理想气体模型与状态方程

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同一个瓶子不等于同一份气体。先写系统边界、气体量和初末状态，再由受力与热交换确定过程中保持什么不变。

一、知识点概念与依据

1. 理想化忽略什么，不忽略什么

理想气体忽略分子自身占据体积和碰撞之外的分子相互作用势能，采用理想状态关系。分子体积可忽略不等于气体总体积为零： $V$ 是分子可以运动的容器空间。忽略分子间作用也不等于不撞器壁，撞壁正是压强来源。

真实气体较稀薄、远离凝结时通常较接近此模型；高密度、高压、接近液化时可能失效，不能给所有气体设一个共同严格温压阈值。题干明确“视为理想气体”时按模型使用。边界已核OpenStax 理想气体定律。

固定量、成分不变的理想气体内能只随温度变化。单原子经典模型可写 $U=3nRT/2$ （按相应参考值），一般分子还可能有转动、振动贡献，不能一律套系数 $3/2$ 。真实气体与壁可交换能量，平衡时净交换为零，不沿用源材料“所有真实撞壁必有动能损失”的绝对说法。

2. 状态方程及单位

可用统一 $p,V,T$ 描述的平衡态满足

pV=nRT.

$p$ 为绝对压强，包含大气压； $V$ 为整份气体占据的全部空间； $n$ 为物质的量。用Pa、m³、mol、K时， $R\approx8.31\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}$ 。固定气体量时可约去 $nR$ ，得

\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}.

它联系两个状态，不要求实际中间路径一定等温、等压或等容；但不能把高速剧烈流动中不均匀的瞬态强行当统一平衡态。

可用假想中间态理解统一式：先在 $T_1$ 等温变到 $p_2$ ， $p_1V_1=p_2V_*$ ；再以 $p_2$ 等压变到 $T_2$ ， $V_*/T_1=V_2/T_2$ 。消去 $V_*$ 得到上述两态关系。这是推导状态联系的路径，不宣称实际题目这样变化。

3. 等压定律要由外力说明

固定 $n,p$ 时，从状态方程得 $V/T=nR/p$ 不变，即盖—吕萨克定律：

\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}.

温度用K；求比时体积可统一用m³、L或cm³，不能混用。气体体积包含连通瓶腔和管中气柱。轻薄液柱的重量、截面与外界压强不变时，液柱给气体的总外压不变；无摩擦自由活塞载重不变且缓慢移动，也可由受力平衡证明等压。

加热本身不保证等压，刚性密闭容器加热通常等容。等压 $V-T$ 图为过原点直线； $V-t$ 图的延长线约过−273℃，不能要求过摄氏零点，也不能无限外推真实气体到0K仍为气态。氮气测容积完整题见温标例题。

4. 变气体量时保留 $n_1,n_2$

漏气、充气仍可对各平衡状态写 $pV=nRT$ ，但不能沿用同一个 $pV/T$ 常量。同种气体摩尔质量 $M$ 相同，

\frac{m_2}{m_1}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{p_2V_2T_1}{p_1V_1T_2}.

瓶子没换只可能让 $V$ 相同，不能使 $n$ 相同。也可跟踪原来全部气体在最终温压下的等效体积，但必须包括已经排出的部分；等效总体积不是瓶子实体变大。

二、考点方法与例题

1. 气体题先列状态表和边界

选定气体，确认是否密封、是否漏气或注入；再列初末 $p,V,T$ ，温度转K、压强取绝对值。遇活塞先受力、遇液柱先静液压，不能默认 $p=p_0$ 。有转向、卡住、放气要分段，每段重新检查固定量。

2. 气缸转向，重力的轴向分量改变

竖直开口向上、下方封气的自由活塞，缓慢时 $pS=p_0S+mg$ 。水平气缸无摩擦时重力垂直轴线，不进入轴向平衡，故 $p=p_0$ 。转向过程若题目另保温度不变，应用等温式；“理想气体”本身不会把转向变成等压。

小华在家利用如图所示的装置通过简单易行的方法测量一个罐头瓶的体积。横截面积为S的吸管与罐头瓶的连接处气密性良好，细管中装有一小段水柱，如图甲所示。清晨时小华测出水柱下端到瓶盖处的高度（图甲中两虚线间距）为 ${h}_{1}$ ，从家中的温度计上读出环境的温度为 ${T}_{1}$ 。中午时再次测出上述两个物理量分别为 ${h}_{2}$ 和 ${T}_{2}$ ，两温度值均已换算成热力学温度。清晨时大气压为 ${p}_{0}$ ，瓶中气体可视为理想气体：

(1)若从清晨到中午大气压的变化可忽略不计，试估算罐头瓶的体积；

(2)若第二天清晨将细管和水柱取走，用适当大小的活塞将瓶口塞住，如图乙所示，此时瓶中气体的质量为 ${m}_{1}$ ，到中午时将活塞拔出，一小段时间后再将瓶口堵住，此时瓶中气体的质量为 ${m}_{2}$ 。若中午的大气压变为 $k{p}_{0}$ （ $k<1$ ），求 $\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$ 。

答案与解析

（1）设瓶容积 $V_0$ 。两状态各自与当时环境充分热平衡后，气体温度才可取 $T_1,T_2$ 。大气压变化忽略，短水柱重量与截面保持，其对气体附加压强不变，所以气体等压且不漏气。完整气体体积是 $V_0+hS$ ，

\frac{V_0+h_1S}{T_1}=\frac{V_0+h_2S}{T_2},\qquad V_0=\frac{(T_1h_2-T_2h_1)S}{T_2-T_1}.

要求 $T_2\ne T_1$ ，并需读数给出物理上正的容积；清晨和中午各自热平衡不意味着两者同温。

（2）原答案隐含第二天清晨、中午的气体平衡温度仍分别为 $T_1,T_2$ ，初态封口时压强为 $p_0$ 、重新堵住时已与外界达到 $kp_0$ 。原题未重新列第二天的温度，也未量化“一小段时间”是否足够；以下在这些隐含平衡条件成立时计算，不能静默把任何瞬态当终态。

分别写

p_0V_0=n_1RT_1,\qquad kp_0V_0=n_2RT_2.

同种气体质量比等于摩尔数比，得

\frac{m_2}{m_1}=\frac{kT_1}{T_2}.

若第二天实际温度为 $T'_1,T'_2$ ，应改为 $kT'_1/T'_2$ ；温度或终态压强没有确定时，不能仅凭题中第一天读数唯一得此比值。原解等效体积 $V_0+\Delta V$ 代表原来全部气体在终态条件的体积，不是瓶子扩大。

本题结论

（1） $V_0=(T_1h_2-T_2h_1)S/(T_2-T_1)$ ；（2）在原解隐含温度和平衡条件下 $m_2/m_1=kT_1/T_2$ 。

例题 02 气缸缓慢加热后转向

题目

如图所示，固定的竖直气缸内有一个质量为 $m$ 的活塞封闭着一定质量的理想气体，活塞横截面积为S，气缸内气体的初始热力学温度为 ${T}_{0}$ ，高度为 ${h}_{0}$ ，已知大气压强为 ${p}_{0}$ ，重力加速度为g。现对缸内气体缓慢加热，忽略活塞与气缸壁之间的摩擦。

(1)当气体的温度变为 $1.5{T}_{0}$ 时，求活塞与气缸底部的距离h；

(2)气体的温度变为 $1.5{T}_{0}$ 后，若缓慢将气缸顺时针旋转至开口水平向右，并保持气体的温度为 $1.5{T}_{0}$ 不变，求过程结束时活塞与气缸底部的距离h′。

答案与解析

（1）初态和加热中活塞竖直自由平衡， $p=p_0+mg/S$ 恒定。由等压关系

\frac{Sh_0}{T_0}=\frac{Sh}{1.5T_0},\qquad h=1.5h_0.

（2）题目明确旋转中温度保持 $1.5T_0$ 。转前 $p_2=p_0+mg/S$ 、 $V_2=1.5Sh_0$ ；转到水平后轴向只需平衡内外压力， $p_3=p_0$ 、 $V_3=Sh'$ 。由等温关系

(p_0+mg/S)(1.5Sh_0)=p_0Sh',

h'=1.5\left(1+\frac{mg}{p_0S}\right)h_0.

两段量和温度约束不同，不能把第一段等压延续到第二段；按题示足够长气缸及活塞仍封闭模型使用所得距离。

本题结论

（1） $h=1.5h_0$ ；（2） $h'=1.5(1+mg/(p_0S))h_0$ 。