一次函数

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一次函数把“每单位固定变化”写成一条直线。系数决定增减，常数项决定纵轴交点；把图象与方程、不等式相互翻译，就能从一条线读出取值、交点和实际方案。

一、知识点概念与依据

1. 正比例函数与一次函数

名称	表达式	条件	图象
正比例函数	$y=kx$	$k$ 为非零常数	经过原点的直线
一次函数	$y=kx+b$	$k,b$ 为常数， $k\ne0$	经过 $(0,b)$ 的直线

当 $b=0$ 时，一次函数就是正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数，不是互不相容的两类。正比例中的“正”也不要求 $k>0$ ，负比例系数同样允许。

$k=0$ 时是常值函数 $y=b$ ，虽然图象仍是直线，却不叫一次函数。判断前先化简，检查的是实际存在的一次项，不是未化简的式子里有没有写 $x$ 。

2. 两个系数各管什么

对同一函数图象上的两点，有

y_2-y_1=(kx_2+b)-(kx_1+b)=k(x_2-x_1).

固定的 $b$ 抵消，因此增减只由 $k$ 决定。

系数条件	随 $x$ 增大， $y$ 怎样变	纵轴交点
$k>0$	增大	仍要由 $b$ 确定
$k<0$	减小	仍要由 $b$ 确定
$b>0$	不能据此判断增减	在纵轴正半轴
$b=0$	不能据此判断增减	原点
$b<0$	不能据此判断增减	在纵轴负半轴

横坐标相同，纵坐标也相同；横坐标大小未知时，不能无条件判断两个函数值的大小。在同一坐标尺度下， $|k|$ 越大，直线越陡；跨图比较前先核两轴单位和刻度。

3. 截点、象限与两点作图

令 $x=0$ ，得到纵轴交点 $(0,b)$ ；令 $y=0$ ，解 $kx+b=0$ ，得到横轴交点 $\left(-\dfrac bk,0\right)$ 。

条件	整条直线经过的象限
$k>0,b>0$	第一、二、三象限
$k>0,b<0$	第一、三、四象限
$k<0,b>0$	第一、二、四象限
$k<0,b<0$	第二、三、四象限
$b=0,k>0$	第一、三象限
$b=0,k<0$	第二、四象限

这张表针对自变量取全体实数的完整直线。实际模型只允许部分输入时，还要截取相应部分；轴上的点不属于任何象限。

作图时，先求两个不同点，再描点、连线。 $b\ne0$ 时常取两轴交点； $b=0$ 时两轴交点都是原点，不能把同一点算两遍，应再取 $(1,k)$ 等非原点。整数输入的实际模型只保留离散点，不擅自把所有小数输入也连进去。

4. 待定系数法：条件变成系数的方程

已知函数类型，但系数未知，可以先设式，再用给定点确定系数。

一次函数设 $y=kx+b\ (k\ne0)$ ；正比例函数设 $y=kx\ (k\ne0)$ 。
把每个点的横、纵坐标成对代入，列关于系数的方程。
解出系数，检查 $k\ne0$ ，再回代全部原条件。

对横坐标不同的两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，相减消去 $b$ ，得

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-kx_1.

两点横坐标相同而纵坐标不同，不能属于同一个函数；两点完全相同，只是重复条件。仅有现实中的两次观测，不足以保证全过程一次变化，函数类型仍需题意支持。

5. 平移时，从新坐标反找旧坐标

把原图象 $y=kx+b$ 向右平移 $a$ 、向上平移 $c$ 。原图象上的点 $(u,ku+b)$ 变成 $(u+a,ku+b+c)$ 。新横坐标记为 $x$ ，则原横坐标是 $u=x-a$ ，因此

y=k(x-a)+b+c.

平移	新函数式
向右 $a$ ， $a>0$	$y=k(x-a)+b$
向左 $a$ ， $a>0$	$y=k(x+a)+b$
向上 $c$ ， $c>0$	$y=kx+b+c$
向下 $c$ ， $c>0$	$y=kx+b-c$

点右移时横坐标加 $a$ ，写新函数却出现 $x-a$ ，这是因为前者从旧点找新点，后者从新点反找旧输入，并不矛盾。平移保持斜率；水平平移改变截距的量还要乘 $k$ 。若原输入有限制，范围也要相应平移。

6. 直线交点就是方程组的公共解

两条直线 $y=k_1x+b_1$ 、 $y=k_2x+b_2$ 的公共点，同时满足两个方程。令两纵坐标相等：

(k_1-k_2)x=b_2-b_1.

系数关系	公共点	方程组
$k_1\ne k_2$	恰好一个，相交	唯一解
$k_1=k_2,b_1\ne b_2$	没有，平行	无解
$k_1=k_2,b_1=b_2$	全部重合	无穷多解

在横纵轴单位长度相同的标准直角坐标系中，对两条都能写成 $y=kx+b$ 的直线，垂直还可用 $k_1k_2=-1$ 判断。这一关系来自两直线与坐标轴组成的直角三角形：两锐角互余，使对应的“竖直变化量÷水平变化量”大小互为倒数；两条线一升一降，符号相反。竖直线没有这种斜率写法，不能套乘积判据。

斜率相同还要比较截距，不能直接说重合。实际线段的两条支撑直线即使相交，也要检查交点是否落在两者共同允许的范围内。

7. 从函数图象读方程与不等式

代数问题	图象上找什么	最后读哪个量
$kx+b=0$	与横轴的交点	横坐标
$kx+b=c$	与水平线 $y=c$ 的交点	横坐标
两个函数值相等	两图交点	同一个输入
第一个函数值小于第二个	同横坐标处，第一幅图在第二幅图下方	全部符合条件的横坐标范围

严格不等号排除交点，带等号时考虑收入交点。比较两条线高低，不等于看其中一条线是否低于横轴；只有与 $0$ 比较时才以横轴为准。

8. 固定增量、初始值与可行范围

若每增加一单位输入，输出固定改变 $k$ ，且已知 $x=x_0$ 时输出为 $y_0$ ，则

y=y_0+k(x-x_0).

基准是第 $1$ 项时，新增次数为 $x-1$ ，不是 $x$ ；写出的截距也未必表示现实中存在“第 $0$ 项”。收费分档、车辆休息、容器截面改变，都可能要求分段，不能强用一条直线贯穿全过程。

求最大、最小值，先列出预算、总量、比例、整数等限制，再在可行范围内利用增减性。

可行输入已有最小值和最大值	最小输出	最大输出
$k>0$	最小输入处	最大输入处
$k<0$	最大输入处	最小输入处

端点必须能够取到。开区间、无限延伸的范围不一定同时存在最大值和最小值；整数下界不是整数时，要取首个满足条件的整数，而不是四舍五入。

二、考点方法与例题

1. 把给定坐标转成系数条件

先认类型，再设未知系数。对称条件先还原点坐标，截点条件先代零。解出后用原来给出的各点逐一验证，防止把 $y/x$ 写成 $x/y$ 。

例题 01 一次函数与正比例函数的定式知识清单例题·合组；第（2）问 2024 陕西

题目

（1）已知 $y$ 是 $x$ 的一次函数， $x=-2$ 时 $y=-3$ ， $x=1$ 时 $y=3$ 。求解析式。

（2）一个正比例函数经过 $A(2,m),B(n,-6)$ ，且两点关于原点对称。这个函数的表达式是（　）。

A. $y=3x$ 　B. $y=-3x$ 　C. $y=\dfrac13x$ 　D. $y=-\dfrac13x$

答案与解析

解析

（1）设 $y=kx+b$ ，代入两点：

\begin{cases}-2k+b=-3,\\k+b=3.\end{cases}

相减得 $3k=6$ ，所以 $k=2,b=1$ ，函数为 $y=2x+1$ 。代入两个原输入，分别得到 $-3,3$ ，正确。

（2）关于原点对称的两个坐标分别相反，所以 $m=6,n=-2$ 。设 $y=kx$ ，用 $A(2,6)$ 得 $6=2k$ ，即 $k=3$ 。另点也满足 $-6=3\times(-2)$ 。

本题结论

（1） $y=2x+1$ 。（2）选 A， $y=3x$ 。

例题 02 成正比例的是两个整体知识清单例题

题目

已知 $y+5$ 与 $3x+4$ 成正比例， $x=1$ 时 $y=2$ 。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式。（2）求 $x=-1$ 时的 $y$ 。

答案与解析

解析

（1）题目中的两个整体是 $y+5$ 和 $3x+4$ ，应设

y+5=k(3x+4),\qquad k\ne0.

代入 $x=1,y=2$ ，得 $7=7k$ ，所以 $k=1$ 。于是 $y+5=3x+4$ ，还原为 $y=3x-1$ 。

（2）代入 $x=-1$ ，得 $y=-3-1=-4$ 。若一开始写成 $y=kx$ ，就丢失了题目两个整体中的常数项。

本题结论

（1） $y=3x-1$ 。（2） $y=-4$ 。

2. 用真实的一次项系数判断增减

参数名字不一定就是斜率。例如 $(1-3k)x$ 的一次项系数是 $1-3k$ ，不是 $k$ 。比较函数值时，先确定横坐标大小，再按系数正负判断同向还是反向。

例题 03 两点的函数值比较知识清单例题·合组；第（2）问 2024 山西

题目

（1） $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 在 $y=-x+2$ 的图象上，下列判断正确的是（　）。

A. $y_1>y_2$ 　B. $y_1<y_2$

C. 当 $x_1<x_2$ 时， $y_1>y_2$

D. 当 $x_1<x_2$ 时， $y_1<y_2$

（2） $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在 $y=3x$ 的图象上，且 $x_1<x_2$ 。下列关系正确的是（　）。

A. $y_1>y_2$ 　B. $y_1<y_2$ 　C. $y_1=y_2$ 　D. $y_1\ge y_2$

答案与解析

解析

（1） $k=-1<0$ ，横坐标越大，纵坐标越小。因此在 $x_1<x_2$ 时有 $y_1>y_2$ ，选 C。A、B 都没有交代横坐标次序，不能恒成立；D 把增减方向弄反。

（2）由 $x_1<x_2$ ，两边乘正数 $3$ 得 $3x_1<3x_2$ ，即 $y_1<y_2$ ，选 B。相等或大于均与严格小于矛盾。

本题结论

（1）C；（2）B。

例题 04 同一含参直线的三种要求知识清单例题

题目

已知直线 $y=(1-3k)x+2k-1$ ，分别求：

（1）过原点时的 $k$ ；（2）与纵轴交于 $(0,-2)$ 时的 $k$ ；（3） $y$ 随 $x$ 增大而增大时的 $k$ 的范围。

答案与解析

解析

（1）过原点，代 $x=y=0$ ，得 $2k-1=0$ ，所以 $k=\frac12$ 。

（2）纵轴交点的纵坐标是常数项，故 $2k-1=-2$ ，得 $k=-\frac12$ 。

（3）递增要求真正的一次项系数为正： $1-3k>0$ ，得 $k<\frac13$ 。等于 $\frac13$ 时斜率为零，不能收入严格递增的范围。

本题结论

（1） $k=\frac12$ ；（2） $k=-\frac12$ ；（3） $k<\frac13$ 。

例题 05 过一点且递减 2024 吉林长春·改编，补充范围设问

题目

直线 $y=kx+b$ 经过 $(1,1)$ ，且 $y$ 随 $x$ 增大而减小。写出一个可行的 $b$ 值，并说明还有哪些 $b$ 值可行。

答案与解析

解析

过点给 $k+b=1$ ，递减给 $k<0$ ，所以 $b=1-k>1$ 。

例如取 $b=2$ ，则 $k=-1$ ，直线 $y=-x+2$ 确实经过 $(1,1)$ 且递减。反过来，任意 $b>1$ 都给出 $k=1-b<0$ ，因此这些值都可行。 $b=1$ 则得到水平线，不满足递减。

本题结论

例如 $b=2$ ；全部可行值为 $b>1$ 。

3. 选图同时检查斜率和截距

先看一次项系数决定右升还是右降，再看常数项决定纵轴交点在上还是在下。不能只满足其中一条就选图。

例题 06 参数范围决定图象知识清单例题

题目

若 $m<-2$ ，则 $y=(m+1)x+1-m$ 的图象可能是哪一个？

答案与解析

解析

由 $m<-2$ 得 $m+1<-1<0$ ，图象向右下降；同时 $1-m>3>0$ ，与纵轴交于正半轴。

D 同时满足。A、B 都向右上升；C 虽然下降，但纵轴交点在负半轴。注意减去负数会增大，不能由 $m<0$ 就断言 $1-m<0$ 。

本题结论

选 D。

例题 07 逐项核对函数性质知识清单例题·合组；第（2）问 2024 湖南长沙

题目

（1）关于 $y=-2x+1$ ，下列正确的是（　）。

A. 必过 $(-2,1)$ 　B. 经过第一、二、三象限

C. $x>\frac12$ 时 $y<0$ 　D. $y$ 随 $x$ 增大而增大

（2）关于 $y=2x-1$ ，下列正确的是（　）。

A. 与纵轴交于 $(0,-1)$ 　B. $y$ 随 $x$ 增大而减小

C. $x>\frac12$ 时 $y<0$ 　D. 经过第一、二、三象限

答案与解析

解析

（1）代 $x=-2$ 得 $y=5$ ，不是 $1$ ；斜率负、两轴截点均在正半轴，经过第一、二、四象限； $x>\frac12$ 时 $-2x+1<0$ ；函数递减。因此只有 C 正确。

（2）代 $x=0$ 得 $y=-1$ ，A 正确；系数 $2>0$ ，函数递增； $x>\frac12$ 时 $2x-1>0$ ；负输入时输出必负，不经过第二象限，实际经过第一、三、四象限。故 B、C、D 均错。

本题结论

（1）C；（2）A。

4. 交点、方程组与面积

公共点要同时满足两式，可以图解，也可以代数联立复核。求与横轴围成的三角形面积时，底长是两个横轴交点的距离，高是顶点纵坐标的绝对值。

例题 08 图解与代入求公共点知识清单例题·合组；第（2）问 2024 内蒙古呼伦贝尔

题目

（1）利用作图方法解方程组 $\begin{cases}2x-3y+3=0,\\5x-3y-6=0.\end{cases}$

（2）点 $P(x,y)$ 在直线 $y=-\frac34x+4$ 上，且满足 $5x-6y=33$ ，则 $P$ 在哪一个象限？

A. 第一　B. 第二　C. 第三　D. 第四

答案与解析

解析

（1）分别化为 $y=\frac23x+1$ 、 $y=\frac53x-2$ ，在同一坐标系画出两条直线，交点为 $(3,3)$ 。

代入复核： $2\times3-3\times3+3=0$ ， $5\times3-3\times3-6=0$ ，故方程组的解为 $x=3,y=3$ 。

（2）把整个函数式代入：

5x-6\left(-\frac34x+4\right)=33,

得 $\frac{19}{2}x=57$ ，所以 $x=6$ ，再得 $y=-\frac12$ 。横正纵负，在第四象限。

本题结论

（1） $\begin{cases}x=3,\\y=3.\end{cases}$ （2）选 D， $P\left(6,-\frac12\right)$ 。

例题 09 两条直线与横轴围成的三角形知识清单例题

题目

直线 $l_1:y=2x+3$ 、 $l_2:y=-x+5$ 分别与横轴交于 $B,C$ ，两线相交于 $A$ 。

（1）求 $A,B,C$ 坐标。（2）求 $\triangle ABC$ 面积。

答案与解析

解析

（1）令两线函数值相等： $2x+3=-x+5$ ，得 $x=\frac23$ ，代回得 $y=\frac{13}{3}$ 。

分别令 $y=0$ ，由 $2x+3=0$ 得 $B\left(-\frac32,0\right)$ ；由 $-x+5=0$ 得 $C(5,0)$ 。

（2）底 $BC$ 跨过原点，长度是 $5-(-\frac32)=\frac{13}{2}$ 。高为 $A$ 到横轴的距离 $\frac{13}{3}$ ，所以

S=\frac12\times\frac{13}{2}\times\frac{13}{3}=\frac{169}{12}.

不能把负横坐标当成正距离后直接相减。

本题结论

$A\left(\frac23,\frac{13}{3}\right)$ ， $B\left(-\frac32,0\right)$ ， $C(5,0)$ ；面积 $\frac{169}{12}$ 。

5. 从图象读取解与解集

先把目标翻译为“某个高度”“横轴上方或下方”“两图谁高谁低”。再读横坐标，不把图上的纵坐标答成方程的根。距离要结合正负半轴还原坐标。

例题 10 同一图象的不同高度知识清单例题·合组；第（2）问 2024 江苏扬州

题目

（1）一次函数 $y=kx+b$ 如图，分别求 $kx+b=0$ 、 $kx+b=2$ 的解。

（2）一次函数与两轴交于 $A,B$ ，如图， $OA=2,OB=1$ 。求 $kx+b=0$ 的解。

答案与解析

解析

（1）函数值为 $0$ 时，对应横轴交点 $(-1,0)$ ，所以根为 $x=-1$ ；函数值为 $2$ 时，对应 $(0,2)$ ，所以根为 $x=0$ 。第二问不再是找横轴交点。

（2）图中 $A$ 在横轴负半轴，距离 $OA=2$ ，所以横坐标为 $-2$ 。方程的根是 $x=-2$ ，不是距离 $2$ 。

本题结论

（1）依次为 $x=-1$ 、 $x=0$ 。（2） $x=-2$ 。

例题 11 比两条线与比横轴知识清单例题·合组

题目

（1） $y=kx$ 与 $y=mx+n$ 的图象如图，求 $kx<mx+n$ 的解集。

（2）画出 $y=-3x+12$ 的图象，并利用图象求 $-3x+12>0$ 、 $-3x+12\le0$ 的解集。

答案与解析

解析

（1）两图交点横坐标为 $1$ 。在交点左侧， $y=kx$ 位于另一条线下方，所以 $kx<mx+n$ 的解集是 $x<1$ 。交点处两者相等，不收入严格不等式。

（2）代 $x=0$ 得 $(0,12)$ ；令 $y=0$ 得 $(4,0)$ ，过两点画直线。

横坐标小于 $4$ 时，图象在横轴上方；横坐标不小于 $4$ 时，图象在横轴上或下方。因此两问分别是 $x<4$ 、 $x\ge4$ 。代数解法中除以负数 $-3$ 要改变不等号方向，结果一致。

本题结论

（1） $x<1$ 。（2）依次为 $x<4$ 、 $x\ge4$ 。

例题 12 由解集反选图象 2024 广东

题目

已知 $kx+b<0$ 的解集是 $x<2$ ，则 $y=kx+b$ 的图象大致是哪一个？

答案与解析

解析

解集 $x<2$ 表示在横坐标 $2$ 左侧，图象位于横轴下方；在 $x=2$ 时恰好与横轴相交。因此应为向右上升、横轴截点为 $2$ 的 B。

A 对应 $x>-2$ ，C 对应 $x<-2$ ，D 对应 $x>2$ 。只看截点而不看哪侧低于横轴，会混淆 B 与 D。

本题结论

选 B。

6. 确定模型后比较方案

先分别求出两个表达式，再求相等的临界输入，最后分区比较。固定费用和每单位费用各有作用，不能单凭其中一项低就断定始终合算。

例题 13 两种游园消费卡知识清单例题

题目

某体验园推出甲、乙两种消费卡，入园次数 $x$ 与费用 $y$ 的关系如图。

（1）分别求两种费用的表达式。（2）根据入园次数，选择哪种卡更合算？

答案与解析

解析

（1）甲图过原点与 $(5,100)$ ，设 $y_{\text{甲}}=kx$ ，得 $100=5k$ ，所以 $y_{\text{甲}}=20x$ 。

乙图过 $(0,100)$ 、 $(20,300)$ ，设 $y_{\text{乙}}=kx+100$ ，得 $300=20k+100$ ，所以 $y_{\text{乙}}=10x+100$ 。

（2）两种费用之差为 $10x-100$ ：小于 $0$ 时甲更便宜，等于 $0$ 时同费，大于 $0$ 时乙更便宜。入园次数须为非负整数；乙的 $100$ 元是固定费用，并非每次入园单价。

本题结论

$y_{\text{甲}}=20x$ ， $y_{\text{乙}}=10x+100$ 。少于10次选甲；10次同费200元；多于10次选乙。

例题 14 两点确定变化率知识清单例题·合组；（1）2024 山东济南，（2）2024 上海

题目

（1）图中 $l_1,l_2$ 分别表示 A、B 两款新能源汽车充满电后，剩余电量 $y$ 与路程 $x$ 的关系。同样行驶 $300\,\mathrm{km}$ ，A 比 B 多剩多少电量？

（2）某商品销售额 $y$ （万元）与广告投入 $x$ （万元）成一次函数关系。投入10万元时销售额1000万元，投入90万元时销售额5000万元。投入80万元时，销售额是多少？

答案与解析

解析

（1）两图初始电量均为 $80$ ； $200\,\mathrm{km}$ 时，A 剩48、B 剩40。单位路程对应剩电变化分别为 $(48-80)/200=-0.16$ 、 $(40-80)/200=-0.2$ 。因此

y_A=80-0.16x,\qquad y_B=80-0.2x.

$x=300$ 时，分别剩 $32,20\,\mathrm{kW\cdot h}$ ，差为 $12\,\mathrm{kW\cdot h}$ 。关系式按图中模型使用，不能外推到负剩电。

（2）设 $y=kx+b$ ，由 $10k+b=1000$ 、 $90k+b=5000$ ，相减得 $80k=4000$ ，所以 $k=50,b=500$ 。代 $x=80$ 得 $y=4500$ 万元。这里题目已明确成一次函数，并非仅凭两次观测就保证现实始终线性。

本题结论

（1）多 $12\,\mathrm{kW\cdot h}$ 。（2） $4500$ 万元。

7. 约束范围内求利润最大值

总量固定时，用 $x$ 与“总量减 $x$ ”表示两类数量。先列预算、比例与利润门槛，求共同整数范围，再看目标式的增减性。最大利润要同时报告对应的实际数量，并回验限制。

例题 15 比例约束下的销售利润 2024 云南·情境缩写

题目

某超市销售两种吉祥物，价格信息如下。

型号	成本/元	售价/元
A	35	$a$
B	42	$b$

买8个A、7个B共需670元；买4个A、5个B共需410元。

（1）求 $a,b$ 。（2）某公司购买90个，A的数量 $x$ 不少于B的 $\frac43$ ，又不超过B的2倍。求超市售出这90个的最大利润。每件利润等于售价减成本。

答案与解析

解析

（1）列 $8a+7b=670$ 、 $4a+5b=410$ 。第二式乘2再减第一式，得 $3b=150$ ，所以 $b=50,a=40$ 。

（2）B为 $90-x$ 个，限制为

\frac43(90-x)\le x\le2(90-x).

解得 $\frac{360}{7}\le x\le60$ 。数量取整数，所以 $52\le x\le60$ 。利润为

y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=720-3x.

系数 $-3<0$ ，在可行范围内， $x$ 越小利润越大。因此取 $x=52$ 、B为38个，利润 $720-3\times52=564$ 元。两数量合计90，且52满足原比例条件。

本题结论

（1） $a=40,b=50$ 。（2）A为52个、B为38个时，最大利润564元。

三、坑点错因与边界

1. 指数为一，还要检查系数非零

含参式写着一次幂，不等于实际存在一次项。指数、系数、常数项分开检查：正比例函数还要求实际常数项为零，一次函数则允许常数项非零。

辨析 01 含参定义的三个位置知识清单例题

题目

（1） $y=(k-2)x^{k^2-3}+b+1$ 是正比例函数，求 $k,b$ 。

（2） $y=(m-2)x^{m^2-3}+1$ 是一次函数，求 $m$ 。

答案与解析

解析

（1）同时要求 $k^2-3=1$ 、 $k-2\ne0$ 、 $b+1=0$ 。指数条件给 $k=\pm2$ ，非零系数条件排除 $2$ ，所以 $k=-2,b=-1$ ，整体变为 $y=-4x$ 。

（2）指数条件给 $m=\pm2$ ，但 $m=2$ 时一次项消失，只剩常函数 $y=1$ ，不合题意。故 $m=-2$ ，得到 $y=-4x+1$ 。常数项 $1$ 不妨碍一次函数的定义。

本题结论

（1） $k=-2,b=-1$ 。（2） $m=-2$ 。

2. 不经过某象限，别漏零截距

“不经过”要求该象限里没有图象上的点，并不要求截距一定严格为正或严格为负。零截距要单独检查，不能只套非零截距的三象限表。

辨析 02 纵轴交点的边界知识清单例题

题目

一次函数 $y=2x+m$ 的图象不经过第二象限，求 $m$ 的范围。

答案与解析

解析

第二象限要求横坐标负、纵坐标正。

若 $m\le0$ ，当 $x<0$ 时， $2x+m<0$ ，因此不会进入第二象限。特别是 $m=0$ 时，直线只经过第一、三象限，也满足要求。

若 $m>0$ ，取 $x=-\frac m4<0$ ，则 $y=\frac m2>0$ ，确有点在第二象限，应排除。

本题结论

$m\le0$ ，包含 $m=0$ 。

3. 点的平移量不能直接塞进函数式

水平平移先从新横坐标反找旧横坐标，上下平移才直接增减纵坐标。完成后可用原图一个已知点移动后的坐标复验。

辨析 03 三种平移分别求式知识清单例题

题目

原直线为 $y=2x$ ，分别求下列平移后的解析式：

（1）向上2个单位；（2）向左2个单位；（3）先向下2个单位，再向右2个单位。

答案与解析

解析

（1）每点纵坐标加2，得 $y=2x+2$ 。

（2）新横坐标 $x$ 对应旧横坐标 $x+2$ ，得 $y=2(x+2)=2x+4$ 。原点左移成 $(-2,0)$ ，代入新式确为0。

（3）右移使旧输入为 $x-2$ ，下移再减2，得 $y=2(x-2)-2=2x-6$ 。原点移到 $(2,-2)$ ，也满足新式。

本题结论

（1） $y=2x+2$ ；（2） $y=2x+4$ ；（3） $y=2x-6$ 。

4. 同斜率不代表重合

斜率相同，只能说明倾斜方向一致。还要比较截距：不同则平行，相同才是同一直线。与方程组的解数一起核验，可以避免把无解和无穷多解混淆。

辨析 04 从无解判断两线关系知识清单例题

题目

根据方程组 $\begin{cases}x+y=2,\\2x+2y=3\end{cases}$ 的解的情况，判断 $y=2-x$ 与 $y=\frac32-x$ 的位置关系。

A. 重合　B. 平行　C. 相交　D. 无法确定

答案与解析

解析

第一式乘2应得到 $2x+2y=4$ ，不可能同时满足第二式的 $2x+2y=3$ ，因此没有公共解。

两直线斜率都是 $-1$ ，截距分别为 $2,\frac32$ ，不同，所以平行。重合会有无穷多公共点，相交则有公共点，都不符合原方程组无解。

本题结论

选 B。

5. 整数输入不能四舍五入成精确解

排号、件数只能取整数时，精确方程得到非整数，可能说明没有这种方案，不能把它四舍五入。与不等式中的“取首个合法整数”是两回事。

辨析 05 哪一排有指定座位数知识清单例题

题目

某剧院按下表规律设置座位。

排数 $x$	1	2	3	4	…
座位数 $y$	50	53	56	59	…

（1）写出关系式。（2）是否可能有某一排恰好90个座位？

答案与解析

解析

（1）从第1排到第 $x$ 排，增加了 $x-1$ 次，每次3个，所以 $y=50+3(x-1)=3x+47$ ， $x$ 为正整数。

（2）令 $3x+47=90$ ，得 $x=\frac{43}{3}$ ，不是正整数，因此没有这样的整排。取14或15排分别是89、92个座位，都不等于90。常数47也不表示现实中一定存在第0排。

本题结论

（1） $y=3x+47$ ， $x$ 为正整数。（2）不可能恰好90个座位。

6. 利润最优之前，先查约束

目标式递减，不意味着能直接把输入取0。预算和利润门槛可能排除小输入；最优只能在所有限制同时满足的范围里比较。

辨析 06 采购预算限制最优数量知识清单例题

题目

商店购进甲、乙两型平板电脑共20台。甲进价1600元、售价2000元；乙进价2500元、售价3000元。甲购进 $x$ 台，全部售出后利润为 $y$ 元。

（1）写出 $y$ 与 $x$ 的关系。（2）总进价不超过39200元，利润不低于8500元，列出全部采购方案，并求最大利润及对应方案。

答案与解析

解析

（1）每台利润分别是400元、500元，故

y=400x+500(20-x)=10000-100x.

（2）预算要求 $1600x+2500(20-x)\le39200$ ，化为 $x\ge12$ ；利润门槛要求 $10000-100x\ge8500$ ，化为 $x\le15$ 。结合数量为整数，共4种：

甲/台	乙/台	利润/元
12	8	8800
13	7	8700
14	6	8600
15	5	8500

利润式系数为负，可行范围中最小的 $x=12$ 给最大利润8800元。直接取 $x=0$ 虽让目标式更大，却使进价50000元超过预算。

本题结论

4种方案为甲/乙：12/8、13/7、14/6、15/5；最大利润8800元，对应12/8。

7. 分段面积的终点是否允许

动点运动路线的总长度与允许终点要分别核对。某段表达式算得面积0，并不意味着题目允许动点到达那个位置；空心点应由题设决定。

辨析 07 正方形边上的路线知识清单例题

题目

正方形 $ABCD$ 边长2。点 $P$ 从 $C$ 出发，沿 $C\to B\to A$ 运动，且 $P$ 与 $A$ 不重合。路程为 $x$ ， $\triangle ADP$ 面积为 $y$ 。哪幅图象符合题意？

答案与解析

解析

固定底 $AD=2$ 。

在 $CB$ 上，点到 $AD$ 的高恒为2，故 $y=2$ ， $0\le x\le2$ 。

转入 $BA$ 后，已在该边走了 $x-2$ ，到 $A$ 还剩 $2-(x-2)=4-x$ ，它就是高，所以 $y=4-x$ ， $2<x<4$ 。

两段在 $(2,2)$ 接合。 $x=4$ 对应题目排除的 $A$ ，末端 $(4,0)$ 应为空心点，选 C。A 的初段不符；B 收入了终点；D 在未走完到A的路线时就到零，也不符。

本题结论

选 C；允许范围 $0\le x<4$ 。

8. 相对距离的变化不等于实际路程

两车间距离是位置差的绝对值。相遇时距离为0，相遇后前后位置互换，距离图可以由降变升，并不代表车辆掉头。一车休息时，另一车若先接近再远离，要把两段实际路程相加。

辨析 08 两车距离图中的休息段 2024 山东威海

题目

公路连接 $A,B,C$ 三地， $B$ 在 $A,C$ 之间。甲、乙两车分别从 $A,B$ 同时出发前往 $C$ 。甲速度始终不变，乙中途休息一段时间后继续行驶。两车间距离 $y$ 与时间 $x$ 的关系如图。下列结论正确的是（　）。

A. 甲行驶 $\frac83$ 小时与乙相遇。

B. A、C两地相距220千米。

C. 甲速度为70千米/时。

D. 乙中途休息36分钟。

答案与解析

解析

乙休息从第2小时到第3小时，共1小时。此时甲先走40千米追上乙，再走20千米超过乙，实际路程为 $40+20=60$ 千米，而不是末初距离之差。

甲速度为 $60\div1=60$ 千米/时，全程4小时，所以 $AC=240$ 千米。首次相遇时刻为

2+\frac{40}{60}=\frac83\text{ 小时}.

所以 A 正确；B应为240千米，C应为60千米/时，D应为60分钟。图象斜率描述的是两车相对距离变化，不能在任意阶段直接当甲或乙的速度。

本题结论

选 A。