等腰三角形

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两条相等的边带来两个相等的角，也带来一条对称轴。处理等腰问题时，先认清腰、底边与顶角，再在具体三角形中传递边角关系；未说明腰底时，要保留不同可能。

一、知识点概念与依据

1. 腰、底边、顶角与底角

有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。

名称	含义	若 $AB=AC$
腰	两条相等的边	$AB,AC$
底边	剩下的一条边	$BC$
顶角	两腰的夹角	$\angle A$
底角	底边与腰的夹角	$\angle B,\angle C$

顶角为直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形，它的两个底角都是 $45^\circ$ 。等边三角形也属于等腰三角形，不能把“有两边相等”理解为“恰好只有两边相等”。

2. 等边对等角，等角对等边

已知	可以得到	使用方向
同一三角形中 $AB=AC$	$\angle B=\angle C$	性质：等边对等角
同一三角形中 $\angle B=\angle C$	$AB=AC$	判定：等角对等边

性质为什么成立？ 作顶角 $A$ 的内部平分线，交 $BC$ 于 $D$ 。 $AB=AC$ 、 $\angle BAD=\angle CAD$ 、 $AD$ 公共，由 SAS 得 $\triangle ABD\cong\triangle ACD$ ，故两底角相等。

判定为什么成立？ 仍作顶角的内部平分线 $AD$ 。 $\angle BAD=\angle CAD$ 、 $\angle B=\angle C$ 、 $AD$ 公共，由 AAS 得两小三角形全等，所以 $AB=AC$ 。这一次不能把 $AB=AC$ 当作已知。

这里的“等边对等角”必须在同一个三角形里使用。两条边来自不同三角形时，通常先用全等建立联系，不能直接配两个角。

3. 三线合一只针对顶角与底边

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。它们所在的直线就是底边的中垂线，也是三角形的一条对称轴。

仍设 $AB=AC$ 。在上面的 SAS 证明中，全等还给出 $BD=CD$ 、 $\angle ADB=\angle ADC$ ；两角邻补，故都是直角。因此从顶角平分线出发，同时得到中线和高。

反过来，从另两种条件出发也可以证明：

已知 $D$ 为底边中点： 两腰相等、两半底边相等、 $AD$ 公共，由 SSS 全等，得到平分顶角及垂直底边。
已知 $AD$ 为底边上的高： 两直角三角形斜边 $AB=AC$ ，直角边 $AD$ 公共，由 HL 全等，得到底边平分与顶角平分。

不是所有中线、高线、角平分线都重合。两腰上的对应中线相等、对应高相等、两个底角的平分线相等，是长度相等，并非这些线段都在同一直线上；它们可由沿对称轴翻折互相重合来说明。

4. 底边上点到两腰的距离和

设 $AB=AC=L>0$ ， $P$ 在线段 $BC$ 上， $P$ 到两腰所在直线的垂直距离分别为 $u,v$ ， $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $h$ 。连接 $AP$ ，两块面积相加：

S_{ABC}=S_{ABP}+S_{ACP}=\frac12 Lu+\frac12 Lv.

又以 $AB$ 为底，有 $S_{ABC}=\frac12 Lh$ ，所以

u+v=h.

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高。 $P$ 为底边端点时，其中一个面积及距离为零，仍成立； $P$ 移出底边后，面积关系变成相减，不能继续套无符号距离和。

5. 等边三角形是特殊的等腰三角形

三边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。三组等边分别给出三角相等，结合内角和，三个内角都为 $60^\circ$ 。

判定办法	为什么足够
三边相等	定义
三个内角相等	等角对等边，得到三边相等
已知等腰，再有一个角为 $60^\circ$	若为顶角，两底角各 $60^\circ$ ；若为底角，另一底角也为 $60^\circ$ ，顶角随之为 $60^\circ$

三条中线所在的直线都是对称轴，共有三条对称轴。每一条中线也同时是高、内角平分线及对应底边的中垂线，所以重心、垂心、内心、外心重合。

二、考点方法与例题

1. 多组等腰，先逐组配边与角

把每一组等边所属的三角形写清楚，再配它们的对角。求角常用两条路线：已知角逐步传递，或设一个基本角，把其他角都表示成它的倍数。出现延长线时，先分辨内角与外角。

例题 01 由一个小角逐步求两个角知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB=AD=DC$ , $\angle BAD=26^{\circ}$ , 求 $\angle B$ 和 $\angle C$ 的度数.

答案与解析

解析

在 $\triangle ABD$ 中， $AB=AD$ ，故

\angle B=\angle ADB=\frac{180^\circ-26^\circ}{2}=77^\circ.

$B,D,C$ 顺次共线， $\angle ADB$ 是 $\triangle ADC$ 在 $D$ 处的外角，所以 $\angle C+\angle DAC=77^\circ$ 。

在 $\triangle ADC$ 中， $AD=DC$ ，故 $\angle C=\angle DAC=38.5^\circ$ 。

本题结论

$\angle B=77^\circ$ ， $\angle C=38.5^\circ$ 。

例题 02 把各角写成同一个未知数知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, AB = AC, D 为 BC 上的一点, 且 DA = DC, BD = BA, 求 $\angle B$ 的度数.

答案与解析

解析

设 $\angle C=x$ 。 $DA=DC$ 给 $\angle DAC=x$ ；外角关系给 $\angle ADB=2x$ 。

$BD=BA$ 给 $\angle BAD=\angle ADB=2x$ ； $AB=AC$ 给 $\angle B=\angle C=x$ 。于是大三角形的三个角为 $3x,x,x$ ，

3x+x+x=180^\circ,\qquad x=36^\circ.

每一步等角都来自各自三角形内的一组等边。

本题结论

$\angle B=36^\circ$ 。

2. 角分属不同三角形，先用全等建立联系

目标角不在同一个三角形中时，先找两边及夹角等全等条件。全等移来一组等边，才能在新三角形中使用等腰性质；最后按图中角的组成相加或相减。

例题 03 全等之后，再利用同一三角形的底角知识清单例题

题目

如图, 已知 $AB = AE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = DE$ , 求证: $\angle BCD = \angle EDC$ .

答案与解析

解析

在 $\triangle ABC$ 、 $\triangle AED$ 中， $AB=AE$ 、 $\angle B=\angle E$ 、 $BC=ED$ ，由 SAS 全等，得 $AC=AD$ 、 $\angle ACB=\angle ADE$ 。

再看 $\triangle ACD$ ， $AC=AD$ ，所以 $\angle ACD=\angle ADC$ 。按图中角的组成，

\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=\angle EDA+\angle ADC=\angle EDC.

第一层靠跨三角形全等，第二层才是同一三角形的等边对等角。

本题结论

$\angle BCD=\angle EDC$ 。

3. 证等腰，先找两角怎样相等

若边长不好直接比较，可以转向对角。角平分线给相等半角，平行线搬角，两个直角给余角相等，外角给角的和。将目标三角形中的两角写成相同的表达式后，再认准它们的对边。

例题 04 直角、高与角平分线知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = 90^{\circ}$ , $AD \perp BC$ 于点 $D$ , $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$ , 交 $AC$ 于点 $E$ . 若 $BE$ 平分 $\angle ABC$ , 试判断 $\triangle AEF$ 的形状, 并说明理由.

答案与解析

解析

$\angle BAC=90^\circ$ 、 $AD\perp BC$ ，给出

\angle BAD+\angle CAD=90^\circ,\qquad\angle C+\angle CAD=90^\circ.

两式同减 $\angle CAD$ ，得 $\angle BAD=\angle C$ 。又 $BE$ 平分 $\angle ABC$ ，所以 $\angle ABE=\angle CBE$ 。

图中 $B,F,E$ 、 $A,E,C$ 分别顺次共线，因此两个外角分别为

\angle AFE=\angle ABE+\angle BAD,\qquad\angle AEF=\angle CBE+\angle C.

两对加数相等，得 $\angle AFE=\angle AEF$ 。在 $\triangle AEF$ 中，这两个角的对边是 $AE,AF$ ，故 $AE=AF$ 。

本题结论

$\triangle AEF$ 是等腰三角形，腰为 $AE,AF$ 。

例题 05 平行线与一个半角知识清单例题

题目

如图,在 $\triangle ABC$ 中,已知 $BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线,且 $DE \parallel BC$ .

求证: $\triangle BED$ 是等腰三角形.

答案与解析

解析

$E$ 在 $AB$ 上， $BD$ 平分 $\angle ABC$ ，所以 $\angle EBD=\angle DBC$ 。

$DE\parallel BC$ ，以 $BD$ 为截线，得 $\angle EDB=\angle DBC$ 。于是 $\angle EBD=\angle EDB$ ，两角在同一 $\triangle BED$ 中，由等角对等边得 $DE=BE$ 。

本题结论

$\triangle BED$ 是等腰三角形， $BE=DE$ 。

例题 06 由角平分与平行判断等边知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB=120^{\circ}$ , $CD$ 平分 $\angle ACB$ , $AE \parallel DC$ , $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$ , 证明 $\triangle ACE$ 是等边三角形.

答案与解析

解析

$B,C,E$ 顺次共线，所以 $\angle ACE=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ 。

$CD$ 平分 $120^\circ$ 的角，故 $\angle ACD=\angle BCD=60^\circ$ 。 $AE\parallel DC$ ，给 $\angle CAE=\angle ACD=60^\circ$ ，也给 $\angle AEC=\angle BCD=60^\circ$ 。

三个内角都为 $60^\circ$ ，由等角对等边得到三边相等。不是仅凭一个 $60^\circ$ 就判断等边。

本题结论

$\triangle ACE$ 是等边三角形。

4. 中点与对称条件，选择全等或中垂线

等腰三角形的底边上出现两端等长的截段时，可直接用两腰及底角作 SAS，也可作底边上的高，利用三线合一转成中垂线。两条路线都必须核对点序；若两点重合，目标等长往往直接成立，不必套全等。

例题 07 底边上两个点的两种证法知识清单例题

题目

如图，点 $D,E$ 在 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上， $AB=AC$ ， $BD=CE$ 。求证： $AD=AE$ 。

答案与解析

解析

证法一：SAS。 $AB=AC$ ，所以 $\angle B=\angle C$ 。再有 $BD=CE$ ，两边及夹角对应相等，得 $\triangle ABD\cong\triangle ACE$ ，从而 $AD=AE$ 。

证法二：底边上的高。 作 $AF\perp BC$ 。三线合一给 $BF=CF$ 。按图中 $B,D,E,C$ 的顺序和 $BD=CE$ ， $D,E$ 分居 $F$ 两侧，

DF=BF-BD=CF-CE=EF.

因此 $AF$ 是 $DE$ 的中垂线，得 $AD=AE$ 。若 $D=E$ ，结论直接成立，无须对退化图套判据。

也可在第二种作法中，用 $DF=EF$ 说明 $AF$ 同时是 $\triangle ADE$ 的中线和高，或直接对两小直角三角形用 SAS，得到同一结论。

本题结论

$AD=AE$ 。

5. 等边中的中线先给半角，再转移长度

认准中点在哪条边上，以及中线从哪个顶点出发。等边三角形的顶角为 $60^\circ$ ，中线平分它得到 $30^\circ$ ；再借新增的等腰条件，可能在另一个三角形里得到第二组等角，逐段传递长度。

例题 08 中点与延长线上的等长线段知识清单例题

题目

如图,等边三角形 ABC 的边长为 3,D 是 AC 的中点,点 E 在 BC 的延长线上,若 DE=DB,求 CE 的长.

答案与解析

解析

$D$ 为 $AC$ 中点， $BD$ 从顶点 $B$ 出发，是中线，也是角平分线，故 $\angle DBE=30^\circ$ 。

$DB=DE$ ，所以 $\angle BED=\angle DBE=30^\circ$ 。在 $\triangle CDE$ 中， $\angle ACB=60^\circ$ 是 $C$ 处的外角，得 $\angle CDE+\angle CED=60^\circ$ ，于是 $\angle CDE=30^\circ$ 。

在同一个 $\triangle CDE$ 中，两角相等，故 $CE=CD=\frac12 AC=\frac32$ 。

本题结论

$CE=\frac32$ 。

6. 两个等腰共顶点，先找真正的夹角

两组等边已经给出时，SAS 还缺的是它们的夹角。若已知两个相等的整体角含有同一个小角，可同减该小角得到所需夹角。条件换成等边特例时，原全等关系通常保留，还可能增加 $60^\circ$ 与平行关系。

例题 09 两个等腰与等边特例知识清单例题

题目

如图 1, $\triangle ABC$ 是等腰三角形, AC = BC, D 是 AB 边上一点, 以 CD 为边作等腰三角形 CDE, 使点 E, A 在直线 DC 的同侧, $\angle BCA = \angle DCE$ , CD = CE, 连接 AE.

(1) 求证: $\triangle DBC \cong \triangle EAC.$
(2)如图2,若 $\triangle ABC$ 、 $\triangle CDE$ 都是等边三角形,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断,无需证明.
(3)在(2)的条件下,AE与BC有怎样的位置关系?请写出理由.

图1：一般等腰情形

图2：等边特例

答案与解析

解析

（1） 按图中位置，

\angle BCD+\angle DCA=\angle BCA,\qquad\angle ACE+\angle DCA=\angle DCE.

两个整体角相等，同减 $\angle DCA$ ，得 $\angle BCD=\angle ACE$ 。再有 $BC=AC$ 、 $CD=CE$ ，由 SAS 得 $\triangle DBC\cong\triangle EAC$ 。

（2） 仍然成立。两三角形为等边时，原来的两组等边及相等顶角条件仍满足。

（3） 等边给 $\angle B=\angle ACB=60^\circ$ ；全等的对应角给 $\angle CAE=\angle B=60^\circ$ 。所以 $\angle CAE=\angle ACB$ ，以内错角相等判定 $AE\parallel BC$ 。

本题结论

（1）两三角形全等；（2）仍成立；（3） $AE\parallel BC$ 。

三、坑点条件与边界

1. 未指定腰底时，先分类再筛选

给两种不同边长而没有说明腰底时，分别让每一种作为重复的腰，再检查严格的三边关系。若给一个角而未说明顶角或底角，也要分别处理：

设所给角为 $\alpha$	其余角	边界
它是顶角	两底角各 $(180^\circ-\alpha)/2$	$0^\circ<\alpha<180^\circ$
它是底角	另一底角为 $\alpha$ ，顶角为 $180^\circ-2\alpha$	$0^\circ<\alpha<90^\circ$

分类不等于所有分支都有效；零角和三边关系中的等号都须排除。

辨析 01 两组边长各有哪些可能知识清单例题

题目

(1)已知等腰三角形的一边长是5,另一边长是7,该三角形的周长是____.

(2)已知等腰三角形的一边长是3,另一边长是6,该三角形的周长是____.

答案与解析

解析

（1） 腰为 $5$ 时，三边为 $5,5,7$ ，满足 $5+5>7$ ，周长 $17$ ；腰为 $7$ 时，三边为 $7,7,5$ ，也能构成三角形，周长 $19$ 。

（2） 腰为 $3$ 时， $3+3=6$ ，三点共线退化，不是三角形。腰为 $6$ 时，三边 $6,6,3$ 满足三边关系，周长 $15$ 。

本题结论

（1） $17$ 或 $19$ ；（2） $15$ 。

2. 底角的平分线不能套三线合一

三线合一对应的是顶角平分线与底边。从一个底角引出的平分线，通常既不是另一腰的中线，也不是高。要靠实际角度重新判断小三角形，不能看到“等腰＋平分”就写垂直或中点。

辨析 02 从一个底角引平分线 2024 重庆 B

题目

(2024 重庆 B) 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$ , $\angle A = 36^{\circ}$ , $BD$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$ . 若 $BC = 2$ , 则 $AD$ 的长度为 ____.

答案与解析

解析

$AB=AC$ 、 $\angle A=36^\circ$ ，所以 $\angle B=\angle C=72^\circ$ 。 $BD$ 平分 $\angle B$ ，得 $\angle ABD=\angle CBD=36^\circ$ 。

$A,D,C$ 共线， $\angle CDB$ 是 $\triangle ABD$ 的外角，所以 $\angle CDB=36^\circ+36^\circ=72^\circ=\angle C$ 。在 $\triangle BCD$ 中，得 $BD=BC=2$ 。

再在 $\triangle ABD$ 中， $\angle A=\angle ABD$ ，得 $AD=BD=2$ 。两次等角对等边分别在两个三角形里使用，未使用 $BD\perp AC$ 。

本题结论

$AD=2$ 。

3. 平行线搬的是同一截线形成的角

小角不一定就是同位角或内错角。先辨认截线，拼出完整的同旁内角或内错角，使用平行关系后，再减去等边三角形的 $60^\circ$ 。

辨析 03 两条平行线间的等边三角形 2024 山东泰安

题目

（2024山东泰安）如图，直线 $l / / m$ ，等边三角形ABC的两个顶点 $B,C$ 分别落在直线 $l,m$ 上，若 $\angle ABE = 21^{\circ}$ ，则 $\angle ACD$ 的度数是（）

A. ${45}^{ \circ }$

B. $39^{\circ}$

C.29°

D. ${21}^{ \circ }$

答案与解析

解析

等边三角形的两个内角均为 $60^\circ$ ，图中

\angle CBE=60^\circ+21^\circ=81^\circ.

以 $BC$ 为截线，由 $l\parallel m$ 得 $\angle BCD=180^\circ-81^\circ=99^\circ$ 。再减去 $\angle BCA=60^\circ$ ，得到 $\angle ACD=39^\circ$ 。

不能把分属截线 $AB$ 与 $AC$ 的小角直接认成相等； $45^\circ$ 也缺少等腰直角条件。回验 $60^\circ+21^\circ+60^\circ+39^\circ=180^\circ$ 。

本题结论

选 B， $\angle ACD=39^\circ$ 。

4. 一个60°，还缺少什么条件

仅有一个 $60^\circ$ 的三角形，另外两个角未必也为 $60^\circ$ 。要判定等边，还须有等腰条件、另一个 $60^\circ$ ，或足够的等边关系。底边点的两垂距和性质也有边界：两腰要等长，点要在有限底边上，距离要取垂直距离，三个条件不能省略。