密度的应用

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密度可以把难称的大物体变成体积计算，也能帮助排除材料判断。但先要分清材料体积、外体积和空腔体积，不能让同一个V代表三个不同对象。

一、知识点理解概念

1. 求质量与求体积

目标	关系	典型用途
已知材料密度和实际材料体积，求质量	$m=\rho V$	大型石碑、铸件所需材料
已知质量和材料密度，求材料体积	$V=m/\rho$	不便直接量尺寸的实心物体

实心、均匀时，材料体积就是整体体积。空心物体用材料密度作分母，只得到材料本身占的体积，不能直接当外轮廓体积。

2. 密度鉴别是证据，不是唯一身份证

测得密度与某纯材料明显不符，可在题给条件下排除由该材料实心构成的判断。密度相符只能支持“可能”，不能保证是同一种物质：不同物质可以具有相近或相同密度，还应结合其他性质。

密度可用于材料选择和物质检测。例如相同材料体积下，低密度有利于减轻质量；实际航空材料还须满足强度等要求，不能只凭密度一个数决定用途。

3. 判断空心，先写材料模型

已知物体仅由某种材料与封闭空腔构成，空腔质量可忽略，外体积已正确测得时，可用三种等价比较：

比较方法	实心预期或材料量	空心的表现
比质量	实心应有 $m_{\text{实}}=\rho_{\text{材}}V_{\text{外}}$	实际质量更小
比体积	$V_{\text{材}}=m/\rho_{\text{材}}$	材料体积小于外体积
比平均密度	$\rho_{\text{平均}}=m/V_{\text{外}}$	小于材料密度

若材料未知、内部含其他材料或存在复杂孔隙，平均密度小不能唯一说明是哪种结构。题给单一材料模型是推断依据。

4. 混合物密度用最终体积

没有物质损失时，总质量可以相加；混合后体积却不一定等于原体积之和：

\rho_{\text{混}}=\frac{m_1+m_2}{V_{\text{最终}}}.

题目明确给收缩、膨胀后的体积，必须使用该条件。只有题意允许忽略体积变化时，才取 $V_{\text{最终}}=V_1+V_2$ 。两密度直接算术平均，仅在等体积且体积可加等特定条件下才等价。

二、考点方法与例题

1. 简单计算先配对象与单位

先确认给的是所用材料体积还是外体积。再选 $m=\rho V$ 或 $V=m/\rho$ ，单位配套计算，最后转成题目要求的吨、千克或立方厘米。

例题 01 金虎用了多少铜 2024 山东济南中考

题目

济南黑虎泉景区有双虎雕塑,东侧“黑虎”使用黑色花岗石雕凿,西侧“金虎”为铜铸。若铸成这只“金虎”需要 $0.9 \mathrm{~m}^{3}$ 的铜,铜的密度是 $8.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ,则该“金虎”所用铜的质量是多少吨?

答案与解析

解析

题目直接给所需铜的实际体积0.9 m³，不是整个雕像的外轮廓体积。

m_{\text{铜}}=\rho_{\text{铜}}V_{\text{铜}}=8.9\times10^3\times0.9=8.01\times10^3\,\mathrm{kg}=8.01\,\mathrm t.

题目问吨，不能停在千克的数值。

本题结论

8.01 t。

例题 02 实心铁球的体积知识清单例题

题目

一实心铁球质量为15.8 g，铁密度为 $7.9\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$ 。铁球体积为____ cm³。

答案与解析

解析

先将铁密度换为 $7.9\,\mathrm{g/cm^3}$ ，与质量15.8 g配套。由 $\rho=m/V$ 得 $V=m/\rho=15.8/7.9=2\,\mathrm{cm^3}$ 。题目已说明实心，算得材料体积就是球体积。

本题结论

2。

2. 先算材料体积，再求空腔与填充物

完全浸没的排液差给外体积，先检查水不进内腔。
由质量除材料密度求材料体积。
外体积减材料体积得空腔体积。
填充物质量＝填充物密度×空腔体积，最后与原物体质量相加。

例题 03 空心钢球注满煤油知识清单例题·改编，补充排液条件

题目

将一钢球放入盛有 100 mL 水的量筒中, 水面上升到 160 mL 处, 又用天平称出该球质量为 237 g。测量时球完全浸没、不吸水，水不进入内腔；忽略空腔内气体质量。（ $\rho_{\text{钢}}=7.9\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$ ， $\rho_{\text{煤油}}=0.8\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$ ）

(1)求钢球是空心的还是实心的?

(2)若为空心的,在空心部分注满煤油,那么钢球的总质量为多少?

答案与解析

解析

（1）外体积 $V_{\text{外}}=160-100=60\,\mathrm{cm^3}$ 。钢密度 $7.9\,\mathrm{g/cm^3}$ ，钢材料体积 $V_{\text{钢}}=237/7.9=30\,\mathrm{cm^3}$ ，小于外体积，所以在题给单一钢材料模型下为空心。

（2）空腔体积 $60-30=30\,\mathrm{cm^3}$ ，煤油密度 $0.8\,\mathrm{g/cm^3}$ ，煤油质量 $0.8\times30=24\,\mathrm g$ 。总质量 $237+24=261\,\mathrm g$ 。不能用整个外体积60 cm³乘煤油密度。

本题结论

（1）空心；（2）261 g。

3. 混合后先算质量，再用最终体积

各部分先用 $\rho_iV_i$ 求质量，求和后再除以最终体积。看到题给体积变为原和的某个比例，应把它写进分母，不能用习惯盖过条件。

例题 04 酒精与水混合后收缩知识清单例题

题目

体积为 $2 \mathrm{~m}^{3}$ 的酒精(酒精密度为 $0.8 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ) 与体积为 $1 \mathrm{~m}^{3}$ 的水混合后的体积为原来总体积的 $\frac{9}{10}$ , 则混合后液体的密度约为 ( )

A. $1.04 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$

B. $0.92 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$

C. $0.96 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$

D. $0.87 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$

答案与解析

解析

酒精质量 $0.8\times10^3\times2=1600\,\mathrm{kg}$ ，水质量 $1.0\times10^3\times1=1000\,\mathrm{kg}$ ，无损失总质量2600 kg。

题给最终体积为 $(2+1)\times9/10=2.7\,\mathrm{m^3}$ ，所以：

\rho_{\text{混}}=\frac{2600}{2.7}\approx963\,\mathrm{kg/m^3}\approx0.96\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}.

C正确。D约等于2600/3，漏掉了体积收缩。不能直接平均酒精和水的密度。

本题结论

C。

三、坑点辨析与纠错

1. 密度相同，就断定同一种材料

“不同可排除”与“相同可唯一确定”不是同一种判断。实心纯金的给定密度与实测明显不同，可以排除纯金；实测恰好等于某材料密度，却还不能排除其他可能。

辨析 01 纪念币是不是纯金知识清单例题

题目

一枚实心纪念币质量为16 g，体积为2 cm³。它的密度为____ g/cm³；它____（填“是”或“不是”）由纯金制成。已知 $\rho_{\text{金}}=19.3\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$ 。

答案与解析

解析

纪念币密度 $16/2=8\,\mathrm{g/cm^3}$ 。纯金给定密度为 $19.3\,\mathrm{g/cm^3}$ ，明显不同，所以实心纪念币不是纯金。仅凭8这个密度，不能继续唯一命名它的材料。

本题结论

8；不是。

2. 密度大，就一定更重

比较质量还要看体积；只有体积相同，才能由密度较大判断质量较大。两个物体都为1 kg时，质量已经相等，密度差主要体现为体积不同。

3. 生活解释省略条件

气体受热且能够膨胀时，密度可能减小；同样升温若被刚性密闭容器约束，质量和体积不变，密度也不变。用物理模型解释生活现象时，要保留这些条件，不能把一句题目解释推广成全部实际处置方法。

辨析 02 密度与生活现象依据2024山东枣庄中考材料改编

题目

下列关于密度的说法正确的是（　）。

A. 同一地点，1 kg铁块比1 kg棉花重

B. 能利用密度鉴别物质，是因为不同物质的密度一定不同

C. 航空器材普遍以密度越大越好作为选材要求

D. 在能够膨胀的条件下，较热气体的密度可能小于周围气体，因而有向上运动的趋势

答案与解析

解析

A两物体质量都为1 kg，同一地点重力也相同，铁的密度大不代表题给质量更大。B的“一定”过强，不同物质可能密度相近。C航空材料通常同时考虑强度与减轻质量，不是普遍追求高密度。D已限定可膨胀且较热气体密度较小，符合相应物理情境。

本题结论

D。