杠杆

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开瓶器和筷子都能看作杠杆，却不都省力。判断的关键不在工具名称，而在它怎样使用：支点在哪里，力沿什么方向，力臂有多长。

一、知识点理解概念

1. 杠杆与五要素

在力的作用下，能够绕固定点转动的硬物体，可以看作杠杆。“硬”表示研究时不考虑形变；杠杆可以是弯的，也不要求它正在转动。

要素	含义	图中符号
支点	能绕着转动的固定点	O
动力	使杠杆向选定方向转动的力	F₁
阻力	阻碍该方向转动的力	F₂
动力臂	支点到动力作用线的垂直距离	l₁
阻力臂	支点到阻力作用线的垂直距离	l₂

图中两力都向下，但使杠杆转动的方向相反。动力和阻力都是杠杆受到的力：石头对杆的压力才是杆受到的阻力，不能把石头自身受到的重力直接当作作用在杆上的力。

2. 力臂不是沿杆量出的长度

力的作用线是沿力的方向、通过作用点的一条直线。支点到这条直线的最短距离，就是力臂。必要时要延长作用线，垂足不一定落在杆上。

力垂直于“支点到作用点”的连线时，这段连线长度才等于力臂。
力的作用线经过支点时，力臂为零，对该支点没有转动作用。
施力点不变而方向改变，力臂仍可能改变。

3. 两边的转动作用怎样平衡

杠杆静止或绕固定支点匀速转动，都属于这里讨论的转动平衡。倾斜静止也能平衡，水平不是平衡的必要条件。 匀速转动并不意味着物体所受合力为零。

当动力、阻力产生相反的转动作用，其他力的转动作用可忽略或已抵消时：

F_1l_1=F_2l_2.

力用牛顿，两条力臂用相同长度单位。由此反求动力：

F_1=\frac{F_2l_2}{l_1}\quad(l_1\ne0).

阻力及其力臂固定时，动力臂越大，所需动力越小。若杆的自重不能忽略，且重力作用线不过支点，就要计入自重的转动作用，不能直接只列两个外力的乘积相等。

4. 省力、费力与等臂杠杆

类型	力臂关系	平衡时的力	通常用法下的例子
省力	动力臂较长	动力小于阻力	开瓶器、钢丝钳
费力	动力臂较短	动力大于阻力	筷子、镊子
等臂	两臂相等	两力相等	托盘天平

省力通常费距离，费力通常省距离。这里按理想杠杆比较同一次很小转动中，两作用点沿各自力方向的移动；不是无条件比较总路程。费力杠杆仍有用途，如筷子手握处的小幅移动可带来夹取端较大的移动。简单机械不省功。

5. 用实验建立平衡条件

阶段	怎样做	为什么
挂钩码前	调螺母，使空杆水平静止；哪端高向哪端调	先平衡杆和螺母自身的转动作用
挂钩码后	改数量或挂点，不再动螺母	保持原来的自重补偿
测量	水平平衡时读挂力和力臂	竖直挂力与杆垂直，杆上距离就是力臂
验证	改变数量、位置，取得多组数据	检验关系，避免仅凭一组偶然数据下结论

比较每组两边“力×力臂”，在误差范围内相等。若用测力计斜拉，就必须重新画力臂，不能直接读取支点到挂点的距离。

二、考点方法与例题

1. 力臂作图与最小动力

找支点，确定研究的杠杆。
沿力的方向延长作用线。
从支点向作用线作垂线，标直角和力臂。
求最小动力时，在允许的施力点和方向内让动力臂最大。
按阻力的转动作用确定动力箭头，使两者的转动作用相反。

若作用点、方向均可选，选离支点最远的允许点，并垂直于支点到该点的连线施力。题目若限定水平拉或固定施力点，就不能擅自换方向、换位置。

例题 01 雨伞与弯杆作图知识清单作图题

题目

(1)如图甲所示,请画出撑开雨伞时,撑杆对伞骨的作用力F的力臂l。

甲

乙

(2)如图乙所示,请画出提起物体A的最小力F的示意图及其力臂l。

答案与解析

解析

（1）支点是伞骨转轴O，从O向F的作用线作垂线，标垂直符号和l。不能用O到撑杆接触点的斜线代替。

（2）B是图示杆上离O最远的允许施力点，OB给出最大动力臂。过B画垂直OB的力；物体A对杆的拉力使杆顺时针转，动力应使杆逆时针转，箭头指向图示右上方。

本题结论

（1）力臂为支点到作用线的垂线段；（2）力作用在B、垂直OB，方向如答案图。

2. 从实际情境中抽出杠杆模型

先找支点和受力点，再把题给长度换成垂直力臂。列式前检查“空载已平衡”“自重不计”等条件；增加物体或移动秤砣时，可分别列前后两式，也可只比较新增的转动作用。

例题 02 杆秤的称量与增量 2024 重庆中考

题目

小兰自制了一把杆秤，由秤盘、提纽、秤杆以及 200 g 的秤砣构成，如图所示。当不挂秤砣、秤盘中不放重物时，提起提纽,杆秤在空中恰好能水平平衡。已知 AO 间距离为 10 cm。当放入重物,将秤砣移至距 O 点 30 cm 的 B 处时,秤杆水平平衡,则重物质量为 ____ g;往秤盘中再增加 20 g 的物体,秤砣需要从 B 处移动 ____ cm 才能维持秤杆水平平衡。

答案与解析

解析

空秤不挂秤砣已平衡，杆和秤盘自重的转动作用已抵消。新增重物与秤砣满足 $m_{\text{物}}g\times10=200g\times30$ ，两侧约去相同g，得重物质量600 g。

再加20 g，增量平衡为 $20\times10=200\times\Delta l$ ，所以秤砣须远离O移动1 cm。新位置距O为31 cm，而不是从B移动31 cm。

本题结论

重物600 g；秤砣从B向远离O的方向移动1 cm。

3. 分类先看力臂，不凭工具名称

找实际支点、手的施力处与负载受力处，再比较动力臂和阻力臂。用途只能帮助定位；改变支点、握持位置或方向后，应重新判断。

例题 03 赛艇桨与生活工具 2024 山东临沂中考

题目

2023 年 9 月 24 日,中国组合邹佳琪/邱秀萍在赛艇女子轻量级双人双桨决赛中夺冠,斩获杭州亚运会首金。如图所示,赛艇的桨可视为杠杆,下列工具正常使用时,与桨属于同类杠杆的是()

答案与解析

解析

图示划桨以桨架为支点，手施力的动力臂比水对桨阻力的力臂短，是费力杠杆。A筷子正常使用时也是费力杠杆；B瓶起子、C核桃夹、D榨汁器的通常用法均是动力臂较长的省力杠杆。

本题结论

A。

4. 动态分析要分别追踪两条力臂

在初、末位置分别画作用线和垂直力臂。先列不变量，再看 $F=Gl_G/l_F$ 的分子、分母怎样变。若两者同时增大或同时减小，不能只凭一项就确定比值的变化。

例题 04 水平拉力作用下的硬棒知识清单例题

题目

如图所示,在水平力 F 的作用下,硬棒沿逆时针方向匀速转动,在棒与竖直方向的夹角由 $\theta$ 增大到 $\theta'$ 的过程中 ()

A. 拉力 F 变小, F 的力臂变小
B. 拉力 F 变大, F 的力臂变大
C. 重力 G 不变, G 的力臂变大
D. 重力 G 不变, G 的力臂变小

答案与解析

解析

按图示锐角范围，重力G不变；棒偏离竖直方向时，重心到支点的水平距离增大，重力臂变大。水平拉力的力臂是支点到拉力作用线的竖直距离，逐渐变小。

由 $F=Gl_G/l_F$ ，分子变大、分母变小，F变大。A错在力变小；B错在拉力臂变大；D错在重力臂变小。

本题结论

C。

三、坑点辨析与纠错

1. 杆长没变，力臂仍可能改变

错法： 题给OA、OB就一直用它们作力臂，认为姿态变化不影响力。

错因： 杆长只确定两点距离，力臂还取决于力的方向。姿态改变后，必须分别检查每个力，不能把两条力臂一同视为不变。

辨析 01 两种俯卧撑姿态知识清单例题

题目

俯卧撑是一项常见的健身项目,采用不同的方式做俯卧撑,健身效果通常不同。图甲所示的是小京在水平地面上做俯卧撑保持静止时的情境,他的身体与地面平行,可抽象成如图乙所示的杠杆模型,地面对脚的力作用在 O 点,对手的力作用在 B 点,小京的重心在 A 点。已知小京重 750 N,OA 长为 1 m, OB 长为 1.5 m。

甲

乙

丙

(1) 图乙中, 地面对手的力 $F_{1}$ 与身体垂直, 求 $F_{1}$ 的大小。
(2) 图丙所示的是小京手扶栏杆做俯卧撑保持静止时的情境,此时他的身体姿态与图甲相同,只是身体与水平地面成一定角度,栏杆对手的力 $F_{2}$ 与他的身体垂直,且仍作用在 B 点。分析并说明 $F_{2}$ 与 $F_{1}$ 的大小关系。

答案与解析

解析

（1）以脚接触处O为支点。水平时手支持力与重力都垂直身体，两条力臂分别为1.5 m和1 m。由 $F_1\times1.5=750\times1$ ，得 $F_1=500\,\mathrm N$ 。

（2）倾斜后，F₂仍垂直身体，其力臂仍是OB；重力仍竖直，其力臂变为OA的水平投影，短于原1 m。重力不变、重力臂变小、支持力臂不变，所以F₂小于F₁。

本题结论

（1） $F_1=500\,\mathrm N$ ；（2） $F_2<F_1$ ，理由是重力臂缩短而手支持力的力臂不变。

2. 挂码后不能再靠螺母凑平衡

错法： 钩码不够，就重新移动平衡螺母。

错因： 螺母一移动，空杆自重补偿改变，记录的两组挂力便不能单独满足平衡式。应保持螺母位置，改变可用的挂点或数量。

处理“钩码不足”，先算现有挂力需要多长力臂；超出杆长时，缩短另一侧力臂，再检查数量与可达长度。

辨析 02 有限钩码下的调平方案 2024 湖南中考

题目

小明和小洁一起做“探究杠杆的平衡条件”实验，实验室提供了如下图所示杠杆（支点为 $O$ ）、支架、10个钩码（每个重 $0.5\mathrm{N}$ ）。

甲

乙

(1)如图甲所示,实验开始前,应向____端调节螺母,使杠杆在水平位置平衡;挂上钩码后,每次都要让杠杆在水平位置平衡,这样做是为了便于直接读取____。

(2) 小明取 2 个钩码, 挂在支点左侧某处, 再取 4 个钩码挂在支点的 ____ 侧进行实验, 使杠杆在水平位置平衡后, 记录下数据。

(3) 完成三次实验后分析数据,他们得出了杠杆的平衡条件。下表主要呈现了第 3 次实验数据。

实验次数	动力 $F_1/N$	动力臂 $l_1/cm$	阻力 $F_2/N$	阻力臂 $l_2/cm$
1	...	...	...	...
2	...	...	...	...
3	2.5	20.0	2.0	25.0

小明在第3次实验的基础上,在支点左侧20.0 cm处继续加钩码直到 $F_{1}$ 为3.5 N,如图乙所示,但发现此时用剩下的3个钩码无法让杠杆再次在水平位置平衡。小洁想利用现有器材帮助小明完成 $F_{1}$ 为3.5 N的第4次实验,她应该通过____,

使杠杆再次在水平位置平衡(请结合具体数据进行说明,可保留一位小数)。

答案与解析

解析

（1）图甲右端高，螺母向右调。挂码后水平，竖直挂力与杆垂直，便于直接读力臂。

（2）另一组挂在右侧，才能与左侧挂力产生相反转动作用。

（3）左侧3.5 N仍在20 cm处时，右侧剩余1.5 N需要的力臂为 $3.5\times20/1.5\approx46.7\,\mathrm{cm}$ ，超出可用长度。把左侧7个钩码移至10 cm，右侧3个移至 $3.5\times10/1.5\approx23.3\,\mathrm{cm}$ ，即可近似平衡。保持左挂力、总数不超过10个，且两边挂点均可达。