运动图像

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同样的折线，纵轴换了，物理含义就换了。位置图看斜率得速度，速度图看斜率得加速度、看带符号面积得位移；读图始终先认坐标轴。

一、知识点概念与依据

1. 位置—时间图像：高度是位置，斜率是速度

位置—时间图像（ $x-t$ 图）的横轴为时刻 $t$ ，纵轴为所选直线上的位置坐标 $x$ 。一个点 $(t,x)$ 表示物体在该时刻位于该位置。横轴不是另一个空间坐标，所以图线不是实际运动轨迹。

取图上两点 $(t_1,x_1)$ 、 $(t_2,x_2)$ ，对应过程的位移为 $x_2-x_1$ ，平均速度为

\bar v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.

这个比值就是两点连线（割线）的斜率。将两点靠近，得到曲线上某一点的切线斜率，即该时刻的瞬时速度。横轴单位为s、纵轴单位为m时，斜率单位是m/s，与速度一致。

斜率为正：沿规定正方向运动；斜率为负：沿负方向运动。
水平线：位置保持不变，物体静止，不是“在水平方向匀速前进”。
倾斜直线：斜率恒定，做匀速直线运动，图线升高并不表示加速。
曲线：斜率随时刻变化，速度改变；只凭图线向上弯或向下弯，不能把它当作实际弯道。

一段位移始终取末纵坐标减初纵坐标。即使原资料习惯称“位移—时间图像”，若图的初始纵坐标不为零，本章按相对于固定原点的位置坐标解释，不把末纵坐标直接当本段位移。

2. 速度—时间图像：高度是速度，斜率是加速度

速度—时间图像（ $v-t$ 图）的横轴为时刻，纵轴为带方向的速度。图线在时间轴上方表示 $v>0$ ，下方表示 $v<0$ ，速度大小看 $|v|$ ；经过时间轴时速度为零，但是否反向还要检查两侧速度符号是否改变。

两点连线斜率为

\bar a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1},

对应这段过程的平均加速度；某点切线斜率对应瞬时加速度。纵轴单位m/s、横轴单位s，斜率单位为m/s²。直线段表示恒加速度；水平段表示加速度为零，不一定速度为零。

图线向下只说明加速度为负：仍在轴上方时，正向运动并减速；已在轴下方时，负向运动且速率增大。要判断加减速，必须同时读纵坐标和斜率。

3. 速度图的面积为什么等于位移

恒速 $v$ 持续小时间 $\Delta t$ ，位移 $\Delta x=v\Delta t$ ，正好对应 $v-t$ 图中的小矩形面积。把一般运动划成足够短的小段，每段近似匀速，再累计位移；分段越细，近似越精确，最终得到图线与时间轴之间的带符号面积。

轴上方面积记正、下方面积记负，代数和是总位移。
各块面积的大小相加，是总路程。
面积的量纲为 $(\mathrm{m/s})\times\mathrm s=\mathrm m$ 。

三角形、梯形和矩形图段可以直接按几何面积计算；曲线围成的面积不必总有简单公式，也可根据图线高低比较大小。比较位移必须使用同一时间范围、同一正方向；图线曾交叉时须分段，不能只比较最后一个时刻的高度。

$x-t$ 图的面积单位是 $\mathrm{m\cdot s}$ ，不是位移。沿 $x-t$ 图线量长度也不是路程：这条线同时混合时间轴和位置轴，不能把绘图纸上的长度当物体实际路径。

4. 交点、转向与返回起点不是同一个事件

要判断的事件	在 $x-t$ 图上	在 $v-t$ 图上
某时刻的位置	直接读纵坐标	初位置加此前带符号面积
某时刻的速度	切线斜率	直接读纵坐标
运动反向	速度即斜率改变正负	速度即纵坐标改变正负
返回初位置	纵坐标回到初值	从起始到此时的累计带符号面积为零
两物体相遇	同一时刻位置相同	初位置加各自累计位移后相同

$x-t$ 图线交点可判相遇，须两物体沿同一直线运动并共用参考系、原点与时间标准。 $v-t$ 图线交点只表示同速，不保证相遇。一般的相遇条件为

x_{1,0}+\Delta x_1=x_{2,0}+\Delta x_2.

只有同地出发时，才可把条件简化为累计带符号面积相等。初位置不同不能静默删掉初位置差。

图上折线尖角代表理想化的突变。 $x-t$ 图尖角处左右斜率不同，不能为该点指定唯一瞬时速度；讨论“在该时刻转向”通常指转折前后运动方向相反，不等于尖角处有一个确定的有限加速度。

二、考点方法与例题

1. 从初末位置、割线和切线分别读量

先在横轴标出所问区间，分别读取两端位置。求位移作末减初，求平均速度再除以区间时长；求瞬时速度看局部切线，不拿整段割线代替。直线段可取任意两点求同一个速度，曲线段必须区分平均与瞬时。

例题 01 机器人不是沿图上的弯线行走

题目

智能机器人已经广泛应用于宾馆、医院等服务行业，用于给客人送餐、导引等服务，深受广大消费者喜爱。如图甲所示的医用智能机器人沿医院走廊运动，图乙是该机器人在某段时间内的位移—时间图像，则机器人(　　)

A. 在0~30s内的位移是2m

B. 在0~10s内做匀加速直线运动

C. 在20~30s内，运动轨迹为曲线

D. 在10~30s内，平均速度大小为0.35m/s

答案与解析

图乙表示走廊直线位置随时间的变化。原题称“位移—时间图像”，但起始纵坐标为2 m，故应按相对固定原点的位置来读。

0—30 s的初末位置是2 m和0，总位移 $0-2=-2\,\mathrm m$ ，不是A给的正2 m。0—10 s图线斜率恒定，速度为 $(7-2)/10=0.5\,\mathrm{m/s}$ ，做匀速直线运动，而非B所说的匀加速运动。20—30 s位置图弯曲只反映速度变化，不代表轨迹弯曲，C错误。

10—30 s的初末位置是7 m和0，故

\bar v=\frac{0-7}{30-10}=-0.35\,\mathrm{m/s},

其大小0.35 m/s，D正确。延伸检查：全程先从2 m到7 m，再返回0，总路程为 $5+7=12\,\mathrm m$ ，并不是图线在纸上的长度。

本题结论

选D。全程位移−2 m；10—30 s平均速度大小0.35 m/s。

2. 形状相同，轴不同：分开读方向、变化率和面积

给每幅图先写一行“纵坐标是什么、斜率是什么”。随后读方向和变化率；返回起点另查位置或累计面积。对直线 $v-t$ 段用两点求加速度，零速度处仍可有非零斜率。

例题 02 甲的位置图与乙的速度图

题目

如图所示，图甲为甲物体做直线运动的x-t图像，图乙是乙物体做直线运动的v-t图像。关于甲、乙两物体在前8s内的运动，下列说法正确的是(　　)

A. 4s末甲的运动方向发生改变

B. 4s末乙的运动方向发生改变

C. 前6s内甲的位移为6m

D. 6s末乙回到出发点

答案与解析

甲图是 $x-t$ 图：0—4 s斜率为 $(2-0)/4=0.5\,\mathrm{m/s}$ ，4—8 s斜率为 $(-2-2)/4=-1\,\mathrm{m/s}$ 。4 s前后斜率变号，运动反向，A正确；图中4 s为理想尖角，不为尖角处定义单一瞬时速度。6 s甲的位置回到0，前6 s位移为零，不是6 m，C错误。

乙图是 $v-t$ 图：4 s速度仍为 $+2\,\mathrm{m/s}$ ，只是加速度从正转负，未反向，B错误。其加速度分段为

a_{0\text{—}4}=\frac{2-0}{4}=0.5\,\mathrm{m/s^2},\qquad a_{4\text{—}8}=\frac{-2-2}{4}=-1\,\mathrm{m/s^2}.

6 s乙速度为零，但仍位于后一条倾斜直线段上，加速度为 $-1\,\mathrm{m/s^2}$ 。前6 s累计位移为

\Delta x_{0\text{—}6}=\frac12\times4\times2+\frac12\times2\times2=6\,\mathrm m,

所以D错误：乙尚未回到起点，而是在所示过程中离起点最远的位置。6—8 s负面积为 $-2\,\mathrm m$ ，故前8 s总位移4 m、路程8 m。乙4—6 s减速，6—8 s沿负向加速，不能把下降图段一概叫减速。

本题结论

选A。甲4 s转向；乙6 s才转向，零速不代表零加速度或回到起点。

3. 综合比较两类图的位移与加速度

$x-t$ 图比较位移用端点差，比较速度用斜率； $v-t$ 图比较位移用带符号面积，比较加速度用斜率。选项含两个判断时须都正确。若题目明确 $x-t$ 图为以 $t$ 为自变量的抛物线，可写 $x=At^2+Bt+C$ ，于是 $v=2At+B$ 、 $a=2A$ 恒定；仅过原点并不能推出初速度为零。

例题 03 四物体：有的看斜率，有的看面积

题目

a、b两个物体在同一条直线上运动，两物体的位移x随时间t变化的关系图像如图甲所示；c、d两个物体在另一条直线上运动，两物体的速度v随时间t变化的关系图像如图乙所示，其中b、d均为抛物线。下列分析正确的是(　　)

A. 0～ $t_{1}$ 时间内，a、b两物体运动方向相反，c、d两物体运动方向相同

B. 0～ $t_{1}$ 时间内，a、b两物体通过的位移相同，c的位移大于d的位移

C. $t_{2}$ 时刻物体a的速度为零，物体c的加速度为零

D. 0～ $t_{2}$ 时间内，b的加速度不变，d的加速度逐渐变大

答案与解析

A：甲图中a的斜率为负，b的斜率在所考察开区间为正，方向相反。乙图c、d的速度在0到 $t_1$ 之间均为正，方向相同，A正确。

B：a由 $x_2$ 到 $x_1$ ，其带方向位移为 $\Delta x_a=x_1-x_2<0$ ；b由0到 $x_1$ ，位移为 $\Delta x_b=x_1>0$ 。二者位移不相同。原资料出现的 $x_2-x_1$ 只能表示a这段位移的大小，不能当作带符号位移。乙图0到 $t_1$ 内c一直高于d，所以c的正面积、位移确实更大，但B的前半句错误，整项仍错。