轴对称

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镜像不是只看轮廓相似。找到真正对应的点，确认折痕垂直平分它们的连线，才能把折叠中的长度、角度和最短路线一项项转化。

一、知识点概念与依据

1. 两图成轴对称与一个轴对称图形

判断对象	含义	要检查的内容
两个图形成轴对称	沿某条直线翻折，一个图与另一个完全重合	按指定对应关系核对所有点
一个轴对称图形	沿某条直线翻折，它与自身完全重合	外边界、内线、孔洞与阴影都须重合

这条直线叫作对称轴。对称轴是完整直线，不是射线，也不是线段。角的对称轴是角平分线所在直线，圆的对称轴是直径所在直线。

关于同一轴反射两次，点回到原位，所以对应关系可逆。两图互为镜像时，把它们合起来看，整体关于该轴对称；但其中任意一个单独的图不一定自身轴对称。

2. 对应点与垂直平分线

轴外点 $A$ 的像 $A'$ 满足：轴 $l$ 垂直平分 $AA'$ 。设垂足为 $H$ ，则 $A,H,A'$ 共线， $HA=HA'$ ，且 $A,A'$ 在轴的两侧。轴上点不移动，与自己对应。

为什么点像唯一？ 过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足 $H$ 唯一；在另一侧的同一射线上取 $HA'=HA$ ，便唯一确定 $A'$ 。

找两图之间的轴，可先取一对不同对应点连线的中垂线，再检查其余对应点。已有一对不同对应点及配对时，这条候选轴唯一；若只给两个点集而不固定配对，不能无条件说镜轴必只有一条。

3. 反射保持什么

对应边相等，对应角相等，两图全等，面积相等。
不同对应点的连线被轴垂直平分。
两条不同的对应直线若相交，交点在轴上；它们也可能平行或重合，并非延长后一定相交。

保长的依据： 把轴看作竖直方向，两点的沿轴位置差不变，垂直轴的有向距离之差变为相反数。距离平方是这两个差的平方和，变号不改变平方，故两点距离不变。三角形的三边分别保持，由 SSS 得全等，角也相等。

若两条对应直线有唯一交点 $X$ ，反射把两线交换，其唯一交点仍是 $X$ ；固定点在轴上，因此 $X$ 在轴上。重合直线不满足“唯一交点”，不能套这个论证。

4. 常见图形的轴数

图形	对称轴	数量
小于180°的角	角平分线所在直线	1
非等边的等腰三角形	底边中垂线	1
等边三角形	各边中垂线	3
等腰梯形	两底中点连线所在直线	1
非正方形的矩形	两组对边中点连线所在直线	2
正方形	两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线	4
正 $n$ 边形	经过中心并把顶点、边成对对应的直线	$n$
圆	任意过圆心的直线	无数条

等腰包含等边，矩形包含正方形。因此，谈“恰有几条轴”时，不能遗漏特殊情形。

5. 按顶点作镜像

找关键点，包括所有顶点及需要保留的内线端点。
轴外点作轴的垂线，在另一侧截取相等的垂距；轴上点保留。
按原来的连接顺序连接像点，不自行改变边或内线。

由不同对应点连线的中垂性质，每个点的作法都有依据；整图重合要求所有点使用同一条轴。

6. 坐标中的反射

对称轴	点 $(x,y)$ 的像	理由
$x$ 轴	$(x,-y)$	横向位置不变，纵向垂距变号
$y$ 轴	$(-x,y)$	纵向位置不变，横向垂距变号
水平直线 $y=k$	$(x,2k-y)$	两纵坐标平均数为 $k$
竖直线 $x=h$	$(2h-x,y)$	两横坐标平均数为 $h$
直线 $y=x$	$(y,x)$	横纵方向交换，对应连线垂直于轴且中点在轴上
直线 $y=-x$	$(-y,-x)$	交换横纵方向后同时变号

前两行是常用规则。后四行可由“中点在轴上、连线垂直于轴”核查，不必脱离图形硬记。轴上的点按规则仍为原来的点，例如 $(a,0)$ 关于 $x$ 轴不动。

7. 最短折路：下界与取到下界

点 $P$ 必须在直线 $l$ 上时，把固定点 $A$ 反射为 $A'$ ，对每个合法 $P$ 都有 $PA=PA'$ ，因而

PA+PB=PA'+PB\ge A'B.

这只证明了下界。要成为最小值，还须找到合法 $P$ ，使 $A',P,B$ 共线且 $P$ 在两端之间。若直线交点在线段允许范围外，或者多次经过道路的先后顺序不符，便不能取等。

最小值证明要同时回答：任何路线为什么不更短？哪一条允许的路线恰好达到这个长度？

二、考点先方法，后例题

1. 识别整图与核对对应量

先分清是一个图自身对称，还是两个图互为镜像。看清内线及阴影；给出字母配对时，把边的两个端点、角的顶点和两条边一起对应，再判断结论。

例题 01 仪器示意图的对称性知识清单例题

题目

（2024 重庆 A）下列四种化学仪器的示意图中，哪一幅是轴对称图形？

答案与解析

解析

A 的灯芯等内线偏向一侧；B 的杯嘴只在一侧；D 的导管弯向一侧，均不能整图翻折重合。C 沿中央竖直线翻折，全部线条成对重合。判断的是所给示意图，而不是所有同名实物。

本题结论

选 C。

例题 02 由配对检验四个结论知识清单例题

题目

如图, $\triangle ABC$ 与 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 关于直线MN对称, $BB^{\prime}$ 交MN于点O,则下列说法中一定正确的有____.

① $AC=A'C'$ ; ② $AB\parallel B'C'$ ;
③ $BB'\perp MN$ ; ④BO= $B'O$ .

答案与解析

解析

① $AC$ 对应 $A'C'$ ，正确。② $AB$ 对应 $A'B'$ ，不是 $B'C'$ ，给出的平行关系不能保证。③④由轴 $MN$ 垂直平分 $BB'$ 同时得到。

本题结论

一定正确的是①③④。

2. 坐标反射与含参条件

先确定轴，再写“哪一个坐标相等、哪两个坐标相加为零”。含参题由这些几何关系列方程组；独立小问分别重列，不能沿用前一问的参数值。

例题 03 同一对点的两种对称条件知识清单例题

题目

已知点 $M(2a-b,5+a)$ , $N(2b-1,-a+b)$ .

(1) 若 M、N 关于 x 轴对称, 求 a, b 的值.
(2) 若 M、N 关于 y 轴对称, 求 $(b+2a)^{2025}$ 的值.

答案与解析

解析

（1）关于 $x$ 轴对称：

\begin{cases}2a-b=2b-1,\\(5+a)+(-a+b)=0.\end{cases}

第二式给 $b=-5$ ，代入第一式得 $2a=-16$ ，故 $a=-8$ 。回代两点为 $(-11,-3)$ 、 $(-11,3)$ 。

（2）关于 $y$ 轴对称：

\begin{cases}(2a-b)+(2b-1)=0,\\5+a=-a+b.\end{cases}

即 $2a+b=1$ 、 $2a-b=-5$ ，相加得 $a=-1$ ，再得 $b=3$ 。所以 $(b+2a)^{2025}=1^{2025}=1$ 。

本题结论

（1） $a=-8,b=-5$ ；（2）所求值为 $1$ 。

3. 折叠求角：固定折痕，找原角的像

折痕上的点不动，被折点移到像点。先标明原角对应到哪个顶点，再结合图中共线点序，用内角和、外角或邻补角继续求解。折后角相等并不意味着所有相邻小角都相等。

例题 04 沿折痕翻折后的角知识清单例题

题目

如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$ , 沿 $CD$ 折叠 $\triangle CBD$ , 使点 $B$ 恰好落在 $AC$ 边上的点 $E$ 处. 若 $\angle A = 28^{\circ}$ , 求 $\angle ADE$ 的度数.

答案与解析

解析

原三角形中 $\angle B=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ$ 。折痕上的 $C,D$ 固定， $B$ 对应 $E$ ，故 $\angle DEC=\angle DBC=62^\circ$ 。

$A,E,C$ 按序共线， $\angle DEC$ 是 $\triangle ADE$ 的外角，所以 $\angle DEC=\angle DAE+\angle ADE$ 。由 $\angle DAE=28^\circ$ ，得 $\angle ADE=34^\circ$ 。

本题结论

$\angle ADE=34^\circ$ 。

4. 折叠求长与周长

求线段时，用折叠对应等长把未知量转到原边，再找直角三角形列勾股方程，最后检查根是否符合点的位置。

求周长时，先沿所求区域的边界走一圈列出各段，再用对应等长替换。内部折痕不算周长，面积相等也不能推出周长相等。

例题 05 折点落在三角形内部的斜线上知识清单例题

题目

(2024 江苏常州) 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6, BC=4, D 是边 AC 的中点, E 是边 BC 上一点, 连接 BD、DE. 将 △CDE 沿 DE 翻折, 点 C 落在 BD 上的点 F 处, 则 CE= ____.

答案与解析

解析

$D$ 为中点， $CD=3$ ；直角 $\triangle BCD$ 中 $BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。折叠使 $DF=DC=3$ 、 $EF=EC$ ，于是 $BF=5-3=2$ 。

设 $CE=x$ ，则 $EF=x$ ， $BE=4-x$ ，并且 $0<x<4$ 。原 $C$ 处的直角对应到 $F$ ； $B,F,D$ 共线，故 $\triangle BFE$ 为直角三角形：

x^2+2^2=(4-x)^2.

两侧同减 $x^2$ ，得 $4=16-8x$ ，所以 $x=\frac32$ 。回验 $1.5^2+2^2=2.5^2$ 且 $0<1.5<4$ ，与位置相符。

本题结论

$CE=\dfrac32$ 。

例题 06 阴影边界中的等长替换知识清单例题

题目

如图,等边 $\triangle ABC$ 的边长为1 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将 $\triangle ADE$ 沿直线DE折叠,点A落在点 $A'$ 处,且点 $A'$ 在 $\triangle ABC$ 外部,求阴影部分的周长.

答案与解析

解析

按图，阴影外边界各段为 $BC,BD,DA',A'E,EC$ ； $DE$ 在内部，不计入。

折叠给 $DA'=DA$ 、 $A'E=AE$ 。因为 $D$ 在线段 $AB$ 上、 $E$ 在线段 $AC$ 上，

\begin{aligned}L&=BC+BD+DA'+A'E+EC\\&=BC+(BD+DA)+(AE+EC)\\&=BC+AB+AC=3\text{ cm}.\end{aligned}

这里是沿题图边界替换长度，并不是认为阴影整体与原三角形全等。

本题结论

阴影部分的周长为 3 cm。

5. 一条轴上的最短路线

把一个固定端点反射到轴另一侧，连接像点与另一个端点。先用三角不等式证明下界，再检查交点位于题目允许的直线、射线或线段上。

例题 07 经过水平直线的路线知识清单例题

题目

（2024四川成都）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A(3,0)$ ， $B(0,2)$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 $l, P$ 为直线 $l$ 上一动点，连接 $PO, PA$ ，则 $PO + PA$ 的最小值为 ____.

答案与解析

解析

$l$ 为 $y=2$ 。把 $O$ 关于 $l$ 反射为 $O'(0,4)$ ，任意 $P\in l$ 有 $PO=PO'$ ，因此 $PO+PA\ge O'A$ 。

$O'A=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。线段 $O'A$ 与 $y=2$ 交于 $P(\frac32,2)$ ，该点在两个端点之间，能取等号。

本题结论

最小值为 $5$ ，在 $P(\frac32,2)$ 处取得。

例题 08 动点限制在线段上知识清单例题

题目

如图,等边 $\triangle ABC$ 中,D为 $AC$ 的中点,点 $P\text{、}Q$ 分别为线段 $AB\text{、}AD$ 上的点,且 $BP=AQ=4,QD=3$ ,在 $BD$ 上有一动点 $E$ ,则 $PE+QE$ 的最小值为____.

答案与解析

解析

等边三角形中，底边中线 $BD$ 也是对称轴。 $AD=AQ+QD=7$ ，所以 $AC=AB=14$ ， $AP=14-4=10$ 。

把 $Q$ 关于 $BD$ 反射为 $Q'$ 。 $Q'$ 在线段 $DC$ 上， $DQ'=3$ ，故 $AQ'=7+3=10$ 。 $AP=AQ'=10$ 且夹角 $60^\circ$ ，所以 $\triangle APQ'$ 等边， $PQ'=10$ 。

对线段 $BD$ 上任意 $E$ ， $PE+QE=PE+Q'E\ge PQ'=10$ 。 $P$ 在 $AB$ 内部， $Q'$ 在 $DC$ 内部，位于 $BD$ 两侧；三角形的凸性保证线段 $PQ'$ 与 $BD$ 的交点仍在 $BD$ 内，能取等号。

本题结论

最小值为 $10$ 。

6. 两条轴与固定边的最短路线

分别反射起点和终点，把必须依次经过两条直线的三段折路展开。候选连接线必须按实际路线顺序穿过两轴，才可取等。

模型	反射与下界	取等检查
$A\to C\to D\to B$ ， $C\in l_1,D\in l_2$	$A$ 关于 $l_1$ 反射为 $A'$ ， $B$ 关于 $l_2$ 反射为 $B'$ ；总长 $\ge A'B'$	$A',C,D,B'$ 同线同向排列
$\triangle PMN$ ， $M\in l_1,N\in l_2$	$P$ 分别反射为 $P',P''$ ；周长 $\ge P'P''$	$P',M,N,P''$ 同线同向排列，且三角形非退化
四边形 $PMNQ$ ， $P,Q$ 固定	分别反射 $P,Q$ 得 $P',Q'$ ；周长 $\ge P'Q'+PQ$	$P',M,N,Q'$ 同线同向，四边形符合原位置要求