分数坐标记录三维位置，投影只显示沿指定视线压缩后的平面位置，硬球模型则另外规定半径和相切。先固定坐标轴与观察方向，再求几何和体积，不能让透视图的上下左右替代真实空间关系。

01 · 知识点坐标、重合与硬球模型02 · 考点完整原知识模型逐组推演03 · 坑点方向、示意省略与相切线

一、知识点 理解概念

1. 分数坐标先定原点、轴与单位

分数坐标表示沿三个晶胞基矢分别走了几份单位长度，不带cm等长单位。立方晶胞常以棱长为1：顶角的三个分量为0或1，面心有两个1/2，体心三个分量均为1/2。

建模时简单立方的八个角等价，可任选一角为原点，沿三棱延长线设轴，以边长为单位。一旦题目给了坐标系，就必须固定其原点、轴序与正方向；不是每解一个点都能再选最方便的新原点。

纸面左、右、高、低只是透视。用已知点如$(0,1,0)$辨y正向，再逐项写x、y、z。顶面可用z＝1复验，侧面可用x＝1或y＝1复验。六方模型的x、y夹角可为120°，不能把所有基矢都视为正交90°。

2. 正投影丢失深度，但没有删掉原微粒

沿指定观察方向，把位置映到垂直该方向的平面。沿同一视线先后排列的多个原子可以重合为一个投影点；它们在原结构中仍是不同位置。

问题	数什么	是否用均摊份额
框内位置数	原晶胞图中不同三维位置	先完整列位置，尚不均摊
不同投影点数	指定视线下不重合的平面位置	不因顶角或面心再乘份额
每胞粒子数	各位置按相邻晶胞共用关系分配	要乘真实均摊份额

沿垂直xy平面观察，可用x、y相同判重合，上下角成对重合；沿体对角线观察则不能只删z。先确定全部位置和方向，最后才回答投影或计胞问题。

3. 体对角线方向按位置差判断重合

以立方棱为坐标单位，沿$(1,1,1)$方向观察，两个位置之差若为$(t,t,t)$，就沿同一视线。因而可用一对标识$(x-y,\ y-z)$检查是否重合：两项均相等即对应同一投影位置。

这个二元组只是方便判重合的代数标识，不是正交投影平面上的实际笛卡尔坐标，不能直接用它算投影距离或角度。换观察方向就须改判据，不能把这组规则套到所有斜视图。

4. 空间占有率必须带硬球模型条件

同种等半径硬球模型把原子视为不重叠的球；两个相切球中心距为2R。球边界只是几何模型，不是电子云的固定硬边。设立方晶胞棱长a、每胞均摊原子数n，则

$$\eta=\frac{n\left(\frac43\pi R^3\right)}{a^3}\times100\%.$$

先均摊求n，再从真实相切线求a与R，最后代入。同种等半径与给定结构缺一不可；不同种、不同半径粒子需要重写各接触条件。占有率是体积比，不是平面图上圆盘面积比。

二、考点 方法与例题

本章源材料提供的是原知识模型群，没有独立考试选择题。下面保留全部原条件、编号与图，把原结果置于展开区供先推后核；问题式引导为手册编排，不冒称新发现原题或真题。

1. 坐标题用已知点校准，再逐轴读取

先用给定点锁定原点与正方向，逐点判断沿每轴走0、1/2还是1，最后用所在面复验。三个模型各按自己的原编号，不能因相似方框就沿用前图的某个编号位置。

例题 01 原编号晶胞的分数坐标

题目

原知识实例：三种晶胞的原编号与条件。 按各自原图和所给坐标，核对所列其他编号点的坐标。

1. 简单立方：已知1(0，0，0)、2(0，1，0)，确定3、7。

2. 体心立方：已知1(0，0，0)、3(1，1，0)、5(0，0，1)，确定6、7、9。

3. 面心立方：已知1(0，0，0)、$13(\frac12,\frac12,0)$、$12(1,\frac12,\frac12)$，确定9、11。

答案与解析

解析

原模型	待定编号	坐标与方向解释
简单立方	3	$(1,1,0)$，沿x、y各一条棱，z不变
简单立方	7	$(1,1,1)$，沿三个方向各一条棱
体心立方	6	$(0,1,1)$，不走x，沿y、z各一条棱
体心立方	7	$(1,1,1)$
体心立方	9	$(1/2,1/2,1/2)$，三个方向各半条棱
面心立方	9	$(1/2,1,1/2)$，位于y＝1侧面
面心立方	11	$(1/2,1/2,1)$，位于z＝1顶面

面心图已知13在底面z＝0，12在x＝1侧面，可回验轴向。9、11的第二和第三分量不能因其纸面高低交换。周期边界0与1虽可代表相邻重复位置，回答本图编号仍按指定坐标，不随意改0为1。

本题结论

见七个编号点的坐标

2. xy投影先逐组追踪，再合并重合点

对每个原位置保留x、y，暂不看z；x、y相同的点合为一处投影。框内新增体心、面心或内部点可能出现新的投影，不能只记“立方都投成四点”。

例题 02 四组原晶胞的xy投影

题目

原知识实例：四组立体模型。 原小标题意为向xy平面作正投影，沿垂直xy平面的方向观察。原表另一列误写“沿体对角线”，此处不沿用该错误列题。四组原立体图如下，分别追踪其投影。

答案与解析

解析

四组原投影图按同序列出，每张均对应上面的一组完整立体图。

原模型	xy方向重合与新增位置	不同投影位置数
角位置	八角按相同x、y上下成对	4
增加体心	四角投影外，体心投到中央	5
面心立方	四角、四个边中点、上下两个面心重合在中央	9
金刚石型	前述九处外，四个内部位置的xy各不同	13

第一组八角→四点是沿垂直xy平面的观察，不是沿体对角线；原标题冲突已明示，不能为迁就错标题去改原点的位置。13个xy投影也不等于每胞13原子，金刚石型原胞账须另用均摊。

本题结论

四组对应4、5、9、13个投影位置

3. 沿体对角线逐点核重合与省略

列出原胞的角、面心和内部全部位置，采用指定体对角线方向判重合；与原示意图逐组对照。若一张示意省略某组位置，须保留原图并说明，不把示意的可见点数当作完整计数真值。

例题 03 两组体对角线投影的核对

题目

原知识实例：两组体对角线投影配对。 以下是原表的两个完整晶胞模型，分别核对沿体对角线的投影。

答案与解析

解析

六个外圈点、六个内圈点和中心点。

原图保留，但七个圆点不是完整位置表，详见下方核验。

面心立方原图有8顶点位置与6面心位置。沿$(1,1,1)$看，(0,0,0)与(1,1,1)重合，其余六顶点各有位置；六面心另给六个不同内圈位置，合13处，图中均可对应。

金刚石型在这14个位置外再有4个内部位置。按同一原点可列为

$$(1/4,1/4,1/4),\quad(1/4,3/4,3/4),\quad(3/4,1/4,3/4),\quad(3/4,3/4,1/4).$$

第一内部点沿主对角线与两个端角重合；其余三个分别与已有面心投影重合。全部18个三维位置仍形成13个不同投影位置，而不是新增为17处，也不是原省略图中的7处。

可用$(x-y,y-z)$完整核验：中心$(0,0)$；外六处$(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,0)$；内六处$(-1/2,0),(-1/2,1/2),(0,-1/2),(0,1/2),(1/2,-1/2),(1/2,0)$。原图66少画内圈六处，只作省略示意使用。

这组二元标识只用来判重合；均摊后的金刚石型每胞原子数仍是$8/8+6/2+4=8$。18个三维可见位置、13个投影位置、8个均摊原子必须分开。

本题结论

完整两模型均为13处；原第二投影省略六处

4. 占有率先计每胞球数，再找相切线

按“均摊n→标相切球中心→列线长与R→求a→代球体积/晶胞体积”推演。以下四个原知识模型都取同种等半径不重叠硬球，晶胞为立方体，即$a=b=c$且$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$。

例题 04 四种原硬球模型的完整推演

题目

原知识实例：四种典型结构的参数与空间占有率。 原子半径均设为R，分别求每胞原子数n、棱长a与空间占有率。四张原图完整如下。

答案与解析

解析

简单立方： 八角均摊为$n=1$。沿棱相切，两中心距$2R$，故$a=2R$。

$$\eta=\frac{1\times\frac43\pi R^3}{(2R)^3}\times100\%=\frac\pi6\times100\%\approx52.36\%.$$

体心立方： 八角合1加体心1，$n=2$。体对角线“角—体心—角”连续接触，首尾中心距为$4R$，所以$\sqrt3a=4R$，即$a=4R/\sqrt3$。

$$\eta=\frac{2\times\frac43\pi R^3}{(4R/\sqrt3)^3}\times100\%=\frac{\sqrt3\pi}{8}\times100\%\approx68.02\%.$$

面心立方： 角合1、六面心合3，$n=4$。面对角线“角—面心—角”连续接触，$\sqrt2a=4R$，即$a=2\sqrt2R$。

$$\eta=\frac{4\times\frac43\pi R^3}{(2\sqrt2R)^3}\times100\%=\frac{\pi}{3\sqrt2}\times100\%\approx74.05\%.$$

金刚石型： 角1、面心3、内部4，$n=8$。最近邻段仅为体对角线四分之一，该段两球相切：$\sqrt3a/4=2R$，所以$a=8R/\sqrt3$，不是把整条对角线写成$4R$。

$$\eta=\frac{8\times\frac43\pi R^3}{(8R/\sqrt3)^3}\times100\%=\frac{\sqrt3\pi}{16}\times100\%\approx34.01\%.$$

模型	每胞n	棱长a，且b＝c＝a	三夹角	占有率
简单立方	1	$2R$	均90°	52.36%
体心立方	2	$4\sqrt3R/3$	均90°	68.02%
面心立方	4	$2\sqrt2R$	均90°	74.05%
金刚石型	8	$8\sqrt3R/3$	均90°	34.01%

原金刚石“体对角线方向上相切”必须与紧随的四分之一段合读，不是整条体对角线上一串球连续排满。R是半径而非直径；三球串首尾中心距4R来自两段2R。

本题结论

参数与四项占有率见展开推导

三、坑点 辨清边界

1. 原点可选不等于解题时随意改轴

建模自由只在尚未固定坐标系时成立。一旦给定1、13、12等原坐标，就按同一个原点与轴序解释全部点；若真的换原点或轴向，必须一致变换所有坐标。周期0与1等价不等于题图编号可随意换边。

2. 省略示意不作完整点表，投影连线不作全键表

先读观察方向，后判重合。xy投影才可直接忽略z；沿体对角线要用沿视线的差向量。投影线可能只是画框、辅助线或选择性的成键示意，不保证显示全部粒子、全部近邻或全部化学键。原错列标题与原省略图都应带明释保留，不暗改原图再称完整原图。

3. 相切模型、均摊计数与体积必须一致

占有率大于100%时，先查n是否忘了均摊、接触线是否选错、a与R是否混半径和直径，再核体积是否真为a³。用投影圆点数当n、把一切晶胞写$a=2R$、把不同半径粒子硬套同一表，都会同时破坏几何与计量条件。

真实电子云没有固定硬边，硬球占有率只是指定模型的空间比较，不能据此反证电子在空隙中“绝对不存在”。

来源与使用边界

本章以已恢复化学KB的3篇正文为直接来源，20张原图逐图核对。坐标三模型、xy投影四组、体对角线投影两组与硬球四模型均为原知识实例，不伪装为原考试题；编排成四张先推后核的示例卡，全部原条件、编号、参数、结果与重要勘误保留。投影13处另以完整坐标去重独立复核；不冒称原DOCX、PDF或扫描已读。

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