一项任务总量固定，完成得越快，用时越短。把这种关系写成乘积，就能理解反比例函数的定义、图象与应用；遇到跨分支比较、面积或实际限制，还要把符号和范围一起带入。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 保持不变的是两个量的乘积

形如 $y=\dfrac{k}{x}$ 的函数叫反比例函数，其中 $k$ 是与 $x$ 无关的非零常数，$x\ne0$。三种写法表示同一个关系：

$$y=\frac{k}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad xy=k\quad\Longleftrightarrow\quad y=kx^{-1},\qquad k\ne0.$$

因为 $xy=k\ne0$，横坐标和纵坐标都不能为零。纯数学函数允许所有非零实数作为输入；实际的时间、体积等还须按题意限制。

一个量增大、另一个量减小，并不足以证明反比例。 要确认这两个量的乘积是同一个非零常数。少量数据符合某个式子，也不能自行证明所有输入都符合；题目明确给出反比例关系时，才可以据此建模。

2. 先确定究竟是哪两个量

关系形式	保持不变的乘积	真正成反比例的两个量
$v=\dfrac{C}{u}$，$C\ne0$	$uv=C$	$v$ 与 $u$
$v+d=\dfrac{C}{u}$	$(v+d)u=C$	整体 $v+d$ 与 $u$
$v=\dfrac{C}{u^2}$	$vu^2=C$	$v$ 与整体 $u^2$，不是 $v$ 与 $u$

把 $1/u$ 另记为一个输入时，$v=C(1/u)$ 又是关于这个新输入的正比例关系。变量替换后，要说清“谁关于谁”，并保留新变量的范围。

若式子已经化成 $y=Ax^r$ 的单一幂式，本章所讨论的整数指数形式要成为反比例函数，须同时满足 $r=-1$ 与 $A\ne0$。参数可能同时影响两者，不能只检查指数。

3. 由一个点确定系数

已确定反比例类型后，图上一点 $(a,b)$ 满足 $b=k/a$，因此 $k=ab$。只需一个合法点就能求出系数，再写出完整表达式及范围。

• 给横坐标求纵坐标：把输入代入 $y=k/x$。
• 给纵坐标求横坐标：解方程，或用 $x=k/y$。
• 给同一图上的多个点：它们的横纵坐标乘积必须相等，每个点都要核查。

轴上的点不可能在 $k\ne0$ 的反比例图象上。若数据与此矛盾，应检查条件，不应通过除以零强求系数。

4. 两条分支的象限和增减

$y=k/x$ 的图象称为双曲线，由两条分支组成。

系数	坐标符号	所在象限	每条分支内的增减
$k>0$	$x,y$ 同号	第一、第三象限	$x$ 增大，$y$ 减小
$k<0$	$x,y$ 异号	第二、第四象限	$x$ 增大，$y$ 增大

象限由 $xy=k$ 的符号决定。增减也可以直接说明：在同一分支取 $x_1<x_2$，此时 $x_1x_2>0$，所以

$$y_2-y_1=\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1}=\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}.$$

分母为正，$x_1-x_2<0$，故差的符号与 $k$ 相反。“同一分支”是结论的条件，不是可省略的修饰语；跨过零时，应先比较函数值的正负。

描点作图：选取若干非零横坐标，列表求值，分别描出两支上的点；每支内部用平滑曲线连接。图象不与坐标轴相交，也不能穿过 $x=0$ 把两支接起来。$\lvert x\rvert$ 越大，$\lvert y\rvert=\lvert k\rvert/\lvert x\rvert$ 越小，但不等于零；输入趋近零时，输出绝对值反而变大。无刻度的示意图不能用来猜精确坐标。

5. 对称性来自坐标变换

若 $(a,b)$ 在图象上，则 $ab=k$，而 $(-a)(-b)=k$，因此 $(-a,-b)$ 也在图象上。完整图象关于原点对称，互为相反数的两个输入对应互为相反数的输出。

在横纵轴单位长度相同的直角坐标系中，交换坐标得到 $(b,a)$，或交换后同时变号得到 $(-b,-a)$，乘积仍为 $k$。因此图象还分别关于直线 $y=x$、$y=-x$ 对称。

只改变一个坐标的符号，会把乘积变成 $-k$，所以图象不关于任一坐标轴对称。实际模型若只取 $x>0$，负分支不属于实际范围，不能把数学上的对称点当成现实可取值。

6. 面积为什么与系数有关

点 $P(a,b)$ 在双曲线上，向两坐标轴作垂线，与原点围成矩形。两边是到轴的距离 $\lvert a\rvert,\lvert b\rvert$，所以

$$S_{\text{矩形}}=\lvert a\rvert\lvert b\rvert=\lvert k\rvert,\qquad S_{\text{轴三角形}}=\frac{\lvert k\rvert}{2}.$$

面积取正长度，因此只能先求 $\lvert k\rvert$；反求 $k$ 时还要根据象限确定符号。任意三角形并不自动满足半系数公式，必须核对原点、轴和垂足。

过原点直线的两交点模型

两交点是 $(a,b)$ 与 $(-a,-b)$。倍数由下表的实际底高得到，不能只见两个交点就套公式。

图形	可用的底和垂高	面积
两交点与其中一点到横轴的垂足形成的三角形	$\lvert b\rvert$ 与 $2\lvert a\rvert$	$\lvert k\rvert$
两交点分别作水平、竖直线形成的直角三角形	$2\lvert b\rvert$ 与 $2\lvert a\rvert$	$2\lvert k\rvert$
两交点及它们到同一轴的垂足构成的四边形	分成上面第一类的两个三角形	$2\lvert k\rvert$

过原点直线与双曲线的面积模型1

过原点直线与双曲线的面积模型2

过原点直线与双曲线的面积模型3

这些模型要求直线过原点、两点互为原点对称点，且垂线的组合符合图示。一般一次函数与双曲线的两交点，不应直接套用这些倍数。

7. 直线与双曲线的公共点

交点同时满足两式。对非水平直线 $y=mx+b$，$m\ne0$，联立得

$$mx+b=\frac{k}{x}\quad\Longrightarrow\quad mx^2+bx-k=0,\qquad x\ne0.$$

因 $k\ne0$，零不是所得方程的根，所以每个实根都能还原成一个合法交点。判别式为 $\Delta=b^2+4mk$：正、零、负分别对应两个不同交点、一个交点、没有交点。

直线类型	与完整双曲线的交点
横轴或纵轴	没有交点
$y=c$，$c\ne0$	一个点 $(k/c,c)$
$x=c$，$c\ne0$	一个点 $(c,k/c)$
$y=mx$，$m\ne0$	$k/m>0$ 时两个原点对称点；$k/m<0$ 时无交点

水平线不能继续套二次方程判别式。若题目限制单支或实际区间，求出交点后还须筛选范围。

8. 比较两函数值，要把零单独划开

同一横坐标下，图象较高就是函数值较大。两函数作差后有

$$mx+b-\frac{k}{x}=\frac{mx^2+bx-k}{x},\qquad x\ne0.$$

分子零点是交点横坐标，分母零点也是符号可能变化的分界。把它们按大小排列，逐段判断分子、分母的符号，再选取符合比较方向的部分。

交点能否取决于比较式是否含等号；$x=0$ 永远不能取。若直接乘 $x$，必须分 $x>0$、$x<0$ 两种情况，负数相乘时不等号反向，各支的解还要与该支范围取交。

9. 实际模型的范围、倍率和周期

固定总量的正量模型满足 $uv=C>0$。若 $u$ 变成原来的 $r$ 倍，$r>0$，则

$$v'=\frac{C}{ru}=\frac vr.$$

单位也要对应：速度乘时间得到总量，力乘力臂得到题给的平衡乘积；数值公式随所选单位确定。模型条件发生变化，不能无条件沿用原系数。

任务	先做什么	最后检查什么
求实际值	根据固定乘积或对应点求系数	正范围、单位、原数据是否一致
求至少、至多	先对题目限制的那个量写不等式	不等号方向，边界是否可取
周期分段过程	求一整轮长度，用本轮局部时间选公式	重启时重置局部时间，不把累计时间误代分母
严格阈值等待	找两次等于阈值的时刻	“高于”不含等号，临界时间未必可取得

冷却阶段的计时基准必须按题目规定。若公式使用“本轮开机后时间”，不能改成“冷却开始后时间”；跨入下一轮，才重新从该轮开机计时。

二、考点 方法与例题

1. 化成标准形式，再核对非零条件

先确认题目所问的输入和输出，再把式子化为非零常数除以输入，或检查两者乘积。系数含根号、负号，不会因此失去反比例类型。

例题 01 识别不同写法 知识清单例题

题目

下列哪些解析式中的 $y$ 是 $x$ 的反比例函数？填序号。

① $y=-\dfrac{\sqrt5}{3x}$；

② $y=x^{-1}$；

③ $xy=-3$。

答案与解析

解析

①可写成 $y=(-\sqrt5/3)/x$，系数非零。②由负整数指数幂的定义，$x^{-1}=1/x$。③非零乘积使 $x\ne0$，除以 $x$ 得 $y=-3/x$。三式都符合定义。

本题结论

①②③。

2. 用同一个乘积处理各点

1. 已知反比例类型，设 $y=k/x$。
2. 用一对对应值求 $k=xy$，写清范围。
3. 求输出就代输入，求输入就解方程；其他点都用同一个系数。
4. 回代原条件，核对符号、单位和非零限制。

例题 02 对应值与图上点 知识清单例题·合组

题目

第一组：已知 y 是 x 的反比例函数, 当 x=5 时, y=-8.

(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 当 x = -6 时, 求 y 的值.
(3) 当 y=10 时, 求 x 的值.

第二组：若反比例函数的图象经过点 $(2,-2),(m,1)$ ，则 m= ____.

答案与解析

解析

第一组：（1）$k=5\times(-8)=-40$，所以 $y=-40/x$，$x\ne0$。（2）代 $x=-6$ 得 $y=20/3$。（3）由 $10=-40/x$ 得 $10x=-40$，所以 $x=-4$，回代成立。

第二组：同一图上两点的乘积相等，$2\times(-2)=m\times1$，所以 $m=-4$。

本题结论

第一组：（1）$y=-40/x$，$x\ne0$；（2）$20/3$；（3）$-4$。第二组：$m=-4$。

3. 图象性质约束的是整个系数

把式子写成 $A/x$，先识别整个 $A$。每支递增对应 $A<0$，每支递减对应 $A>0$；再把条件翻译成参数不等式。题目只要求举一个值时，不能把所举的值说成唯一答案。

例题 03 由增减性确定参数 知识清单例题·合组

题目

第一组：反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象, 在每个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 则 $k$ 的值可以为 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

第二组：（2024 湖北武汉）某反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 具有下列性质: 当 x>0 时, y 随 x 的增大而减小. 写出一个满足条件的 k 的值是 ____.

答案与解析

解析

第一组：真正的比例系数是 $k-1$。每支递增要求 $k-1<0$，即 $k<1$，故选 A。$k=1$ 使系数为零，不是反比例函数；$k=2,3$ 则每支递减。

第二组：正分支递减要求 $k>0$，例如 $k=1$。所有正数都满足，不唯一。

本题结论

第一组：A。第二组：例如 $k=1$，答案不唯一。

4. 比较纵坐标，先分正负再比同支

用 $y=k/x$ 的符号先把正值和负值分开；同一分支内再用增减性比较。最后检查整串大小关系，不是只判断最大或最小一项。

例题 04 三个点分属两条分支 知识清单例题

题目

在反比例函数 $y=-\frac{1}{x}$ 的图象上有三点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ ，若 $x_{1}>x_{2}>0>x_{3}$ ，则（）

A. $y_{3}>y_{1}>y_{2}$

B. $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

C. $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

D. $y_{1} > y_{3} > y_{2}$

答案与解析

解析

因为 $k=-1<0$，正横坐标 $x_1,x_2$ 对应负纵坐标，负横坐标 $x_3$ 对应正纵坐标，故 $y_3$ 最大。

在正分支内函数递增，$x_1>x_2$，所以 $y_1>y_2$。合起来为 $y_3>y_1>y_2$。B 颠倒同支次序，C、D 都把负值排在正值上面。

三个点的横纵坐标位置

本题结论

A，即 $y_3>y_1>y_2$。

5. 相反输入利用原点对称

先确认两点属于同一个反比例函数。输入互为相反数，输出也互为相反数；系数未知不妨碍求和，但不能据此求出每个输出的唯一数值。

例题 05 不先求系数的求和 知识清单例题

题目

(2024 北京) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 若函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(3, y_1)$ 和 $(-3, y_2)$ , 则 $y_1 + y_2$ 的值是 ____.

答案与解析

解析

由同一函数可写 $y_1=k/3$，$y_2=k/(-3)=-k/3$，因此 $y_1+y_2=0$。这是原点对称，不是关于纵轴对称。

本题结论

$0$。

6. 认准底高，再用面积割补

先把坐标化成正长度，确认所用图形是不是轴向矩形或轴三角形，再按包含、重叠关系相加或相减。反求系数时，面积给出绝对值，象限给出符号。

例题 06 两条双曲线之间的三角形 知识清单例题

题目

如图, 点 A 是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上一点, 过点 A 作 AB ⊥ x 轴, 垂足为 B, 线段 AB 交反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点 C, 则 $\triangle OAC$ 的面积为 ____.

题目所给图象

答案与解析

解析

设共同横坐标为 $x>0$。$AB=6/x$，$CB=2/x$，$OB=x$，所以

$$S_{\triangle OAB}=\frac12x\frac6x=3,\qquad S_{\triangle OCB}=\frac12x\frac2x=1.$$

$C$ 在线段 $AB$ 内，大三角形由 $\triangle OAC$ 与 $\triangle OCB$ 组成，故所求面积为 $3-1=2$。也可取 $AC=4/x$ 为底、原点到这条竖线的距离 $x$ 为高。

本题结论

$2$。

例题 07 由平行四边形求系数 知识清单例题

题目

(2024 黑龙江齐齐哈尔) 如图, 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过平行四边形 $ABCO$ 的顶点 $A, OC$ 在 $x$ 轴上, 若点 $B(-1,3), S_{\square ABCO} = 3$ , 则实数 $k$ 的值为 ____.

题目所给图象

答案与解析

解析

$AB\parallel OC$，所以 $A,B$ 同高 $3$。由面积 $3=OC\times3$ 得 $OC=1$。题图中 $C$ 位于正横轴，$AB=OC=1$，且 $A$ 在 $B$ 左侧，因此 $A(-2,3)$，从而 $k=(-2)\times3=-6$。

也可用割补说明面积意义：延长 $AB$ 交纵轴于 $D$，设 $BC$ 交纵轴于 $E$。$BD=OC=1$，$\angle BDE=\angle COE=90^\circ$，$\angle BED=\angle CEO$ 为对顶角，所以 $\triangle BED\cong\triangle CEO$。两图形扣除共有的四边形 $ABEO$ 后，剩余三角形面积相等，故 $S_{\triangle AOD}=S_{\square ABCO}=3$。

于是 $\lvert k\rvert=2\times3=6$，再由 $A$ 在第二象限取 $k=-6$。

延长边后作面积割补

本题结论

$k=-6$。

7. 交点条件先化为方程

公共点必须同时满足两式。过原点直线可直接研究 $x^2=k/m$；一般斜直线则化为二次方程，用判别式判断。不能只凭“图象经过同一象限”断言必有交点。

例题 08 无交点条件怎样确定符号 知识清单例题

题目

若函数 $y = -x$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象无交点，且 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象过点 $A(1, y_1), B(2, y_2)$ ，则 （）

A. $y_{1}<y_{2}$

B. $y_{1}=y_{2}$

C. $y_{1}>y_{2}$

D. $y_{1},y_{2}$ 的大小关系无法确定

答案与解析

解析

联立 $-x=k/x$，保留 $x\ne0$，得到 $-x^2=k$。若 $k<0$，两个非零实数 $x=\pm\sqrt{-k}$ 都给出交点；$k=0$ 又已被定义排除。因此无交点只能是 $k>0$。

两个横坐标都为正，$y_1=k$，$y_2=k/2$，所以 $y_1>y_2$，选 C。A 方向相反，B 会推出 $k=0$，D 忽略了无交点的约束。

本题结论

C。

8. 交点定式、轴截点分面积、零点分范围

先用完整交点确定双曲线，再恢复另一个交点，最后用两点确定直线。面积可借坐标轴截点拆分；比较函数值则另列交点与零输入的全部分界，逐段看上下关系。

例题 09 同一图中的三个任务 知识清单例题

题目

如图,已知反比例函数 $y=\frac{k_{1}}{x}(k_{1}\neq0)$ 与一次函数 $y=k_{2}x+b(k_{2}\neq0)$ 的图象交于 A(1,8), B(-4,m)

两点.

(1) 求 $k_{1}, k_{2}, b$ 的值.
(2) 求 $\triangle AOB$ 的面积.
(3)请直接写出不等式 $\frac{k_{1}}{x}\leqslant k_{2}x+b$ 的解集.

题目所给图象

答案与解析

解析

（1）由 $A(1,8)$ 得 $k_1=8$。$B$ 在双曲线上，故 $m=8/(-4)=-2$。两点代入直线：

$$\begin{cases}k_2+b=8,\\-4k_2+b=-2.\end{cases}$$

两式相减得 $5k_2=10$，所以 $k_2=2$，$b=6$。

（2）直线与纵轴交于 $C(0,6)$。$A,B$ 分居纵轴两侧，$C$ 在线段 $AB$ 内，两三角形共享底 $OC=6$，垂高分别为 $1,4$，所以 $S_{\triangle AOB}=6(1+4)/2=15$。

（3）要求 $8/x\le2x+6$，移项、通分为

$$\frac{2(x+4)(x-1)}x\ge0,\qquad x\ne0.$$

横坐标范围	分子符号	分母符号	商的符号
$x<-4$	正	负	负
$-4<x<0$	负	负	正
$0<x<1$	负	正	负
$x>1$	正	正	正

交点 $-4,1$ 可以取，零不能取。因此 $-4\le x<0$ 或 $x\ge1$。

本题结论

（1）$k_1=8,k_2=2,b=6$；（2）$15$；（3）$-4\le x<0$ 或 $x\ge1$。

9. 从题给的固定乘积建立模型

找出两个量相乘后保持的总量，或使用题目明确给出的比例关系。先统一单位，再写正范围；数值只适用于题目给定的条件，不能将特定模型推广为普遍规律。

例题 10 两种固定乘积 知识清单例题·合组

题目

第一组：（2024 山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 $v(\mathrm{m/s})$ 是载重后总质量 $m(\mathrm{kg})$ 的反比例函数。已知一款机器狗载重后总质量 $m=60\mathrm{kg}$ 时，它的最快移动速度 $v=6\mathrm{m/s}$ ；当其载重后总质量 $m=90\mathrm{kg}$ 时，它的最快移动速度 $v=$ ____ $\mathrm{m/s}$ 。

第二组：（2024 江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”。已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为FN，动力臂为l m。则动力F关于动力臂l的函数表达式为____。

答案与解析

解析

第一组：题目已规定反比例关系，设 $v=k/m$。由 $60\times6=360$ 得 $v=360/m$，所以总质量 $90$ 千克时，$v=360/90=4$ 米/秒。质量变为原来的 $3/2$ 倍，速度也正好变为原来的 $2/3$。

第二组：题给的平衡关系是 $Fl=1600\times0.5=800$。动力臂为正长度，故 $F=800/l$，$l>0$。$800$ 是力与力臂乘积的数值，不是固定的动力值。

本题结论

第一组：$4\ \mathrm{m/s}$。第二组：$F=800/l$，$l>0$，$F$ 的单位为牛，$l$ 的单位为米。

例题 11 总用电量不变时的变化 知识清单例题

题目

(2024 河北) 节能环保已成为人们的共识. 淇淇家计划购买 500 度电, 若平均每天用电 $x$ 度, 则能使用 $y$ 天. 下列说法错误的是 ( )

A. 若 $x = 5$ ，则 $y = 100$
B. 若 $y = 125$ ，则 $x = 4$
C. 若 $x$ 减小, 则 $y$ 也减小
D. 若 $x$ 减小一半, 则 $y$ 增大一倍

答案与解析

解析

$xy=500$，且 $x,y>0$。

• A：$y=500/5=100$，正确。
• B：$x=500/125=4$，正确。
• C：正分支内，$x$ 减小时 $y$ 增大，说二者都减小错误。
• D：$500/(x/2)=2(500/x)=2y$，变为原来的两倍，确实是增大一倍。

题目问错误的说法，故选 C。

本题结论

C。

10. 先翻译阈值，再反求另一个量

“时间不超过”先限制时间，“气压不超过”先限制气压；再代入反比例式。实际变量为正时，乘它不改变不等号方向。最后代回边界，判断它是否符合原来的严格或非严格要求。

例题 12 限时卸货 知识清单例题

题目

已知一艘轮船上装有 100 吨货物, 轮船到达目的地后开始卸货, 设平均卸货速度为 v (单位: 吨/时), 卸完这批货物所需的时间为 t (单位: 小时).

(1) 求 v 关于 t 的函数表达式.

(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨?

答案与解析

解析

（1）卸货速度乘卸货时间等于总货量，$vt=100$，所以 $v=100/t$，$t>0$。

（2）不超过 $5$ 小时指 $0<t\le5$。由 $t=100/v$，且 $v>0$，有

$$\frac{100}{v}\le5\quad\Longrightarrow\quad100\le5v\quad\Longrightarrow\quad v\ge20.$$

$v=20$ 时恰好用 $5$ 小时，符合题意，因此每小时至少卸 $20$ 吨。

本题结论

（1）$v=100/t$，$t>0$；（2）每小时至少卸 $20$ 吨。

例题 13 给定气压模型的边界 知识清单例题

题目

一气球内充满了一定质量的气体, 当温度不变时, 气球内气体的气压 $p(\mathrm{kPa})$ 是气体体积 $V(\mathrm{m}^{3})$ 的反比例函数, 其图象如图.

(1) 写出这一函数的解析式.

(2) 当气体体积为 $1 \, m^{3}$ 时, 气压是多少?

(3) 当气球内气体的气压大于 140 kPa 时, 气球将爆炸. 为安全起见, 气体的体积应不少于多少?

气压与体积的题设关系图

答案与解析

解析

（1）按题目指定的反比例关系设 $p=k/V$。图上 $A(0.8,120)$ 给 $k=0.8\times120=96$，所以 $p=96/V$，$V>0$。

（2）$V=1$ 时，$p=96\ \mathrm{kPa}$。

（3）题设危险条件为 $p>140$。在这一理想模型内，不触发该条件需 $p\le140$，故

$$\frac{96}{V}\le140\quad\Longrightarrow\quad V\ge\frac{96}{140}=\frac{24}{35}.$$

边界对应 $p=140$，原题允许等号。以上只是在题设模型中解不等式，不是现实气球的安全操作依据。

本题结论

（1）$p=96/V$，$V>0$；（2）$96\ \mathrm{kPa}$；（3）体积不少于 $\frac{24}{35}\ \mathrm{m^3}$。

三、坑点 条件与辨析

1. 把整量拆掉，关系就变了

分母里出现 $x$，不代表所问的两个量一定成反比例。先写出它们的乘积，检查是否真的恒定；不要把 $y+1$ 当成 $y$，也不要把 $x^2$ 当成 $x$。

辨析 01 判断四个比例关系 知识清单辨析·去除题面答案

题目

判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）在 $y=1/x-1$ 中，$y+1$ 与 $x$ 成反比例关系。

（2）在 $xy=-2$ 中，$y$ 与 $1/x$ 成正比例关系。

（3）在 $y=1/(2x^2)$ 中，$y$ 与 $x$ 成反比例关系。

（4）在 $xy=-3$ 中，$y$ 与 $x$ 成反比例关系。

答案与解析

解析

（1）移项得 $y+1=1/x$，所以 $(y+1)x=1$，正确。

（2）$y=-2(1/x)$，以整体 $1/x$ 为输入，是正比例关系，正确。

（3）$xy=1/(2x)$ 随输入改变，并非常数，错误；恒定的其实是 $yx^2=1/2$。

（4）$xy=-3$ 是非零恒定乘积，正确。

本题结论

（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）正确。

2. 指数与系数是两道条件

解指数方程只得到候选值。把候选代回整个系数，排除使系数为零的值，再检查原式是否有意义。

辨析 02 参数是否全部保留 知识清单例题

题目

(1) 若函数 $y=\frac{|m|-2}{x}$ 是反比例函数, 则 m 的取值范围为 ____.

(2) 设 $y=(n+1)x^{n^{2}+n-1}$ ，当 n= ____ 时，y 是 x 的反比例函数.

答案与解析

解析

（1）$\lvert m\rvert-2\ne0$，所以 $m\ne2$ 且 $m\ne-2$。排除的不是 $m=0$。

（2）指数条件为 $n^2+n-1=-1$，即 $n(n+1)=0$，候选 $n=0,-1$。还要满足 $n+1\ne0$，故排除 $-1$，只保留 $0$。代入得到 $y=1/x$，符合定义。

本题结论

（1）$m\ne\pm2$；（2）$n=0$。

3. 不能跨零套用单调性

把“每支递增”误写成“所有非零输入上都递增”，会把正输出排在负输出下面。先按符号分组，再比较同支的两个值。

辨析 03 负横坐标和正横坐标混合排序 知识清单例题

题目

（2024山东济宁）已知点 $A(-2, y_1), B(-1, y_2), C(3, y_3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $y_1, y_2, y_3$ 的大小关系是 （）

A. $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

B. $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

C. $y_{3}< y_{1}< y_{2}$

D. $y_{3}<y_{2}<y_{1}$

答案与解析

解析

$k<0$，所以负横坐标对应的 $y_1,y_2$ 为正，而 $y_3=k/3<0$，先知 $y_3$ 最小。

在负分支，$-2<-1$，函数递增，故 $y_1<y_2$。也可直接写 $y_1=-k/2$、$y_2=-k$，因为 $-k>0$，前者只有后者的一半。

因此只有 C 的整个次序都正确；D 虽把 $y_3$ 放在最小位置，却颠倒了另外两项。

本题结论

C，即 $y_3<y_1<y_2$。

4. 两份面积中的重叠要分别处理

先列每个完整图形由哪些部分组成。求并集只扣一份重叠；若两份完整面积中都要除去阴影，就应各扣一份，不能混淆两种任务。

辨析 04 求非阴影面积之和 知识清单例题

题目

如图, A, B 两点在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 上, 分别过 A, B 两点向坐标轴作垂线段. 已知 $S_{\text{阴影}} = 1$ , 则 $S_{1} + S_{2} =$ ____.

题目所给图象

答案与解析

解析

两个轴向矩形的面积都是 $\lvert k\rvert=4$。由图中分解，$S_1+1=4$，$S_2+1=4$，因此

$$S_1+S_2=4+4-2\times1=6.$$

$4+4-1=7$ 算的是两矩形并集，仍含一份阴影，不是题目所求。

本题结论

$6$。

5. 无公共点不包括相切

斜直线联立为二次方程后，“无交点”要求判别式严格小于零。等于零仍有一个交点；直线若退化成水平线，则先另作分类，不能继续套二次判别式。

辨析 05 检查无交点的参数边界 知识清单例题

题目

若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 与一次函数 $y=x+2$ 的图象没有公共点, 求 k 的取值范围.

答案与解析

解析

联立 $k/x=x+2$，乘非零 $x$ 得 $x^2+2x-k=0$。由于 $k\ne0$，$x=0$ 不是根，所以实根与交点一一对应。

无交点要求 $\Delta=4+4k<0$，解得 $k<-1$。若取 $k=-1$，方程成为 $(x+1)^2=0$，仍有合法交点 $(-1,1)$，不能收等号。

本题结论

$k<-1$。

6. 不等号的等号不允许分母为零

交点和零输入来自不同条件：前者比较的是两函数值能否相等，后者决定函数是否有意义。读图时即使两个交点之间跨过零，也必须把它断开。

辨析 06 直线较低时怎样读取范围 知识清单例题

题目

(2024 山东威海) 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y_1 = ax + b (a \neq 0)$ 与双曲线 $y_2 = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于点 $A(-1, m), B(2, -1)$ . 则满足 $y_1 \leqslant y_2$ 的 $x$ 的取值范围为 ____.

题目所给图象

答案与解析

解析

由 $B(2,-1)$ 得 $k=-2$，故 $A(-1,2)$。直线经过两点，斜率为 $(-1-2)/(2+1)=-1$，截距为 $1$，所以 $y_1=1-x$。

题目要求 $1-x\le-2/x$，通分、乘常数 $-1$ 后可写为

$$\frac{(x-2)(x+1)}x\ge0,\qquad x\ne0.$$

分界是 $-1,0,2$。从左到右四段的商符号依次为负、正、负、正，因此取 $-1<x<0$ 或 $x>2$。原比较含等号，两个交点可取；零仍不能取。

本题结论

$-1\le x<0$ 或 $x\ge2$。

7. 周期计时和严格阈值要分别检查

先算完整周期，再求升温和降温两次穿过阈值的时刻。跨轮等待等于本轮剩余时间加下一轮升温时间；但算出临界长度后，还须把末端温度代回“高于”这一严格要求。

辨析 07 重复加热中的等待问题 知识清单例题

题目

教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃停止加热,水温开始下降,此时水温 $y(\mathrm{C})$ 与开机后用时 $x(\mathrm{min})$ 成反比例关系,直至水温降至30℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源,水温 $y(\mathrm{C})$ 与时间 $x(\mathrm{min})$ 的关系如图所示.

(1) 分别写出水温上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式.
(2)怡萱同学想接高于50℃的热水,请问她最多需要等待多长时间?

题目所给图象

答案与解析

解析

（1）先看第一轮，令 $x$ 为本轮开机后的分钟数。初温 $30{}^\circ\mathrm C$，每分钟升温 $10{}^\circ\mathrm C$，所以升温式为 $y=10x+30$。到 $100{}^\circ\mathrm C$ 时，$10x+30=100$，得 $x=7$。

冷却阶段按题意仍用本轮开机时间作输入，设 $y=a/x$，由 $(7,100)$ 得 $a=700$。降至 $30{}^\circ\mathrm C$ 时 $700/x=30$，得 $x=70/3$。因此第一轮为

$$y=\begin{cases}10x+30,&0\le x\le7,\\700/x,&7<x\le70/3.\end{cases}$$

一轮长 $L=70/3$ 分钟。累计时间经过 $n$ 个整周期后，令本轮局部时间 $u=t-nL$，再用同样的分段式；不能将累计时间直接代入 $700/x$，也不能在冷却刚开始时把分母计时清零。

（2）升温到 $50{}^\circ\mathrm C$ 时，$10u+30=50$，得 $u=2$；冷却到 $50{}^\circ\mathrm C$ 时，$700/u=50$，得 $u=14$。因此本轮严格高于 $50{}^\circ\mathrm C$ 的时间是 $2<u<14$。

从本轮 $u=14$ 到下一轮 $u=2$，相隔

$$L-14+2=\frac{70}{3}-14+2=\frac{34}{3}\text{ 分钟}.$$

检查端点：如果恰在本轮 $u=14$ 到达，等 $34/3$ 分钟后水温仍恰为 $50{}^\circ\mathrm C$，并没有满足“高于”。还需再等任意小的正时间，在连续理想模型中不存在可取得的最早合格时刻。

所以 $34/3$ 只能作为低温间隔的临界长度，不能断言按原题严格条件恰等这么久就一定够。若改为“不低于 $50{}^\circ\mathrm C$”，每次到达后的最早合格时刻可以取到，但 $34/3$ 仍只是所有到达时刻等待长度的上界：恰在 $u=14$ 到达时已可立即接水，稍晚到达才要跨轮等待，而等待长度严格小于 $34/3$，只能无限接近它。因此也不能把它称为可取得的最大值。这里仅比较条件差别，不改变本题原措辞，也不凭空加固定秒数。

本题结论

（1）第一轮 $y=10x+30$，$0\le x\le7$；$y=700/x$，$7<x\le70/3$，以后按每轮局部时间重复。

（2）临界低温间隔为 $34/3$ 分钟；原题“高于 $50{}^\circ\mathrm C$”的严格端点使它不是可直接取得的最大等待答案。

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