带电粒子的加速与偏转

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电场力把电学条件转化为力学运动。先判断粒子能否进入与是否撞板，再用能量求入射速度、用分运动求偏转，最后处理板外的运动。

一、知识点概念与依据

加速：能量求端点速度，动力学求时间

带电粒子进入电场，先根据电荷符号判断实际受力，不能只看“加速电压”就把带符号的q与正电压幅值直接相乘。电子从低电势阴极运动到高电势阳极， $q=-e$ ，电场功却为正： $W=(-e)(\varphi_{\text{阴}}-\varphi_{\text{阳}})=eU$ ，这里U为正的电压幅值。

忽略重力、只由电场力做功时，动能定理为

qU_{AB}=\frac12mv_B^2-\frac12mv_A^2.

从静止经过加速电压幅值U，若电场力确实做正功，则 $v=\sqrt{2|q|U/m}$ 。静电场不匀强也能用能量求端点速率，但时间与路径还依赖场的具体分布，不能仅用能量式求出。

若板间匀强、粒子从静止沿受力方向运动，板距d，则

a=\frac{|q|U}{md},\qquad d=\frac12at^2,\qquad t^2=\frac{2md^2}{|q|U}.

此时也可用恒加速平均速度v/2复核 $t=2d/v$ 。这些时间式依赖匀强场，不能套给任意加速过程。瞬间合力与速度共线不保证以后仍走直线；持续共线才可保持相应直线运动，恒加速度还要求合力恒定。基本粒子可忽略重力，不等于忽略质量；上述经典表达式也限于非相对论速度范围。

偏转：两个分量共用同一飞行时间

设粒子以水平初速度 $v_0$ 从两极板中线进入，极板长L、板距d，电场竖直且匀强，忽略重力和粒子间相互作用。x轴沿初速度，y轴选定竖直正方向， $a_y=qE_y/m$ 保留符号。由运动分解：

x=v_0t,\quad y=\frac12a_yt^2,\quad v_y=a_yt.

若粒子能到达右端， $t_L=L/v_0$ ，故

y_L=\frac{a_yL^2}{2v_0^2},\qquad\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{a_yL}{v_0^2}.

必须先核不撞板：从中线进入且单方向恒加速偏转时，到出口需满足 $|y_L|<d/2$ （临界擦边按题目理想约定处理）。若提前碰板，实际在场时间就不能再用L/v₀。

板外没有场且忽略重力时，粒子做匀速直线运动，不是抛体运动。若出口到屏的水平距离为D，屏上总偏移为

y_{\text{屏}}=y_L+D\tan\theta.

由于 $\tan\theta=2y_L/L$ ，出射直线反向延长会与入射中线交于板长中点；这个几何结论只适用于零初始竖直速度和恒定横向加速度的模型。

先加速再偏转：哪些量会消去比荷

同电性的粒子从静止经过相同加速电压U₁，再进入同一个偏转电场。令偏转电压幅值为U₂，y方向取沿正粒子受力，q>0，则

v_0^2=\frac{2qU_1}{m},\quad a_y=\frac{qU_2}{md}.

将它们代入偏转式，得到

y_L=\frac{U_2L^2}{4U_1d},\qquad \tan\theta=\frac{U_2L}{2U_1d}.

比荷q/m约去，所以相同装置中这些粒子的轨迹与出射方向相同；但速度和时间并不相同，飞行时间随 $\sqrt{m/q}$ 变化。若只是给不同粒子同一初速度，q/m一般不能约去；若换为异号粒子，还必须重新判断能否从原起点进入装置。

二、考点方法与例题

先确认所求量，再选能量或运动学

求端点速率优先列功与动能；求时间则必须加入场分布与运动学条件。电子的负电性由起终电势一起处理，加速电压幅值U本身不是带符号的UAB。最后用量纲与另一条路线核验。

例题 01 阴极射线管的加速时间

题目

如图为阴极射线管的简化图，在阴极射线管的阴极和阳极两端连接电压为 $U\ (U>0)$ 的高压电源，阴极、阳极间距离为d且两极间的电场视为匀强电场，对于阴极释放的某个电子（初速度为零），从阴极运动到阳极所用时间t的平方（　　）

A．与 $d^2$ 成正比，与U成反比

B．与U成正比，与 $d^2$ 成反比

C．与d成正比，与 $\sqrt U$ 成反比

D．与 $\sqrt U$ 成正比，与d成反比

答案与解析

电子从阴极到阳极时电场力做正功，匀强场中加速度大小为 $a=eU/(md)$ 。初速度为零， $d=at^2/2$ ，所以

t^2=\frac{2d}{a}=\frac{2md^2}{eU}.

因此 $t^2$ 与 $d^2$ 成正比、与U成反比，A正确。还可由 $eU=mv^2/2$ 得末速度，再用匀加速条件下的 $t=2d/v$ 得同样结果。B颠倒两个比例；C、D也不符合平方关系。

本题结论

选A。改变d而保持U时，加速度也随之改变。

分区列时间，联立加速与偏转

先查粒子是否能按原方向被加速；能进入者按加速区、偏转区、板外区分别建模。比较轨迹用消去q/m后的偏移和角度，比较时间则保留√(m/q)。区分板内偏移与到屏总偏移。

例题 02 质子、氦核与电子的路径

题目

如图所示，平行金属板A、B间为加速电场，平行金属板C、D间为偏转电场，M为荧光屏。一质量为m、电荷量为q的质子，从A板附近由静止出发，经过加速电场加速后，沿中线 $O_{1}O_{2}$ 水平射入偏转电场，最终打在荧光屏上的P点。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　）

A．质子从C、D间射出电场后做抛体运动

B．若氦原子核（质量为4m，电荷量为2q）从同一位置由静止释放，在两电场中的运动总时间更长

C．若氦原子核（质量为4m，电荷量为2q）从同一位置由静止释放，最终打在P点与 $O_{2}$ 点之间的某点

D．若电子从同一位置由静止释放，将打在荧光屏上 $O_{2}$ 点以下的位置

答案与解析

A错误，离开极板后不受力且忽略重力，粒子沿出射方向做匀速直线运动。

设加速板间距 $L_1$ 、偏转板长 $L_2$ ，加速电压U₁，则

t_1=\sqrt{\frac{2mL_1^2}{qU_1}},\qquad t_2=\frac{L_2}{v_0}=\sqrt{\frac{mL_2^2}{2qU_1}}.

两区总时间正确提取公因子后为

t=\sqrt{\frac mq}\left(\sqrt{\frac{2L_1^2}{U_1}}+\sqrt{\frac{L_2^2}{2U_1}}\right).

氦核的m/q为原质子的2倍，各区时间均变为原来的√2倍，B正确。资料原解析在提公因子后的括号内漏了根号，此处已更正，比较结论不变。

两种正粒子经过同一电压从静止加速，板内偏移与出射角分别为 $U_2L_2^2/(4U_1d)$ 和满足 $\tan\theta=U_2L_2/(2U_1d)$ ，均与m/q无关。板外直线方向也相同，因此氦核仍打在P，不在P与O₂之间，C错误。这里y是板内偏移，到屏还须加板外段。

电子从原位置静止释放时，原加速场对它的力反向，不能按质子路线进入偏转区，因此D错误，不能先假定电子进入再只反转偏转方向。

本题结论

选B。轨迹相同不代表时间相同；异号粒子要先检查能否进入。

三、坑点辨析与纠错

没检查撞板就计算完整板长时间

常见错法：所有粒子都在场中运动L/v₀，然后直接求屏上落点。

错因与检查： t=L/v₀的前提是确实到达右端。先将算得的出口偏移与d/2比较，越界时应解实际撞板时间，再求撞击位置，而不是继续延长不存在的板外轨迹。

辨析 01 偏转轨迹是否存在（自编辨析）

题目

理想平行板长0.20 m，板距0.020 m。粒子从中线以水平速度2.0×10⁶ m/s进入，竖直初速度为零，板内竖直加速度大小为4.0×10¹² m/s²。忽略重力。它能从右端射出吗？

答案与解析

假设能到右端，时间 $t_L=0.20/(2.0\times10^6)=1.0\times10^{-7}\,\mathrm s$ ，偏移

|y_L|=\frac12\times4.0\times10^{12}\times(10^{-7})^2=0.020\,\mathrm m>\frac d2=0.010\,\mathrm m.

所以粒子提前撞板。实际撞板时间 $t=\sqrt{d/a}=\sqrt{0.020/(4.0\times10^{12})}\approx7.07\times10^{-8}\,\mathrm s$ ，对应水平位置 $x\approx0.141\,\mathrm m$ ，小于板长。

本题结论

不能射出，约在入射端后0.141 m处撞板。

把“同电压从静止”删掉仍声称轨迹相同

常见错法：不管粒子怎样进入，同装置中的所有粒子偏转都与q/m无关。

错因与检查：只有同电性、同加速电压、从静止出发、进入相同偏转场等条件同时成立，才能代入v₀²=2|q|U₁/m消去比荷。若给定同一初速度，则yL正比q/m；若换电子，甚至可能无法按原路径进入。例题02分别说明这两个边界。