中点， $E\ne O$ ，故直线 $EO$ 就是中垂线。 $E,O,B,D$ 共线，得 $AC\perp BD$ ，平行四边形因而是菱形。

（2）按图 $B,D,E$ 顺次共线， $\angle ADB$ 是 $\triangle ADE$ 的外角，

\angle ADB=\angle EAD+\angle AED=\angle DAC.

在 $\triangle AOD$ 中得到等底角，故 $AO=DO$ 。原两对角线互平分，得 $AC=2AO=2DO=BD$ 。菱形又有等对角线，所以是正方形。

本题结论

（1） $ABCD$ 是菱形；（2）加所给角条件后是正方形。

4. 长度与面积：先分半，再倍回

菱形两对角线垂直平分，先用半条对角线构成的直角三角形求长度。求整图面积时恢复完整对角线；若求高，用“对角线积半=底×高”表达同一面积。

例题 15 周长与一条对角线求面积知识清单例题

题目

如图,已知菱形 ABCD 的周长为 24,一条对角线的长为 8,求该菱形的面积.

答案与解析

解析

边长 $AB=24/4=6$ 。不妨令 $AC=8$ ，则 $OA=4$ 。直角三角形 $AOB$ 中， $OB=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5$ ，所以完整对角线 $BD=2OB=4\sqrt5$ 。

S=\frac12 AC\cdot BD=\frac12\times8\times4\sqrt5=16\sqrt5.

两个因子一半分别来自“半条对角线”和“面积积半”，不能随意混抵。

本题结论

$16\sqrt5$ 。

例题 16 60度先产生等边三角形知识清单例题

题目

如图,已知某广场的菱形花坛 ABCD 的周长是 $24 \, m$ , $\angle BAD = 60^{\circ}$ , 则对角线 AC 的长为 ( )

A. $6\sqrt{3}$ m

B.6 m

C. $3\sqrt{3}$ m

D.3 m

答案与解析

解析

每边为 $24/4=6\text{ m}$ 。 $AB=AD$ 、 $\angle BAD=60^\circ$ ，所以 $\triangle ABD$ 为等边三角形， $BD=6\text{ m}$ 、 $OB=3\text{ m}$ 。

直角三角形 $AOB$ 中， $OA=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3\text{ m}$ ，故 $AC=2OA=6\sqrt3\text{ m}$ ，选 A。B是另一对角线，C是半条目标对角线，D是半条另一对角线。

本题结论

A， $6\sqrt3\text{ m}$ 。

例题 17 用两种面积式换算垂直高知识清单例题

题目

如图,四边形 ABCD 是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB 于点 H.求 DH 的长.

答案与解析

解析

$OA=4$ 、 $OB=3$ 且互相垂直，所以 $AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$ 。整图面积为 $8\times6/2=24$ 。

以 $AB$ 为底，高是 $DH$ ，因此 $5DH=24$ ， $DH=24/5$ 。这个高既不是半对角线，也不是菱形的边。

本题结论

$DH=24/5$ 。

5. 等对角线把动线段换成距离

目标线段若是一个小矩形的对角线，可先换成另一条对角线，再用点到直线的垂线段最短。还必须检查垂足能否取到，以及动点在端点时的小图是否退化。

例题 18 求两垂足之间距离的最小值知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}, AC = BC = 6, P$ 为边 $AB$ 上一动点, 作 $PD \perp BC$ 于点 $D$ , $PE \perp AC$ 于点 $E$ , 求 $DE$ 的最小值.

答案与解析

解析

当 $P$ 在 $AB$ 内部时， $C,D,P,E$ 处已有三个直角，故 $CDPE$ 是矩形， $DE=CP$ 。

于是目标转成固定点 $C$ 到边 $AB$ 上点 $P$ 的最短距离。等腰三角形的高落在底边中点，垂足在允许范围内，最小值能够取到。 $AB=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2$ ，此时 $CP$ 同时是直角三角形的斜边中线，故 $CP=AB/2=3\sqrt2$ 。

若 $P=A$ 或 $P=B$ ，小矩形虽退化，直接计算 $DE=6$ ，仍大于 $3\sqrt2$ 。

本题结论

最小值为 $3\sqrt2$ ，当 $P$ 为 $AB$ 中点时取得。

6. 平移、翻折后，先认对应点和固定点

平移保持整个图形的对应边角，翻折保持对应点到折痕上固定点的距离。先写出哪两个点对应，再列等边，不能将旁边一条看似相近的线段当作对应段。

例题 19 矩形中的平移与等腰判断知识清单例题

题目

如图, 在矩形 ABCD 中, 连接对角线 AC、BD, 将 $\triangle ABC$ 沿 BC 方向平移, 使点 B 移到点 C 处, 得到 $\triangle DCE$ .

(1) 求证: $\triangle ACD \cong \triangle EDC.$
(2)请探究 $\triangle BDE$ 的形状,并说明理由.

答案与解析

解析

（1）平移对应为 $A\to D$ 、 $B\to C$ 、 $C\to E$ ，所以 $CE=BC$ 。矩形又给 $AD=BC$ ，故 $AD=EC$ 。 $CD$ 公共， $\angle ADC=\angle ECD=90^\circ$ ，由 SAS 得 $\triangle ACD\cong\triangle EDC$ 。

（2）矩形有 $AC=BD$ ，平移有 $DE=AC$ ，所以 $BD=DE$ ， $\triangle BDE$ 是等腰三角形。等腰不是只由“平移”两个字得来，还用了原矩形的等对角线。

本题结论

（1） $\triangle ACD\cong\triangle EDC$ ；（2） $\triangle BDE$ 为等腰三角形， $BD=DE$ 。

例题 20 翻折到另一边的中点知识清单例题·2024江苏徐州

题目

(2024 江苏徐州) 如图, 将矩形纸片 ABCD 沿边 EF 折叠, 使点 D 在边 BC 中点 M 处. 若 AB = 4, BC = 6, 则 CF = ____.

答案与解析

解析

折痕上的 $F$ 不动，原顶点 $D$ 的像为 $M$ ，所以 $DF=MF$ 。 $CD=4$ 、 $MC=3$ ，设 $CF=x$ ，则 $DF=4-x$ ，且 $0<x<4$ 。

在直角三角形 $MCF$ 中，

(4-x)^2=3^2+x^2.

展开并同减 $x^2$ ，得 $16-8x=9$ ，所以 $x=7/8$ 。回验 $DF=25/8$ ， $MF=\sqrt{9+49/64}=25/8$ ，且 $0<7/8<4$ ，位置与等距都符合。

本题结论

$CF=7/8$ 。

例题 21 折痕与跨越正方形的线段知识清单例题

题目

如图, 将一边长为 12 的正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折至 DC 边上的点 E 处, 使 DE = 5, 折痕为 PQ, 则 PQ 的长为 ( )

A.12

B.13

C.14

D.15

答案与解析

解析

翻折使 $PQ$ 为 $AE$ 的垂直平分线，所以 $PQ\perp AE$ 。作 $QF\perp AD$ ，则 $QF=AB=AD=12$ 。

$\triangle ADE$ 与 $\triangle QFP$ 的 $D,F$ 均为直角， $\angle DAE=\angle FQP$ 由两组垂直关系得到，再结合夹边 $AD=QF$ ，ASA 得全等。对应斜边 $PQ=AE$ 。

$\triangle ADE$ 在 $D$ 处为直角，故 $AE=\sqrt{12^2+5^2}=13$ ，选 B。12只代表正方形宽度，不是斜折痕长。

本题结论

B， $PQ=13$ 。

7. 正方形的45度与全等转换

正方形对角线给45°；遇到相等边，再在具体三角形中形成等腰。两条边分散时，可利用正方形等边、夹直角及公共边作 SAS，将目标角或长度换到另一处。

例题 22 对角线上的等长点知识清单例题

题目

如图, 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点, 且 BP = BC, 则 $\angle ACP$ 的度数是 ____.

答案与解析

解析

$BD$ 平分顶角， $\angle PBC=45^\circ$ 。 $BP=BC$ ，所以 $\triangle BPC$ 两底角各为 $(180^\circ-45^\circ)/2=67.5^\circ$ 。

$AC$ 平分 $C$ 处直角， $\angle BCA=45^\circ$ 。依图中射线次序， $\angle ACP=67.5^\circ-45^\circ=22.5^\circ$ 。 $P$ 并不是对角线交点，不能擅加中点条件。

本题结论

$22.5^\circ$ 。

例题 23 全等移角后再用外角知识清单例题

题目

如图,在正方形 ABCD 中,E 是对角线 BD 上一点,AE 的延长线交 CD 于点 F,连接 CE.若 $\angle BAE = 56^{\circ}$ ,则 $\angle CEF =$ ____ $^{\circ}$ .

答案与解析

解析

$AB=BC$ ， $\angle ABE=\angle CBE=45^\circ$ ， $BE$ 公共，SAS 得 $\triangle ABE\cong\triangle CBE$ ，所以 $\angle BCE=56^\circ$ 。

$\angle ECF=90^\circ-56^\circ=34^\circ$ 。又 $AB\parallel CD$ ，给 $\angle EFD=56^\circ$ ；它是 $\triangle CEF$ 的外角，所以 $\angle CEF=56^\circ-34^\circ=22^\circ$ 。

本题结论

$22^\circ$ 。

例题 24 延长等长段后比较两大三角形知识清单例题

题目

如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 边的延长线上,点 F 在 CD 边的延长线上,且 CE=DF,连接 AE 和 BF 相交于点 M.求证:AE=BF.

答案与解析

解析

按图 $B,C,E$ 与 $C,D,F$ 分别顺次共线。由 $BC=CD$ 、 $CE=DF$ 得 $BE=BC+CE=CD+DF=CF$ 。

$AB=BC$ ， $\angle ABE=\angle BCF=90^\circ$ ，由 SAS 得 $\triangle AEB\cong\triangle BFC$ ，所以 $AE=BF$ 。交点 $M$ 不参与这一证明，不能因图形对称感就另称它为中点。

本题结论

$AE=BF$ 。

出现两个垂足时： 先用两组垂直形成的等角及正方形等边判直角三角形全等，把已知长度换到所求图形；再对共用同一线段的两个直角三角形分别识别斜边并写勾股式，用同一个平方量相等消去未知数的平方。设未知段前先核点序，避免把整段相加写成相减。

例题 25 两个垂足与面积方程知识清单例题·2024北京

题目

(2024 北京) 如图, 在正方形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上, $AF \perp DE$ 于点 F, $CG \perp DE$ 于点 G. 若 AD = 5, CG = 4, 则 $\triangle AEF$ 的面积为 ____.

答案与解析

解析

直角三角形 $DCG$ 中， $DG=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 。 $\triangle ADF$ 与 $\triangle DCG$ 均为直角三角形， $AD=DC=5$ ，两组垂直给 $\angle DAF=\angle CDG$ ，由 AAS 得全等，所以 $AF=DG=3$ 、 $DF=CG=4$ 。

设 $EF=x>0$ 。按 $D,F,E$ 的次序， $DE=4+x$ 。分别在 $AEF,ADE$ 中用勾股：

AE^2=3^2+x^2=(4+x)^2-5^2.

展开消去 $x^2$ ，得 $18=8x$ ，所以 $x=9/4$ 。因此 $S_{\triangle AEF}=AF\cdot EF/2=3\times(9/4)/2=27/8$ 。

本题结论

$27/8$ 。

8. 先确认区域，再作等面积替换

替换面积的依据可以是全等，也可以是同底等高。必须明确哪一块换成哪一块、是否恰好拼成目标区域，不凭涂色或“模型名称”直接给比例。

例题 26 绕中心旋转后的重叠区域知识清单例题·改编，明确重叠区域

题目

如图,正方形ABCD的边长为4,O为正方形ABCD的对角线的交点,正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}O$ 绕点O旋转, $A_{1}O$ 交AB于E点, $C_{1}O$ 交BC于F点,则两个正方形重叠部分的面积为____.

已知图示重叠区域恰为四边形 $BEOF$ ，旋转正方形的另外两条边未切入这一区域。

答案与解析

解析

按题图，重叠区域为 $BEOF$ 。 $OA=OB$ ， $\angle OAB=\angle OBF=45^\circ$ 。 $\angle AOB=\angle EOF=90^\circ$ 同减 $\angle EOB$ ，得 $\angle AOE=\angle BOF$ 。

所以 $\triangle AOE\cong\triangle BOF$ （ASA），面积相等。将 $BEOF$ 中后一块换成 $AOE$ ，得到 $\triangle AOB$ ，面积为 $4^2/4=4$ 。

这里使用的是图示两条边段确实交到 $E,F$ ，且另两条边没有切入 $BEOF$ 的情形。改变旋转正方形的大小或位置时，应重新确认重叠区域，不无条件推广。

本题结论

重叠部分面积为4。

例题 27 两个大小不同的正方形换面积知识清单例题

题目

如图，四边形 $ABCD$ 和 $CEFG$ 都是正方形， $G$ 在 $CD$ 上， $BC=10\text{ cm}$ 。求四边形 $ABFD$ 的面积。

答案与解析

解析

连接 $CF$ 。

两个正方形的对角线分别与共线的 $BC,CE$ 形成45°，所以 $CF\parallel BD$ 。点 $F,C$ 到直线 $BD$ 的距离相等， $\triangle BDF$ 与 $\triangle BDC$ 同底等高，面积相等。

四边形 $ABFD$ 分成 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BDF$ ，将后一块换成 $\triangle BDC$ ，便得到整个正方形 $ABCD$ ，面积为 $10^2=100\text{ cm}^2$ 。没有要求小正方形边长也为10。

本题结论

$100\text{ cm}^2$ 。

例题 28 平移对角线求梯形两底和知识清单例题

题目

如图,在梯形 ABCD 中, $AD \parallel BC, AC \perp BD$ . 若 $AC = 6 \, cm, BD = 8 \, cm$ , 求梯形 ABCD 的上、下底之和.

答案与解析

解析

过 $D$ 作 $DE\parallel AC$ ，交 $BC$ 延长线于 $E$ 。

$AC\parallel DE$ 、 $AD\parallel CE$ ，故 $ACED$ 为平行四边形， $DE=AC=6\text{ cm}$ 、 $CE=AD$ 。原 $AC\perp BD$ ，所以 $DE\perp BD$ ，直角三角形 $BDE$ 给

BE=\sqrt{8^2+6^2}=10\text{ cm}.

$B,C,E$ 顺次共线， $BC+AD=BC+CE=BE=10\text{ cm}$ 。梯形对角线不一般互平分，不能将原6和8先擅自减半。

本题结论

上、下底之和为 $10\text{ cm}$ 。

三、坑点辨析与边界

1. 判据中的对象与前提不能交换

平行四边形的“同组平行且相等”、矩形的“等对角线”、菱形的“垂直对角线”都有具体前提。先把条件写全，再用反例或证明判断；不要把不同判据的半句话拼在一起。

辨析 01 五组条件与一个判断题知识清单例题·合组

题目

（1）如图, 四边形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 交于点 O, 下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ____. (填序号)

① $AB \parallel CD, AD \parallel BC;$
② $AB \parallel CD, AD = BC;$
③AO=CO,BO=DO;
④AB=CD,AD=BC;
⑤AB∥CD,∠ABC=∠ADC.

（2）如图, 在四边形 ABCD 中, 如果 $AD \parallel BC, \angle B = \angle D$ , 那么四边形 ABCD 是平行四边形吗? 请说明理由.

答案与解析

解析

（1）①为定义；③为对角线互平分；④为两组对边相等，都能判定。⑤由 $AB\parallel CD$ 得 $\angle A+\angle D=180^\circ$ ，代入 $\angle D=\angle B$ ，得到 $\angle A+\angle B=180^\circ$ ，再判 $AD\parallel BC$ ，也成立。只有②的平行与相等分属不同组，可为等腰梯形，不能判定。

（2）可以判为平行四边形。法一： $AD\parallel BC$ 给 $\angle A+\angle B=180^\circ$ ，代入 $\angle B=\angle D$ ，再判 $AB\parallel CD$ 。

法二：原平行同时给 $\angle C+\angle D=180^\circ$ ，两式相减得到 $\angle A=\angle C$ ，由两组对角相等判定。

法三：连接 $AC$ ，用平行内错角、原 $\angle B=\angle D$ 和公共非夹边 $AC$ 作 AAS，得 $\triangle ABC\cong\triangle CDA$ ，于是 $BC=AD$ 。原有 $BC\parallel AD$ ，同组平行且等也能判定。

本题结论

（1）只有②不能判定；（2）是平行四边形。

辨析 02 矩形性质与矩形判定不要串换知识清单例题·合组；（1）2024四川成都（2）2024四川泸州

题目

（1）（2024四川成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）

A.AB=AD

B. $AC \perp BD$

C. $AC = BD$

D. $\angle ACB = \angle ACD$

（2）（2024 四川泸州）已知四边形 ABCD 是平行四边形, 下列条件中, 不能判定 □ABCD 为矩形的是 ( )

A. $\angle A = 90^{\circ}$

B. $\angle B = \angle C$

C. $AC = BD$

D. $AC \perp BD$

答案与解析

解析

（1）选 C。矩形对角线一定相等；邻边相等、对角垂直、对角平分顶角均不是一般矩形的必有性质。

（2）选 D。已是平行四边形，A的一直角、C的等对角线均足够；B的两个邻角相等，又由平行四边形得互补，故各为90°，也足够。D的垂直对角线指向菱形，不保证矩形。

本题结论

（1）C；（2）D。

辨析 03 平方关系给的是哪一个直角知识清单例题·2024内蒙古通辽

题目

(2024 内蒙古通辽) 如图, □ABCD 的对角线 AC, BD 交于点 O, 以下条件不能证明 □ABCD 是菱形的是 ()

A. $\angle BAC = \angle BCA$

B. $\angle ABD = \angle CBD$

C. $OA^2 +OD^2 = AD^2$

D. $AD^{2} + OA^{2} = OD^{2}$

答案与解析

解析

A使 $\triangle ABC$ 的两底角相等，得 $AB=BC$ ，可判菱形。B配合 $AB\parallel CD$ 得 $\angle CBD=\angle BDC$ ，故 $BC=CD$ ，也可判菱形。

C由勾股定理逆定理得 $\angle AOD=90^\circ$ ，两对角线垂直，足够。

D却给 $\angle OAD=90^\circ$ ，直角在 $A$ 而非交点 $O$ 。菱形的对角线会平分 $A$ 处小于180°的内角，其半角不可能为90°，所以 D 不仅不能判定，在非退化情形下还排除了菱形。

本题结论

D。

2. 等宽是垂距相等，不是边长等于宽

等宽纸条交叉，先由两组边线平行判平行四边形，再用同一面积的两种底高表达证明邻边相等。随后认清图上标的是内角还是外角，垂足可能在延长线上。

辨析 04 等宽纸条的重叠部分知识清单例题·2024广西

题目

(2024 广西) 如图, 两张宽度均为 $3 \mathrm{~cm}$ 的纸条交叉叠放在一起, 交叉形成的锐角为 $60^{\circ}$ , 则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 ____ cm.

答案与解析

解析

两组边线分别平行，所以重叠图形先是平行四边形。两组高均为3 cm，同一面积既为 $3AD$ 又为 $3CD$ ，故 $AD=CD$ ，成为菱形。

原图 D 处标的是外部60°，内部 $\angle CDA=120^\circ$ 。过 $C$ 向直线 $AD$ 作垂线，垂足 $E$ 在越过 $D$ 的延长线上； $\angle CDE=60^\circ$ 、 $\angle DCE=30^\circ$ ，所以 $DE=CD/2$ 。

3^2=CD^2-(CD/2)^2=\tfrac34 CD^2,

得 $CD=2\sqrt3\text{ cm}$ ，周长为 $8\sqrt3\text{ cm}$ 。宽3 cm是垂直高，不能当斜边长。

本题结论

$8\sqrt3\text{ cm}$ 。

3. 动点重合，四边形就可能退化

证明新四边形之前，先确认确有四个不同的有效顶点。对角线互平分、三个直角等判据，不能拿来把重复点构成的退化图形也判为平行四边形或正方形。

辨析 05 对角线上的两个截点依据知识清单原题改编·检查退化边界

题目

原题给出：在平行四边形 $ABCD$ 中， $E,F$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AE=CF$ ，要求证明四边形 $DEBF$ 为平行四边形。

这个条件是否需要排除特殊位置？补足后怎样证明？

答案与解析

解析

若 $E=F=O$ ，其中 $O$ 为两对角线交点，则 $AE=CF$ 仍成立，但 $DEBF$ 只有三个不同点，不能称四边形。所以必须排除 $E=F$ 。

补充 $E\ne F$ 后，两点关于 $O$ 对称。按原图 $A,E,O,F,C$ 的次序，

OE=OA-AE=OC-CF=OF.

又 $OB=OD$ ，新图对角线 $EF,DB$ 在同一 $O$ 互相平分，故 $DEBF$ 为平行四边形。若 $E,F$ 交换到 $O$ 另一侧，需改写段长减法，但同样由 $AE=CF$ 得它们关于中点对称，结论不变。

本题结论

需排除 $E=F=O$ ；补充 $E\ne F$ 后，新四边形为平行四边形。

辨析 06 角平分线上的点到两边作垂线知识清单原题改编·补退化辨析小问

题目

如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分 $\angle ABC$ ,P 是 BD 上一点,过点 P 作 $PM \perp AD$ , $PN \perp CD$ , 垂足分别为 M;N.

(1) 求证: $\angle ADB = \angle CDB$ .
(2) 若 $\angle ADC = 90^{\circ}$ ，求证：四边形 MPND 是正方形.

（3）若允许 $P=D$ ，第（2）问的结论还能成立吗？

答案与解析

解析

（1） $AB=BC$ ， $BD$ 公共，且 $\angle ABD=\angle CBD$ ，SAS 得 $\triangle ABD\cong\triangle CBD$ ，故 $\angle ADB=\angle CDB$ 。

（2）对图示 $P\ne D$ 的有效构造， $\angle ADC=90^\circ$ ，两垂足又给两个直角，所以 $MPND$ 先为矩形。第（1）问说明 $DP$ 在 $D$ 的角平分线上，因此到两边的距离 $PM=PN$ ；矩形邻边相等，便为正方形。

（3）若 $P=D$ ，两垂足也都变成 $D$ ，各线段长为0，图形退化，不能叫正方形。原“BD上一点”须在第（2）问排除此端点。

本题结论

（1）等角成立；（2） $P\ne D$ 的图示构造为正方形；（3） $P=D$ 时不成立。

4. 给出的长度还要能与图形位置相容

从一个模型算出的面积，仍要检查所有边长、角和点序是否同时可实现。位于有限边上包含端点，与严格位于边的内部不同；原图若画成内点，不能不核条件就当作可行。

辨析 07 半角条件与边上点的位置知识清单原题改编·保原数据并增加可实现性辨析

题目

如图,已知正方形 ABCD 的边长为 8 ,点 E,F 分别在边 BC,CD 上, $\angle {EAF} = {45}^{ \circ }$ .当 ${EF} = 8$ 时, $\bigtriangleup {AEF}$ 的面积是 ( )

A.8

B.16

C.24

D.32

进一步辨析：当 $E,F$ 都严格位于各边内部时，这组条件能否同时成立？若允许端点，哪些位置可行？

答案与解析

解析

设 $BE=x$ 、 $DF=y$ ，有限边条件给 $0\le x,y\le8$ 。半角模型给 $EF=x+y$ ，原 $EF=8$ ，故 $x+y=8$ 。

从 $E,F$ 的水平、竖直距离看，

EF^2=(8-x)^2+(8-y)^2=x^2+y^2,

最后一步用了 $x+y=8$ 。又 $EF^2=64=(x+y)^2$ ，因此 $2xy=0$ 。

所以两点不能同时严格位于边的内部。只有 $x=0,y=8$ 或 $x=8,y=0$ ：即 $E=B,F=C$ ，或 $E=C,F=D$ 。这两种端点位置都使 $\angle EAF=45^\circ$ 、 $EF=8$ ，原三角形分别是 $ABC$ 或 $ACD$ ，面积均为 $8^2/2=32$ 。

原数值答案 D 在允许端点时可取，但原内点示意不能同时满足给出的全部条件。不能把仅画在内部的示意图当成另一个可行数值图。

本题结论

原选择答案为 D，32，但只能在上述两种端点位置取得；两点均严格在边内时无解。

5. 一般、一定、可能：别把包含关系说反

正方形属于矩形和菱形，矩形与菱形又都属于平行四边形。判断“一定”时要对所有成员成立；判断“可能”时，一个符合条件的特殊成员就足够。

辨析 08 图形从属与对称性的判断知识清单辨析·合组改编，明确量词与判断任务

题目

判断下列说法，并说明理由。

（1）平行四边形一定是轴对称图形。

（2）平行四边形的邻角互补。

（3）平行四边形的两对角线分出的四个三角形一定全等。

（4）只有正方形同时具有矩形和菱形的全部性质。

（5）平行四边形一定不是轴对称图形。

（6）正方形的中点四边形仍是正方形。

（7）矩形的两对角线可能垂直，菱形的两对角线可能相等。

（8）在平行四边形及其特殊类型中，正方形有4条对称轴，条数最多。

（9）菱形和正方形面积都为两条完整对角线乘积的一半。

（10）一组邻边相等的一般四边形一定是菱形。

（11）两对角线垂直的一般四边形不一定是菱形。

答案与解析

解析

（1）错，一般平行四边形不保证有轴；（2）对，来自平行线同旁内角互补；（3）错，四块等面积，但一般仅两两相对全等。

（4）对，兼四等边与四直角便为正方形；（5）错，矩形、菱形等特殊成员可以有轴；（6）对，原等长且垂直的对角线变成新图等长且垂直的邻边。

（7）对，两种“可能”都由正方形特例实现；（8）对，正方形有两对角线及两对边中点轴，共4条；（9）对，因为对角线互相垂直。

（10）错，缺平行四边形基础或其余等边条件；（11）对，仅垂直不保证互平分，例如非菱形的筝形。

本题结论

（1）错，（2）对，（3）错，（4）对，（5）错，（6）至（9）对，（10）错，（11）对。