径向受力与圆周运动临界

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向心力是作用效果的名字，不是新的施力物体。先找真实力能提供多少径向作用，再与当前速率和半径所需的值比较，临界之后要换模型。

一、知识点概念与依据

1. 径向方程左边是真实力，右边是运动需求

由向心加速度 $a_n=v^2/r$ ，把第二定律投影到指向圆心的方向，得到

\sum F_\text{径向}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r.

$m$ 用kg， $v$ 用m/s， $r$ 用m，力用N。向心力可以来自一股真实力、几股力的合力或各真实力的径向分量，不是与重力、弹力、摩擦并列的第四种力。

匀速圆周运动时，全部合力指向圆心，可直接称合力提供向心力；非匀速圆周运动还可能有切向合力改变速率，右式只等于径向合力，不能直接当全部合力大小。径向式逐时刻成立，不要求速率全程恒定。

2. 圆心在哪里，正方向就指向哪里

同一个竖直圆周的不同位置，径向会转动；不能把“向心”固定成向下，也不能把“重力”固定写成负号。先画真实力，再投影：

位置与理想受力	向心正方向	径向方程
绳球最高点	向下	$mg+T=mv^2/r$
绳球最低点	向上	$T-mg=mv^2/r$
凸桥顶端，车只受重力与支持	向下	$mg-N=mv^2/r$
凹桥最低点，同样二力	向上	$N-mg=mv^2/r$

$r$ 是轨迹曲率半径，不是桥的高度。支持力作用在车上，车对桥压力是其反作用力，大小与 $N$ 相等而非总等于 $mg$ 。

水平弯道的径向是水平方向，静摩擦可提供向心作用。圆锥摆则由绳力水平分量提供径向作用，竖直分量平衡重力；倾斜轨道的水平转弯也宜分解到水平径向、竖直方向，不将斜面法线直接认成圆心方向。

3. 所需向心作用与实际可提供作用不是一回事

保持当前半径和速率需要 $mv^2/r$ 的向内径向合力。若约束消失或不足，原圆周轨迹就不能继续保持，物体可能沿切线离开或逐渐远离原圆心，称为离心运动。

本页以地面近似惯性系分析，不另造一股真实外向“离心力”。失去约束的第一瞬间，普通有限力不让速度突变，仍保留原切线速度；若所有外力都消失，此后匀速直线运动；若仍受重力，则按剩余真实力运动，可能为抛物线，并非所有离心运动都全程走直线。

脱水和离心分离涉及不同物体对共同转动约束的响应，具体效果还受装置与材料影响；不需要在地面惯性系中补一个没有施力物体的外向力。

4. 水平转弯的静摩擦有上限

水平面上没有其他水平力、竖直无加速度时， $N=mg$ 。若最大静摩擦为 $\mu_smg$ ，保持匀速率转弯要求

m\frac{v^2}{r}\le\mu_smg\quad\Longrightarrow\quad v^2\le\mu_sgr.

这是给定摩擦和轨迹模型的可行条件，不是现实道路的通用安全限速。超出后会发生相对滑动，物体不能继续被强行假定沿原半径转弯；此后须按滑动摩擦和真实初始状态重建模型。

圆盘上物体相对盘静止而随盘匀速转动时，实际静摩擦 $f=m\omega^2r$ ，并非从一开始就等于上限。题设若明确最大静摩擦等于滑动摩擦，才可用共同的 $\mu$ 写 $f_{\max}=\mu mg$ ，得到

\omega\le\omega_c=\sqrt{\frac{\mu g}{r}}.

同材料、同盘角速度下，外侧半径大，需要的单位质量径向作用更多，临界角速度更小。质量约掉只针对这个模型，不代表一切摩擦问题都与质量无关。

5. 接触边界与提速过程要另外检验

轻绳只能拉，要求 $T\ge0$ ，不能用负拉力维持原来的绷紧轨迹。竖直圆周最高点若 $mv^2/r=mg$ ，仅重力恰好满足径向需求，此时 $T=0$ ，是绳刚好不需拉力的临界状态。

凸桥顶端 $N=mg-mv^2/r$ 必须非负。若算得负值，路面不能向下拉车，原接触圆周模型失效，应判断脱离接触，而不是报告一个负的压力大小。

圆盘“逐渐提高转速”的常见临界解采用逐时刻近似匀速。若角加速度不可忽略，静摩擦还要承担切向作用，总摩擦大小大于单独的径向需求；仅比较 $m\omega^2r$ 与上限不够。物体滑动后，也不能继续令它与转盘同角速度，摩擦方向改由相对滑动判定。

二、考点方法与例题

1. 照片先还原比例，再从真实力中求差额

照片长度不是实际长度，用同图已知半径比例统一换算。短曝光小段径迹除时间只能近似估计当地速率；再算所需径向合力，并用最高点受力求绳力，不把两者混同。

例题 01 短曝光照片中的竖直绳球运动

题目

某同学用不可伸长的轻质细线系一个质量为0.1kg的小球，使它在竖直面内绕一固定点做圆周运动。在小球经过最高点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为0.02s。如图，由于小球运动，在照片上留下了一条长度约等于0.01m的径迹。圆周的半径在照片中的长度为0.05m，实际长度为0.2m。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/ $\mathrm{s}^{2}$ 。则小球过最高点时（　　）

A．速度约为10m/s

B．仅受重力

C．所需的向心力约为1N

D．受到细线的拉力约为1N

答案与解析

照片0.05 m对应实际半径0.2 m，长度倍率为4，因此0.01 m径迹对应实际约0.04 m。短曝光近似速率 $v\approx0.04/0.02=2\,\mathrm{m/s}$ ，A的10 m/s错误。

所需径向合力 $m v^2/r=0.1\times4/0.2=2\,\mathrm N$ ，重力 $mg=1\,\mathrm N$ 。最高点圆心在下，真实向下力有重力与绳力：

mg+T=m\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad T=2-1=1\,\mathrm N.

因此不是仅受重力，B错；向心力作为径向合力为2 N而非1 N，C错；绳力约1 N，D正确。若再在左边添一股独立向心力，会把同一作用重复计算。

本题结论

选D。速率约2 m/s，径向合力约2 N，绳力约1 N。

2. 凹凸路面逐处找圆心，不套同一个符号

确认车辆整体、当地曲率半径与圆心方向。先求车受支持力，再用第三定律解释车给路面的压力；水平弯道比较静摩擦能力，倾斜轨道则把设计无侧压状态与额外侧向作用分开。

例题 02 凹桥与凸桥上的车辆

题目

题干地点与排名仅为原材料转述，未独立核验，不影响按图给定曲率和受力条件计算。

我国公路、铁路里程均居世界前列，下列关于汽车、火车行驶中的实例分析，说法正确的是（　　）

A．图甲中，汽车在水平弯道上转弯时发生侧滑，是因为受到的离心力过大

B．图乙中，汽车通过凹形桥最低点的速度越大，越容易发生“爆胎”

C．图丙中，汽车通过拱桥顶端的速度越大，汽车对桥面的压力就越大

D．图丁中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道，火车对内轨有侧压力

答案与解析

A错：地面惯性系中侧滑来自可提供的向心作用不足，不能另画一股真实“离心力过大”。

凹桥最低点圆心向上， $N-mg=mv^2/r$ ，即 $N=mg+mv^2/r$ 。同质量、半径下速度增大使轮胎承受的支持作用增大。原题据此将B的“更容易爆胎”判对；本式只证明机械载荷增大，不给真实爆胎概率，更不表示必然爆胎，实际材料、胎压和路况等并未建模。

凸桥顶端圆心向下， $mg-N=mv^2/r$ ，即 $N=mg-mv^2/r$ ，在仍保持接触的范围内速度越大、压力越小，C错。若计算需 $N<0$ ，便应换脱离接触模型，而非继续谈沿桥圆周。

D按题源外轨高于内轨、规定速度对应无额外侧压的理想模型判断：速度高于该值，需更多向内作用，车辆挤压外轨，外轨给车额外向内侧向力，不是挤压内轨，D错。真实“规定速度”未必仅由该理想设计关系决定，本题不作实际列车行驶指导。

本题结论

按题源课堂理想模型选B；所能直接计算的是凹桥支持力随速率增大。

3. 先算实际需求，再与摩擦上限比较

物体相对盘静止，不代表相对地面静止。先用共同 $\omega$ 求 $f=m\omega^2r$ ，再用题设上限解临界；比较时约去质量而保留半径。提速需明确逐时刻近似匀速的范围。

例题 03 转盘上两个圆盘的滑动条件

题目

如图所示，材料相同的甲、乙两个盘子放置在匀速旋转的餐桌上，并相对餐桌保持静止，其中甲盘比乙盘距离餐桌中心远。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）

A．若甲、乙两个盘子的质量相等，则两盘受到的摩擦力大小相等

B．甲、乙两个盘子的线速度大小相等

C．盘子的质量越小，越容易相对餐桌滑动

D．若餐桌的转速逐渐增加，甲盘先相对餐桌滑动

答案与解析

两盘随同一转桌转动， $\omega$ 相同而 $r_\text{甲}>r_\text{乙}$ 。若质量相等， $f=m\omega^2r$ 给 $f_\text{甲}>f_\text{乙}$ ，A错； $v=\omega r$ 也给 $v_\text{甲}>v_\text{乙}$ ，B错。

按题给最大静摩擦等于滑动摩擦，在逐时刻近似匀速模型下，临界满足 $m\omega_c^2r=\mu mg$ ，得 $\omega_c=\sqrt{\mu g/r}$ 。质量约去，不能由质量较小推断更易滑，C错；甲半径较大、临界角速度较小，在共同角速度缓慢增大时先到临界，D对。

若提高转速很快，需同时计算切向摩擦，不能只用这个径向等式。发生滑动后盘子也不再自动保持与餐桌同角速度，必须改按相对运动分析。

本题结论

按原解逐时刻近似匀速模型选D。

三、坑点辨析与纠错

1. 受力图里不另加“向心力”

常见错法：写 $mg+T+F_\text{向}=mv^2/r$ ，把运动效果变成一股新力。

错在何处：右边已经是所需径向合力，左边重力和绳力就是其真实来源，再加一次重复计数。

自查：每支箭头都能回答“谁对谁”。先画真实力，再取朝圆心分量；非匀速圆周还须留意切向作用。

2. 失去圆周约束，不是速度瞬间沿半径飞出

常见错法：绳断瞬间速度突然指向径外，或一切离心运动以后都走直线。

错在何处：速度保留当时切线方向，随后路径取决于剩余真实力。全部外力为零才维持切线匀速直线；有重力等就可能继续弯曲。

自查：将“约束改变瞬间的速度”与“之后受力决定的轨迹”分开；若支持力需为负或静摩擦超上限，就停止使用原圆周模型。