同一幅图里的线段，可能是一个三角形的高，却不是另一个三角形的高。学习这一章，先认清所研究的三角形，再把边、角、面积的关系写出来。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 三角形的边、角与分类

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫作三角形，记作 $\triangle ABC$。三个顶点必须不同且不共线，三点共线的“扁三角形”不在讨论范围内。

名称	怎样识别
顶点、边	相邻两边的公共端点；连接两顶点的线段
内角	两条相邻边在三角形内部所夹的角
对边、对角	与顶点不相接的边；与一条边不相接的顶点处内角
夹边、夹角	连接两个指定角顶点的边；两条指定边之间的角
外角	一边与另一边的反向延长线所成的角，与相邻内角互补

三角形ABC的三个顶点与三条边

常约定 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边分别记为 $a,b,c$，但这只是命名约定；换了字母，仍要按顶点与边的实际位置判断。多角共顶点时宜用三字母表示。

分类标准	类别	判断依据
按角分类	锐角、直角、钝角三角形	最大内角分别小于、等于、大于 $90^\circ$
按边分类	三边不等的三角形、等腰三角形	是否至少有两边相等
等腰的特殊情形	等边三角形	三边都相等，包含在等腰三角形之内

“等腰”与“直角”不是互相排斥的分类。前者看边，后者看角。

稳定性。 三边固定，三角形的形状和大小随之确定。仅固定四边的铰接四边形还可以变形，加上合适的对角支撑、分成三角形，能限制这种变化。三边决定形状的严格判据将在全等三角形中说明。

2. 角平分线、中线与高

三种线段都从顶点出发，但另一端的要求不同。

线段	另一端在哪里	对应关系	不能自行推断
角平分线	对边上	两个半角相等	不一定平分对边
中线	对边中点	对边分成两等长线段	不一定垂直，也不一定平分角
高	对边所在直线上的垂足	与对边所在直线垂直	垂足不一定在线段内部

角的平分线是射线，三角形的角平分线是截到对边为止的线段。例如 $AD$ 平分 $\angle BAC$，便有 $\angle BAD=\angle CAD=\frac12\angle BAC$。

AD为三角形内部角平分线

若 $AD$ 是中线，则 $BD=DC=\frac12BC$。两小三角形以 $BD,DC$ 为底，具有从 $A$ 到 $BC$ 的同一高，因此面积相等；这不表示两小三角形全等或周长相等。

AD连接顶点A与对边中点D

画高的顺序： 指定顶点和对边 → 必要时延长对边 → 过顶点作垂线 → 取顶点到垂足之间的线段。检查时同时核对顶点、底边所在直线和直角，不能只看图中有没有垂直标记。

三角形	三条高的位置	垂心的位置
锐角	三条都在内部	内部
直角	两条与直角边重合，另一条在内部	直角顶点
钝角	一条在内部，两条在外部	外部

锐角三角形的高与垂心

直角三角形的高与垂心

钝角三角形的高与垂心

三条高所在直线交于一点，叫作垂心。钝角三角形的三条有限高线段本身没有公共交点，所以“所在直线”不能省。

3. 面积、中线与重心

以边长 $b$ 为底，对面顶点到底边所在直线的垂直距离为 $h$，则

$$S=\frac12bh.$$

两个全等三角形可拼成同底同高的平行四边形，所以每个占底高积的一半。换底时必须换成对应的高；即使垂足在底边延长线上，这个公式仍成立。

• 等底同高： 面积相等；同高时，面积比等于底边比。
• 同底等高： 面积相等。两顶点在同一条与底边平行的直线上时，到底线的垂距相同。
• 分割相加： 分割线止于对边内部，两个小区域无重叠，可相加；点在对边延长线上时，往往改用面积差。

三条中线交于内部一点 $G$，叫作重心。

关系	含义
$AG:GD=2:1$	$D$ 是对边中点，靠顶点的部分较长
$S_{ABG}=S_{BCG}=S_{CAG}$	连接重心与三个顶点，分成三等面积
三条中线分成六等面积	每个上述三角形又被对应中点分成两半

这些关系可以从面积推出。取两条中线 $AD,BE$ 交于 $G$：$S_{ABD}=S_{ACD}$，又 $S_{BGD}=S_{CGD}$，两式相减得 $S_{ABG}=S_{ACG}$；用另一条中线同理得到第三块也相等。

将 $CG$ 延长交 $AB$ 于 $F$。设 $C,G$ 到 $AB$ 的高分别为 $h_C,h_G$，因为 $C,G,F$ 依次共线，且 $G$ 在内部，所以 $h_C>h_G$。由面积相减，$S_{ACG}=AF(h_C-h_G)/2$，$S_{BCG}=BF(h_C-h_G)/2$；两面积相等且共同因子为正，故 $AF=BF$，第三条中线也经过 $G$。

再比较 $\triangle ABG$ 与 $\triangle ABD$：以 $AG,AD$ 为底，从 $B$ 出发的高相同，故

$$\frac{AG}{AD}=\frac{S/3}{S/2}=\frac23,\qquad GD=\frac13AD,\qquad AG=2GD.$$

重心由中线确定；内心由三条内部角平分线确定；垂心由三条高所在直线确定。它们不能因都叫“中心”而混用。内心的等距离性质与共点证明，在角平分线专题中展开。

4. 三边关系与第三边范围

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。对给定的正边长 $a,b$，第三边 $c$ 满足

$$\boxed{\lvert a-b\rvert<c<a+b}.$$

依据。 从一个顶点经另一个顶点到第三个顶点，折线路程大于两点间的线段长，所以 $a+b>c$。同理 $a+c>b$、$b+c>a$，分别整理得到 $c>b-a$、$c>a-b$，合起来便是下界。

如果三段长度已经给出，排成从短到长，只须检查“两条短边之和是否严格大于最长边”。其余两条和不等式由正长度自动满足。反过来满足这个条件时，以两短边为半径作圆，可以得到不共线的第三顶点。

两个端点都不能取。 和或差恰好取等号时，三点共线，三角形退化；正长度本身并不保证能组成三角形。

5. 内角和与外角

三角形三个内角的和等于 $180^\circ$。

证明一：过 $A$ 作 $DE\parallel BC$。 用 $AB,AC$ 分别作截线，两个内错角把 $\angle B,\angle C$ 移到 $A$ 点，与 $\angle BAC$ 拼成平角。

过A作平行线说明三角形内角和

证明二：在 $C$ 点汇集三个角。 延长 $BC$，过 $C$ 作与 $AB$ 平行的射线；由同位角和内错角关系，把 $\angle B,\angle A$ 移到 $C$ 点，仍与原来的 $\angle C$ 拼成平角。

在C点利用平行线汇集三个内角

这两种方法使用平行线性质说明“为什么总是成立”，并不依靠量角器读数。

推论	理由
最多一个直角或钝角	两个就已不小于 $180^\circ$，没有正的第三角
至少两个锐角	由上一条可知
至少一角不小于 $60^\circ$，也至少一角不大于 $60^\circ$	三角若全小于或全大于 $60^\circ$，总和都不对
直角三角形两锐角互余	总和减去直角 $90^\circ$

若直角三角形两锐角的度数为 $x,y$，则 $x+y=90$，即 $y=90-x$，并且 $0<x<90$、$0<y<90$。这不是定义域为全体实数的一次函数：端点会使三角形退化。

若外角 $e$ 与内角 $A$ 相邻，则 $e=180^\circ-A=B+C$。因此：

• 一个外角等于两个不相邻内角之和，并大于其中任意一个。
• 不保证外角大于与它相邻的内角。
• 每个顶点选一个外角，和为 $3\times180^\circ-180^\circ=360^\circ$。每顶点虽有两个等大的外角，计算外角和不重复取两个。

二、考点 先方法，后例题

1. 按指定标准判断形状

先分清题目按边还是按角分类。按角时补齐内角，找最大内角；比例题先设公共份数，等式 $A=B/2=C/6$ 应换成 $B=2A,C=6A$，不要把分母直接当角的比例。

例题 01 分别按角、按边判断 知识清单例题

题目

根据下列所给条件, 判断 $\triangle ABC$ 的形状(若已知的是角, 则按角的分类标准判断; 若已知的是边, 则按边的分类标准判断).

(1) $\angle A = 45^{\circ}, \angle B = 65^{\circ}, \angle C = 70^{\circ}$ .
(2) $\angle C = 120^{\circ}$ .
(3) $\angle C=90^{\circ}$ .
(4) $AB = BC = 4, AC = 5$ .

答案与解析

解析

（1）最大角 $70^\circ<90^\circ$，三个都是锐角。

（2）$120^\circ>90^\circ$，已有一个钝角。

（3）$\angle C=90^\circ$，有一个直角。

（4）$AB=BC$，两腰是 $AB,BC$，顶角在 $B$，不是默认在 $A$。

本题结论

（1）锐角三角形；（2）钝角三角形；（3）直角三角形；（4）等腰三角形。

例题 02 先求各角，再找最大角 知识清单例题

题目

符合下列条件的 $\triangle ABC$ 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

(1) $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 25^{\circ}$ .

(2) $\angle A: \angle B: \angle C = 1:2:3$ .

(3) $\angle A = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{6} \angle C$ .

答案与解析

解析

（1）$\angle C=180^\circ-80^\circ-25^\circ=75^\circ$，最大角为 $80^\circ$。

（2）设三个角分别为 $x,2x,3x$，则 $6x=180^\circ$，得 $x=30^\circ$；三个角是 $30^\circ,60^\circ,90^\circ$。

（3）设 $\angle A=x$，则 $\angle B=2x,\angle C=6x$，所以 $9x=180^\circ$，得 $x=20^\circ$；三个角是 $20^\circ,40^\circ,120^\circ$。

本题结论

（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形。

2. 先列严格范围，再验候选边

先写“差小于第三边，第三边小于和”，再逐项代入。若给等腰三角形的两种边长，还要枚举哪种是腰；列出候选并不意味着候选一定存在。

例题 03 第三边的两个选择题 知识清单例题合组；（2）2024 江苏淮安

题目

（1）若长度分别为 2,7,x 的三条线段能组成一个三角形,则 x 的值可以是 ( )

A.4

B.5

C.6

D.9

（2）（2024 江苏淮安）用一根小木棒与两根长度分别为 3 cm、5 cm 的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 ( )

A.9 cm

B.7 cm

C.2 cm

D.1 cm

答案与解析

解析

（1）$7-2<x<7+2$，即 $5<x<9$。A 的 $4$ 太短；B 的 $5$ 和 D 的 $9$ 恰在端点，均退化；C 的 $6$ 合格。

（2）设第三根木棒长为 $x\,\mathrm{cm}$，则 $2<x<8$。A 的 $9$ 太长，C 的 $2$ 退化，D 的 $1$ 太短；只有 B 的 $7$ 落在严格范围内。

本题结论

（1）C；（2）B。

3. 中点条件怎样用于周长、面积

周长问题把三条边完整列出，再用公共边、中点等长消项；面积问题先写清每条中线属于哪个三角形，再判断目标由哪几块组成。“面积减半”不能直接换成“周长减半”。

例题 04 中点与周长差 知识清单例题

题目

如图, 点 D 是边 AB 的中点, $\triangle BCD$ 的周长比 $\triangle ACD$ 的周长大 3 cm, BC = 8 cm, 则边 AC 的长为 ____ cm.

题目所给图形

答案与解析

解析

$D$ 是 $AB$ 中点，故 $AD=BD$；$CD$ 是公共边。按“大 $3\,\mathrm{cm}$”的方向相减：

$$P_{BCD}-P_{ACD}=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=BC-AC=3.$$

于是 $8-AC=3$，得 $AC=5\,\mathrm{cm}$。

本题结论

$AC=5\,\mathrm{cm}$。

例题 05 连续两条中线，目标是哪一块 知识清单例题

题目

如图所示, 在 $\triangle ABC$ 中, $AD, CE$ 分别是 $\triangle ABC$ , $\triangle ACD$ 的中线, 若 $\triangle ABC$ 的面积是 $4 \mathrm{~cm}^{2}$ , 则 $\triangle BEC$ 的面积是 ____.

题目所给图形

答案与解析

解析

$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，所以 $S_{ABD}=S_{ACD}=2\,\mathrm{cm}^2$。

$CE$ 是 $\triangle ACD$ 的中线，故 $E$ 是 $AD$ 中点；$BE$ 也就是 $\triangle ABD$ 的中线。于是 $S_{BDE}=S_{CDE}=1\,\mathrm{cm}^2$。

目标 $\triangle BEC$ 包含这两个小三角形，所以面积是 $1+1=2\,\mathrm{cm}^2$，不是第二次减半所得的一小块。

本题结论

$S_{BEC}=2\,\mathrm{cm}^2$。

例题 06 换底后，高也要随之改变 知识清单例题

题目

如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4,BC=8,CE=6,求AD的长.

题目所给图形

答案与解析

解析

$CE\perp AB$，$AD\perp BC$，同一个三角形的面积写成两种形式：

$$\frac12AB\cdot CE=\frac12BC\cdot AD.$$

代入得 $4\times6=8AD$，所以 $AD=3$。$E$ 虽在 $AB$ 延长线上，$CE$ 仍是 $AB$ 对应的高。

本题结论

$AD=3$。

4. 找重心，先找中线而不是其他交点

重心是两条中线的交点。尺规作图中的等半径弧先用来找边的中点，再连接相对顶点；弧的交点、中垂线的交点不是重心。求面积时，先确认题目给的是三等份中的一块，还是六等份中的一块。

取线段中点的基本尺规作法在这里使用，其等距离依据将在尺规作图专题中说明。

例题 07 作重心并由小三角形求整体面积 2024 黑龙江绥化

题目

(2024 黑龙江绥化)已知: $\triangle ABC$ .

(1)尺规作图:画出 $\triangle ABC$ 的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)

(2)在(1)的条件下,连接 AG,BG. 已知 $\triangle ABG$ 的面积等于 $5 \, cm^{2}$ , 则 $\triangle ABC$ 的面积是 ____ $cm^{2}$ .

题目所给图形

答案与解析

解析

（1）分别以 $B,C$ 为圆心，用同一个大于 $BC/2$ 的半径在两侧画弧，连两弧交点，得到 $BC$ 的中点 $M$。对 $AC$ 同法取中点 $N$，连接 $AM,BN$，交点即 $G$，保留作图痕迹。

两条中线确定重心的尺规作图

（2）$S_{ABM}=S_{ACM}$，又 $S_{BGM}=S_{CGM}$，相减得到 $S_{ABG}=S_{ACG}$。利用另一条中线同理得到 $S_{ACG}=S_{BCG}$。三块组成整体，每块都是 $5\,\mathrm{cm}^2$，所以整体为 $15\,\mathrm{cm}^2$。

本题结论

（1）两条中线的交点 $G$，作图见上；（2）$15\,\mathrm{cm}^2$。

5. 沿直角、半角与平行关系追踪角

1. 高给出直角，先在相应小三角形内求角。
2. 平分线给出半角，先弄清被平分的是哪个整角。
3. 平行线移角时，指出截线与角对。
4. 最后回到目标顶点，用角和或角差；中途算出的数不一定就是答案。

例题 08 高与角平分线的两种应用 知识清单例题合组；（2）2024 四川凉山州

题目

（1）如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ABC=66^{\circ}$ , $\angle ACB=54^{\circ}$ , $BE$ 是边 $AC$ 上的高, 则 $\angle ABE$ 的度数为_.

题目所给图形

（2）(2024 四川凉山州) 如图, $\triangle ABC$ 中, $\angle BCD = 30^{\circ}$ , $\angle ACB = 80^{\circ}$ , $CD$ 是边 $AB$ 上的高, $AE$ 是 $\angle CAB$ 的平分线, 则 $\angle AEB$ 的度数是 ____.

题目所给图形

答案与解析

解析

（1）大三角形中 $\angle A=180^\circ-66^\circ-54^\circ=60^\circ$。$BE\perp AC$，所以直角三角形 $ABE$ 中 $\angle ABE=90^\circ-60^\circ=30^\circ$。

（2）$\angle ACD=80^\circ-30^\circ=50^\circ$，由 $CD\perp AB$ 得 $\angle CAB=40^\circ$。$AE$ 平分这个角，所以 $\angle BAE=20^\circ$。另一个直角三角形 $BCD$ 中 $\angle B=60^\circ$，因此 $\angle AEB=180^\circ-20^\circ-60^\circ=100^\circ$。

本题结论

（1）$30^\circ$；（2）$100^\circ$。

例题 09 平行线把半角移到另一顶点 知识清单例题

题目

如图, $DE \parallel BC$ , $CD$ 是 $\triangle ACB$ 的角平分线, $\angle B = 60^{\circ}$ , $\angle ACB = 40^{\circ}$ , 求 $\angle EDC$ 与 $\angle BDC$ 的度数.

题目所给图形

答案与解析

解析

$CD$ 平分 $40^\circ$，所以 $\angle DCB=20^\circ$。$DE\parallel BC$，以 $DC$ 为截线，内错角给出 $\angle EDC=20^\circ$。

再以 $AB$ 为截线，$\angle BDE+\angle B=180^\circ$，所以 $\angle BDE=120^\circ$。$DC$ 在这个角内部，故 $\angle BDC=120^\circ-20^\circ=100^\circ$。

本题结论

$\angle EDC=20^\circ$，$\angle BDC=100^\circ$。

例题 10 从作图信息读出角平分线 2024 江苏宿迁

题目

(2024 江苏宿迁) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle B = 50^{\circ}$ , $\angle C = 30^{\circ}$ , $AD$ 是高, 以点 $A$ 为圆心, $AB$ 长为半径画弧, 交 $AC$ 于点 $E$ , 再分别以 $B, E$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2} BE$ 的长为半径画弧, 两弧在 $\angle BAC$ 的内部交于点 $F$ , 作射线 $AF$ , 则 $\angle DAF =$ ____°.

题目所给图形

答案与解析

解析

第一步作弧使 $AB=AE$；第二步同半径作弧使 $BF=EF$，又有公共边 $AF$，因此这个基本作图得到 $\angle BAC$ 的平分射线。其严格依据是后续全等专题的三边判定，而不是靠量角。

$\angle BAC=180^\circ-50^\circ-30^\circ=100^\circ$，故 $\angle BAF=50^\circ$。$AD$ 是高，在 $\triangle ABD$ 中 $\angle BAD=90^\circ-50^\circ=40^\circ$。

图中射线 $AD$ 在 $\angle BAF$ 内，故 $\angle DAF=50^\circ-40^\circ=10^\circ$。$F$ 可以在三角形外，但仍在角 $BAC$ 的内部。

本题结论

$\angle DAF=10^\circ$。

6. 外角、凹形与交叉图还原为三角形

一个外角属于哪个三角形，就加那个三角形的两个不相邻内角。复杂图先找共线、对顶、邻补，再选小三角形，不能见到两个已知角就相加。

凹形图。 下图的 $\angle BPC$ 指凹口的小角，不是反射内角。连 $AP$，两个三角形内角和相加，得到

$$\angle A+\angle B+\angle C+(360^\circ-\angle BPC)=360^\circ,$$

所以 $\angle BPC=\angle A+\angle B+\angle C$。

凹形图中的小角与三个外侧顶角

交叉图。 设两线交于 $O$，两个三角形的交点角是对顶角，相等；分别用 $180^\circ$ 减去它们，便得到 $\angle A+\angle B=\angle C+\angle D$。这个关系依赖图中的两组反向共线，不能只凭外形像“8”字。

两个三角形交叉构成的角关系

例题 11 先对顶角，再外角 知识清单例题

题目

如图, 点 D 在 BC 的延长线上, $DE \perp AB$ 于点 E, 交 AC 于点 F. 若 $\angle A = 35^{\circ}$ , $\angle D = 15^{\circ}$ , 则 $\angle ACB$ 的度数为 ____.

题目所给图形

答案与解析

解析

$DE\perp AB$，$\angle A=35^\circ$，所以 $\angle AFE=55^\circ$。$\angle CFD$ 与它是对顶角，也等于 $55^\circ$。

$\angle ACB$ 是 $\triangle CFD$ 在 $C$ 处的外角，故

$$\angle ACB=\angle CFD+\angle D=55^\circ+15^\circ=70^\circ.$$

本题结论

$\angle ACB=70^\circ$。

例题 12 凹形中的两次内角和 知识清单例题

题目

如图, $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 30^{\circ}$ , $D$ 是 $CB$ 延长线上的一点, $\angle AED = 90^{\circ}, \angle D = 40^{\circ}$ , 则 $\angle C$ 的度数为

题目所给图形

答案与解析

解析

$A,E,B$ 共线，$\angle AED=90^\circ$，所以 $\angle DEB=90^\circ$。在 $\triangle DEB$ 中，$\angle DBE=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$。

$D,B,C$ 共线，$\angle ABC=180^\circ-50^\circ=130^\circ$，所以

$$\angle C=180^\circ-30^\circ-130^\circ=20^\circ.$$

合并这两次计算，也就是 $\angle AED=\angle A+\angle D+\angle C$。

本题结论

$\angle C=20^\circ$。

7. 内外角平分线与重复分角

比较三种图时，始终研究 $\triangle BCP$ 的三个内角。这里 $A,B,C$ 表示原三角形内角，$\angle P$ 表示图中 $\angle BPC$，不是其邻补角。

图形	$\triangle BCP$ 在 $B,C$ 处的内角	得到的 $\angle P$
两条内角平分线	$B/2,C/2$	$180^\circ-(B+C)/2=90^\circ+A/2$
一内一外	$B/2,90^\circ+C/2$	$180^\circ-B/2-(90^\circ+C/2)=A/2$
两条外角平分线	$90^\circ-B/2,90^\circ-C/2$	$(B+C)/2=90^\circ-A/2$

两条内角平分线相交

一条内角平分线与一条外角平分线相交

两条外角平分线相交

不能一看到“平分线交点”就套同一个式子。一内一外时，$C$ 处用的是外半角的补角，不是外半角本身。若改成三等分，要从外角差重新建立关系，而不是把公式里的 $2$ 一律换成 $3$。

例题 13 指定三等分线的逐层交角 2024 四川达州

题目

（2024 四川达州）如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AE_{1}$ , $BE_{1}$ 分别是内角 $\angle CAB$ , 外角 $\angle CBD$ 的三等分线, 且 $\angle E_{1}AD = \frac{1}{3} \angle CAB$ , $\angle E_{1}BD = \frac{1}{3} \angle CBD$ , 在

题目所给图形

$\triangle ABE_{1}$ 中, $AE_{2}, BE_{2}$ 分别是内角 $\angle E_{1}AB$ , 外角 $\angle E_{1}BD$ 的三等分线, 且 $\angle E_{2}AD = \frac{1}{3} \angle E_{1}AB, \angle E_{2}BD = \frac{1}{3} \angle E_{1}BD, \cdots$ , 以此规律作下去, 若 $\angle C = m^{\circ}$ , 则 $\angle E_{n} =$ ____度.

答案与解析

解析

原图 $A,B,D$ 共线，$BD$ 是 $BA$ 的反向延长射线，所以 $\angle CBD$ 是 $\triangle ABC$ 在 $B$ 处的外角：

$$\angle C=\angle CBD-\angle CAB.$$

对 $\triangle ABE_1$，同样用外角差，且 $AD$ 与 $AB$ 同向：

$$\angle E_1=\angle E_1BD-\angle E_1AD =\frac13(\angle CBD-\angle CAB)=\frac13\angle C.$$

第二层仍沿题中指定的靠基准射线的三等分线，得到 $\angle E_2=\frac13\angle E_1$。重复 $n$ 次：

$$\angle E_n=\left(\frac13\right)^n\angle C=\frac{m}{3^n}\text{度},\qquad n\in\mathbb Z_{>0}.$$

$n=1,2$ 分别对应 $m/3,m/9$，可检查指数没有少一层。

本题结论

$\displaystyle\angle E_n=\frac{m}{3^n}$ 度。

三、坑点 看错因，也看边界

1. 方向对了，线段的端点也要对

常见错法： 线段经过中点，就把整条长线段叫中线；方向平分角，就忽略它是否止于所问三角形的对边。

检查顺序： 先圈出题目指定的三角形，再检查起点、终点以及等角、等长或垂直条件。换一个小三角形，身份就可能改变。

辨析 01 同一图中逐条辨认重要线段 知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAD=\angle CAD$ , $G$ 为 $AD$ 的中点, $BG$ 的延长线交 $AC$ 于点 $E$ , $F$ 为 $AB$ 上的一点, $CF$ 与 $AD$ 垂直, 交 $AD$ 于点 $H$ , 则下面结论: ① $AD$ 是 $\triangle ABE$ 的角平分线; ② $BE$ 是 $\triangle ABD$ 的边 $AD$ 上的中线; ③ $CH$ 是 $\triangle ACD$ 的边 $AD$ 上的高; ④ $AH$ 是 $\triangle ACF$ 的角平分线和高. 其中正确的有____.(填序号)

题目所给图形

答案与解析

解析

① 在 $\triangle ABE$ 中，应从 $A$ 止于 $BE$ 上的 $G$，所以角平分线是 $AG$，不是更长的 $AD$。

② 在 $\triangle ABD$ 中，$AD$ 中点为 $G$，从 $B$ 到 $G$ 的 $BG$ 才是中线，不是 $BE$。

③ $C$ 是 $\triangle ACD$ 的顶点，$H$ 在 $AD$ 所在直线上，且 $CH\perp AD$，所以是高。

④ $F$ 在 $AB$ 上，$H$ 在 $CF$ 上，$AH$ 平分 $\angle FAC$ 且垂直 $CF$，所以同时是角平分线和高。

本题结论

①错，②错，③对，④对；正确的是③④。

2. 没有限定垂足，就不能只画内部高

“边 $BC$ 上的高”是向 $BC$ 所在直线作高。题目没给图或没限定点序时，应检查内部、外部两种位置；但也不是机械增加不符合角度条件的情况。

辨析 02 高的两种位置 知识清单例题

题目

在 $\triangle ABC$ 中, AD 为边 BC 上的高, $\angle ABC = 30^{\circ}$ , $\angle CAD = 20^{\circ}$ , 则 $\angle BAC = \_\_\_{}^\circ$ .

答案与解析

解析

$\angle B=30^\circ$ 是锐角，垂足 $D$ 在从 $B$ 沿 $BC$ 的方向，不会在 $B$ 的反向一侧。直角三角形 $ABD$ 中始终有 $\angle BAD=60^\circ$。

• $D$ 在 $B,C$ 之间：$AD$ 在 $\angle BAC$ 内，$\angle BAC=60^\circ+20^\circ=80^\circ$。
• $D$ 在 $C$ 外侧：$AC$ 在 $\angle BAD$ 内，$\angle BAC=60^\circ-20^\circ=40^\circ$。

垂足位于边BC内部的情形

垂足位于C外侧的情形

两种情况下 $\angle C$ 分别是 $70^\circ,110^\circ$，都能构成三角形。

本题结论

$\angle BAC=40^\circ$ 或 $80^\circ$。

3. 等腰分类之后仍要检验能否成形

给两种边长，没有指定腰和底时，应分两种候选；但只有通过三边严格不等式的候选才能进入答案。两边之和等于第三边也要排除。

辨析 03 两种给定边长怎样分配 知识清单例题

题目

若一个等腰三角形的两边长分别是 4 cm 和 9 cm, 则这个三角形的周长为 ____ cm.

答案与解析

解析

候选	三边	检查	是否保留
腰长为 $4$	$4,4,9$	$4+4<9$，不能组成三角形	不保留
腰长为 $9$	$9,9,4$	两短边之和 $4+9>9$	保留

因此周长为 $9+9+4=22\,\mathrm{cm}$。不能把不存在的第一种情形的周长也列入结果。

本题结论

$22\,\mathrm{cm}$。

4. 外角的结论不能省掉限制语

外角比较和求和针对的是“不相邻的内角”。另外，补角与余角分别以 $180^\circ,90^\circ$ 为总量，不能互换。

辨析 04 逐句检查外角结论 知识清单辨析

题目

判断下列说法是否正确。

1. 一个三角形的外角大于它的内角。
2. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和。
3. 三角形的一个内角小于和它不相邻的外角。
4. 若三角形的一个外角是 $90^\circ$，则与这个外角不相邻的两个内角的补角之和为 $90^\circ$。

答案与解析

解析

① 缺少“不相邻”的限定。外角不保证大于相邻内角。

② 不是任意两个内角之和，应为两个不相邻内角之和。

③ 正是“外角大于每一个不相邻内角”的另一种表述，正确。

④ 设两个不相邻内角为 $B,C$，则 $B+C=90^\circ$。它们的补角和是

$$(180^\circ-B)+(180^\circ-C)=360^\circ-90^\circ=270^\circ,$$

不是 $90^\circ$。

本题结论

①错，②错，③对，④错。

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