角

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角的大小由两边张开的程度决定。读图时先找顶点和两条边，计算时再把平分、余补、方位等条件翻译成角度关系；特别要留意射线究竟在角内还是角外。

一、知识点概念与依据

1. 角的顶点、边和表示

有公共端点的两条射线组成角，公共端点是顶点，两条射线是边。也可把角看作一条射线绕端点旋转到另一位置所形成的图形；此时要说明转过的方向与区域。

表示方式	要点
$\angle AOB$	顶点 $O$ 写在中间， $OA$ 、 $OB$ 给出两边
$\angle O$	顶点处只有一个无歧义的角时才可简写
$\angle1$ 、 $\alpha$	必须由图中的弧或标记明确指出所指的角

把边画得更长，不会改变射线方向，因而不改变角的大小。同一顶点有多条射线时，不能一律简写成顶点字母，否则无法确定所指的角。

角的类别	度数
锐角	$0^\circ<\alpha<90^\circ$
直角	$90^\circ$
钝角	$90^\circ<\alpha<180^\circ$
平角	$180^\circ$
周角	$360^\circ$

平角的两边互为反向射线，但平角还包含顶点与半周转动，不能直接说“平角就是直线”。周角的始边、终边重合，但经历一周，不能把它当成零转动。

2. 度、分、秒与六十进制

1^\circ=60',\qquad1'=60'',\qquad1^\circ=3600''.

这里的分、秒是角度单位。大单位化小单位乘60，小单位化大单位除60；小数度的小数部分不能直接读成分。

换算方向	原书示例与步骤
小数度化为度分秒	$2.45^\circ=2^\circ+0.45\times60'=2^\circ27'$
度分秒化为小数度	$33^\circ24'36''=33^\circ+(24/60)^\circ+(36/3600)^\circ=33.41^\circ$

加减时同单位对齐，进位和借位都按60；除法的余度还要化成分，余分还要化成秒，不能丢掉余数。中间不随意取近似。角度数量运算的结果即使超过 $360^\circ$ 也应保留，除非题目另问终边方向。

3. 比较与内部划分的和差

比较角有两种常用办法：

度量法：量角器中心对准顶点，零刻度线对准一边，从这个零起点所对应的刻度方向读另一边。
叠合法：使顶点和一边重合，两条另一边放在共边同侧。小角的另一边落在大角内部，就可判断小于。

若射线 $OC$ 在所选 $\angle AOB$ 内部，才有

\angle AOB=\angle AOC+\angle COB.

射线位置改变，同样几个字母之间可能应作差而非作和。普通示意图不能当精确已知数据使用；只有题目明确要求度量时，才按原图比例测量。

4. 角平分线

从顶点出发，在角内部把角分成两个相等的角的射线，叫角平分线。

若 $OC$ 平分 $\angle AOB$ ，则内部两角相加为整角，又彼此相等，所以

\angle AOC=\angle COB=\frac12\angle AOB.

反过来，要由半角等式判断平分线，还须确认射线位于角内部。只说与一边夹角等于原角的一半，角外也可能有另一条射线满足。

通常讨论 $0^\circ<\angle AOB<180^\circ$ 的内角；若讨论平角、周角等特殊情况，应先说明所分的区域。三角形的角平分线另指截到对边的有限线段，不应与这里完整的射线混淆。

5. 余角、补角

关系	定义	已知角 $\alpha$ 后的表示
互为余角	两角的和为 $90^\circ$	$90^\circ-\alpha$
互为补角	两角的和为 $180^\circ$	$180^\circ-\alpha$

互余、互补只要求度数关系，不要求两角相邻。通常要求所求余角、补角为正时，分别检查 $0^\circ<\alpha<90^\circ$ 、 $0^\circ<\alpha<180^\circ$ 。

同角或等角的余角相等，补角也相等：从同一个 $90^\circ$ 或 $180^\circ$ 中减去相等的角，结果仍相等。这是度数关系；“邻补角”还有共边、另两边互为反向射线的位置要求。

6. 方向角的基准与两点互看

“北偏东 $\theta$ ”从观测点的正北射线向东偏转 $\theta$ ；“南偏西 $\theta$ ”从正南射线向西量。第一个方向决定起算基准。

改用相邻的东西基准描述同一方向，相应偏角互余。
两点互看时目标射线反向，北与南、东与西同时互换，偏角保持不变。
仅有方向确定一条射线，再有距离才能确定射线上的一点。

方位角也可约定从正北起，按顺时针量到目标方向，统一记在 $0^\circ\le\theta<360^\circ$ ；正东为 $90^\circ$ ，正西为 $270^\circ$ 。不要与从横轴正向逆时针量角的其他坐标约定混用。

本页按平面地图模型，各处南北方向线互相平行。换观测点后目标方向改变，不能照抄原方向词。

二、考点方法与例题

1. 统一单位后比较和运算

比较时先把各数化成同一种表示，再从度、分、秒依次比。运算时同单位对齐，秒向分、分向度逐级进位；借位反过来，每次均为60。

例题 01 三种角度表示的比较知识清单例题

题目

已知 $\angle A = 30^{\circ}28'$ , $\angle B = 30^{\circ}28'30''$ , $\angle C = 30.4^{\circ}$ , 则这三个角的大小关系为 ____. (用 “>” 连接)

答案与解析

解析

$\angle C=30.4^\circ=30^\circ24'$ ，不是 $30^\circ40'$ 。 $\angle A$ 为 $30^\circ28'$ ，大于 $\angle C$ ； $\angle B$ 又比 $\angle A$ 多 $30''$ 。

本题结论

$\angle B>\angle A>\angle C$ 。

例题 02 度分秒的四则运算知识清单例题

题目

计算：

（1） $152^\circ49'12''+20.18^\circ$ 。

（2） $82^\circ-36^\circ42'15''$ 。

（3） $35^\circ36'47''\times9$ 。

（4） $41^\circ37'\div3$ 。

答案与解析

解析

（1） $20.18^\circ=20^\circ10'48''$ ，相加得 $172^\circ59'60''$ ，秒进1分，分再进1度，得 $173^\circ$ 。也可将前一个数化成 $152.82^\circ$ 后相加。

（2）把 $82^\circ$ 借位成 $81^\circ59'60''$ ，相减得 $45^\circ17'45''$ 。

（3）分别乘9得 $315^\circ324'423''$ 。 $423''=7'3''$ ，总分数为 $331'=5^\circ31'$ ，故为 $320^\circ31'3''$ 。

（4） $41^\circ\div3$ 商 $13^\circ$ 余 $2^\circ$ ；余度化120分，加原37分为157分，除3商52分余1分；余1分化60秒，除3得20秒。

本题结论

（1） $173^\circ$ ；（2） $45^\circ17'45''$ ；（3） $320^\circ31'3''$ ；（4） $13^\circ52'20''$ 。

2. 按包含关系或工具比较角

有共顶点、共边和同侧包含时直接比较；不共边时，可按题目指定的三角尺或量角器建立共同基准。每问注明依据，不把实际测量值当成图上本来标出的已知数。

例题 03 同一图中的三组角知识清单例题

题目

如图,回答下列问题:(1) 比较∠FOD与∠FOE的大小.

(2)借助三角尺比较 $\angle DOE$ 与 $\angle BOF$ 的大小.
(3)借助量角器比较 $\angle AOE$ 与 $\angle DOF$ 的大小.

答案与解析

解析

（1）两角共有顶点 $O$ 和边 $OF$ ， $OD$ 在较大的 $\angle FOE$ 内，所以 $\angle FOD<\angle FOE$ 。

（2）用含 $45^\circ$ 的三角尺比较， $\angle DOE>45^\circ$ ， $\angle BOF<45^\circ$ ，所以前者大于后者。

（3）按题意使用量角器，原图两角均量得约 $30^\circ$ ，因而相等。这是原题的测量结论，不是所有相似示意图都能凭外形推出的数值。

本题结论

（1） $\angle FOD<\angle FOE$ ；（2） $\angle DOE>\angle BOF$ ；（3） $\angle AOE=\angle DOF$ 。

3. 两个半角先合成整体

先依据平分写出两个半角，再根据射线顺序确定所求是和还是差。如果它们正好合成已知总角的一半，可直接整体代入，不必分别求出两个原角。

例题 04 两条内角平分线知识清单例题

题目

如图, $OC$ 是 $\angle AOD$ 的平分线, $OE$ 是 $\angle BOD$ 的平分线.

(1) 如果 $\angle AOB = 130^{\circ}$ ，那么 $\angle COE$ 是多少度？

(2) 在 (1) 的条件下, 如果 $\angle DOC = 20^{\circ}$ , 那么 $\angle BOE$ 是多少度?

答案与解析

解析

（1）由平分有 $\angle COD=\angle AOD/2$ ， $\angle DOE=\angle BOD/2$ 。图中 $OD$ 在 $\angle AOB$ 内，且在 $OC,OE$ 之间，故

\angle COE=\frac12(\angle AOD+\angle BOD)=\frac12\angle AOB=65^\circ.

（2） $\angle DOE=\angle COE-\angle COD=65^\circ-20^\circ=45^\circ$ 。 $OE$ 平分 $\angle BOD$ ，故 $\angle BOE=45^\circ$ 。

本题结论

（1） $65^\circ$ ；（2） $45^\circ$ 。

4. 把余补关系与平角划分列成方程

余补角关系可统一设原角为未知数；多射线的平角图可选一份小角为未知数。先用半角、倍分关系表示各部分，再按原数量关系或平角总和列式，解后核正值与位置。

例题 05 补角与余角的倍差知识清单例题

题目

已知一个角的补角比这个角的余角的 4 倍大 $15^{\circ}$ ，求这个角的度数.

答案与解析

解析

设原角为 $x^\circ$ ，余角为 $(90-x)^\circ$ ，补角为 $(180-x)^\circ$ 。“补角比余角的4倍大15度”给

180-x=4(90-x)+15\Rightarrow3x=195\Rightarrow x=65.

回代余角 $25^\circ$ 、补角 $115^\circ$ ，且 $4\times25+15=115$ ；原角确有正余角。

本题结论

$65^\circ$ 。

例题 06 平角内的几条射线知识清单例题

题目

如图, $AB$ 为一条直线, 点 $O$ 在 $AB$ 上, $OC$ 是 $\angle AOD$ 的平分线, $OE$ 在

$\angle BOD$ 内， $\angle DOE = \frac{1}{3}\angle BOD,\angle COE = 70^{\circ}$ ，求 $\angle EOB$ 的度数

答案与解析

解析

设 $\angle DOE=x^\circ$ ，则 $\angle BOD=3x^\circ$ ， $\angle EOB=2x^\circ$ 。

$\angle COE=70^\circ$ ，图中 $OD$ 在其内部，所以 $\angle COD=(70-x)^\circ$ 。由平分， $\angle AOC$ 也为 $(70-x)^\circ$ 。四小角组成平角：

2(70-x)+x+2x=180\Rightarrow x=40.

故 $\angle EOB=80^\circ$ 。回代四部分为30、30、40、80度，都为正，和为180度； $\angle COE=30^\circ+40^\circ=70^\circ$ 。

本题结论

$\angle EOB=80^\circ$ 。

5. 改变观测点后重新读方向

先把“谁看谁”写清，反向后同时交换南北与东西，再核图中所问角到底从南北线还是东西线起量。只有换基准时才取余角，不是每次互看都取余角。

例题 07 两点互看知识清单例题

题目

如图,从 A 看 B 的方向是北偏东 $60^{\circ}$ ,那么从 B 看 A 的方向是 ____.

答案与解析

解析

从 $A$ 看 $B$ 以北线为基准向东偏 $60^\circ$ 。从 $B$ 看 $A$ 是同一直线反向，目标落在西南方向。南北同时互换、东西同时互换，偏角仍为 $60^\circ$ 。两处南北线平行，对向射线的相应夹角相等。

本题结论

南偏西 $60^\circ$ 。

三、坑点条件与辨析

1. 半角关系还要有内部位置

角平分线是射线，不是整条直线。仅一边的半角等式，没有说明角内位置时，不能保证把原角分成了两部分。

辨析 01 核对角平分线的定义知识清单辨析·去除题面答案

题目

判断下列说法：

（1）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的直线，叫这个角的平分线。

（2）角的平分线一定在角的内部。

（3）若 $\angle BOC=\frac12\angle BOA$ ，则 $OC$ 是 $\angle BOA$ 的平分线。

答案与解析

解析

（1）错在“直线”，应为从顶点出发、指向角内部的射线。

（2）按角的内平分线定义，正确。

（3）没有给 $OC$ 在 $\angle BOA$ 内部；在 $OB$ 的另一侧，也可能有与 $OB$ 成这个半角的射线，却不能平分原角。

本题结论

（1）错；（2）对；（3）错。

2. 从顶点引出不等于在角内

已知一条射线与某边的夹角时，先考虑该边两侧的候选位置，再用题设排除。原题未说在内部，就不能只保留自己先画出来的那一支。

辨析 02 射线的位置是否确定知识清单例题

题目

已知 $\angle AOB = 90^{\circ}$ , OC 是从 $\angle AOB$ 的顶点 O 引出的一条射线, 若 $\angle AOB = 2\angle BOC$ , 求 $\angle AOC$ 的度数.

答案与解析

解析

由 $\angle AOB=2\angle BOC=90^\circ$ ，得 $\angle BOC=45^\circ$ 。

若 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内， $\angle AOC=90^\circ-45^\circ=45^\circ$ 。若在 $OB$ 背离 $OA$ 的另一侧，则 $\angle AOC=90^\circ+45^\circ=135^\circ$ 。

固定 $OB$ 后，与其夹45度的射线在两侧各一条，两种情况已列全。

本题结论

$45^\circ$ 或 $135^\circ$ 。

3. 余角、补角别用错总量

求余角用90度减原角，求补角用180度减原角。算完可把结果与原角相加，检查总量，而不是只看结果是否为锐角或钝角。

辨析 03 求给定角的补角 2024 甘肃

题目

(2024甘肃)若 $\angle A = 55^{\circ}$ , 则 $\angle A$ 的补角为

A. $35^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $115^{\circ}$

D. $125^{\circ}$

答案与解析

解析

补角应为 $180^\circ-55^\circ=125^\circ$ ，选 D。A 的 $35^\circ$ 是余角；B与原角和为100度，C与原角和为170度，都不满足补角定义。

本题结论

选 D，125°。

4. 方位换基准与反方向不能混淆

反向保持相应偏角；改用相邻方向作基准才涉及互余。看清角标的两条边，比背“方向相反”的一句口诀更重要。

辨析 04 角标从哪条方向线起量 2024 安徽

题目

(2024 安徽)如图,乙地在甲地的北偏东 $50^{\circ}$ 方向上,则 $\angle1$ 的度数为 ()

A. $60^{\circ}$

B. $50^{\circ}$

C. ${40}^{ \circ }$

D. $30^{\circ}$

答案与解析

解析

甲看乙是北偏东 $50^\circ$ ，乙看甲则为南偏西 $50^\circ$ 。图中 $\angle1$ 的一边是乙地的向南线，另一边指向甲，所以它为 $50^\circ$ 。

若改从向西线量，可说西偏南 $40^\circ$ ，但那不是图中所标的 $\angle1$ 。A、D的60度、30度也不符合原方向。

本题结论

选 B，50°。