平面直角坐标系

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坐标把“在哪里”变成两个有顺序的数。横、纵坐标各管一个方向；位置、距离、平移与对称，都可以从这两个数的变化中读出来。

一、知识点概念与依据

1. 有序数对先约定含义

两个数按约定顺序组成 $(a,b)$ ，叫有序数对。顺序不是装饰：第一项与第二项各代表什么，要先说清楚。

用途	第一项	第二项	使用前还要知道
教室座位	可以约定为列号	可以约定为排号	从哪里开始编号，哪边递增
平面直角坐标	横坐标	纵坐标	原点、正方向、单位长度
方向与距离定位	按题目约定	按题目约定	观测点、起始方向、角度和距离单位

一个数通常只能确定一排、一列或一条线；再给另一个独立位置量，才能进一步确定点。两个数不相等时，交换顺序通常会改变位置。实际座位编号未必允许任意实数，不能把所有数对都当成座位。

2. 从两条数轴到一个平面

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，构成平面直角坐标系。通常水平的是 $x$ 轴，向右为正；竖直的是 $y$ 轴，向上为正；交点 $O$ 是原点。

点 $A(a,b)$ 的横坐标是 $a$ ，纵坐标是 $b$ 。过点分别向两轴作垂线，垂足处的数就是相应坐标。

反过来，过横轴上的 $a$ 作竖直线，过纵轴上的 $b$ 作水平线，两线唯一相交。因此，固定坐标系中，每个点与一对实数一一对应。

网格的一格不一定代表一个单位。先按刻度或已知点确定尺度；有实际意义时标明单位。更换原点或轴的方向，会改变同一点的坐标，但不必改变图形本身。

3. 象限、坐标轴与边界

从右上方开始，按逆时针顺序依次为第一、第二、第三、第四象限。

位置	横坐标 $x$	纵坐标 $y$
第一象限	$x>0$	$y>0$
第二象限	$x<0$	$y>0$
第三象限	$x<0$	$y<0$
第四象限	$x>0$	$y<0$
$x$ 轴上	任意实数	$y=0$
$y$ 轴上	$x=0$	任意实数
原点	$x=0$	$y=0$

两坐标都非零才属于某个象限。原点属于两条坐标轴，但不属于任何象限；正、负半轴也都不包含原点。

若只知道 $xy>0$ ，只能断定两数同号，点在第一或第三象限； $xy<0$ 则在第二或第四象限。要确定是哪一个，还需进一步判断各坐标的符号。

4. 距离、轴向线段与中点

点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的垂足为 $(x,0)$ ，距离是竖直方向的 $|y|$ ；到 $y$ 轴的垂足为 $(0,y)$ ，距离是水平方向的 $|x|$ 。

所求量	计算方法	适用条件
到 $x$ 轴的距离	$\lvert y\rvert$	不是看横坐标
到 $y$ 轴的距离	$\lvert x\rvert$	不是看纵坐标
水平线段长	两端横坐标之差的绝对值	两端纵坐标相同
竖直线段长	两端纵坐标之差的绝对值	两端横坐标相同

坐标可以为负，距离不能为负。已知到两轴的距离，要先恢复坐标的绝对值，再用象限筛选正负。若某一距离为 $0$ ，对应坐标只有一个值 $0$ ，不能把 $+0$ 、 $-0$ 当成两个候选。

对于两个不同点，同纵坐标说明连线水平；同横坐标说明连线竖直。若共同纵坐标就是 $0$ ，连线是 $x$ 轴本身，而不是另一条与它平行的直线。斜线段的长度不能只用横差或纵差。

中点坐标。 若 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ 的中点为 $M$ ，则

M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).

从 $A$ 到 $B$ 的横、纵变化各走一半： $x_M=x_1+\dfrac{x_2-x_1}{2}$ ，纵坐标同理。斜线段上，这一“各走一半”也可由平行于坐标轴的辅助线与全等直角三角形说明。平均的是同一坐标系中的带符号坐标，不是先取绝对值；该公式只用于中点，不能用于任意分点。

5. 象限角平分线

角平分线上的点到两条相邻坐标轴距离相等，因此 $|x|=|y|$ 。从垂足形成的直角三角形看，两锐角均为 $45^\circ$ ，两直角边等长。

第一、第三象限内两坐标同号，故 $y=x$ 。
第二、第四象限内两坐标异号，故 $y=-x$ 。
两条角平分线所在的直线都经过原点，但原点本身不属于任何象限。

只给 $|x|=|y|$ ，还不能选定其中一条直线；说“某象限内”时，还须满足该象限的严格符号条件。

6. 平移与对称怎样改变坐标

以下都在坐标系固定、点或图形移动的前提下讨论。设原来的点为 $P(x,y)$ ，表中的 $m,n>0$ 。

变换	变换后的坐标	不变或改变的原因
向右、向左平移 $m$	$(x+m,y)$ 、 $(x-m,y)$	高度不变，横向位置增减
向上、向下平移 $n$	$(x,y+n)$ 、 $(x,y-n)$	横向位置不变，高度增减
关于 $x$ 轴对称	$(x,-y)$	同一横向投影，竖直方向反向等距
关于 $y$ 轴对称	$(-x,y)$	同一纵向投影，水平方向反向等距
关于原点对称	$(-x,-y)$	原点是两对应点连线的中点

图形平移时，所有点同向、同距，横坐标加同一个数，纵坐标也加同一个数。对应边的坐标差不变，图形的形状、大小不变。连续移动可分别累计两个方向的变化，不能把横向与纵向移动距离直接相加成一条斜线距离。

轴上的点关于该轴对称仍是自身；原点关于原点对称也不动。如果是移动坐标原点而图形不动，应重新读坐标，不能照搬上表的点平移规则。

7. 方向与距离、底与高

用方位描述位置。 只有方向，点可以在同一条射线上任意远；只有距离，点可以在以观测点为圆心的圆上。因此要同时给方向和距离，并明确观测点。

“北偏西 $\theta$ ”从北向西量角；“南偏东 $\theta$ ”从南向东量角。改用相邻的东西方向作起点时，角度应取余角，不能只换方向名称而保留角度。角度从哪条射线起量，必须按图或题目约定。

用坐标求面积。 水平或竖直边的长度容易由坐标差求出，可以优先选作底；高是另一顶点到底所在直线的垂直距离。若底在直线 $x=c$ 上，点 $(a,b)$ 到它的距离是 $|a-c|$ ，只有 $c=0$ 时才等于到 $y$ 轴的距离。

三角形面积为底×高÷2；复杂图形可以割成互不重叠的三角形，或补成规则图形后减去多余部分。割补前要核对顶点顺序与轮廓，不能任意连接后都把面积相加。

二、考点方法与例题

1. 先读约定，再读两个数

写数对前，把第一项、第二项分别代表什么说清。表示定向位移时，负号只改变方向，不把路程读成“负多少米”；座位编号则按该教室的编号规则。

例题 01 座位与方向的有序数对知识清单例题·合组改编，明确排号方向

题目

（1）教室按“列号、排号”记位置，排号向后递增。小红坐第 $2$ 列第 $3$ 排，记作 $(2,3)$ 。小亮坐在她正后方的第一个位置，怎样表示？

（2）向东、向北为正，先写东西位移，再写南北位移；如向东 $4$ 米、再向北 $6$ 米记作 $(4,6)$ 。 $(6,4)$ 与 $(-2,-6)$ 各表示怎样走？

答案与解析

解析

（1）正后方不换列，列号仍为 $2$ ；向后一排，排号为 $4$ 。

（2）第一项正为东、负为西，第二项正为北、负为南。所以 $(6,4)$ 是东 $6$ 米、北 $4$ 米； $(-2,-6)$ 是西 $2$ 米、南 $6$ 米。顺序不能按大小重新排列。

本题结论

（1） $(2,4)$ 。（2）向东 6 米再向北 4 米；向西 2 米再向南 6 米。

2. 从已知点确定网格尺度

找原点、两轴正方向与已知点。
用已知坐标除以相应格数，分别确定横、纵一格表示多少单位。
从原点读目标点的横、纵位置，或按目标坐标找到点。
复核两个坐标，不把目标点相对于已知点的位移当成坐标。

例题 02 两幅网格各自读尺度知识清单例题·合组

题目

（1）从 $O$ 出发，向西走 $40$ 米，再向南走 $30$ 米到 $M$ ，用 $(-40,-30)$ 表示 $M$ 。图中 $(10,20)$ 表示哪个点？

A. 点 A　B. 点 B　C. 点 C　D. 点 D

（2）如图， $O$ 为原点， $P(2,1)$ ，求 $Q$ 的坐标。（2024 广西）

A. $(3,0)$ 　B. $(0,2)$ 　C. $(3,2)$ 　D. $(1,2)$

答案与解析

解析

（1） $M$ 在 $O$ 左 $4$ 格、下 $3$ 格，所以每格是 $10$ 米。目标点在右 $1$ 格、上 $2$ 格，是 B。A 横坐标为负；C 把横纵格数交换；D 的纵坐标为负。

（2） $P$ 在右 $2$ 格、上 $1$ 格，所以每格为 $1$ 单位。 $Q$ 在右 $3$ 格、上 $2$ 格，坐标 $(3,2)$ 。 $Q$ 相对 $P$ 右 $1$ 、上 $1$ ，但这不是它相对于原点的坐标。

本题结论

（1）选 B。（2） $Q(3,2)$ ，选 C。

3. 自己建系要交代基准

选顶点作原点便于直接使用边长，选中心作原点便于使用对称。无论哪一种，都要交代原点、轴方向、单位；全部点沿用同一套基准。开放建系题不要求唯一一组坐标。

例题 03 边长为4的正方形知识清单例题

题目

已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$ ，建立适当的平面直角坐标系，写出各顶点坐标。

答案与解析

解析

取图示字母顺序：A 在左上、B 在左下、C 在右下、D 在右上，单位长度为 $1$ 。

以中心为原点。 两轴平行于正方形两邻边，向右、向上为正。中心到每条边的距离为 $2$ ，所以左右横坐标分别 $-2,2$ ，上下纵坐标分别 $2,-2$ 。

以 B 为原点。 BC 方向为横轴正方向，BA 方向为纵轴正方向，坐标取 $0$ 或 $4$ 。

顶点	中心建系	B 点建系
A	$(-2,2)$	$(0,4)$
B	$(-2,-2)$	$(0,0)$
C	$(2,-2)$	$(4,0)$
D	$(2,2)$	$(4,4)$

坐标不同，是基准不同；两种表示中的边长都仍为 $4$ 。

本题结论

两套坐标如表，均正确；其他原点、方向和坐标相互一致的建系也可以。

4. 象限与坐标条件相互转换

点在轴上，先令相应坐标为零；点在象限中，列两个严格符号条件并取交集。若所问是另一个点，要重新代入、重新判符号，不能沿用已知点的象限。

例题 04 由已知点判断另一个点知识清单例题·合组

题目

（1）点 $A(-2,n+3)$ 在 $x$ 轴上，点 $B(n-1,n+1)$ 在第几象限？

（2）点 $P(a,b)$ 在第四象限，点 $Q(b-1,-a)$ 在哪里？

A. 第一象限　B. 第二象限　C. 第三象限　D. 第四象限

（3）单项式 $-x^{2m}y^3$ 与 $2x^4y^{2-n}$ 的和仍是一个单项式，点 $(m,n)$ 在哪里？选项同第（2）问。（2024 四川广元）

答案与解析

解析

（1） $A$ 在横轴上，纵坐标 $n+3=0$ ，得 $n=-3$ 。代入 $B=(-4,-2)$ ，横纵均负，在第三象限。

（2）由 $P$ 在第四象限得 $a>0,b<0$ 。于是 $b-1<0$ 、 $-a<0$ ，Q 在第三象限。

（3）两个非零单项式要合成一项，相同字母的指数必须相同，且这里系数和 $-1+2=1\ne0$ 。故 $2m=4$ 、 $3=2-n$ ，得到 $m=2,n=-1$ 。点 $(2,-1)$ 在第四象限。

本题结论

（1）第三象限。（2）第三象限，选 C。（3）第四象限，选 D。

例题 05 用象限列参数范围 2024 山东滨州

题目

点 $P(1-2a,a)$ 在第二象限， $a$ 的范围是哪一个？

A. $a>\dfrac12$ 　B. $a<\dfrac12$ 　C. $0<a<\dfrac12$ 　D. $0\le a<\dfrac12$

答案与解析

解析

第二象限必须同时满足

\begin{cases}1-2a<0,\\a>0.\end{cases}

第一式得 $a>\dfrac12$ ，与 $a>0$ 取交集仍是 $a>\dfrac12$ 。 $a=\dfrac12$ 时横坐标为零，点落在纵轴上，不能收入第二象限。

本题结论

$a>\dfrac12$ ，选 A。

5. 先从距离恢复大小，再定符号

到横轴的距离决定纵坐标绝对值，到纵轴的距离决定横坐标绝对值。若有倍数关系，先在距离大小之间计算；最后按象限确定正负，不把负坐标直接当距离。

例题 06 距离倍数与第二象限知识清单例题

题目

点 A 到 $x$ 轴的距离为 $3$ ，到 $y$ 轴的距离是到 $x$ 轴距离的 $3$ 倍。若 A 在第二象限，它的坐标是？

A. $(-9,3)$ 　B. $(-3,1)$ 　C. $(-3,9)$ 　D. $(-1,3)$

答案与解析

解析

到横轴距离 $3$ 给出 $|y|=3$ ；到纵轴距离 $3\times3=9$ 给出 $|x|=9$ 。第二象限横负纵正，所以 A 为 $(-9,3)$ 。

B 到横轴的距离是 $1$ ；C 把两轴距离颠倒；D 到纵轴的距离是 $1$ ，均不符合。

本题结论

$A(-9,3)$ ，选 A。

6. 按观测点报告方向与距离

先确认“相对于谁”，再找角标从北、南还是别的方向量起，最后配上原单位的距离。相邻方向的等价说法要换余角；只给方向或只给距离，都不足以报告平面内的准确位置。

例题 07 四艘渔船的位置知识清单例题·情境缩写

题目

四艘渔船 A、B、C、D 在回港途中遭遇强风，需要小岛上的人员救援。请根据图示，分别说明四艘渔船相对于小岛的位置。图中 n mile 表示海里。

答案与解析

解析

以小岛为观测点，图示上北下南。A 的 $50^\circ$ 从北向西量；B 的 $45^\circ$ 从南向西量，是西南方向；C 在正南；D 的 $60^\circ$ 从南向东量。

方向确定一条射线，再沿这条射线读相应距离。A 也可说西偏北 $40^\circ$ ，但不能说西偏北 $50^\circ$ ；D 同理不能直接换成东偏南 $60^\circ$ 。

本题结论

A：北偏西 $50^\circ$ ，30 海里；B：西南方向，20 海里；C：正南方向，35 海里；D：南偏东 $60^\circ$ ，25 海里。

7. 作图后选择容易计算的底和高

先按横纵顺序落点并按题目顺序连接。找到水平、竖直边或对角线后，用坐标差求底和垂高；割补需说明覆盖了哪些区域，避免漏算或重叠。

例题 08 三角形与四边形面积知识清单例题

题目

（1） $A(0,1)$ 、 $B(2,0)$ 、 $C(2,3)$ ，在下图中画出 $\triangle ABC$ ，并求面积。

（2）如图，四边形 ABCD 的顶点为 $A(-2,5)$ 、 $B(-5,-3)$ 、 $C(-2,-4)$ 、 $D(4,-1)$ ，求其面积。

答案与解析

解析

（1）按坐标描点连接，图形如下。B、C 同横坐标 $2$ ，底 $BC=3$ ；A 到直线 $x=2$ 的垂直距离为 $2$ 。所以 $S_{\triangle ABC}=\dfrac12\times3\times2=3$ 。

（2）连接 AC。A、C 同横坐标 $-2$ ， $AC=5-(-4)=9$ 。B、D 分别在 AC 两侧，四边形正好分成两个不重叠三角形。

B 到 AC 的距离 $BE=|-5-(-2)|=3$ ；D 到 AC 的距离 $DF=|4-(-2)|=6$ 。因此

S_{ABCD}=\frac12\times9\times3+\frac12\times9\times6=\frac{81}{2}.

这里的高不是到 $y$ 轴的距离 $5$ 和 $4$ ，因为底 AC 不在 $y$ 轴上。

本题结论

（1）图形见解析，面积为 $3$ 。（2）面积为 $\dfrac{81}{2}$ 。

8. 连续平移分别累计两个方向

右、上为正增量，左、下为负增量。每次只改变对应方向的坐标；若先后两步作用于同一点，第二步从第一步得到的位置开始。图形作图还需将所有顶点按同一位移移动并按原顺序连接。

例题 09 先右移，再上移 2024 江西

题目

在平面直角坐标系中，将 $A(1,1)$ 向右平移 $2$ 个单位长度，再向上平移 $3$ 个单位长度，得到 B。求 B 的坐标。

答案与解析

解析

右移 $2$ ： $(1,1)\to(3,1)$ ；上移 $3$ ： $(3,1)\to(3,4)$ 。也可分别累计横、纵增量，得到 $(1+2,1+3)$ 。

本题结论

$B(3,4)$ 。

三、坑点错因与边界

1. 括号相同，不代表规则相同

看到两个数不要立刻套“横在前、纵在后”。题目可能另设位置规则；先看给出的示例，确认角从哪里量、方向如何规定，再读新点。

辨析 01 一种“圆”坐标 2023 江苏连云港

题目

画水平数轴，以原点 O 为圆心，过数轴的每个刻度点画同心圆；再从正半轴起，逆时针每隔 $30^\circ$ 画一条射线，建立“圆”坐标系。如图， $A(6,60^\circ)$ 、 $B(5,180^\circ)$ 、 $C(4,330^\circ)$ 。点 D 怎样表示？

答案与解析

解析

由已知点可知，第一项表示距 O 的圆层尺度，第二项表示从正半轴逆时针转过的角。D 在第三个圆上，射线角为 $150^\circ$ ，因此写成 $(3,150^\circ)$ 。

这里的 $150^\circ$ 是角，不是直角坐标中的纵坐标；不能按“横3、纵150”另找点。

本题结论

$D(3,150^\circ)$ 。

2. 只给长度，没有指定方向

长度是坐标差的绝对值，不自带向左或向右。无方向、象限限制时，应保留所有符合条件的位置；不要用随手画的一张图替题目增加条件。

辨析 02 水平线段的另一端点知识清单例题

题目

线段 AB 平行于 $x$ 轴，长为 $5$ ， $A(4,5)$ 。求 B 的坐标。

答案与解析

解析

水平线段纵坐标不变，所以设 $B(x,5)$ 。长度条件为 $|x-4|=5$ ，得到 $x-4=5$ 或 $x-4=-5$ ，即 $x=9$ 或 $x=-1$ 。

两个点分别在 A 右、左，都与 A 相距 $5$ ；题目没有指定方向，所以都应保留。线段在直线 $y=5$ 上，并不是在 $x$ 轴上。

本题结论

$B(9,5)$ 或 $B(-1,5)$ 。

辨析 03 两轴距离能确定几个点知识清单例题

题目

点 P 到 $x$ 轴的距离为 $3$ ，到 $y$ 轴的距离为 $2$ ，求 P 的全部坐标。

答案与解析

解析

到横轴距离给 $|y|=3$ ，到纵轴距离给 $|x|=2$ 。因此 $x$ 可取 $2,-2$ ， $y$ 可取 $3,-3$ ，两个符号独立组合。

横坐标	纵坐标	所在象限
$2$	$3$	第一
$-2$	$3$	第二
$-2$	$-3$	第三
$2$	$-3$	第四

四点到两轴的距离都符合要求。距离为正不意味着坐标也为正。

本题结论

$(2,3)$ 、 $(-2,3)$ 、 $(-2,-3)$ 、 $(2,-3)$ 。

3. 先辨关于哪条轴或哪个点对称

关于轴对称，沿轴方向的位置不变；关于原点对称，横纵有向位置都反过来。用中点检查原点对称时，两坐标分别相加应为零，不能只改一个符号。

辨析 04 关于原点的对称点 2024 江苏扬州

题目

$P(1,2)$ 关于坐标原点的对称点 $P'$ 的坐标是？

A. $(-1,-2)$ 　B. $(-1,2)$ 　C. $(1,-2)$ 　D. $(1,2)$

答案与解析

解析

原点应是 $PP'$ 的中点，所以横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，得 $P'(-1,-2)$ 。

B 只改变横坐标，是关于 $y$ 轴的对称点；C 只改变纵坐标，是关于 $x$ 轴的对称点；D 保持原位置，而本题 P 不是原点，不能在原点对称后保持不动。

本题结论

$P'(-1,-2)$ ，选 A。

4. 周期只用在真正重复的部分

把横、纵坐标分开追踪：哪一项不断累积，哪一项循环？余数只定位循环中的位置，不能代替总步数。起点编号为零时，尚未运动，不计为第一次。

辨析 05 按图示规律运动知识清单例题

题目

动点 P 从原点出发，按图中箭头所示的规律持续运动：第 $1$ 次到 $(1,1)$ ，第 $2$ 次到 $(2,0)$ ，第 $3$ 次到 $(3,2)$ ，此后重复图示运动规律。第 $2023$ 次运动后的坐标是？

A. $(2023,1)$ 　B. $(2023,2)$ 　C. $(2023,0)$ 　D. $(2024,0)$

答案与解析

解析

每次向右 $1$ 单位，第 $k$ 次横坐标就是 $k$ ，并不循环。按题设持续重复的轨迹，纵坐标依次为 $1,0,2,0$ ，每 $4$ 步一轮。

步数形式	横坐标	纵坐标
$4n$	$4n$	$0$
$4n+1$	$4n+1$	$1$
$4n+2$	$4n+2$	$0$
$4n+3$	$4n+3$	$2$

其中 $n$ 为非负整数， $4n=0$ 对应尚未运动的起点。 $2023=4\times505+3$ ，纵坐标取这一轮第 $3$ 项 $2$ ，横坐标仍为总次数 $2023$ 。

不能答 $(3,2)$ ，因为横坐标没有回到周期内；也不能把起点算成一次而写 $2024$ 。这里依赖题目给出的持续规则，仅凭任意几个点不能唯一推出无限运动规律。

本题结论

$(2023,2)$ ，选 B。