二次函数

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一次函数用固定的变化率描述一条直线；二次函数则把变化写成平方。掌握顶点式，开口、对称轴、增减和最值就有了共同的依据；再把图象与方程、实际范围联系起来，才能判断一个答案是否真正可取。

一、知识点概念与依据

1. 二次项必须真正存在

形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数叫二次函数，其中 $a,b,c$ 是常数，且 $a\ne0$ 。 $b,c$ 可以为零，二次项系数 $a$ 不能为零。

判断前先展开、合并同类项，检查实际的最高次数。分母里有 $x^2$ ，不等于整个函数是二次函数；写出的二次项若被抵消，也不能只按外观判断。含参数时，函数类型可能随参数改变。

二次式对所有实数都有意义，但实际模型仍可能只允许某一区间或整数输入。图象只能保留允许的部分。

2. 三种形式，各自突出不同信息

形式	表达式	最容易读出的信息	使用条件
一般式	$y=ax^2+bx+c$	二次项系数；纵轴交点 $(0,c)$	$a\ne0$
顶点式	$y=a(x-h)^2+k$	对称轴 $x=h$ ；顶点 $(h,k)$	每个二次函数都可配成此式
交点式	$y=a(x-r)(x-s)$	与横轴相交于 $(r,0),(s,0)$	有实根； $r=s$ 时只有一个不同交点

顶点式展开后， $b=-2ah$ ， $c=ah^2+k$ ；交点式展开后， $b=-a(r+s)$ ， $c=ars$ 。所以两实根满足

r+s=-\frac ba=2h,\qquad rs=\frac ca.

没有实根时，不能强行写出两个实数的交点式。根为负数时也要保留括号内的减号结构：根 $r=-2$ 对应因子 $x+2$ 。

3. 配方：顶点公式从哪里来

从一般式出发，先把前两项的 $a$ 提出来，再补一次项系数一半的平方：

\begin{aligned} y&=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\ &=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}. \end{aligned}

补进去的平方要同时减去，且括号内每一项都还要乘外面的 $a$ ，这样才保持等值。因此

h=-\frac b{2a},\qquad k=\frac{4ac-b^2}{4a}.

对称轴要写成直线 $x=h$ ，顶点才写成点 $(h,k)$ 。配方不改变原来的自变量范围。

4. 平方距离解释图象性质

二次函数的图象是抛物线。在顶点式中，取 $x=h+d$ 或 $x=h-d$ ，都得到 $y=ad^2+k$ ，所以两点关于直线 $x=h$ 对称。到对称轴的水平距离是 $\lvert x-h\rvert$ ，不是一律看 $\lvert x\rvert$ 。

性质	$a>0$	$a<0$
开口	向上	向下
对称轴左侧 $x<h$	$x$ 增大， $y$ 减小	$x$ 增大， $y$ 增大
对称轴右侧 $x>h$	$x$ 增大， $y$ 增大	$x$ 增大， $y$ 减小
离轴更远	函数值更大	函数值更小
全体实数范围的最值	$x=h$ 时最小值为 $k$ ；无最大值	$x=h$ 时最大值为 $k$ ；无最小值

增减的依据是平方距离：向顶点靠近，平方减小；远离顶点，平方增大，再由 $a$ 的正负决定是否反转大小。跨越对称轴的两个点，不能只比较横坐标大小。

同一坐标尺度下， $\lvert a\rvert$ 越大，离轴同样远时，纵坐标离顶点越远，通常称开口越窄。比较前必须统一横纵轴刻度，不能把图片缩放造成的视觉差异当成系数差异。

怎样画抛物线

配方求顶点，确定开口方向和对称轴。
在对称轴两侧成对选取横坐标，列表求出对应的纵坐标，并描出顶点和这些点。
用平滑曲线连接，检查左右对称，不把相邻点连成折线。

也可以先画 $y=ax^2$ ，再按顶点位置平移。实际问题只保留自变量允许范围内的图象；端点能否取到也须与条件一致。

5. 平移保持形状，改变顶点位置

把 $y=a(x-h)^2+k$ 向右平移 $u$ 、向上平移 $v$ ，顶点变成 $(h+u,k+v)$ ，新式为

y=a(x-h-u)^2+k+v.

平移方向	顶点坐标怎样变	写式时怎样处理
右移 $u>0$	横坐标加 $u$	原式中的 $x$ 换成 $x-u$
左移 $u>0$	横坐标减 $u$	原式中的 $x$ 换成 $x+u$
上移 $v>0$	纵坐标加 $v$	整个函数值加 $v$
下移 $v>0$	纵坐标减 $v$	整个函数值减 $v$

点右移时坐标加 $u$ ，而新函数使用 $x-u$ ，是因为写新式要从新横坐标反找旧输入。纯平移不改变 $a$ ；给新图求原图时，应使用相反位移。展开后的常数项变化，不一定就是上下平移量。

6. 图象上的信息怎样对应系数

看到的信息	对应依据
开口方向	$a$ 的正负
与纵轴的交点	$c=f(0)$
对称轴位置	$h=-b/(2a)$ ，须结合 $a$ 判断 $b$
横轴公共点个数	$\Delta=b^2-4ac$ 的正负
特定横坐标处的高低	将该横坐标代入，得到系数组合

例如 $f(-1)=a-b+c$ ， $f(2)=4a+2b+c$ 。先识别代入的横坐标，再读对应位置在横轴上方、下方还是轴上。不能只凭 $a,b,c$ 各自的符号，猜它们的和的符号。

轴在左侧时 $a,b$ 同号，轴在右侧时异号，来源都是 $-b/(2a)$ 的符号。图中未标明的刻度不擅自当成精确值。

7. 横轴交点、方程的根与函数正负

横轴上的点纵坐标为 $0$ ，所以抛物线与横轴的公共点，恰好对应方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实根。

判别式	方程实根	不同的横轴公共点
$\Delta>0$	两个不相等实根	两个
$\Delta=0$	两个相等实根	一个，顶点落在横轴上
$\Delta<0$	无实根	没有

若两实根 $r<s$ ，写成 $a(x-r)(x-s)$ ：两根外，两个因子同号；两根之间，两因子异号。

位置	$a>0$ 时函数值	$a<0$ 时函数值
$x<r$ 或 $x>s$	正	负
$r<x<s$	负	正
$x=r$ 或 $x=s$	零	零

若只有重根，除该根外的函数值与 $a$ 同号；若无实根，所有函数值与 $a$ 同号。严格不等式不收零点，非严格不等式再检查等号。两个外部区间用“或”，不能写成不可能同时成立的“且”。

若一元二次方程不能方便地求出精确根，还可以借图象缩小根的范围：二次函数的完整图象连续，若两个横坐标处的函数值一正一负，它们之间至少有一个零点。逐步缩小异号的两个端值，可以得到近似根；端值同号则不能直接断言区间内无根。

比较二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 与一次函数 $kx+m$ 的大小，可以先研究差 $f(x)-(kx+m)$ 的正负。因为 $a\ne0$ ，相减后仍是二次式，可按零点和开口方向确定符号区间，最后与实际自变量范围取交。

8. 水平线交点与限制范围内的最值

方程 $a(x-h)^2+k=d$ 不是总在问横轴交点，而是在问抛物线与水平直线 $y=d$ 的公共点。化成

(x-h)^2=\frac{d-k}{a}

后，右边为正、零、负，依次对应两个不同实根、一个重根、无实根。这是在完整实数范围内的结论；若限制输入，还须筛选。

求区间内最值时，按以下次序处理：

求顶点，标出允许的输入范围。
检查顶点横坐标能否取到。
闭端点可代入比较；开端点只能接近，不能当成已取到。
整数输入另查离轴最近的合法整数；多个点可能取得相同最值。

有上界，不等于有最大值。 报最值时，应能指出一个合法输入确实取得这个值。

9. 实际模型：乘积、范围与材料预算

问题	先找什么关系	再检查什么条件
矩形面积	两邻边相乘；用周长或材料预算表示另一边	边长为正，墙是否足够长
销售收入	售价乘销量	价格变化模型的适用范围
销售利润	每件售价减成本，再乘该渠道销量	不同渠道不能混用价格、销量
抛物线门洞、轨迹	先选坐标基准，再把测量值化成点坐标	实际高度、方向与运动区间

两个随输入一次变化的量相乘，往往得到二次式。先确认每个因子的含义与单位，再展开配方，最后检查顶点是否在实际范围内。

围栏题还要区分几何周长与新材料长度：

\text{新围栏长度}=\text{矩形周长}-\text{边界上可利用的已有墙长}.

空缺和墙外延伸段都要补材料；内部的墙不能代替边界围栏。越过墙端后，可利用墙长的表达式会改变，必须分段。只在一个位置得到最大值，还不足以证明所有允许位置的最大值。

二、考点方法与例题

1. 先化简，再判函数类型

先确认是关于自变量的整式，再看展开合并后是否有非零二次项。参数未知时，应按条件分类，不能直接说“是”。

例题 01 四种表达式的判断知识清单例题

题目

判断下列函数是不是二次函数.

(1) $y=2-x^{2}$ .(2) $y=\frac{1}{x^{2}-1}$ .

(3) $y=2x(1+4x)$ . (4) $y=mx^{2}+nx+p(m,n,p$ 均为常数).

答案与解析

解析

（1） $2-x^2$ 的二次项系数为 $-1\ne0$ ，是二次函数。

（2） $1/(x^2-1)$ 是含自变量分母的分式，不是二次整式。

（3） $2x(1+4x)=2x+8x^2$ ，二次项系数为 $8$ ，是二次函数。

（4） $m\ne0$ 时二次项存在，是二次函数； $m=0$ 时至多是一次式，不是二次函数。

本题结论

（1）是；（2）不是；（3）是；（4）当且仅当 $m\ne0$ 时是。

2. 按已知条件选表达式

已知条件	优先设式	还需注意
三个横坐标不同的点	$y=ax^2+bx+c$	解后仍须 $a\ne0$
顶点与另一点	$y=a(x-h)^2+k$	另一点不能只是重复顶点
两实零点与另一点	$y=a(x-r)(x-s)$	第三个点须提供新条件
已知二次项系数	固定 $a$ ，只求 $b,c$	不必重新设三个未知数

三个横坐标不同的点为什么能唯一确定一个至多二次的表达式？如果两个候选式都经过这三点，两式相减便有三个不同的零点；非零的一次式至多有一个零点，非零的二次式至多有两个零点，因此差只能恒为零。但解得 $a=0$ 时只是一次函数或常函数，仍不符合二次函数的要求。

代点列方程后，回代所有给定点。重复点不提供新的独立条件；同一横坐标配不同纵坐标，则不符合函数定义。

例题 02 用不同条件确定解析式知识清单例题·合组

题目

根据下列条件,分别求出对应的二次函数的表达式.

(1)二次函数的图象经过点 $(0,-1)$ ， $(1,0)$ ， $(-1,2)$ .
(2)抛物线的顶点坐标为 $(1,-3)$ ，且与y轴交于点 $(0,1)$ .
(3) 抛物线与 x 轴交于点 $(-3,0)$ ， $(5,0)$ ，且与 y 轴交于点 $(0,-3)$ .

（4）（2024 福建节选）已知 $y=x^2+bx+c$ 与横轴交于 $A,B$ ，与纵轴交于 $C$ ，其中 $A(-2,0),C(0,-2)$ ，求表达式。

答案与解析

解析

（1）过 $(0,-1)$ 得 $c=-1$ 。另两点给 $a+b=1$ 、 $a-b=3$ ，相加得 $a=2$ ，再得 $b=-1$ ，所以 $y=2x^2-x-1$ 。

（2）设 $y=a(x-1)^2-3$ 。代 $(0,1)$ 得 $1=a-3$ ，故 $a=4$ ，即 $y=4(x-1)^2-3$ 。

（3）设 $y=a(x+3)(x-5)$ 。代 $(0,-3)$ 得 $-3=-15a$ ，故 $a=1/5$ 。

（4）二次项系数已经是 $1$ 。代 $C$ 得 $c=-2$ ；代 $A$ 得 $4-2b-2=0$ ，所以 $b=1$ 。各式回代对应条件均成立。

本题结论

（1） $y=2x^2-x-1$ ；（2） $y=4x^2-8x+1$ ；（3） $y=\frac15x^2-\frac25x-3$ ；（4） $y=x^2+x-2$ 。

3. 配方求轴与顶点

先提出二次项系数，再在括号中补一次项系数一半的平方，同时减去相同量。读顶点横坐标时，让平方内部等于零；最后代回一般式核验纵坐标。

例题 03 二次项系数不是一知识清单例题

题目

求抛物线 $y=\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{1}{2}$ 的对称轴和顶点坐标.

答案与解析

解析

先提出 $1/2$ ，括号内的一次项系数变为 $6$ ，应补 $3^2=9$ ：

\begin{aligned} y&=\frac12(x^2+6x)+\frac12\\ &=\frac12[(x+3)^2-9]+\frac12\\ &=\frac12(x+3)^2-4. \end{aligned}

括号中补的 $9$ 受外面 $1/2$ 相乘，所以实际减去 $9/2$ ，不是减去 $9$ 。令 $x+3=0$ 得 $x=-3$ ，此时 $y=-4$ 。

公式法可核验： $h=-3/(2\times\frac12)=-3$ ， $k=(4\times\frac12\times\frac12-9)/(4\times\frac12)=-4$ 。

本题结论

对称轴是直线 $x=-3$ ，顶点坐标是 $(-3,-4)$ 。

4. 不同性质分别找依据

开口看 $a$ ；轴与顶点用配方；纵轴交点令 $x=0$ ；横轴交点令 $y=0$ 。选择题的各项可能分别错在不同位置，应逐项核对，不凭一条性质猜其余结论。

例题 04 开口、对称轴和截点知识清单例题·合组

题目

第一组

抛物线 $y = 2x^{2}$ 与 $y = -2x^{2}$ 相同的性质是（）

A.开口向下
B. 对称轴是 $y$ 轴
C.有最低点
D. 对称轴是 $x$ 轴

第二组

关于二次函数 $y=x^{2}+2x-8$ ，下列说法正确的是（）

A. 图象的对称轴在 $y$ 轴的右侧
B. 图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8)
C. 图象与 x 轴的交点坐标为 $(-2, 0)$ 和 $(4, 0)$
D.y的最小值为-9

答案与解析

解析

第一组： $2x^2$ 上开，有最低点； $-2x^2$ 下开，有最高点。两者都满足 $f(x)=f(-x)$ ，对称轴均为 $y$ 轴。故 A、C 只适用于其中一个，D 对两者都不成立，选 B。

第二组： $x^2+2x-8=(x+1)^2-9$ ，轴为 $x=-1$ ，在纵轴左侧，A 错； $x=0$ 时 $y=-8$ ，B 错；令 $y=0$ 得 $(x+4)(x-2)=0$ ，横轴点是 $(-4,0),(2,0)$ ，C 错；上开且顶点可取，最小值 $-9$ ，D 对。

本题结论

第一组选 B；第二组选 D。

5. 先找轴，再比较函数值

同侧点可以按这一侧的增减比较；异侧点比较到对称轴的距离。下开时离轴越近，函数值越大；上开时相反。坐标简单时也可直接代入，作为独立核验。

例题 05 三点函数值的排序知识清单例题·合组

题目

第一组

若二次函数 $y=-2x^{2}-12x-16$ 的图象经过点 $A(-2,y_{1}), B(1,y_{2}), C\left(-\frac{1}{2},y_{3}\right)$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（）

A. $y_{2}>y_{3}>y_{1}$

B. $y_{1}>y_{3}>y_{2}$

C. $y_{3}>y_{1}>y_{2}$

D. $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

第二组

（2024广东）若点 $(0, y_1), (1, y_2), (2, y_3)$ 都在二次函数 $y = x^2$ 的图象上，则（）

\mathrm{A.} y _ {3} > y _ {2} > y _ {1}

\mathrm{B.} y _ {2} > y _ {1} > y _ {3}

\mathrm{C.} y _ {1} > y _ {3} > y _ {2}

D. y _ {3} > y _ {1} > y _ {2}

答案与解析

解析

第一组：

y=-2(x^2+6x+9-9)-16=-2(x+3)^2+2.

轴为 $x=-3$ 。三个横坐标都在轴右侧，且 $-2<-1/2<1$ ，下开右侧递减，所以 $y_1>y_3>y_2$ 。也可比较到轴距离 $1,4,5/2$ ，得同样结论。代入验证依次为 $0,-30,-21/2$ ，选 B。

第二组：代 $x=0,1,2$ 得 $y_1=0,y_2=1,y_3=4$ ，所以 $y_3>y_2>y_1$ ，选 A。这里横坐标都非负，不能由此推断 $y=x^2$ 在全部实数上都递增。

本题结论

第一组 $y_1>y_3>y_2$ ，选 B；第二组 $y_3>y_2>y_1$ ，选 A。

6. 平移与逆平移

先把原式、目标式化成顶点式，比较顶点坐标差。求原式时，把题给位移反过来；写完可再按正向平移检验。

例题 06 比较两条抛物线的位置知识清单例题

题目

要得到抛物线 $y=x^{2}+2x+3$ ，应将抛物线 $y=(x-1)^{2}+5$ 进行怎样的平移？

答案与解析

解析

目标式 $x^2+2x+3=(x+1)^2+2$ ，顶点为 $(-1,2)$ ；原式顶点为 $(1,5)$ 。二次项系数相同，横坐标减少 $2$ ，纵坐标减少 $3$ 。

写式核验： $(x+2-1)^2+5-3=(x+1)^2+2$ ，与目标一致。

本题结论

向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，先后次序可交换。

例题 07 求新式与恢复原式知识清单例题·合组

题目

(1) 将抛物线 $y = -2x^{2}$ 先向右平移 1 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度, 所得抛物线的解析式为 ____.

(2) 将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 先向右平移 2 个单位长度, 再向下平移 3 个单位长度, 所得抛物线的解析式为 $y = (x - 1)^{2} - 4$ , 则 b = ____, c = ____.

（3）（2024 山东滨州）将 $y=-x^2$ 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求新顶点坐标。

答案与解析

解析

（1）原顶点 $(0,0)$ 变成 $(1,-2)$ ，保持 $a=-2$ ，新式 $y=-2(x-1)^2-2=-2x^2+4x-4$ 。

（2）结果顶点 $(1,-4)$ ，逆向左移 $2$ 、上移 $3$ ，原顶点为 $(-1,-1)$ 。因此原式 $y=(x+1)^2-1=x^2+2x$ ，得 $b=2,c=0$ 。

（3）原顶点 $(0,0)$ 右移 $1$ 、上移 $2$ ，变成 $(1,2)$ 。对应新式 $y=-(x-1)^2+2$ 。

本题结论

（1） $y=-2x^2+4x-4$ ；（2） $b=2,c=0$ ；（3） $(1,2)$ 。

7. 系数组合先认横坐标

先查开口、轴和截点，再把特殊代数式认作某个横坐标处的函数值。平方项的正负与一次项不同，代负数时尤其不能漏符号。

例题 08 从标明刻度的图象取信息知识清单例题

题目

小强从如图所示的二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象中, 观察得出了下面四条信息: (1) a<0; (2) c>1; (3) b>0; (4) $a-b+c>0$ . 其中正确的是 ____. (填序号)

答案与解析

解析

开口向下，所以 $a<0$ ；纵轴交点高于刻度 $1$ ，所以 $c>1$ 。

对称轴在纵轴右侧， $-b/(2a)>0$ ；又 $a<0$ ，所以 $b>0$ 。

$a-b+c=f(-1)$ 。图中 $x=-1$ 处在横轴下方，所以 $a-b+c<0$ ，第（4）条不成立。图象只支持这些符号、大小关系，不足以随意报出具体系数。

本题结论

正确的是（1）（2）（3）。

例题 09 将四个结论逐一对应到图上知识清单例题

题目

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示, 下列结论: ① $b^{2} - 4ac > 0$ ; ② $abc < 0$ ; ③ $4a + b = 0$ ; ④ $4a - 2b + c > 0$ . 其中正确结论的个数是 ( )

A.4

B.3

C.2

D.1

答案与解析

解析

① 图象与横轴有两个不同交点，故 $\Delta>0$ ，正确。

② 下开给 $a<0$ ，轴在右侧给 $b>0$ ，纵截距为正给 $c>0$ ，故 $abc<0$ ，正确。

③ 轴为 $x=2$ ，所以 $-b/(2a)=2$ ，即 $4a+b=0$ ，正确。

④ $4a-2b+c=f(-2)$ ，不是 $f(2)$ 。 $-2$ 位于左根 $-1$ 的左侧，下开抛物线在两根外为负，所以此项错误。

共三条正确，A 多收④，C、D 都漏收正确项。

本题结论

①②③正确，选 B。

例题 10 顶点与纵截距共同限制系数知识清单例题

题目

（2024 湖北）已知抛物线 $y=ax^{2}+bx+c(a,b,c$ 为常数, $a\neq0$ ）的顶点坐标为 $(-1,-2)$ ，与 y 轴的交点在 x 轴上方，下列结论正确的是（）

\mathrm{A.} a < 0

\mathrm{B.} c < 0

\mathrm{C}. a - b + c = - 2

\mathrm{D}. b ^ {2} - 4 a c = 0

答案与解析

解析

顶点是 $(-1,-2)$ ，可写 $y=a(x+1)^2-2$ 。由 $c=f(0)>0$ ，得 $a-2>0$ ，所以 $a>2$ ，A、B 均错。

代顶点横坐标 $-1$ ，直接得到 $a-b+c=-2$ ，C 对。上开且顶点在横轴下方，两侧各有一个横轴交点，故 $\Delta>0$ ，D 错。

本题结论

选 C。

8. 共享参数的两幅图不能各说各话

同一个 $a$ ，在直线式中决定升降，在二次式中决定开口。先核两图纵轴交点，再核两图给出的 $a$ 符号是否相容。

例题 11 直线与抛物线的可能组合知识清单例题

题目

在同一直角坐标系中, 直线 $y = ax + 1$ 与二次函数 $y = ax^{2} + bx + 1$ 的图象可能是 ( )

答案与解析

解析

两式的常数项都是 $1$ ，都必须经过 $(0,1)$ 。A 的直线不满足这一点，排除。

B 的直线上升要求 $a>0$ ，而抛物线下开要求 $a<0$ ，矛盾。D 的直线下降而抛物线上开，同样矛盾。

C 两图都经过 $(0,1)$ ，直线上升、抛物线上开都要求 $a>0$ ，条件相容。

本题结论

选 C。

9. 交点个数转成判别式条件

先检查二次项系数非零，再按题意选择 $\Delta>0$ 、 $\Delta=0$ 、 $\Delta<0$ 或 $\Delta\ge0$ 。最后把所得范围与非零条件取交；“最低点”还要求开口向上。

例题 12 不画图判断横轴公共点知识清单例题

题目

不画图象,判断下列抛物线与 x 轴的公共点的个数.

(1) $y=2x^{2}+5x-3.$
(2) $y = -4x^{2} + 8x - 4.$
(3) $y=3x^{2}-4x+7.$

答案与解析

解析

（1） $\Delta=5^2-4\times2\times(-3)=49>0$ ，有两个不同公共点。

（2） $\Delta=8^2-4\times(-4)\times(-4)=0$ ，有一个公共点。也可写成 $y=-4(x-1)^2$ ，只有 $x=1$ 时为零。

（3） $\Delta=(-4)^2-4\times3\times7=-68<0$ ，没有公共点。开口向上本身不能决定是否与横轴相交。

本题结论

（1）2 个；（2）1 个；（3）0 个。

例题 13 参数还会改变函数类型知识清单例题

题目

若二次函数 $y=2(k-1)x^{2}-4kx+2(k-1)$ 的图象与 x 轴有两个交点, 求 k 的取值范围.

答案与解析

解析

必须同时满足

2(k-1)\ne0,\qquad (-4k)^2-4\cdot2(k-1)\cdot2(k-1)>0.

前者给 $k\ne1$ ；后者化为

16k^2-16(k-1)^2=16(2k-1)>0,

所以 $k>1/2$ 。 $k=1$ 虽满足形式上算出的正判别式，却使原函数退化为 $y=-4x$ ，必须排除。

本题结论

$k>\frac12$ ，且 $k\ne1$ 。

例题 14 一个公共点与最低点在轴上知识清单例题

题目

(1) 若抛物线 $y = 2{x}^{2} + {8x} + m$ 与 $x$ 轴只有一个公共点,求 $m$ 的值.

(2) 若抛物线 $y=(k-1)x^{2}+2kx+3k-2$ 的最低点在 x 轴上, 求 k 的值.

答案与解析

解析

（1） $\Delta=8^2-4\times2m=64-8m$ 。只有一个公共点，故 $64-8m=0$ ，得 $m=8$ 。

（2）最低点在横轴上，要同时满足 $k-1>0$ 和 $\Delta=0$ 。

\begin{aligned} \Delta&=4k^2-4(k-1)(3k-2)\\ &=-4(2k-1)(k-2). \end{aligned}

候选值 $k=1/2,2$ ，只有 $2$ 满足 $k>1$ 。 $k=1/2$ 是下开，贴轴的是最高点，不符合题意。

本题结论

（1） $m=8$ ；（2） $k=2$ 。

例题 15 没有横轴交点知识清单例题

题目

(2024 吉林长春) 若抛物线 $y = x^{2} - x + c$ ( $c$ 是常数) 与 $x$ 轴没有交点, 则 $c$ 的取值范围是 ____.

答案与解析

解析

$a=1,b=-1$ ，所以 $\Delta=1-4c$ 。无交点要求 $1-4c<0$ ，除以负数时不等号反向，得 $c>1/4$ 。

$c=1/4$ 时顶点恰好在横轴上，仍有一个公共点，因此不收等号。

本题结论

$c>\frac14$ 。

10. 利用对称恢复根的位置

两个不同点的纵坐标相同，就关于对称轴对称。两根 $u,v$ 满足 $(u+v)/2=h$ ；给一个根的区间时，用 $v=2h-u$ 推另一个区间，乘负数要反向。

例题 16 求对称轴与另一个根的范围知识清单例题·合组

题目

第一组

已知抛物线 $y=ax^{2}+bx+c$ 与 x 轴的公共点是 $(-4,0)$ ， $(2,0)$ ，则这条抛物线的对称轴是直线 ____。

第二组

如图,以(1,-4)为顶点的二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点,则一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的正数解的范围是 ( )

A. $2<x<3$

B. $3<x<4$

C. $4<x<5$

D. $5<x<6$

答案与解析

解析

第一组：两根为 $-4,2$ ，轴横坐标为 $(-4+2)/2=-1$ ，应答直线 $x=-1$ ，不是只写一个点。

第二组：顶点横坐标为 $1$ ，故 $u+v=2$ 。图示负根满足 $-3<u<-2$ ，所以

2<-u<3,\qquad 4<2-u<5.

另一根 $v=2-u$ ，故 $4<v<5$ ，选 C。直接取负根相反数只适用于对称轴为 $y$ 轴，本题不能如此处理。

本题结论

第一组： $x=-1$ ；第二组：正根在 $4<x<5$ ，选 C。

11. 图象与方程、不等式相互翻译

等于零找横轴交点；大于零找横轴上方的部分；等于常数找对应水平线。最后读出的应是横坐标或其范围，不是把“图象在上面”直接当答案。

例题 17 上开抛物线的三个范围知识清单例题

题目

观察函数 $y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$ 的图象, 回答下列问题:

(1) 当 x 取什么值时, y > 0?
(2) 当 x 取什么值时, y=0?
(3) 当 x 取什么值时, y < 0?

答案与解析

解析

函数可分解为 $y=\frac12(x+1)(x-3)$ ，零点为 $-1,3$ 。二次项系数为正，所以两根外为正、两根之间为负。

当 $x<-1$ 时，两因子都负，乘积为正；当 $-1<x<3$ 时，一正一负，乘积为负；当 $x>3$ 时，两因子都正。零点单独对应 $y=0$ 。

本题结论

（1） $x<-1$ 或 $x>3$ ；（2） $x=-1$ 或 $x=3$ ；（3） $-1<x<3$ 。

例题 18 同一幅图回答四类问题知识清单例题

题目

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示,根据图象解答下列问题:

(1) 写出方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的两个根. (2) 写出不等式 $ax^{2} + bx + c > 0$ 的解集.
(3) 写出 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围.
(4) 若方程 $ax^{2}+bx+c=k$ 有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）横轴交点横坐标为 $1,3$ ，即方程的两根。

（2）两根之间图象在横轴上方，因此 $1<x<3$ 。

（3）开口向下，轴为 $x=2$ ，在轴右侧 $x>2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小。若把顶点一并作为单调区间端点，也可表述为在 $x\ge2$ 上递减。

（4）方程右边为 $k$ ，应看水平线 $y=k$ 。最高点纵坐标为 $2$ ： $k<2$ 时交两点， $k=2$ 时贴顶点， $k>2$ 时不相交。

本题结论

（1） $1,3$ ；（2） $1<x<3$ ；（3）轴右侧 $x>2$ ；（4） $k<2$ 。

12. 建面积模型，不漏边长范围

先列边长之间的关系，再将面积写成乘积；普通周长包含四条边，靠墙的材料可能只用于三条边。式子正确但输入范围错误，仍不是完整模型。

例题 19 固定周长确定面积式知识清单例题

题目

若长方形的周长为 $12 \, cm$ ，设其一边长为 $x \, cm$ ，面积为 $y \, cm^{2}$ ，则 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围均正确的是（）

\mathrm{A.} y = - x ^ {2} + 6 x (3 < x < 6)

\mathrm{B}. y = - x ^ {2} + 1 2 x (6 < x < 1 2)

C. y = - x ^ {2} + 6 x (0 < x < 6)

\mathrm{D}. y = - x ^ {2} + 1 2 x (0 < x < 1 2)

答案与解析

解析

邻边和是 $12/2=6$ ，另一边长为 $6-x$ ，所以 $y=x(6-x)=-x^2+6x$ 。

两边都必须为正： $x>0$ 且 $6-x>0$ ，故 $0<x<6$ 。A 无理由排除了 $x\le3$ ，题目没说所设边是较长边；B、D 把周长直接当邻边和，均错误。

本题结论

$y=-x^2+6x$ ， $0<x<6$ ，选 C。

例题 20 靠墙与留门后的最优尺寸知识清单例题

题目

某农场拟建一间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $50 \, m$ , 设饲养室与现有墙平行的一边长为 $x \, m$ , 占地面积为 $y \, m^{2}$ .

(1)如图①所示,问饲养室与现有墙平行的一边长为多少米时,占地面积最大?
(2)如图②所示,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室与现有墙平行的一边长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.

图①

图②

答案与解析

解析

（1）设垂直墙的边长为 $z$ ，新材料用于三边， $x+2z=50$ ，故 $z=(50-x)/2$ ， $0<x<50$ 。

y=x\frac{50-x}{2}=-\frac12(x-25)^2+\frac{625}{2}.

$x=25$ 合法，面积最大，另两边各为 $12.5$ 米。

（2）门不占材料，几何边仍完整计入面积。材料式是 $x-2+2z=50$ ，不是仍用第一问的式子。

y=x\frac{52-x}{2}=-\frac12(x-26)^2+338.

$x=26$ 时门可以容纳，另两边各 $13$ 米，材料 $26-2+13+13=50$ 。平行边增加 $1$ 米，不是 $2$ 米。

本题结论

（1）平行边长 $25$ 米时面积最大，为 $312.5$ 平方米；（2）应取 $26$ 米，最大面积 $338$ 平方米，小敏的说法不正确。

13. 先选坐标基准，再用实际点定式

题给抛物线形状时，可选地面中点为原点，使两横轴交点对称；若直接给最高点，就用顶点式。测得的距离先转换成所选坐标系中的坐标，最后把代数结果还原为实际长度或时间。

例题 21 由竹竿测量门洞高度知识清单例题

题目

如图所示,某建筑物有一抛物线形的门洞,小强想知道该门洞的高度,他先测出门洞的宽度AB=8 m,然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门洞的内壁,并测得AC=1 m,则门洞高为____m.

答案与解析

解析

取 $AB$ 中点 $O$ 为原点， $AB$ 为横轴，向上为纵轴。于是 $A(-4,0),B(4,0)$ ；由 $AC=1$ ，竿脚横坐标为 $-3$ ，竿长为 $4$ ，所以 $D(-3,4)$ 。

设 $y=a(x+4)(x-4)$ ，代入 $D$ 得 $4=-7a$ ，所以

y=-\frac47(x+4)(x-4)=-\frac47x^2+\frac{64}{7}.

对称轴为 $x=0$ ，顶点纵坐标为 $64/7$ 。地面恰为 $y=0$ ，因此这个纵坐标就是门洞高度。

本题结论

门洞高 $\dfrac{64}{7}$ 米。

（2024 河南节选）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $h(\mathrm{m})$ 满足关系式 $h = -5t^{2} + v_{0}t$ ，其中 $t(\mathrm{s})$ 是物体运动的时间， $v_{0}(\mathrm{m/s})$ 是物体被发射时的速度。社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球。小球被发射后 ____ s 时离地面的高度最大（用含 $v_{0}$ 的式子表示）。

答案与解析

解析

将题给公式配方，不必另引入运动定律：

h=-5\left[t^2-\frac{v_0}{5}t\right]=-5\left(t-\frac{v_0}{10}\right)^2+\frac{v_0^2}{20}.

开口向下，在平方项为零时最高。题目是竖直向上发射， $v_0>0$ ；所得时刻 $v_0/10$ 在从发射到回地面的 $0\le t\le v_0/5$ 内，合法。

题问的是时间，不是顶点高度 $v_0^2/20$ 。

本题结论

发射后 $\dfrac{v_0}{10}$ 秒，离地高度最大。

例题 23 求落地点还要筛选运动方向知识清单例题

题目

(2024 广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点 P 处)的高度 OP 是 $\frac{7}{4}$ m, 出手后实心球沿一段抛物线运行, 到达最高点时, 水平距离是 5 m, 高度是 4 m. 若实心球落地点为 M, 则 OM 为 ____ m.

答案与解析

解析

取 $O$ 为原点， $OM$ 所在直线为横轴， $OP$ 所在直线为纵轴。出手点为 $(0,7/4)$ ，最高点为 $(5,4)$ 。

设 $y=a(x-5)^2+4$ ，代出手点得 $7/4=25a+4$ ，所以 $a=-9/100$ 。

落地时 $y=0$ ：

(x-5)^2=\frac{400}{9},\qquad x-5=\pm\frac{20}{3}.

解得 $x=35/3$ 或 $x=-5/3$ 。本次运动从出手点向前落地，只取正向的 $35/3$ ；负根是完整抛物线向后延伸的交点，不属于这段运动。

本题结论

$OM=\dfrac{35}{3}$ 米。

14. 不同销售渠道分别计算利润

先由数据确定销量，再将每个渠道的“售价减成本”与该渠道销量相乘，最后求和。配方后查价格范围，回代销量与利润核验，不把最大收入与最大利润混成一个目标。

例题 24 线上、线下两种销售方式知识清单例题

题目

已知商家购进一批产品,成本为 10 元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量 y(单位:件)与线下的售价 x(单位:元/件, $12 \leqslant x < 24$ )满足一次函数关系,部分数据如下表:

x/(元/件)	12	13	14	15	16
y/件	1 200	1 100	1 000	900	800

(1) 求 y 与 x 的函数关系式.

(2)线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下的月利润总和最大?并求出最大月利润.

答案与解析

解析

（1）设线下月销量 $y=kx+b$ 。相邻售价增加 $1$ 元，销量减少 $100$ 件，所以 $k=-100$ 。代 $(12,1200)$ 得 $b=2400$ ，故 $y=-100x+2400$ ，其余数据也符合。

（2）分渠道计算：

渠道	每件售价	每件利润	月销量
线下	$x$	$x-10$	$-100x+2400$
线上	$x-2$	$x-12$	$400$

于是总月利润

\begin{aligned} w&=(x-10)(-100x+2400)+400(x-12)\\ &=-100x^2+3800x-28800\\ &=-100(x-19)^2+7300. \end{aligned}

$19$ 在 $12\le x<24$ 内，所以可取最大值 $7300$ 。核验：线下销量 $500$ 件、每件利润 $9$ 元，线上每件利润 $7$ 元， $500\times9+400\times7=7300$ 。

本题结论

（1） $y=-100x+2400$ ， $12\le x<24$ ；（2）线下售价 $19$ 元/件时，总月利润最大，为 $7300$ 元。

三、坑点错因与边界

1. 指数条件与系数条件不能漏一个

写出的指数等于 $2$ ，还要检查相应系数有没有变成零。只解指数条件，会把已经降次的候选值留下。

辨析 01 含参数的二次函数知识清单例题

题目

当 m 取何值时, 关于 x 的函数 $y = -3x + (m - 2)x^{|m|}$ 是二次函数?

答案与解析

解析

二次项确实存在，需要 $|m|=2$ 且 $m-2\ne0$ 。前者得到 $m=2$ 或 $m=-2$ 。

$m=2$ 时系数为零，原函数只剩 $y=-3x$ ，排除； $m=-2$ 时 $y=-3x-4x^2$ ，确为二次函数。

本题结论

$m=-2$ 。

2. 顶点横坐标不是照抄括号里的常数

顶点横坐标是使平方内部等于零的输入。括号写 $x+q$ ，应读作 $x-(-q)$ ；对称轴是一条直线，顶点才是一个点。

辨析 02 从顶点式读出三项性质知识清单例题

题目

已知函数 $y=(x+1)^{2}-4$ ，指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案与解析

解析

$x+1=x-(-1)$ ，所以 $h=-1$ 。也可以令 $x+1=0$ ，解得 $x=-1$ ，此时平方项为零， $y=-4$ 。

$a=1>0$ ，开口向上。错误的 $(1,-4)$ 把括号内常数直接当成了顶点横坐标。

本题结论

开口向上；对称轴 $x=-1$ ；顶点 $(-1,-4)$ 。

3. 开端点只能接近，不能取得

求最值不仅要算候选数值，还要指出合法输入。顶点在范围内可以取，端点被排除时就不能把端点函数值直接叫最大值。

辨析 03 同一函数，不同输入范围知识清单例题

题目

分别在下列范围内求函数 $y=x^{2}-2x-3$ 的最大值和最小值.

（1） $0<x<2$ 。
(2) $2 \leqslant x \leqslant 3.$

答案与解析

解析

配方得 $y=(x-1)^2-4$ 。

（1） $x=1$ 在 $0<x<2$ 内，最小值为 $-4$ 。但两端 $0,2$ 都不允许取， $|x-1|<1$ ，所以 $y<-3$ 。函数值可以无限接近 $-3$ ，却不能等于 $-3$ ，没有最大值。

（2） $2\le x\le3$ 全在轴右侧，上开函数在此递增；两个端点都合法，所以最小值 $f(2)=-3$ ，最大值 $f(3)=0$ 。

本题结论

（1）最小值 $-4$ ，无最大值；（2）最小值 $-3$ ，最大值 $0$ 。

4. “横坐标为正”不等于“在轴右侧”

先求真实对称轴，再判断给定范围有没有跨轴。表格含多组数据时，用部分数据求式以后，还要回验其余数据。

辨析 04 由数据检验四个性质知识清单例题

题目

（2024陕西）已知一个二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值如下表：

x	...	-4	-2	0	3	5	...
y	...	-24	-8	0	-3	-15	...

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A. 图象的开口向上
B. 当 x>0 时, y 的值随 x 值的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线 $x = 1$

答案与解析

解析

$x=0,y=0$ 给 $c=0$ ；由 $(-2,-8),(3,-3)$ 得

4a-2b=-8,\qquad 9a+3b=-3.

前式乘 $3$ 、后式乘 $2$ 后相加，得 $30a=-30$ ，于是 $a=-1,b=2$ 。所以 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$ 。回验 $x=-4,5$ ，分别得到 $-24,-15$ 。

A： $a<0$ ，实际向下开口，错误。

B： $0<x<1$ 还在轴左侧，函数值增大，不能说所有 $x>0$ 都减小，错误。

C：根为 $0,2$ ，实际经过第一、三、四象限，不经过第二象限，错误。

D：轴确为 $x=1$ ，正确。

本题结论

选 D。

5. “有公共点”必须包含相切的一点

“两个不同交点”用严格正判别式，“有公共点”是至少一个，应包含顶点贴轴的情形。边界是否收取，由题目的语言决定。

辨析 05 向下移动到与横轴相交知识清单例题

题目

(2024 山东济宁) 将抛物线 $y = x^{2} - 6x + 12$ 向下平移 $k$ 个单位长度, 若平移后得到的抛物线与 $x$ 轴有公共点, 则 $k$ 的取值范围是 ____.

答案与解析

解析

原式 $x^2-6x+12=(x-3)^2+3$ ，最低点高为 $3$ 。下移 $k$ 后，最低值变成 $3-k$ 。

有横轴公共点要求 $3-k\le0$ ，得 $k\ge3$ 。等号时恰有一个公共点，也符合题意。用判别式验证， $\Delta=36-4(12-k)=4(k-3)\ge0$ ，结论相同。

本题结论

$k\ge3$ 。

6. 存在一个，不代表任意一个

“可以找到”只要求有合法参数使结论成立；“无论怎样取”要求覆盖全部允许参数。先求满足条件的参数范围，再辨认量词，不能把一次试值当成全称证明。

辨析 06 两种参数断言知识清单例题

题目

（2024福建）已知二次函数 $y = x^{2} - 2ax + a (a \neq 0)$ 的图象经过 $A\left(\frac{a}{2}, y_{1}\right), B(3a, y_{2})$ 两点，则下列判断正确的是（）

A. 可以找到一个实数 $a$ , 使得 $y_{1} > a$
B.无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{1} > a$
C. 可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{2} < 0$
D.无论实数 a 取什么值,都有 $y_{2}<0$

答案与解析

解析

代入两点横坐标，得

y_1=-\frac34a^2+a,\qquad y_2=3a^2+a=a(3a+1).

由于 $a\ne0$ ， $y_1-a=-3a^2/4<0$ ，因此 A 所说的“可以找到”和 B 所说的“无论怎样取”都不能使 $y_1>a$ 。

$y_2<0$ 等价于 $a(3a+1)<0$ ，解得 $-1/3<a<0$ 。这个区间非空，故确实可以找到这样的 $a$ ，C 对；但它没有覆盖所有允许的非零实数，D 错。

本题结论

选 C。

7. 墙长有限，最优点也要分段检查

越过原墙端点后，多出的边长要另用材料。每个面积式必须带自己的适用范围，还须比较其他摆放位置。可以先求各区域面积上界，再用一个实际可行方案达到最大的上界。

辨析 07 缺口围墙的最大菜地知识清单例题

题目

(2024 四川自贡) 九(1) 班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地, 地上两段围墙 $AB \perp CD$ 于点 $O$ (如图), 其中 $AB$ 上的 $EO$ 段围墙空缺. 同学们测得 $AE = 6.6 \mathrm{~m}, OE = 1.4 \mathrm{~m}, OB = 6 \mathrm{~m}, OC = 5 \mathrm{~m}, OD = 3 \mathrm{~m}$ , 班长买来可切断的围栏 $16 \mathrm{~m}$ , 准备利用已有围墙, 围出一块封闭的矩形菜地, 则该菜地最大面积是 $\underline{\quad} \mathrm{m}^{2}$ .

答案与解析

解析

先记清墙长： $OA=6.6+1.4=8$ ，但其中 $EO=1.4$ 是缺口； $OC=5$ 。设左上区域的矩形沿 $OA$ 、 $OC$ 的边长分别为 $x,z$ 。

先找可实现的候选。 当 $1.4<x\le8$ 且 $z>5$ 时，现成墙可用 $x-1.4$ 和 $5$ 米，因此

2x+2z-(x-1.4)-5\le16,\qquad z\le9.8-\frac x2.

面积满足

S=xz\le-\frac12x^2+9.8x=-\frac12(x-9.8)^2+48.02.

顶点 $9.8$ 超出本段 $x\le8$ ，不能直接报 $48.02$ 。本段随 $x$ 增大而增大，取 $x=8,z=5.8$ 得 $S=46.4$ 。所需新栏为 $8+5.8+1.4+0.8=16$ 米，确能实现。

再核左上区域的其他范围。

边长范围	材料或面积依据	面积上界
$x\le1.4,z\le5$	$S\le1.4\times5$	$7$
$x\le1.4,z>5$	$2x+2z-5\le16$ ， $S\le x(10.5-x)$	$12.74$
$1.4<x\le8,z\le5$	$S\le8\times5$	$40$
$x>8,z\le5$	$2x+z-6.6\le16$ ， $S\le z(11.3-z/2)$	$44$
$x>8,z>5$	$x+z\le13.8$ ， $S\le x(13.8-x)$ ，在 $x>8$ 递减	小于 $46.4$

其他位置也要比较。 边长和不超过 $L$ 时，由 $(x-z)^2\ge0$ 可得 $xz\le L^2/4$ 。右上、左下、右下最多可用墙长分别为 $11,9.6,9$ 米，于是矩形周长至多为 $27,25.6,25$ 米，面积分别不超过

45.5625,\qquad40.96,\qquad39.0625,

都小于 $46.4$ 。

若只利用一条墙边，沿 $CD$ 最多可用 $8$ 米：墙边长 $u\le8$ 时，面积不超过 $u(16-u)/2\le32$ ； $u>8$ 时，面积不超过 $u(12-u)<32$ 。沿 $AB$ 的连续墙段不超过 $6.6$ 米，也不超过上述界限；若跨过缺口， $u\le14$ 时新栏至少为 $u+2z+1.4$ ，面积不超过 $u(14.6-u)/2\le26.645$ ； $u>14$ 时可用墙最多 $12.6$ 米，面积不超过 $u(14.3-u)<4.2$ 。完全不用墙时，周长至多 $16$ ，面积至多 $16$ 。

两条垂直墙同时作为矩形边界时回到前述四区域；只在矩形内部的墙不节省边界围栏。因此没有其他允许位置超过已实现的 $46.4$ 。

本题结论

最大面积为 $46.4\,\mathrm{m^2}$ ，可取左上区域两边 $8$ 米、 $5.8$ 米。

8. 最大收入与最大利润要分别求

收入没有扣除成本；销量随价格改变时，成本总额也随之改变，所以两个目标的最优售价通常不同。价格模型只在题给变化范围内使用，不外推未知的涨价规律。

辨析 08 同一销量模型下的两个最优价知识清单例题

题目

（2024 广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美。某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外。若按每吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨。市场调查反映：如果每吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨。该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值。（题中“元”为人民币）

答案与解析

解析

设每吨售价为 $x$ 万元。相对原售价 $5$ 万元，降价 $5-x$ 万元，日销量为

q=100+50(5-x)=350-50x.

按题给降价模型和非负售价，在 $0\le x\le5$ 内讨论。每吨成本 $2$ 万元，所以

目标	计算式	配方结果
日利润 $w$	$(x-2)(350-50x)$	$-50(x-4.5)^2+312.5$
日销售收入 $R$	$x(350-50x)$	$-50(x-3.5)^2+612.5$

两式都向下开口，顶点价格 $4.5$ 、 $3.5$ 均在允许范围内。前者销量 $125$ 吨，每吨利润 $2.5$ 万元，利润 $312.5$ 万元；后者销量 $175$ 吨，收入 $175\times3.5=612.5$ 万元。

把收入最大时的 $3.5$ 万元直接答作利润最优价，错在没有扣除随销量变化的成本。

本题结论

每吨定价 $4.5$ 万元，日利润最大为 $312.5$ 万元；每吨定价 $3.5$ 万元，日销售收入最大为 $612.5$ 万元。