二次根式

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二次根式的计算不是把根号随意移进移出。先确定原式有意义的条件，再看平方因子、同类项和运算顺序，才能知道每一步变形是否成立。

一、知识点理解概念

1. 二次根式与取值范围

在实数范围内，形如 $\sqrt A$ 且 $A\ge0$ 的式子叫作二次根式，根指数2通常省略。 $A$ 可以是一个数，也可以是含字母的式子。

要区分的对象	说明	例子
形式	是否写成非负数的算术平方根	$\sqrt9$ 是二次根式，虽然值为3
数值	化简后是否为有理数	$\sqrt9=3$ 是有理数， $\sqrt2$ 是无理数
含字母的式子	需要先看条件	$\sqrt{2x}$ 在 $x\ge0$ 时有意义
根号的输出	算术平方根非负，外面另有系数时整体未必非负	$-2\sqrt3<0$

求原式的取值范围，要把所有限制同时满足：

每个二次根式的被开方数都不小于0。
每个分母都不等于0。
若根式本身在分母上，被开方数必须大于0。

例如 $\sqrt{x^2+y^2}$ 对任意实数 $x,y$ 都有意义，因为两个平方都不小于0。化简只是改变写法，不能悄悄扩大原式的取值范围。

2. 开方与平方的先后顺序

式子	结果	条件与依据
$(\sqrt A)^2$	$A$	先有 $\sqrt A$ ，必须 $A\ge0$ ；算术平方根的平方等于被开方数
$\sqrt{A^2}$	$\lvert A\rvert$	$A$ 可为任意实数；结果必须非负

$\sqrt{(-3)^2}=3$ 而不是 $-3$ 。 $\sqrt{A^2}$ 中的整体是 $A$ ，若 $A=x-2$ ，应先写成 $\lvert x-2\rvert$ ，再根据 $x-2$ 的符号去绝对值。

3. 乘除法与根号内外因式移动

运算	法则	必须保留的条件
乘法	$\sqrt A\sqrt B=\sqrt{AB}$	$A\ge0,B\ge0$
除法	$\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}=\sqrt{\dfrac AB}$	$A\ge0,B>0$
提取平方因子	$\sqrt{c^2B}=\lvert c\rvert\sqrt B$	$B\ge0$
正系数移入	$c\sqrt B=\sqrt{c^2B}$	$c\ge0,B\ge0$
负系数移入	$c\sqrt B=-\sqrt{c^2B}$	$c<0,B\ge0$

为什么乘法可以这样算？ 当 $A,B\ge0$ 时， $\sqrt A\sqrt B$ 非负，它的平方为 $AB$ ，因而它就是 $AB$ 的算术平方根。除法同理，但分母还必须非零。

反过来拆根号也要满足表中的条件。 $AB\ge0$ 并不意味着 $A,B$ 各自非负，如 $A=B=-1$ 时 $\sqrt{AB}=1$ 有意义， $\sqrt A\sqrt B$ 在实数范围却不存在。

提取字母因子时， $\sqrt{x^2B}$ 一般提成 $\lvert x\rvert\sqrt B$ ，不能不看符号就写成 $x\sqrt B$ 。还要注意：当 $x=0,B<0$ 时，原来的 $\sqrt{x^2B}=0$ 有意义，拆出的 $\sqrt B$ 却无意义，因此公式中的 $B\ge0$ 不是多余条件。

4. 最简二次根式、同类项与有理化

最简二次根式要求被开方数不含分母，并且不含能开得尽方的因数或因式。例如 $\sqrt{12}=2\sqrt3$ ， $\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}$ 。根号外有分母并不妨碍最简形式。

化成最简形式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式。合并依据是乘法分配律的逆用：

a\sqrt B+b\sqrt B=(a+b)\sqrt B\quad(B\ge0).

例如 $\sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$ 。合并的是系数，不是把被开方数相加。

分母结构	处理办法	依据
单个根式 $\sqrt B$	分子、分母同乘 $\sqrt B$	$B>0$ ，乘数非零，分母变成 $B$
根式的和或差	尝试同乘共轭式	$(\sqrt A+\sqrt B)(\sqrt A-\sqrt B)=A-B$

分母有理化不改变分式的值，靠的是分子、分母同乘同一个非零式子。共轭式若为0，就不能使用这一步；原分母也必须始终非零。

二、考点识别与处理

1. 先列全限制，再求共同范围

逐个找到根号和分母，分别列出限制，再取共同部分。根号内还有分式时，要判断整个分式的正负，不能只要求分母非零。

例题 01 三种取值范围

题目

求下列各式有意义时 $x$ 的取值范围：

$\sqrt{2-5x}$ ；
$\sqrt{\dfrac1{2x-4}}$ ；
$\dfrac{\sqrt{3-x}}{x-2}$ 。

答案与解析

解析

要求 $2-5x\ge0$ ，解得 $x\le\frac25$ 。
要求 $\frac1{2x-4}\ge0$ 。分子为正，分式不能等于0，因此分母必须为正，即 $2x-4>0$ ，得 $x>2$ 。
同时要求 $3-x\ge0$ 与 $x-2\ne0$ ，所以 $x\le3$ 且 $x\ne2$ 。

本题结论

$x\le\frac25$ ； $x>2$ ； $x\le3$ 且 $x\ne2$ 。

例题 02 带参数的根式 2024·黑龙江绥化

题目

式子 $\sqrt{2m-3}$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是（　）。

A. $m\le\frac23$ 　 B. $m\ge-\frac32$

C. $m\ge\frac32$ 　 D. $m\le-\frac23$

答案与解析

解析

由 $2m-3\ge0$ 得 $m\ge\frac32$ 。这里只除以正数2，不改变不等号方向。

本题结论

C。

2. 区分根式的形式与字母条件

看到根号先查根指数，再看被开方数是否非负。含字母的式子若没有给出限制，不能把“在一定条件下成立”当成“对所有实数都成立”。

例题 03 哪些式子一定是二次根式知识清单例题·条件明确化

题目

在实数范围内，不另加字母条件，下列哪些式子一定是二次根式？

① $\sqrt{\frac12}$ ；② $\sqrt{2x}$ ；③ $\sqrt{x^2+y^2}$ ；④ $\sqrt{-5}$ ；⑤ $\sqrt[3]5$ ；⑥ $\sqrt9$ ；⑦ $3$ 。

答案与解析

解析

①的被开方数为正；③中平方和非负；⑥是非负数的算术平方根，虽可化简为3，仍具有二次根式形式。②须额外满足 $x\ge0$ ；④在实数范围无意义；⑤是三次根式；⑦没有二次根式形式。

本题结论

①③⑥。

3. 看清平方所在位置，再确定符号

先判断是 $(\sqrt A)^2$ 还是 $\sqrt{A^2}$ 。后者先写绝对值；遇到字母，用题设范围、数轴或原式有意义条件确定内部符号。

例题 04 六种开方与平方

题目

化简：

① $\sqrt{3^2}$ ；② $(\sqrt3)^2$ ；③ $\sqrt{(-3)^2}$ ；④ $\sqrt{(a-3)^2}$ ；⑤ $(\sqrt{a-3})^2$ ；⑥ $\sqrt{(3-a)^2}$ 。

答案与解析

解析

①②③都等于3。④先平方后开方，结果为 $\lvert a-3\rvert$ ；⑤先开方，原式要求 $a\ge3$ ，再平方得 $a-3$ ；⑥等于 $\lvert3-a\rvert$ 。④⑥对任意实数 $a$ 都有意义。

本题结论

$3,3,3,\lvert a-3\rvert,a-3$ （ $a\ge3$ ）, $\lvert3-a\rvert$ 。

例题 05 原式条件决定去绝对值

题目

化简 $\sqrt{(x+2)^2}+(\sqrt{x-2})^2$ 。

答案与解析

解析

第二项要求 $x-2\ge0$ ，所以 $x\ge2$ ，从而 $x+2>0$ 。

原式 $=\lvert x+2\rvert+(x-2)=(x+2)+(x-2)=2x$ 。

第一项本来对所有实数有意义，但两项一起出现时，必须遵守第二项的限制。

本题结论

$2x$ ，原式范围为 $x\ge2$ 。

例题 06 从数轴读取内部符号

题目

实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图，化简 $\sqrt{(a-b)^2}-\sqrt{b^2}+\sqrt{(a-1)^2}$ 。

答案与解析

解析

由图得 $b<-1<0<a<1$ ，所以 $a-b>0$ 、 $b<0$ 、 $a-1<0$ 。

原式 $=\lvert a-b\rvert-\lvert b\rvert+\lvert a-1\rvert=(a-b)-(-b)+(1-a)=1$ 。

本题结论

1。

例题 07 由化简结果反推范围

题目

若 $\sqrt{x^2-4x+4}=2-x$ ，求 $x$ 的取值范围。

答案与解析

解析

左边 $=\sqrt{(x-2)^2}=\lvert x-2\rvert$ 。当 $x\le2$ 时， $\lvert x-2\rvert=2-x$ ；当 $x>2$ 时，右边为负，不可能等于非负的左边。端点 $x=2$ 两边均为0，也满足。

本题结论

$x\le2$ 。

例题 08 区间内的两个绝对值 2024·四川乐山

题目

若 $1<x<2$ ，则 $\sqrt{(x-1)^2}+\lvert x-2\rvert$ 的值是（　）。

A. $-1$ 　 B. $1$ 　 C. $2x-3$ 　 D. $3-2x$

答案与解析

解析

由 $x-1>0$ 、 $x-2<0$ ，原式 $=(x-1)+(2-x)=1$ 。不能把两个绝对值都按同一符号去掉。

本题结论

B。

4. 分层计算乘除，提取平方因子

带分数先化假分数；能直接乘成完全平方数的先合并，能提取平方因子的先分解。连乘连除属于同一级，按从左到右计算。

例题 09 乘积与平方因子

题目

计算：

$\sqrt{2\frac12}\times\sqrt{1\frac35}$ ；
$\sqrt{(-5)^2\times3}$ 。

答案与解析

解析

$\sqrt{\frac52}\times\sqrt{\frac85}=\sqrt4=2$ 。
$\sqrt{(-5)^2}\sqrt3=\lvert-5\rvert\sqrt3=5\sqrt3$ 。

本题结论

$2$ ； $5\sqrt3$ 。

例题 10 连除与带分数

题目

计算：

$\sqrt2\div\sqrt3\times\sqrt{\frac13}$ ；
$\sqrt{2\frac79}$ 。

答案与解析

解析

从左到右， $\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\times\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt2}{3}$ 。不能把后两项误看成整个除数。
$\sqrt{\frac{25}9}=\frac53$ ，取非负值。

本题结论

$\frac{\sqrt2}3$ ； $\frac53$ 。

例题 11 判断与化成最简形式知识清单例题·合组

题目

（1）在各式有意义的条件下，判断下列哪些已经是一般的最简二次根式： $\sqrt{0.5}$ 、 $2\sqrt{x^3y}$ 、 $\sqrt{12}$ 、 $\sqrt{x^2+y^2}$ 、 $\frac{\sqrt{x+2}}3$ 。

（2）化简 $\sqrt{200}$ 、 $\sqrt{1.4}$ 、 $\sqrt{75a^2b}$ ，其中 $a>0,b>0$ 。

答案与解析

解析

（1） $\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac12}$ ，被开方数含分母； $x^3y=x^2\cdot xy$ ，可提取平方因式； $12=4\times3$ 。后两式一般没有可提取的平方因式，且根号内没有分母，已经最简。不能把平方和中的各项分别开方。

（2） $\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt2$ 。

$\sqrt{1.4}=\sqrt{\frac{140}{100}}=\frac{\sqrt{140}}{10}=\frac{\sqrt{35}}5$ 。

$\sqrt{75a^2b}=\sqrt{25a^2\cdot3b}=5a\sqrt{3b}$ ，最后一步使用了 $a>0$ 。

本题结论

（1） $\sqrt{x^2+y^2}$ 、 $\frac{\sqrt{x+2}}3$ ；（2） $10\sqrt2$ 、 $\frac{\sqrt{35}}5$ 、 $5a\sqrt{3b}$ 。

5. 先化简，再合并同类项

先分别把根式化为最简形式，再按被开方数分组。不同组不能合并；某组的系数相加为0时，该组消去。

例题 12 化简后再判断同类

题目

计算：

$\sqrt{12}-\frac{\sqrt3}{2}$ ；
$\sqrt8-2\sqrt{18}+\sqrt{24}$ 。

答案与解析

解析

$2\sqrt3-\frac12\sqrt3=\frac32\sqrt3$ 。
$2\sqrt2-6\sqrt2+2\sqrt6=-4\sqrt2+2\sqrt6$ 。 $\sqrt2$ 与 $\sqrt6$ 不是同类项，不能继续相加。

本题结论

$\frac{3\sqrt3}{2}$ ； $-4\sqrt2+2\sqrt6$ 。

6. 按分母结构选择有理化因子

单根式乘同一根式，和差式尝试乘共轭式。先检查原分母与所乘因子非零，再将整个分子、整个分母一起相乘，最后约分。

例题 13 单根式与共轭式

题目

将下列各式的分母有理化：

$\frac5{\sqrt3}$ ；
$\frac2{\sqrt{8ab}}$ ；
$\frac1{\sqrt7-\sqrt5}$ 。

答案与解析

解析

$\frac{5\sqrt3}{3}$ 。
原式要求 $ab>0$ 。 $\frac2{\sqrt{8ab}}=\frac1{\sqrt{2ab}}=\frac{\sqrt{2ab}}{2ab}$ 。条件是乘积为正，不必强行要求 $a,b$ 分别为正。
共轭式 $\sqrt7+\sqrt5>0$ ，可同乘它： $\frac{\sqrt7+\sqrt5}{7-5}=\frac{\sqrt7+\sqrt5}2$ 。

本题结论

$\frac{5\sqrt3}3$ ； $\frac{\sqrt{2ab}}{2ab}$ （ $ab>0$ ）； $\frac{\sqrt7+\sqrt5}2$ 。

7. 外侧系数移入时保留符号

先看根式原有范围，再判断外侧系数正负。平方会抹去符号，因此负系数移入后，负号仍须留在根号外；系数含字母且正负不定时要分类。

例题 14 三个系数的不同处理

题目

把根号外的因式适当移入根号内：

$2\sqrt3$ ；
$-a\sqrt a$ ；
$x\sqrt{xy}$ 。

答案与解析

解析

$2>0$ ，得 $\sqrt{2^2\cdot3}=\sqrt{12}$ 。
原式要求 $a\ge0$ ，所以 $-a\le0$ ，得 $-\sqrt{a^3}$ ； $a=0$ 时同样成立。
原式要求 $xy\ge0$ 。当 $x\ge0$ 时为 $\sqrt{x^3y}$ ；当 $x<0$ 时为 $-\sqrt{x^3y}$ 。两种情况下 $x^3y=x^2(xy)\ge0$ ，新根式都有意义。

本题结论

$\sqrt{12}$ ； $-\sqrt{a^3}$ （ $a\ge0$ ）； $x\ge0$ 时为 $\sqrt{x^3y}$ ， $x<0$ 时为 $-\sqrt{x^3y}$ （原式均要求 $xy\ge0$ ）。

8. 比较根式，选择能消去根号的结构

正数可比较平方，负数可先比较绝对值再反向；两个平方根之差若有相同的有理化分子，可化成正分式比较分母。不要对任意正负数直接用“平方大则原数大”。

例题 15 三组大小比较

题目

比较大小，并说明依据：

$3\sqrt2$ 与 $2\sqrt3$ ；
$-2\sqrt{11}$ 与 $-3\sqrt5$ ；
$\sqrt6-\sqrt5$ 与 $\sqrt3-\sqrt2$ 。

答案与解析

解析

两数均正，平方分别是18与12，因此 $3\sqrt2>2\sqrt3$ 。也可比较比值 $\frac{3\sqrt2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{2}>1$ 。
正数 $2\sqrt{11}=\sqrt{44}<\sqrt{45}=3\sqrt5$ ，加负号后大小反向，所以 $-2\sqrt{11}>-3\sqrt5$ 。
有理化得 $\sqrt6-\sqrt5=\frac1{\sqrt6+\sqrt5}$ ， $\sqrt3-\sqrt2=\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$ 。两个分母均正，且前者更大，因此前一个分式更小。

本题结论

$>$ ； $>$ ； $<$ 。

9. 保持混合运算的层次

有括号先算括号，有乘方先算乘方，再乘除、后加减。同一级按从左到右；每个根式化简后再合并同类项。例如 $\sqrt3\times(\sqrt2)^2+2\sqrt3=2\sqrt3+2\sqrt3=4\sqrt3$ 。

例题 16 乘、减与混合运算 2024·（1）湖南；（2）吉林长春；（3）甘肃·合组

题目

（1） $\sqrt2\times\sqrt7$ 等于（　）。

A. $2\sqrt7$ 　 B. $7\sqrt2$ 　 C. $14$ 　 D. $\sqrt{14}$

（2）计算 $\sqrt{12}-\sqrt3$ 。

（3）计算 $\sqrt{18}-\sqrt{12}\times\sqrt{\frac32}$ 。

答案与解析

解析

（1）被开方数均非负，乘积为 $\sqrt{14}$ ，选D。

（2） $2\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3$ 。

（3）先算乘法： $\sqrt{12}\times\sqrt{\frac32}=\sqrt{18}$ ，所以结果为0；也可化为 $3\sqrt2-3\sqrt2=0$ 。

本题结论

（1）D；（2） $\sqrt3$ ；（3）0。

答案与解析

解析

不正确。括号内是一个整体除数，不能拆成分别相除。

原式 $=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{\sqrt{15}(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3}=\frac{5\sqrt3-3\sqrt5}{2}$ 。

这里原分母为正，共轭式 $\sqrt5-\sqrt3>0$ ，同乘不会改变分式的值。

本题结论

不正确；原式为 $\frac{5\sqrt3-3\sqrt5}{2}$ 。

4. 化简后不能丢掉原式条件

$\frac{\sqrt x}{\sqrt x}=1$ 的前提是 $x>0$ 。虽然结果1不含字母，原式仍不允许 $x=0$ 或负数。

做完一题可回查三处：原根式是否有意义、原分母是否非零、平方因子提出后是否保留了应有的绝对值。 条件应跟随表达式保留，而不是等算出数值后再补猜。