加速度、合力与质量的实验关系

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控制变量不是让装置外观不变，而是明确哪些量实际保持不变。尤其要分清悬挂物重力与小车所受绳拉力。

一、知识点概念与依据

研究对象与控制变量

以小车及车上砝码为对象，总质量为 $M$ ，单位kg；加速度 $a$ 单位m/s²；实际合力 $F$ 单位N。保持 $M$ 研究 $a$ 与 $F$ ，保持 $F$ 研究 $a$ 与 $1/M$ ，分别检查是否近似正比。两量同时改变，不能仅凭 $a$ 变化归因于某一量。

补偿阻力与真实拉力

不挂砂桶，让带着纸带的小车沿略倾斜木板近似匀速滑动，使重力沿板分量抵消摩擦等阻力。轻推后“能滑动”不足以说明补偿好，须检查速度近似不变。保持纸带、负载等条件后，挂轻绳砂桶，绳与运动方向一致、滑轮和绳的质量摩擦可忽略时，设悬挂总质量 $m$ 、绳拉力 $T_{\text{绳}}$ ，沿各自运动方向列式：

T_{\text{绳}}=Ma,\qquad mg-T_{\text{绳}}=ma.

相加得到 $mg=(M+m)a$ ，所以

a=\frac{mg}{M+m},\qquad T_{\text{绳}}=\frac{Mmg}{M+m}<mg.

悬挂物也要加速，轻绳保证两侧拉力一致，不保证悬挂物平衡。以 $mg$ 为基准，相对差 $(mg-T_{\text{绳}})/(mg)=m/(M+m)$ 。仅当 $m\ll M$ 使差异小于所需精度，才可用 $mg$ 近似小车拉力。直接用力传感器测真实拉力，则不需要这项替代近似，其他控制条件仍须满足。

图像与测量量的对应

固定 $M$ 而增大 $m$ ，以 $mg$ 作横轴时，精确 $a=mg/(M+m)$ 会向下偏离 $a=mg/M$ 的近似直线。补偿不足时须先克服剩余阻力，常出现横轴正截距；补偿过度常出现纵轴正截距。须结合装置判断，不能把任何弯曲都解释成牛顿定律失效。

二、考点方法与例题

方法：先稳住控制条件，再做逐差与拟合

不挂砂桶、带纸带补偿阻力；只改变砂桶而小车负载及阻力条件不变，通常不必重做补偿。改变小车总质量或纸带等条件后要重新检查。
保持 $M$ ，改变 $m$ 研究 $a$ 与近似力 $mg$ ；研究质量关系时保持真实拉力或控制足够好的近似拉力，画 $a$ 对 $1/M$ 。
按纸带点迹数清计数周期。本例每两个打点周期取一点， $T=2/f$ ， $f$ 单位Hz。
六段位移分成前后三段，两个大段时长均 $3T$ 。恒加速度时位移差 $\Delta x=a(3T)^2$ 。各段以m代入，结果单位m/s²。
图像拟合看总体趋势，不任意删去末端“不在线上”的点；先检查近似和阻力条件。

例题 01 砂桶牵引小车与六段纸带（原题）

题目

为探究物体质量一定时加速度与力的关系，小明设计了如图甲实验装置。

加速度与力实验装置和图像

(1)实验中，平衡摩擦力时，（选填“需要”或者“不需要”）将砂及砂桶用细线绕过定滑轮系在小车上。适当垫高木板一端，轻推小车，使得小车能匀速下滑则认为平衡摩擦力。之后改变砂和砂桶质量，（选填“需要”或者“不需要”）重新平衡摩擦力。

(2)小明根据实验数据作出图像如图乙，该图线不过原点并在末端发生弯曲，其原因是_______。（选填字母代号）

A．木板右端垫起的高度过小（即平衡摩擦力不足）

B．木板右端垫起的高度过大（即平衡摩擦力过度）

C．砂和砂桶的总质量m远小于小车及车上砝码的总质量M

D．砂和砂桶的总质量m未远小于小车及车上砝码的总质量M

(3)图丙为某次实验得到的纸带，相邻两个计数点之间的距离如图，已知交流电频率为f，则小车加速度的表达式为a= 。（用 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 、 $x_{5}$ 、 $x_{6}$ 及f表示）

加速度与力实验计数点纸带

答案与解析

（1）两空均为不需要。补偿时不挂砂桶；此后仅改变砂桶质量，小车负载和阻力条件保持，通常无需重新补偿。

（2）AD。图乙横轴正截距说明补偿不足，A正确而B不符。末端向下弯是 $m$ 不再远小于 $M$ ，D正确；C恰是保障近似的条件，不能解释近似失效。

（3）令 $\Delta x=(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)$ 。恒加速度下，前后三段相隔 $3T$ ，故 $\Delta x=a(3T)^2$ ；图丙两计数点间还有一个打点， $T=2/f$ ，于是

\boxed{a=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{36}f^2}.

分母36不是9。若把打点周期当计数周期，所得加速度将大四倍。

三、坑点辨析与纠错

固定砂桶不等于精确固定拉力

固定 $m$ 而改变 $M$ 时， $T_{\text{绳}}=Mmg/(M+m)$ 仍随 $M$ 变化。因此“固定砂桶研究质量”依赖 $m\ll M$ 及实验精度，不能把近似控制写成无条件的严格控制。若使用力传感器，直接核对真实拉力是否保持。

同一图像的截距与弯曲不能互相代替

例题同时有两个特征：补偿不足解释截距，质量比近似失效解释末端弯曲。读图先分别问“零点偏在哪里”和“斜率为何变化”，再对应操作与模型。保持负载并不自动保证所有阻力条件不变，发现纸带牵扯等变化仍应重新检查。