与圆有关的位置关系

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判断位置关系，先选对距离；证明切线，先核清切点是否已知。外心到顶点等距，内心到三边等距，两种中心不能混用。

一、知识点概念与依据

1. 点与圆：比较点心距和半径

设圆的半径为 $r>0$ ，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d=OP$ 。

位置	距离关系	是否在圆周上
圆内	$0\le d<r$	否
圆上	$d=r$	是
圆外	$d>r$	否

每一行都是双向判断：位置能推出距离关系，距离关系也能推出位置。圆心本身在圆内；“不在圆外”包含圆内和圆上，不能直接说“在圆内”。

2. 过已知点作圆：存在与唯一要分开

已知不同点	圆心的位置	圆的个数
一个点 $A$	除 $A$ 外的任意点	无数个
两个点 $A,B$	$AB$ 的垂直平分线上	无数个
三个不共线点 $A,B,C$	两边垂直平分线的交点	唯一一个
三个共线点	不存在同时等距的圆心	0个

三个不共线点为何能确定圆？两边不平行，其垂直平分线相交于唯一一点 $O$ ； $OA=OB$ 且 $OB=OC$ ，所以三个点都在以 $O$ 为圆心、 $OA$ 为半径的圆上。任一所求圆的圆心又必须在这两条中垂线上，因此不可能另有圆心。

三个不同共线点不能共圆：如果前后两个相邻线段共线，它们的中垂线互相平行且不重合，无法有公共圆心。

3. 三角形的外心与内心

对照	外心 $O$	内心 $I$
怎样得到	三边中垂线的交点	三内角平分线的交点
等距对象	三个顶点： $OA=OB=OC=R$	三边所在直线：三条垂线段都为 $r$
对应圆	经过三个顶点的外接圆	与三边相切的内切圆
所处位置	锐角三角形内；直角三角形斜边中点；钝角三角形外	总在三角形内部

内心为什么是内切圆圆心？取两个内角平分线的交点 $I$ ，由角平分线性质， $I$ 到三边所在直线的垂距相等；由等距逆性质，位于三角形内部的 $I$ 也在第三个内角的平分线上。

还要说明切点落在有限的边上，而不只是边的延长线上。以边 $AB$ 为例， $\angle IAB=A/2<90^\circ$ 、 $\angle IBA=B/2<90^\circ$ ，因此从 $I$ 向直线 $AB$ 作垂线，其垂足同时在射线 $AB$ 与射线 $BA$ 上，且不在端点，只能落在线段 $AB$ 内部。另两边同理。以公共垂距为半径作圆，便与三条边相切；这个圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形。

外心的位置可以用中垂线与角的锐钝关系解释；相关平方比较见勾股定理。计算时更直接的识别是：看到外心就连接半径，看到内心就标出原三角形内角的一半。

若 $I$ 为内心， $\angle BIC=180^\circ-\frac12\angle B-\frac12\angle C=90^\circ+\frac12\angle A$ 。

若 $O$ 为外心，不能不看图就写 $\angle BOC=2\angle A$ 。普通的 $\angle BOC$ 不超过180°，而 $A$ 可能为钝角；应先确定 $A$ 所在的是弦 $BC$ 的优弧还是劣弧。

本图以 $O$ 标记内心，对应前表的 $I$ ，不是前表所说的外心。

4. 直线与圆：用垂距，不用任意连线

从圆心 $O$ 向直线 $l$ 作垂线，垂足为 $H$ ，记 $d=OH$ 。

位置关系	公共点个数	距离条件	直线名称
相交	2	$0\le d<r$	割线
相切	1	$d=r$	切线，公共点叫切点
相离	0	$d>r$	—

判断依据可由勾股定理得到。若直线上点 $X$ 在圆上，则 $OX^2=OH^2+HX^2=r^2$ ，所以 $HX^2=r^2-d^2$ 。右边为正时，垂足两侧各有一点；为0时只有垂足；为负时无解。

比较的是圆心到整条直线的最短距离，即垂线段的长度，不是圆心到直线上某个已标点的距离。直线穿过圆心时 $d=0$ ，仍然与圆相交。

5. 切线的性质与判定

性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
判定：经过半径的外端点、并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。

性质中的“经过切点”不可省略；判定中的“半径外端点”就是已知的圆上点。二者都来自 $d=r$ 时唯一公共点为垂足。

题设是否给出公共点	应怎样作辅助线	必须证明什么
已知 $A$ 在圆上且在待证直线上	连接半径 $OA$	$OA\perp l$
没有给出公共点	从圆心作 $OH\perp l$	$OH=r$

第二种情形中， $H$ 是作垂线得到的垂足，不是预先假设出来的切点。只有证得 $OH=r$ 后，才能说明 $H$ 在圆上、直线相切。

过圆上一点作切线，只需连接圆心并作半径的垂线。过圆外点 $P$ 作切线，可连接 $OP$ ，以 $OP$ 为直径作圆，与原圆交于 $A,B$ ；由直径所对的圆周角为直角， $PA\perp OA$ 、 $PB\perp OB$ ，所以 $PA,PB$ 正是两条切线。圆内点不能引出切线。

6. 同一点引出的两条切线

从圆外点 $P$ 向 $\odot O$ 引切线 $PA,PB$ ， $A,B$ 为切点。切线长指线段 $PA,PB$ 的长，不是无限长的直线。

连接 $OA,OB,OP$ ，两直角三角形 $\triangle OAP$ 、 $\triangle OBP$ 有公共斜边 $OP$ 和相等的半径，故由 HL 全等。

由此得到：

$PA=PB$ 。
$OP$ 平分两切线的夹角，即 $\angle APO=\angle OPB$ 。
$OP$ 也平分 $\angle AOB$ ，即 $\angle AOP=\angle POB$ 。
$O,P$ 都到 $A,B$ 等距，所以 $OP$ 是 $AB$ 的垂直平分线。
$\angle APB+\angle AOB=180^\circ$ ，因为四边形 $OAPB$ 的另外两个角都是90°。

注意第2、3条是各自平分： $P$ 端的半角与 $O$ 端的半角互余，不是这四个半角全部相等。

下图的角1、2标在 $A,B$ 处，分别是 $\angle OAB,\angle OBA$ ，并非 $O$ 端半角。 $OA=OB$ 得角1=角2；由切点直角及等腰三角形 $PAB$ 的半角关系，又有角1=角3=角4，因此图中四个编号角确实相等。

7. 内切圆半径与面积

设三角形的三边为 $a,b,c$ ，面积为 $S$ ，半周长 $s=\frac{a+b+c}{2}$ ，内切圆半径为 $r$ 。把内心连向三个顶点，三块三角形分别以原三边为底、以 $r$ 为高：

S=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr=sr,\qquad r=\frac{S}{s}.

若原三角形为直角三角形， $a,b$ 为两直角边， $c$ 为斜边，则

r=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{a+b-c}{2}.

第二个等式不是另背的孤立结论：由 $c^2=a^2+b^2$ ，有 $(a+b-c)(a+b+c)=2ab$ ，两边除以正数 $2(a+b+c)$ 即得。

8. 两圆的位置关系

设两圆半径 $R\ge r>0$ ，圆心距为 $d$ 。非重合的两圆最多有两个公共点。

位置	圆心距条件	公共点数
外离	$d>R+r$	0
外切	$d=R+r$	1
相交	$R-r<d<R+r$	2
内切	$d=R-r$ 且 $R>r$	1
内含	$0\le d<R-r$	0

相交时，连接两圆心与一个交点，三边为 $R,r,d$ ，三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，恰得到中间一行的严格不等式。相切是三点共线的临界情形。

等半径时必须补查特例： $d=0$ 表示两个圆重合，有无数个公共点，不能套成“内切”。同心但不等半径则是内含。

下列图中 $r_1=r$ 、 $r_2=R$ ，按外离、外切、相交、内切、内含依次排列。

二、考点先方法，后例题

1. 先求距离，再比较半径

点与圆看点心距；直线与圆看垂距。所需距离未直接给出时，可连半径、作垂线，借助勾股定理或同一三角形的两种面积表达式求出它。若题目要求“至少一点在内、至少一点在外”，分别由最小距离和最大距离控制，两端都要检查严格性。

例题 01 矩形三个顶点的位置知识清单例题

题目

已知矩形 $ABCD$ 的边 $AB = 3, AD = 4$ .

(1) 若以点 A 为圆心, 4 为半径作 $\odot A$ , 分别写出点 B, C, D 与 $\odot A$ 的位置关系.
(2) 若以点 A 为圆心作 $\odot A$ ，使 B, C, D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求 $\odot A$ 的半径 r 的取值范围.

答案与解析

解析

连接 $AC$ 。由矩形性质及勾股定理， $AB=3$ ， $AD=4$ ， $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。

（1）半径为4，故 $AB<4,AD=4,AC>4$ ，三点依次在圆内、圆上、圆外。

（2）至少一点在内，等价于最小点心距 $3<r$ ；至少一点在外，等价于最大点心距 $5>r$ 。取交集得 $3<r<5$ 。 $r=3$ 时没有圆内点， $r=5$ 时没有圆外点，都要排除。

本题结论

（1）B在圆内，D在圆上，C在圆外；（2） $3<r<5$ 。

例题 02 由弦长求半径知识清单例题

题目

（2024 广东广州）如图， $\odot O$ 中，弦 AB 的长为 $4\sqrt{3}$ ，点 C 在 $\odot O$ 上， $OC \perp AB, \angle ABC = 30^{\circ}$ . $\odot O$ 所在的平面内有一点 P，若 OP = 5，则点 P 与 $\odot O$ 的位置关系是（）

A. 点 P 在 $\odot O$ 上

B. 点 P 在 $\odot O$ 内

C. 点 P 在 $\odot O$ 外

D. 无法确定

答案与解析

解析

连接 $OA$ ，设 $OC$ 与 $AB$ 交于 $D$ 。垂径定理给 $AD=2\sqrt3$ ；圆周角定理给 $\angle AOC=60^\circ$ 。

在直角三角形 $OAD$ 中， $\angle OAD=30^\circ$ ，所以 $OD=\frac12OA$ 。设半径为 $r$ ，由勾股定理：

r^2=(2\sqrt3)^2+\left(\frac r2\right)^2,\quad \frac34r^2=12,\quad r=4.

已知 $OP=5>4$ ，故 $P$ 在圆外。A、B分别要求点心距等于、小于半径，均不符；半径已唯一求出，D也不成立。

本题结论

选 C，P在圆外。

例题 03 求圆心到斜边的距离知识清单例题

题目

在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=2, BC=4, 以 C 为圆心, r 为半径作圆.

(1) 当 r=3 时, 直线 AB 和 $\odot C$ 的位置关系是什么?

(2) 当 r 取何值时, $\odot C$ 与直线 AB 有且只有一个公共点?

答案与解析

解析

作 $CD\perp AB$ 于 $D$ 。由勾股定理， $AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$ 。

同一三角形的面积满足

\frac12\times2\times4=\frac12\times2\sqrt5\times CD,\quad CD=\frac{4\sqrt5}{5}.

（1） $CD<3$ ，直线与圆相交。（2）只有一个公共点即相切，必须且只需 $r=CD=\frac{4\sqrt5}{5}$ 。

本题结论

（1）相交；（2） $r=\frac{4\sqrt5}{5}$ 。

2. 计数时先排除共线，再排除重复圆

三点确定圆的前提是不共线。先列合法三点组，再检查不同点组是否可能确定同一个圆；不能把“点组数”直接当作“圆的个数”。

例题 04 四个共线点与一个线外点知识清单例题

题目

(2023 江西) 如图, 点 A, B, C, D 均在直线 l 上, 点 P 在直线 l 外, 则经过其中任意三个点, 最多可画出圆的个数为 ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

答案与解析

解析

任取三个共线点都不能确定圆，因此每个圆必须经过 $P$ ，再从 $A,B,C,D$ 中取两个。

六对为 $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ ，各与 $P$ 组成不共线三点，都能确定一个圆。

不同点对不能给出同一圆，否则该圆至少含有直线 $l$ 上三个不同点，而直线与圆最多有两个公共点。因此恰有6个，A、B、C都漏计。

本题结论

选 D，共6个圆。

3. 认清内心、外心，再传递角度

内心先把原角平分；外心先连向顶点形成等腰三角形，或者用同弧圆心角与圆周角的关系。遇到普通圆心角已知而顶点位置未定，应按顶点所在的两段弧分类，不凭“圆心在内还是在外”直接套倍角。

例题 05 同一圆心角对应哪两种顶角知识清单例题

题目

在 $\triangle ABC$ 中,点 $I$ 是外心, $\angle BIC=130^{\circ}$ ,求 $\angle A$ 的度数.

答案与解析

解析

外心 $I$ 到 $A,B,C$ 等距，三点在圆 $I$ 上。普通 $\angle BIC=130^\circ$ 对应劣弧 $BC$ 。

$A$ 在优弧 $BC$ 上时， $\angle A$ 截劣弧，故 $\angle A=130^\circ\div2=65^\circ$ 。
$A$ 在劣弧 $BC$ 上时， $\angle A$ 截优弧，故 $\angle A=(360^\circ-130^\circ)\div2=115^\circ$ 。

分类依据是 $A$ 相对弦 $BC$ 的位置，不是单看外心是否位于三角形外。

本题结论

$\angle A=65^\circ$ 或 $115^\circ$ 。

例题 06 两种圆心同时出现知识清单例题

题目

如图, 点 O 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心, 点 I 是 $\triangle ABC$ 的内心, 连接 OB, IA. 若 $\angle CAI = 35^{\circ}$ , 则 $\angle OBC$ 的度数为 ____.

答案与解析

解析

$I$ 是内心，故 $AI$ 平分 $\angle BAC$ ， $\angle BAC=2\times35^\circ=70^\circ$ 。

连接 $OC$ 。 $O$ 是外心，圆心角 $\angle BOC=2\angle BAC=140^\circ$ ，且 $OB=OC$ 。于是

\angle OBC=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ.

前一步用内心的角平分性质，后两步才用外心的等半径和圆周角关系，不能交换。

本题结论

$20^\circ$ 。

4. 已知切点：连半径，转成直角

已知切线先连切点半径，得到90°；待证切线且公共点已知时，目标反过来是证明该半径与直线垂直。图中若有直径、平行线或等腰三角形，先把这些条件转成角，再把余角凑成直角。

例题 07 切线与平行四边形知识清单例题

题目

如图, 四边形 OABC 是平行四边形, 以点 O 为圆心, OC 的长为半径的 $\odot O$ 与 AB 相切于点 B, 与 AO 相交于点 D, AO 的延长线交 $\odot O$ 于点 E, 连接 EB 交 OC 于点 F. 求 $\angle C$ 和 $\angle E$ 的度数.

答案与解析

解析

连接 $OB$ 。 $AB$ 切圆于 $B$ ，故 $OB\perp AB$ 。又 $AB\parallel OC$ ，所以 $OB\perp OC$ 。

$OB=OC$ 为半径， $\triangle OBC$ 是等腰直角三角形，故 $\angle C=45^\circ$ 。由 $OA\parallel BC$ 得 $\angle AOB=45^\circ$ 。 $D$ 在射线 $OA$ 上，故 $\angle DOB=45^\circ$ ； $\angle DEB$ 是同弧所对圆周角， $\angle E=\frac12\angle DOB=22.5^\circ$ 。

本题结论

$\angle C=45^\circ$ ， $\angle E=22.5^\circ$ 。

例题 08 先证切线，再用直角求半径知识清单例题

题目

如图, 已知 AB 为 $\odot O$ 的直径, AD、BD 是 $\odot O$ 的弦, BC 是 $\odot O$ 的切线, 切点为 B, OC // AD, BA、CD 的延长线相交于点 E.

(1) 求证: CD 是 $\odot O$ 的切线. (2) 若 AE = 1, ED = 3, 求 $\odot O$ 的半径.

答案与解析

解析

（1）连接 $OD$ 。由 $AD\parallel OC$ 得 $\angle DAO=\angle COB$ 、 $\angle ADO=\angle COD$ 。 $OA=OD$ ，所以 $\angle DAO=\angle ADO$ ，从而 $\angle COB=\angle COD$ 。

$OC$ 公共， $OB=OD$ ，夹角相等，故 $\triangle COB\cong\triangle COD$ （SAS）。 $BC$ 为切线， $\angle CBO=90^\circ$ ，因此 $\angle CDO=90^\circ$ 。 $D$ 已在圆上，故 $CD$ 为切线。

（2）设半径为 $r$ 。图中 $E,A,O$ 顺次共线，故 $EO=r+1$ ； $ED$ 在切线上，所以 $OD\perp ED$ 。在直角三角形 $ODE$ 中，

(r+1)^2=r^2+3^2,\quad 2r+1=9,\quad r=4.

取正数符合半径要求。

本题结论

（1）CD为圆的切线；（2）半径为4。

例题 09 用两个角凑出切点的直角知识清单例题

题目

(2024 江西节选) 如图, $AB$ 是半圆 $O$ 的直径, 点 $D$ 是弦 $AC$ 延长线上一点, 连接 $BD, BC, \angle D = \angle ABC = 60^{\circ}$ . 求证: $BD$ 是半圆 $O$ 的切线.

答案与解析

解析

$AB$ 是半圆直径，故 $\angle ACB=90^\circ$ 。 $A,C,D$ 共线，所以 $\angle DCB=90^\circ$ 。

在 $\triangle DCB$ 中， $\angle D=60^\circ$ ，所以 $\angle CBD=30^\circ$ 。由题图中的射线顺序， $\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=60^\circ+30^\circ=90^\circ$ 。

$OB$ 在直径 $AB$ 上，故 $BD\perp OB$ ，且 $B$ 在圆上，因此 $BD$ 是半圆的切线。

本题结论

BD是半圆O在B处的切线。

例题 10 圆心角与切点直角知识清单例题

题目

(2024 山西) 如图, 已知 $\triangle ABC$ , 以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$ , 与 $AC$ 相切于点 $A$ , 连接 $OD$ . 若 $\angle AOD = 80^{\circ}$ , 则 $\angle C$ 的度数为 ( )

A. ${30}^{ \circ }$

B. $40^{\circ}$

C.45°

D. $50^{\circ}$

答案与解析

解析

$AC$ 在 $A$ 处相切，故 $AC\perp OA$ 。 $OA$ 与 $AB$ 共线，因此 $\angle BAC=90^\circ$ 。

$\angle ABD$ 与 $\angle AOD$ 截同一弧，故 $\angle ABC=\angle ABD=\frac12\times80^\circ=40^\circ$ 。三角形内角和给 $\angle C=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$ 。

本题结论

选 D，50°。

例题 11 弧中点处的切线知识清单例题

题目

(2024 福建) 如图, 已知点 A, B 在 $\odot O$ 上, $\angle AOB = 72^{\circ}$ , 直线 MN 与 $\odot O$ 相切, 切点为 C, 且 C 为 $\widehat{AB}$ 的中点, 则 $\angle ACM$ 等于 ( )

A. ${18}^{ \circ }$

B. $30^{\circ}$

C. $36^{\circ}$

D.72°

答案与解析

解析

连接 $OC$ 。 $C$ 是图中劣弧 $AB$ 的中点，故 $\angle AOC=\frac12\angle AOB=36^\circ$ 。

$OA=OC$ ，所以 $\angle OCA=(180^\circ-36^\circ)\div2=72^\circ$ 。 $MN$ 为切线， $OC\perp MN$ ；按题图射线方向， $\angle ACM=90^\circ-72^\circ=18^\circ$ 。

本题结论

选 A，18°。

5. 未知切点：先作垂线，再证明等于半径

不要先设“待证直线与圆交于某点”。从圆心向待证直线作垂线，垂足始终存在；利用角平分线的等距性质或全等三角形，证这段垂距等于已知半径，切线判定才闭合。

例题 12 等腰三角形另一腰与圆的关系知识清单例题

题目

如图, $\triangle ABC$ 为等腰三角形, $O$ 是底边 $BC$ 的中点, 腰 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$ . 求证: $AC$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案与解析

解析

作 $OE\perp AC$ 于 $E$ ，连接 $OD,OA$ 。 $AB$ 已与圆切于 $D$ ，故 $OD\perp AB$ ，且 $OD=r$ 。

$\triangle ABC$ 是等腰三角形， $O$ 为底边中点，所以 $AO$ 平分 $\angle BAC$ 。角平分线上的点到两边距离相等，故 $OE=OD=r$ 。

圆心 $O$ 到直线 $AC$ 的距离等于半径，因此 $AC$ 与圆相切， $E$ 此时才能称为切点。

本题结论

AC是圆O的切线。

6. 两条切线：用全等、半角和等长替换

两条切线来自同一个圆外点，才能直接说切线长相等。角度题连接圆心与圆外点，利用半角；周长题给每一对等长标明共同的出发点，再按点的先后顺序决定用加法还是减法。

例题 13 由切线夹角求半径知识清单例题

题目

如图, $PA\text{、}PB$ 是 $\odot O$ 的两条切线, $A\text{、}B$ 是切点, 若 $\angle APB = 60^{\circ}, PO = 2$ , 则 $\odot O$ 的半径长为 ____.

答案与解析

解析

连接 $OA$ 。切线性质给 $OA\perp PA$ ；同一点引出的两切线关于 $OP$ 对称，所以 $\angle APO=\frac12\angle APB=30^\circ$ 。

在直角三角形 $OAP$ 中，斜边 $OP=2$ ，30°所对直角边 $OA=\frac12OP=1$ 。

本题结论

半径为1。

例题 14 由半径与弦的夹角求两切线夹角知识清单例题

题目

如图, $PA \text{、} PB$ 是 $\odot O$ 的切线, $A \text{、} B$ 为切点, $\angle OAB = 38^{\circ}$ , 则 $\angle P$ 的度数为 ____.

答案与解析

解析

同一点引出的两切线长相等， $PA=PB$ ，所以 $\angle PAB=\angle PBA$ 。

$PA\perp OA$ ，由题图角的位置得 $\angle PAB=90^\circ-\angle OAB=52^\circ$ 。因此

\angle P=180^\circ-2\times52^\circ=76^\circ.

也可先由 $OA=OB$ 求 $\angle AOB=104^\circ$ ，再用两切线夹角与该圆心角互补求得76°。

本题结论

$76^\circ$ 。

例题 15 第三条切线截出的周长知识清单例题·改编，明确图示点序

题目

如图, $PA\text{、}PB\text{、}CD$ 都与 $\odot O$ 相切, $A\text{、}B\text{、}E$ 为切点, $PA=10, CD$ 分别交 $PA\text{、}PB$ 于 $C\text{、}D$ 两点, 则 $\triangle PCD$ 的周长是 ____.

其中 $C,D$ 分别在切线段 $PA,PB$ 内部，切点 $E$ 在线段 $CD$ 上。

答案与解析

解析

从 $P$ 出发： $PA=PB=10$ ；从 $C$ 出发： $CA=CE$ ；从 $D$ 出发： $DB=DE$ 。

由题给点序， $CD=CE+ED=CA+DB$ ，所以

\begin{aligned}PC+CD+PD&=PC+CA+DB+PD\\&=PA+PB=20.\end{aligned}

若 $C,D$ 改在两切线段的延长线上， $PC+CA=PA$ 等关系不再成立，不能套这条周长结论。

本题结论

周长为20。

7. 内心与平行线：把角平分转成等腰

角平分线把一个原角拆为两个相等的角，平行线可再把其中一角转移到新三角形。得到两个相等的角后，才能推出对应边相等。用于周长时，把新边逐一换成原边的一部分，并确认这些部分确实首尾相接。

例题 16 内心处平移一个角知识清单例题

题目

如图, 点 I 为 $\triangle ABC$ 的内心, AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 2 cm, 将 $\angle ACB$ 平移, 使其顶点与点 I 重合, 则图中阴影部分的周长为 ____.

答案与解析

解析

连接 $AI,BI$ 。 $I$ 为内心，故 $\angle CAI=\angle DAI$ 、 $\angle CBI=\angle EBI$ 。

由平移， $DI\parallel AC$ 、 $EI\parallel BC$ 。所以 $\angle DIA=\angle CAI=\angle DAI$ ，得 $DI=DA$ ；同理 $EI=EB$ 。

$A,D,E,B$ 按图顺次在一条线上，阴影三角形的周长为

DE+DI+EI=DE+DA+EB=AB=4\text{ cm}.

$AC=3,BC=2$ 用来确定原三角形情境；本题周长替换后只需 $AB$ ，不必强行使用每个数。

本题结论

阴影部分周长为4 cm。

例题 17 角平分线延长到圆上知识清单例题·改编，明确必然等长

题目

（2024 山东烟台节选）如图, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$ , 点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心, 连接 $CI$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D.E$ 是 $\widehat{BC}$ 上任意一点, 连接 $AD, BD, BE, CE$ . 找出由题设条件保证与 $DI$ 相等的其他已画线段，并证明。