相交线与平行线

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先认清是哪几条线、哪一对角，再使用数量关系。对顶角的位置本身保证相等；同位角的位置本身却不保证相等，还需要两条被截线平行。

一、知识点概念与依据

1. 相交、垂直与平行

同一平面内，两条不同直线只有相交、平行两种位置关系。垂直是相交的特殊情形，不是与相交并列的第三类。

关系	定义与记法	必须保留的条件
相交	两条不同直线有一个公共点	两个不同公共点会使两线重合
垂直	相交形成的四个角中，有一个为直角，记 $a\perp b$	此时四个角都是直角，交点叫垂足
平行	同一平面内，两条不同直线不相交，记 $a\parallel b$	讨论整条直线，不是纸上画出的短线段

线段、射线互相垂直或平行，通常指它们所在直线的关系。短线段暂时没有交点，不足以说明平行；重合也不叫两条不同直线平行。

过给定点作线	存在与唯一	点的位置
作已知直线的垂线	有且只有一条	在线上、线外都可以
作已知直线的平行线	有且只有一条	必须在已知直线外

这里唯一的是“经过这个固定点的线”。不限制经过哪个点，一条直线的垂线、平行线都可以有无数条。

2. 怎样用工具画垂线和平行线

这些是三角尺、直尺或量角器的工具画法，不等同于只用无刻度直尺和圆规的尺规作图。画出的图帮助实现关系，不能用一次画图代替基本事实的普遍性。

过点作垂线：落、移、画。

把三角尺的一条直角边落在已知直线上。
沿已知直线移动，使另一条直角边经过给定点。
沿这条边画直线，标出垂足与直角。垂足可能在原线段的延长线上。

也可用量角器：让 $0^\circ$ 刻度线与已知直线重合，移动到 $90^\circ$ 刻度线通过给定点，再沿此方向画线。

过线外点作平行线：落、靠、移、画。

三角尺的一边落在已知直线上。
用直尺紧靠三角尺的另一边，固定直尺。
沿直尺平移三角尺，使原来贴线的边通过给定点。
沿这条边画线。平移保持对应角不变，依据是同位角相等可判平行。

正方形网格上也能借全等三角形构造垂线。这需要说明所取横、纵格数及全等依据，不能只凭斜线“看起来像直角”；全等的构造方法放在全等三角形一章。

3. 垂线、垂线段与距离

从直线外一点 $P$ 向直线 $l$ 作垂线，垂足为 $O$ 。

对象	它是什么	是否为一个长度数值
过 $P,O$ 的垂线	两向无限延伸的直线	否
垂线段 $PO$	从给定点到垂足的线段	否
$P$ 到 $l$ 的距离	垂线段 $PO$ 的长度	是

连接 $P$ 与 $l$ 上各点的所有线段中，垂线段最短。若给定点就在直线上，它到该直线的距离为 $0$ 。

两点间的距离与点到直线的距离都用线段的长度表示，但允许选择的终点不同：前者两端固定，后者一端可以在整条直线上选择。垂足在线段的延长线上仍然有效，不应把“到直线”误改成“到线段内部”。

4. 对顶角与邻补角

角对	位置条件	数量关系
对顶角	公共顶点；两边分别是另一角两边的反向延长线	相等
邻补角	一条公共边；另外两边互为反向射线	和为 $180^\circ$
互补的两个角	不要求相邻，也不要求公共顶点	只要求和为 $180^\circ$

为什么对顶角相等？ 在第一幅图中， $\angle1$ 与 $\angle3$ 邻补， $\angle2$ 与 $\angle3$ 也邻补，所以

\angle1=180^\circ-\angle3=\angle2.

这是“同角的补角相等”的应用。反过来，两个角相等不保证它们是对顶角；两个角互补也不保证是邻补角，位置条件不能由数值补出来。

5. 同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截，第三条线叫截线，另外两条叫被截线。识别一对角时，先找两角中共线的边，再看另外两边属于哪两条线。

角对	相对于截线	相对于两条被截线	帮助观察的形状
同位角	同侧	相同的对应位置	F形及其旋转、翻折
内错角	异侧	都在两被截线之间	Z形及其旋转、翻折
同旁内角	同侧	都在两被截线之间	U形及其旋转、翻折

在一套通常的三线八角图中，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对。复杂图中会有多套截线，必须重新定位，不能给某一个标号永久指定“内错角”的身份。

这些名称首先描述位置，不自带相等或互补的结论。是否能写角度关系，还要查有没有平行或其他已知条件。

6. 平行线的判定与性质

所用角对	判定：从角关系到线关系	性质：从线关系到角关系
同位角	同位角相等，两被截线平行	两被截线平行，同位角相等
内错角	内错角相等，两被截线平行	两被截线平行，内错角相等
同旁内角	同旁内角互补，两被截线平行	两被截线平行，同旁内角互补

同位角相等判平行是基本判据。把内错角换成对顶角，可转为同位角相等；把同旁内角的一角换成邻补角，也可转为同位角相等。三个判定并不是互不相关的口诀。

性质为什么成立？ 过第二交点作一条与截线形成对应等角的候选线，由同位角判据，它平行于第一条被截线。原来的第二条线也过该点且与第一条线平行，由唯一性，两线重合，所以原同位角相等。再用对顶角、邻补角，便得到其余两条性质。

还有两条常用关系，均限制在同一平面内：

平行的传递：两条不同直线都平行于第三条线，则它们互相平行。若它们相交，交点处就有两条平行于第三线的直线，与唯一性矛盾。
共同垂线：两条不同直线都垂直于同一直线，则它们互相平行。把共同垂线当截线，对应的直角都是 $90^\circ$ ，由同位角相等判定。

7. 交点的最大数与计数条件

同一平面内 $n$ 条不同直线， $n\ge2$ 且为整数，最多有 $\dfrac{n(n-1)}2$ 个不同交点。

第 $k$ 条线与前 $k-1$ 条线至多各交一次，新增交点至多 $k-1$ 个。于是总数上限为

S=1+2+\cdots+(n-1),\qquad 2S=n(n-1).

也可按线对计数：选第一条有 $n$ 种，第二条有 $n-1$ 种，交换顺序重复一次，所以除以2。达到上限还需无两线平行、无三线共点，否则线对数不等于不同交点数。

若允许所有线互相平行，最少是0个交点；若要求两两相交，可以共点时最少是1个。不能忽略题目的限制统一回答“最少1个”。在无平行、无三线共点的最大布局中，每个交点有2对对顶角、4对邻补角，所以相应为 $n(n-1)$ 对、 $2n(n-1)$ 对；多线共点时不能简单按不同交点数乘2或乘4。

二、考点方法先于例题

1. 垂直条件：先找整个直角，再做和差

先把垂直翻译成有名称的 $90^\circ$ 角。核对内部射线顺序，把倍数、平分关系放进对应的整体；证明垂直时反向进行，先证明两条射线所夹角是直角，再写垂直结论。

例题 01 直角中的倍数与平分知识清单例题

题目

如图, $OA \perp OD$ , $\angle AOC = 3\angle COD$ , $OC$ 平分 $\angle BOD$ , 求 $\angle AOB$ 的度数.

答案与解析

解析

设 $\angle COD=x$ 。由 $OA\perp OD$ 及图中的角包含关系， $\angle AOC+\angle COD=90^\circ$ ，所以

3x+x=90^\circ\Rightarrow x=22.5^\circ.

$OC$ 平分的是 $\angle BOD$ ，因此 $\angle BOD=2x=45^\circ$ 。目标在直角的剩余部分， $\angle AOB=90^\circ-45^\circ=45^\circ$ 。

本题结论

$\angle AOB=45^\circ$ 。

例题 02 给等角，说明两射线的位置关系知识清单例题

题目

如图, $CO \perp AB$ ,垂足为 O, $\angle AOE = \angle COF$ ,则 OE,OF 有什么位置关系?请说明理由.

答案与解析

解析

由 $CO\perp AB$ ，得 $\angle AOC=90^\circ$ 。图中 $OE$ 在 $\angle AOC$ 内， $OC$ 在 $\angle EOF$ 内，将已知等角两边同加 $\angle COE$ ：

\angle AOE+\angle COE=\angle COF+\angle COE.

左边是 $\angle AOC$ ，右边是 $\angle EOF$ ，所以 $\angle EOF=90^\circ$ 。由垂直的定义， $OE\perp OF$ 。

本题结论

$OE\perp OF$ ，交点为 $O$ 。

2. 最近路线：先分清终点固定还是可选

两端固定，就连接两点；终点可以在一条直线上任选，就向这条线作垂线。作图后还要逐问写出路线和依据，不能只用“最短”二字替代判断。

例题 03 车站、码头、铁路与河流知识清单例题

题目

如图所示,火车站、码头分别位于 A、B 两点,直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.

(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由.
(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由.
(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由.

答案与解析

解析

（1）连接 $AB$ ，沿线段 $AB$ 走。两端都固定，依据“两点之间，线段最短”。

（2）过 $B$ 作 $BE\perp b$ ，垂足为 $E$ 。终点可在铁路上选择，所以沿 $BE$ 走，依据“垂线段最短”。

（3）过 $A$ 作 $AF\perp a$ ，垂足为 $F$ 。沿 $AF$ 走，依据同上。这里按题给直线模型，不另设道路障碍。

本题结论

（1） $AB$ ；（2） $BE$ ；（3） $AF$ 。第一问依据线段最短，后两问依据垂线段最短。

3. 最大交点：逐次增加，并检查能否同时达到

每加一条直线，最多与每条旧线产生一个新交点。数完后要解释怎样避免平行和共点，而不是把任何布局都当作最大布局。

$l_{1}$ 和 $l_{2}$ 是同一平面内的两条相交直线, 它们有 1 个交点, 如果在这个平面内, 再画第三条直线 $l_{3}$ , 那么这 3 条直线最多可有 ____ 个交点; 如果在这个平面内, 再画第四条直线 $l_{4}$ , 那么这 4 条直线最多可有 ____ 个交点. 由此我们可以推测: 在同一平面内, 6 条直线最多可有 ____ 个交点, n (n 为大于 1 的整数) 条直线最多可有 ____ 个交点.

答案与解析

解析

第三条至多增加2个新交点，合计 $1+2=3$ ；第四条至多增加3个，合计 $1+2+3=6$ 。图示各交点分开，表明这些上限能够达到。

一般为 $n(n-1)/2$ ，代入 $n=6$ 得15。三条线全部共点只有一个交点，不能作为最大布局。

本题结论

依次填 $3$ 、 $6$ 、 $15$ 、 $\dfrac{n(n-1)}2$ 。

4. 换到目标所在区域，再决定减哪个角

对顶角相等可以把已知角换到另一侧。换过去以后，目标可能是直角的余下部分、平角的余下部分，或某个已知整体的一部分。若有平分线，先写它平分的角名，再除以2。

例题 05 直角与对顶角 2024 北京

题目

（2024 北京）如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O, OE ⊥ OC. 若 $\angle AOC = 58^{\circ}$ ，则 $\angle EOB$ 的大小为 ____

A. $29^{\circ}$

B. $32^{\circ}$

C. $45^{\circ}$

D. $58^{\circ}$

答案与解析

解析

$OC$ 与 $OD$ 反向， $OE\perp OC$ 也给出 $\angle EOD=90^\circ$ 。 $\angle BOD$ 与 $\angle AOC$ 是对顶角，故 $\angle BOD=58^\circ$ 。图中 $OB$ 在直角内部，所以

\angle EOB=90^\circ-58^\circ=32^\circ.

$29^\circ$ 是误把58减半； $45^\circ$ 需要直角被平分，而题目没有这项条件； $58^\circ$ 是中间角，不是目标。

本题结论

选 B， $32^\circ$ 。

例题 06 先半角，再邻补知识清单例题

题目

如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, OE 平分 $\angle DOB$ , 若 $\angle AOC = 70^{\circ}$ , 求 $\angle EOC$ 的度数.

答案与解析

解析

先由对顶角相等得 $\angle DOB=\angle AOC=70^\circ$ 。 $OE$ 平分 $\angle DOB$ ，所以 $\angle DOE=35^\circ$ 。

$OD$ 与 $OC$ 反向， $\angle DOE$ 与 $\angle EOC$ 邻补，因此 $\angle EOC=180^\circ-35^\circ=145^\circ$ 。应减半角，而不是直接减整个70°。

本题结论

$\angle EOC=145^\circ$ 。

例题 07 找包含目标的整个角 2024 山东日照

题目

（2024 山东日照）如图，直线 AB, CD 相交于点 O，若 $\angle1=40^{\circ}$ ， $\angle2=120^{\circ}$ ，则 $\angle COM$ 的度数为（）

A. ${70}^{ \circ }$

B. ${80}^{ \circ }$

C. ${90}^{ \circ }$

D. ${100}^{ \circ }$

答案与解析

解析

$\angle BOC$ 与图中 $\angle2$ 是对顶角，所以 $\angle BOC=120^\circ$ 。 $OM$ 在 $\angle BOC$ 内部，且 $\angle BOM=\angle1=40^\circ$ ，故

\angle COM=120^\circ-40^\circ=80^\circ.

没有垂直标记，不能把 $\angle COM$ 看作90°；也不能把相邻但不是目标组成部分的角随意相减。

本题结论

选 B， $80^\circ$ 。

5. 识别角对：每一对都重新找截线

先写角的两边，找到共线的一边作为截线，再看另外两边的位置。同一个角可以参与多套三线关系；要求“所有”角对时，按截线逐组检查，避免漏答。

例题 08 同旁内角不止一种选择知识清单例题

题目

如图, $\angle BAC$ 和 $\angle$ ____ 是直线 AB, BD 被直线 ____ 所截得的内错角; $\angle ACB$ 的同旁内角是 ____.

答案与解析

解析

$AB$ 、 $BD$ 被 $AC$ 所截时， $\angle BAC$ 与 $\angle ACD$ 都在两被截线之间、截线异侧，是内错角。

$\angle ACB$ 的同旁内角有两种：以 $AC$ 为截线，另一角是 $\angle BAC$ ；以 $BC$ 为截线，另一角是 $\angle ABC$ 。两套关系不能混为同一套。题目未给平行，所以这里只识别位置，不断言互补。

本题结论

依次填 $ACD$ 、 $AC$ ；同旁内角为 $\angle BAC$ 、 $\angle ABC$ 。

例题 09 六个标角中的全部角对知识清单例题

题目

在下图标出的 $\angle1$ 、 $\angle2$ 、 $\angle3$ 、 $\angle4$ 、 $\angle5$ 和 $\angle B$ 中，分别找出所有同位角、内错角和同旁内角。

答案与解析

解析

逐组抽出相关三条线，结果如下。表中“截线”是两角中共线边所在的直线，不一定是图中最显眼的一条。

角对	被截线	截线	类型
1与B	$AD,BE$	$BF$	同位
4与B	$AC,BF$	$BE$	同位
2与5	$AD,BE$	$AC$	内错
4与3	$BF,BE$	$AC$	内错
2与4	$AD,BE$	$AC$	同旁内角
3与5	$BF,BE$	$AC$	同旁内角
3与B	$AC,BE$	$BF$	同旁内角
B与5	$BF,AC$	$BE$	同旁内角

本题结论

同位角：1与B、4与B；内错角：2与5、4与3；同旁内角：2与4、3与5、3与B、B与5。

6. 从角到线，再从线到角

判定与性质的方向相反：判定用已知角关系证明平行，性质用已经成立的平行推出角关系。综合题逐行标明线对与截线，换了一套线组就重新识角。

从已知中找到等角或补角，建立第一组平行。
用这组平行产生需要的中间角关系。
与另一项已知等量代换，建立第二组平行或目标直角。
回到目标角名，确认没有停在中间结论。

例题 10 共同垂线之外还要用哪个条件知识清单例题

题目

如图, $AB \perp EF$ 于 $B, CD \perp EF$ 于 $D, \angle 1 = \angle 2$ .

(1)请说明 $AB \parallel CD$ 的理由。(2)试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？

答案与解析

解析

（1） $AB\perp EF$ 、 $CD\perp EF$ ，所以 $\angle ABE=\angle CDE=90^\circ$ 。它们是 $EF$ 截 $AB,CD$ 的同位角，因此 $AB\parallel CD$ 。

（2）由图中内部位置，

\angle MBE=90^\circ-\angle1,\qquad \angle NDE=90^\circ-\angle2.

已知 $\angle1=\angle2$ ，所以 $\angle MBE=\angle NDE$ 。这次被截线是 $BM,DN$ ，截线仍是 $EF$ ，由同位角相等得 $BM\parallel DN$ 。第一问的平行不能直接代替第二问。

本题结论

（1） $AB\parallel CD$ ；（2） $BM\parallel DN$ 。

例题 11 先求整角，再把半角移到目标知识清单例题

题目

如图所示,已知 $AD \parallel BC$ , BE 平分 $\angle ABC$ , $\angle A = 110^{\circ}$ . 求 $\angle ADB$ 的度数.

答案与解析

解析

先以 $AB$ 为截线： $AD\parallel BC$ 给 $\angle A+\angle ABC=180^\circ$ ，所以 $\angle ABC=70^\circ$ 。

$BE$ 平分 $\angle ABC$ ，图中 $B,D,E$ 在同一射线上，故 $\angle CBD=35^\circ$ 。再以 $BD$ 为截线： $\angle ADB$ 与 $\angle DBC$ 是内错角，因而 $\angle ADB=35^\circ$ 。

本题结论

$\angle ADB=35^\circ$ 。

例题 12 两次判平行，最后得到直角知识清单例题·题图去除推导标记

题目

如图,已知 $EF \perp BC, \angle1 = \angle C, \angle2 + \angle3 = 180^{\circ}$ . 求证: $\angle ADC = 90^{\circ}$ .

答案与解析

解析

按线组逐步推理：

步骤	推理	依据
1	$\angle1=\angle C\Rightarrow GD\parallel AC$	$BC$ 为截线，同位角相等
2	$\angle2=\angle DAC$	$AD$ 为截线，平行线内错角相等
3	$\angle DAC+\angle3=180^\circ$	用第2步替换已知中的 $\angle2$
4	$AD\parallel EF$	$AC$ 为截线，同旁内角互补
5	$\angle ADC=\angle EFC=90^\circ$	$BC$ 为截线，同位角相等； $EF\perp BC$

两组平行在图中可分别标记，但证明之前不能把它们当作已知。

本题结论

$\angle ADC=90^\circ$ 。

例题 13 从一条截线换到另一条 2024 内蒙古呼和浩特

题目

（2024 内蒙古呼和浩特）如图，直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 被直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ 所截， $\angle1=\angle2=130^{\circ},\angle3=75^{\circ}$ ，则 $\angle4$ 的度数为（）

A. $75^{\circ}$

B. $105^{\circ}$

C. $115^{\circ}$

D. $130^{\circ}$

答案与解析

解析

先以 $l_3$ 为截线， $\angle1=\angle2$ 是同位角相等，所以 $l_1\parallel l_2$ 。

再改用 $l_4$ 。把 $\angle3$ 换成同一交点的对顶角，它与 $\angle4$ 同旁内角互补，所以 $\angle4=180^\circ-75^\circ=105^\circ$ 。

$130^\circ$ 用于第一套截线的判定，不应直接参与第二套截线的角度运算； $75^\circ$ 是已知角，不是所求补角。

本题结论

选 B， $105^\circ$ 。

7. 折线换位置，辅助射线也要重新选

两条平行线之间有折线时，过拐点作共同平行线，把目标分成能沿两条截线换算的角。选择进入目标角内部的辅助射线，分别判断是等角还是补角，然后做和差。拐点换了区域，旧关系式不一定继续成立。

例题 14 同一折线的三幅图知识清单例题

题目

图1中 $AB\parallel CD$ ， $E$ 在两平行线之间。过 $E$ 作 $EF\parallel AB$ ，可得 $EF\parallel CD$ 。于是 $\angle B=\angle BEF$ ， $\angle C=\angle CEF$ ，所以 $\angle B+\angle C=\angle BEC$ 。

（1）若点 $E$ 移到图2的位置，其他条件不变， $\angle B$ 、 $\angle C$ 、 $\angle BEC$ 有什么关系？证明你的结论。

（2）图3中 $AB\parallel DC$ ， $\angle C=120^\circ$ ， $\angle AEC=80^\circ$ ，求 $\angle A$ 。

答案与解析

解析

（1）过 $E$ 向左作 $EF\parallel AB$ ，由平行传递也有 $EF\parallel DC$ 。两套截线分别给

\angle B+\angle BEF=180^\circ,\qquad \angle C+\angle CEF=180^\circ.

$EF$ 在 $\angle BEC$ 内，将两式相加，得 $\angle B+\angle C+\angle BEC=360^\circ$ 。

（2）同样过 $E$ 向左作 $EF\parallel AB\parallel DC$ 。 $\angle C$ 与 $\angle CEF$ 是同旁内角，故 $\angle CEF=60^\circ$ 。从整体 $\angle AEC$ 中扣去它，得 $\angle AEF=80^\circ-60^\circ=20^\circ$ 。再由内错角相等得 $\angle A=20^\circ$ 。

本题结论

（1） $\angle B+\angle C+\angle BEC=360^\circ$ ；（2） $\angle A=20^\circ$ 。

三、坑点辨析与边界

1. 看到了直角，不等于找对了距离

距离题要同时检查三个对象：从哪个点出发、垂足在哪条直线上、直角夹在哪两条线之间。垂足在线段之外不是错误；垂直了另一条线才是对象错误。

辨析 01 点A到直线BC的距离知识清单例题·改编，明确距离为长度

题目

以下哪幅图中的垂线段长度表示点 $A$ 到直线 $BC$ 的距离？

答案与解析

解析

A中的 $BD$ 表示 $B$ 到直线 $AC$ 的距离；B中的 $AD$ 从 $A$ 出发、垂直于直线 $BC$ ，垂足 $D$ 虽在延长线上仍有效；C中 $AD\perp AB$ ，不是垂直 $BC$ ；D中的 $CD$ 表示 $C$ 到 $AB$ 的距离。

只有B同时满足指定点、指定直线、垂直关系三项条件。

本题结论

选 B，距离是 $AD$ 的长度。

2. 角的名称看两边，不看编号是否相邻

多个角共顶点时，“隔一格”“在对面”都不足以作判断。对顶角逐边检查反向，邻补角检查公共边和另外两边反向；仅数值相等或相加180°不能替代位置条件。

辨析 02 三条直线共点知识清单例题

题目

直线 $a,b,c$ 交于点 $O$ ，下列判断正确的是（　）。

A. $\angle1$ 与 $\angle2$ 是对顶角。

B. $\angle1$ 与 $\angle3$ 是邻补角。

C. $\angle4$ 的对顶角是 $\angle1$ 。

D. $\angle2$ 的邻补角是 $\angle4$ 。

答案与解析

解析

A、B、D所说的两角，其边涉及三条不同直线，分别不满足对顶角或邻补角所需的位置。只有 $\angle4$ 与 $\angle1$ 来自直线 $a,b$ ，两边分别反向，所以是对顶角。应沿着图中 $a,b,c$ 三条直线追踪角的两边。

本题结论

选 C。

辨析 03 补角必须紧挨着吗知识清单例题

题目

如图, $\angle AOC = \angle BOC = \angle DOE = 90^{\circ}$ . 图中有与 $\angle 3$ 互补的角吗?

答案与解析

解析

图中 $\angle1+\angle2=90^\circ$ ， $\angle2+\angle3=90^\circ$ ，同减 $\angle2$ 得 $\angle1=\angle3$ 。

$\angle1$ 即 $\angle AOD$ ，与 $\angle BOD$ 邻补，故 $\angle1+\angle BOD=180^\circ$ 。将 $\angle1$ 换成相等的 $\angle3$ ，可知 $\angle3+\angle BOD=180^\circ$ 。等量代换只改变数值表达，不把两个角的位置也换成相邻。