角平分线把一个角分成两个相等的角，也把“角相等”与“到两边的距离相等”联系起来。这里的距离必须是垂直距离；换了点或换了直线，就要重新判断。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 角平分线与两条垂线

从角的顶点出发、把角分成两个相等角的射线，叫作这个角的平分线。若 $OP$ 平分 $\angle AOB$，则

$$\angle AOP=\angle POB=\frac12\angle AOB.$$

本页讨论 $0^\circ<\angle AOB<180^\circ$，并且 $P\ne O$。三角形的角平分线则是从顶点截到对边的那一段。

角平分线上的点，到角的两边所在直线的距离相等。

过 $P$ 分别作 $PD\perp OA$、$PE\perp OB$。两直角三角形 $OPD$、$OPE$ 中：

条件	依据
$\angle ODP=\angle OEP=90^\circ$	垂直
$\angle DOP=\angle POE$	角平分线
$OP=OP$	公共斜边

由 AAS 得 $\triangle OPD\cong\triangle OPE$，所以 $PD=PE$。公共边 $OP$ 是非夹边，因此这里不是 ASA。

角的半角小于 $90^\circ$，两垂足落在相应射线上。若 $P=O$，两距离都是零，直接成立，不必套用退化的三角形。

角平分线上点P向两边作垂线

2. 由等距离反过来判断平分线

在角内部，到两边所在直线距离相等的点，在这个角的平分线上。

仍作两条垂线。先排除垂足恰为 $O$：若 $D=O$，则 $PD=PO$；另一边不与第一边共线，故 $E\ne O$，在直角三角形 $PEO$ 中有 $PE<PO$，与 $PD=PE$ 矛盾。$E=O$ 同理不可能。

两小直角三角形有公共斜边 $OP$，又有直角边 $PD=PE$，由 HL 全等，得到 $OP$ 与两边所成的角相等；结合 $P$ 在原角内部，可确定它在内部平分射线上。

还要排除垂足落在反向延长线上的情况。若只有一个垂足反向，HL 给出的两个锐角相等，会使原来的两个分角互补，原角便为 $180^\circ$；若两个垂足都反向，两个分角之和大于 $180^\circ$。都与本页的角范围及内部点条件矛盾。因此垂足在正向射线上，才能将全等得到的角认作原来的两个分角。

这里有两个不能省略的条件：

• 垂直距离相等。 两条随意连接到边上点的斜线段相等，不是判定条件。
• 点在角内部。 若不限制区域，到两条相交直线等距离的点还可能在外角平分线上。

性质是“平分角 → 两垂距相等”，判定是“两垂距相等且在角内 → 平分角”。两者方向不同，判定要另作证明，不能只说“把性质倒过来”。

3. 到三边等距离的点

所讨论的区域	点的数量与位置
三角形内部	一个，是三个内角平分线的交点，称为内心
不限在三角形内部，到三边所在整直线等距	四个，包括一个内心和三个旁心

两条内角平分线交于 $I$。分别从 $I$ 向三边作垂线，第一条平分线给其中两距离相等，第二条给另两距离相等，传递后第三对也相等。由判定，$I$ 同时在第三条内角平分线上。这说明三条内角平分线共点。

两条内平分线在三角形内部唯一相交，内心也唯一。若允许外部点，可以将内、外角平分线搭配，得到三个旁心。两相交直线的两条平分线互相垂直；分别与另一顶点的两条平分线相交，恰好得到图中的四点，不把外部点也称为内心。

三条边所在直线及四个等距点

区域比名称更重要。 应先说明“到线段的距离”还是“到其所在直线的距离”，再说明点在哪里。垂足在三角形边的延长线上时，仍可表示到该边所在直线的距离。

三条内角平分线与从内心作出的三条垂线

二、考点 方法与例题

1. 先把题目中的距离落到垂线段

1. 找角顶点和两条边，确认平分的是哪个角。
2. 从所给点向目标直线作垂线，用垂线段的长度表示所求距离。
3. 核对两条垂线是否从同一点出发，再调用性质。

例题 01 点到另一边的距离 2024 青海

题目

(2024 青海)如图, OC 平分 $\angle AOB$ , 点 P 在 OC 上, $PD \perp OB$ , PD = 2, 则点 P 到 OA 的距离是 ()

题目所给图形

A.4

B.3

C.2

D.1

答案与解析

解析

过 $P$ 作 $PE\perp OA$。因为 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，所以 $PE=PD=2$。

A 把两条相等距离相加；B 没有题设依据；D 把距离再除以二。平分的是角，不是把已给垂距减半。

本题结论

选 C，距离为 $2$。

2. 平行线先搬角，再建立新的平分线

有平行线时，先用同位角或内错角把原来的两个半角搬到新顶点。证明新射线确实平分新角之后，才能讨论另一个点到新两边的距离。不能仅凭图中出现平分线，就把所有垂距都写成相等。

例题 02 原平分线与新角 知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AD$ 是角平分线, $P$ 是 $AD$ 上一点, $PE \parallel AB$ , 交 $BC$ 于点 $E$ , $PF \parallel AC$ , 交 $BC$ 于点 $F$ . 求证: 点 $D$ 到 $PE$ 和 $PF$ 的距离相等.

题目所给图形

答案与解析

解析

由 $AD$ 平分 $\angle BAC$，得 $\angle BAD=\angle DAC$。

$PE\parallel AB$、$PF\parallel AC$，以 $AD$ 为截线可得

$$\angle EPD=\angle BAD,\qquad \angle DPF=\angle DAC.$$

所以 $\angle EPD=\angle DPF$，即 $PD$ 平分 $\angle EPF$。

作 $DM\perp PE$、$DN\perp PF$。点 $D$ 在这个角的内部平分线上，故 $DM=DN$。

从D向PE与PF作垂线的辅助图

本题结论

点 $D$ 到 $PE$、$PF$ 的距离相等。

3. 作三条垂线，让两次等距共用一个量

遇到两条角平分线相交、要证明第三条平分线时，可从交点向三条边线分别作垂线。两次性质通常给出 $d_1=d_2$、$d_2=d_3$，传递后再使用判定。最后还要核对交点在目标角的内部。

例题 03 由两个外角平分线证明第三条 知识清单例题

题目

如图, $AP \text{、} CP$ 分别平分 $\angle MAC \text{、} \angle ACN$ . 求证: 点 $P$ 在 $\angle MBN$ 的平分线上.

题目所给图形

答案与解析

解析

过 $P$ 作 $PD\perp MB$、$PE\perp AC$、$PF\perp BN$。垂足可以在原边的延长线上。

$AP$ 平分 $\angle MAC$，所以 $PD=PE$；$CP$ 平分 $\angle ACN$，所以 $PE=PF$。于是 $PD=PF$。

原图中 $P$ 位于 $\angle MBN$ 内部。由角平分线判定，$BP$ 平分 $\angle MBN$。

从P向三条边所在直线作垂线

本题结论

$P$ 在 $\angle MBN$ 的平分线上。

4. 同一组垂距，可以作为不同底边的高

若平分线交对边于 $D$，从 $D$ 向两腰作的等长垂线，可以分别作为两小三角形的高。面积相加时要先确认这两小块恰好组成原三角形；不能把两块的底边与高交叉配对。

若两垂距均为 $r$，则 $S_{\triangle ABC}=\frac12 r(AB+AC)$。解出未知边后，还须回验其余几何条件；方程有正数解，不保证图形一定存在。

三、坑点 条件与辨析

1. 换了点或换了直线，等距关系不能照搬

“$D$ 到 $AB$ 的距离”与“$E$ 到 $AD$ 的距离”是不同对象。角平分线性质只能直接处理前一组对应的垂距。下面这题还用到勾股定理，可在学过勾股定理后回看。

辨析 01 辨清所求的垂线段 2023 广东广州

题目

（2023 广东广州）如图, 已知 AD 是 $\triangle ABC$ 的角平分线, DE, DF 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的高, AE = 12, DF = 5, 则点 E 到直线 AD 的距离为 ____.

题目所给图形

答案与解析

解析

因为 $DE\perp AB$、$DF\perp AC$，且 $D$ 在角平分线上，所以 $DE=DF=5$。

在直角三角形 $ADE$ 中，用勾股定理：

$$AD^2=AE^2+DE^2=12^2+5^2=169,\qquad AD=13.$$

所求不是 $DE$。过 $E$ 作 $EH\perp AD$，同一三角形 $ADE$ 换底、高表示面积：

$$\frac12 AE\cdot DE=\frac12 AD\cdot EH.$$

所以 $12\times5=13EH$，得到 $EH=\dfrac{60}{13}$。不能把 $DE=DF=5$ 推广成所有画出的垂线段都等于 $5$。

本题结论

点 $E$ 到直线 $AD$ 的距离为 $\dfrac{60}{13}$。

2. 代数结果还要接受几何条件检查

面积方程有正数解，不代表所有几何条件一定能同时实现。把算出的边长放回三角形，核查高、面积与边长的大小关系，才能确定原图是否存在。

辨析 02 给定的量能否同时成立 依据知识清单例题改编·条件核验

题目

设 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$D$ 在 $BC$ 上，$DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$。给出 $S_{\triangle ABC}=7$、$DE=2$、$AB=4$。

按面积关系能形式上求出怎样的 $AC$？这些数据能否同时构成题设三角形？

原条件关系的示意图，长度不按比例

答案与解析

解析

距离性质给 $DF=DE=2$。按两小块面积相加，形式上有

$$7=\frac12\times4\times2+\frac12 AC\times2=4+AC,$$

所以得到 $AC=3$。

但这还不是合格答案。以 $AB=4$ 为底，从 $C$ 到直线 $AB$ 的高不大于线段 $AC=3$，故

$$S_{\triangle ABC}\le\frac12\times4\times3=6,$$

与给定面积 $7$ 矛盾。因此不是再寻找另一条计算路线，而是这组给定数据本身不能同时成立。图仅示意关系，不能消除数值矛盾。

本题结论

形式上算得 $AC=3$，但题设不存在满足全部条件的三角形。

3. “角内部”与“所在直线”不能省略

• 求三角形内部的等距点，只取内心。
• 求到三边所在直线等距的全部点，要计入三个旁心。
• 到两条完整相交直线等距，对应两条角平分直线，不只是图上锐角内的那一支。
• 点取在角顶点时，两距离虽都为零，却不能由两个重合点确定一条平分射线。

题目中的区域限定决定答案数量；不是先记“一”或“四”，再套到任何图上。

上一页全等三角形

下一页尺规作图