乘方把相同因数的连乘写得简洁。计算时先认清底数的范围，再利用指数的奇偶判断符号；大指数题往往只需要研究符号或个位，而不必求出整个数。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 理解概念

1. 底数、指数与幂

本页中，$n$ 为正整数。求 $n$ 个相同因数 $a$ 的积叫作乘方，写作

$$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ 个}}.$$

名称	对应部分	含义
底数	$a$	重复相乘的数
指数	$n$	相同因数的个数
幂	$a^n$ 的结果	这次乘方所得的数

$a^2$ 叫作 $a$ 的平方，$a^3$ 叫作 $a$ 的立方，$a^1=a$。例如 $2^3=2\times2\times2=8$，不是 $2\times3=6$。

底数为负数或分数时，把整个底数放进括号：$(-2)^4$、$(\frac35)^2$。指数作用于整个括号，而不是其中一个数字。

乘方记号a的n次方中，a为底数，n为指数，整体表示幂

2. 幂的符号由底数和指数共同决定

底数	正整数指数	幂的符号	原因
正数	任意	正	正因数连乘
负数	奇数	负	负因数两两配对后剩一个
负数	偶数	正	负因数可全部两两配对
$0$	任意	$0$	乘积含因数 $0$

因此 $(-3)^3=-27$，$(-3)^2=9$。特别地，$1$ 的正整数次幂都是 $1$，$-1$ 的奇次幂是 $-1$、偶次幂是 $1$。

非负与正不能混同

任意有理数的偶次幂都非负，不一定为正，因为底数可能为 $0$。若 $a^{2n}=0$，则 $a=0$；若已知 $a\ne0$，才可说 $a^{2n}>0$，其中 $n$ 为正整数。

相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数：$(-a)^{2n}=a^{2n}$，$(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}$。理由仍是负因数的个数，而不是忽略括号。

零次幂、负整数次幂有另外的定义，不能用“重复乘零次、负数次”直接解释；本页不把它们混入正整数乘方的定义。

3. 含乘方的混合运算

同一层内按先乘方，再乘除，最后加减计算；有括号时由内向外，同级运算从左到右。外层尚未执行的负号或减号必须保留。

式子	运算对象	结果
$(-2)^4$	整个 $-2$ 连乘四次	$16$
$-2^4$	先算 $2^4$，再取相反数	$-16$
$(\frac34)^2$	分子和分母都参与两次相乘	$\frac9{16}$
$\frac{3^2}{4}$	只有分子 $3$ 平方	$\frac94$

两个式子在某次计算中结果相等，不能证明它们总能互换。例如 $(-2)^3=-2^3=-8$，但四次方时就不同。

二、考点 方法与例题

1. 先界定底数，再计算幂

方法归纳

先看括号和指数作用的范围，再判断负因数的奇偶，最后计算绝对值。遇到分数底数，必要时展开一次乘法，检查分子、分母是否都参与乘方。

例题 01 负分数与负号的位置

题目

计算：

（1）$(-\frac25)^2$；（2）$-8^3$；（3）$(-1)^{2n}$，其中 $n$ 为正整数。

答案与解析

解析

（1）$(-\frac25)^2=(-\frac25)\times(-\frac25)=\frac{2\times2}{5\times5}=\frac4{25}$。

（2）$-8^3$ 的底数是 $8$，外面的负号最后处理：$-(8\times8\times8)=-512$。

（3）$2n$ 是偶数，$2n$ 个 $-1$ 可以配成 $n$ 对，每对积为 $1$，所以结果为 $1$。

本题结论

依次为 $\frac4{25}$、$-512$、$1$。

2. 指数奇偶未定时分类讨论

方法归纳

$n$ 为正整数不代表它一定是奇数或偶数。遇到 $(-1)^n$，按奇、偶两类列出；相邻整数 $n$ 与 $n+1$ 一奇一偶。代入后还要完成式子中的其他运算。

例题 02 相邻指数的两个幂

题目

$n$ 为正整数，$\frac{(-1)^n-(-1)^{n+1}}2$ 的值为（　）。

A. $-1$ 或 $0$　B. $0$ 或 $1$　C. $-1$ 或 $1$　D. $-1$ 或 $0$ 或 $1$

答案与解析

解析

$n$	$(-1)^n$	$(-1)^{n+1}$	整个式子的值
奇数	$-1$	$1$	$\frac{-1-1}{2}=-1$
偶数	$1$	$-1$	$\frac{1-(-1)}2=1$

分子总为 $-2$ 或 $2$，不可能为 $0$。两类结果都要保留。

本题结论

C，值为 $-1$ 或 $1$。

3. 用偶次幂的非负性确定未知数

方法归纳

先证明每一项都非负，再由和为零推出每项分别为零。这个推理不适用于任意两个数：若能一正一负，和为零也可能只是抵消。

例题 03 平方与绝对值的零和 2024 四川资阳

题目

若 $(a-1)^2+|b-2|=0$，求 $ab$。

答案与解析

解析

平方 $(a-1)^2\ge0$，绝对值 $|b-2|\ge0$。若其中一项大于零，另一项不能为负，总和就不可能为零。因此

$$(a-1)^2=0,\qquad |b-2|=0.$$

得 $a-1=0$、$b-2=0$，即 $a=1$、$b=2$，所以 $ab=2$。

本题结论

$ab=2$。

4. 只研究大整数幂的个位

方法归纳

1. 确定所求是整个数、符号还是个位，不必为个位计算庞大的完整幂。
2. 写出一轮个位变化，说明轮末如何回到轮首，确认重复机制。
3. 用指数除以周期长度，余数定位；余数为零对应一轮的最后一项。
4. 若幂后还有加减，继续处理，不把幂的个位直接当作最终答案。

例题 04 第2025次幂再加一

题目

已知 $3^1+1=4$，$3^2+1=10$，$3^3+1=28$，$3^4+1=82$，$3^5+1=244$，……。归纳结果末位数字的变化规律，$3^{2025}+1$ 的末位数字为（　）。

A. $0$　B. $2$　C. $4$　D. $8$

答案与解析

解析

$3^n$ 的个位依次为 $3,9,7,1$：个位乘 $3$ 后分别变为 $9,7,1,3$，回到起点，因而每四次循环。十位以上乘 $3$ 仍是整十数，不影响个位。

指数在一轮中的位置	1	2	3	4
$3^n$ 的个位	$3$	$9$	$7$	$1$
$3^n+1$ 的个位	$4$	$0$	$8$	$2$

$2025=4\times506+1$，在506个完整周期后到达下一轮第1项，最终个位为 $4$。注意 $9+1=10$，个位是 $0$。

本题结论

C，末位数字为 $4$。

5. 分层计算与新定义运算

方法归纳

普通算式按层次计算；若题目另定义符号，先按定义把它翻译成普通运算，再执行运算顺序。负数代入字母位置时，把整个负数加括号，不能改变变量代表的整体。

例题 05 先乘方，外层减号不丢

题目

计算：$-72-3\times[(-2)+(-1)^{2024}]$。

答案与解析

解析

指数 $2024$ 为偶数，所以 $(-1)^{2024}=1$。接着从括号内向外计算：

$$-72-3\times[(-2)+1]=-72-3\times(-1)=-72-(-3)=-69.$$

外层减号直到乘积算出后才执行。

本题结论

$-69$。

例题 06 星号不是普通乘号 2024 甘肃

题目

定义运算 $\ast$：$m\ast n=m^n-mn$，其中 $m,n$ 为整数，$m\ne0$。例如 $2\ast3=2^3-2\times3=2$。求 $(-2)\ast2$。

答案与解析

解析

按位置对应，$m=-2$、$n=2$，满足题给输入条件。代入右式：

$$(-2)\ast2=(-2)^2-(-2)\times2=4-(-4)=8.$$

左侧星号的意义由题目定义，右侧 $mn$ 才是普通乘法。这里实际用到的指数是 $2$，无需为了本问处理其他整数指数。

本题结论

$8$。

三、坑点 辨析与纠错

1. 括号决定指数作用的范围

常见错法： 把 $-2^4$ 当成 $(-2)^4$，或把 $(\frac34)^2$ 只给分子平方。

错在何处： 指数原本作用于哪个整体没有读清。奇次方偶尔算出相同结果，更容易造成“括号可省”的错觉。

自查： 先圈出完整底数，再展开成一次连乘；外面的负号保持在乘方外。

辨析 01 哪一个等式成立

题目

下列等式正确的是（　）。

A. $(\frac34)^2=\frac{3^2}{4}$

B. $|-3|^5=(-3)^5$

C. $(-2)^3=-2^3$

D. $-2^4=16$

答案与解析

解析

• A：左侧为 $\frac9{16}$，右侧为 $\frac94$，分母漏了平方。
• B：左侧先取绝对值，得 $3^5=243$；右侧为 $-243$。
• C：两侧均为 $-8$，成立。但这依赖本次指数为奇数，不代表括号总能删掉。
• D：负号在乘方外，结果为 $-16$，不是 $16$。

本题结论

C。

2. 偶次幂非负，不等于底数非负

常见错法： 看到 $a^2>0$ 就写 $a>0$，或认定偶次幂总大于零。

错在何处： 平方消除了非零底数的正负区别：$2^2=(-2)^2=4$；底数为零时平方仍是零。

自查： 分别代入一个负数和零核验。由 $a^2>0$ 只能推出 $a\ne0$；由 $a^2=0$ 才能确定 $a=0$。平方零和例题使用的是“非负且和为零”，不能省略后半个条件。

3. 周期题余数为零，取的是轮末

常见错法： 把余数零当作“第0项”，或直接选下一轮首项。

错在何处： 从第1项计数时，整除表示恰好走完若干整轮，停在上一轮最后一项。

自查： 先用第4项、第8项这类小编号检查定位。例如个位循环每四项一轮，余数为 $1,2,3,0$ 分别对应第 $1,2,3,4$ 项。只观察少数项还不够，必须有题给规则或可验证的重复机制。

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