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外观

电场强度与电场线

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从电荷之间的一对作用力，转向空间中每个位置的受力性质。掌握场强的矢量含义，才能把场源、试探电荷、场线和粒子运动分清。

一、知识点 概念与依据

场强描述场，不描述试探电荷本身

电场通过对电荷施力显示其作用。在同一位置，足够小的试探电荷所受电场力随电荷量成比例变化，力与电荷量的比值便用来描述这个位置的电场：

E=Fq,F=qE.\boldsymbol E=\frac{\boldsymbol F}{q},\qquad \boldsymbol F=q\boldsymbol E.

场强是矢量，方向规定为正试探电荷的受力方向；负电荷所受力与场强反向。矢量式中的 qq 带正负号，只计算大小时用 E=F/∣q∣E=F/|q|。单位是 N/C\mathrm{N/C}，也可写 V/m\mathrm{V/m}。

试探电荷应足够小，尺寸可忽略，不显著改变原场源分布。固定场源与位置，把正试探电荷加倍，力也加倍，F/qF/q 不变；移去试探电荷，场源仍在，电场也仍在。若试探电荷太大而使导体场源重排，就不满足“不扰动原场”的前提。

定义式不是独立比例律。不能固定 FF 又任意改变 qq，由此断言 EE 与 qq 成反比。场源改变和试探电荷改变，是两件不同的事。

点电荷场与场强叠加

真空中静止点场源 QQ 对试探电荷 qq 的力满足库仑定律。除以 ∣q∣|q| 后，得到

E=k∣Qq∣/r2∣q∣=k∣Q∣r2.E=\frac{k|Qq|/r^2}{|q|}=k\frac{|Q|}{r^2}.

QQ 是产生场的电荷，qq 是检验场的电荷；rr 从场源量到场点。正场源的场向外，负场源的场向内。这个式子是点电荷场的计算式，不能用它给任意匀强场凭空指定一个距离。

几个场源共同存在时，在同一场点分别画出各场强方向，再叠加：

E总=E1+E2+⋯ .\boldsymbol E_{\text{总}}=\boldsymbol E_1+\boldsymbol E_2+\cdots.

若最后求目标电荷受力，再用带符号的 qq 乘总场强。等半径球面上场强大小相等，但径向不同，矢量一般不相同；这正说明“相同”比“大小相等”多一个方向条件。

电场线：切线给方向，疏密给强弱

电场线是描述电场的有向曲线，不是真实丝线。曲线上某点的切线方向表示当地场强方向；在同幅、同一画线规则的图中，线密处场强较大。静电场线由正电荷或无穷远出发，终止于负电荷或无穷远；非零场处场强方向唯一，所以场线不相交。零场点则不能硬指定一个唯一方向。

正点电荷的场线向外辐射，同样的线数分布在更大的球面上就更疏，与 E∝1/r2E\propto1/r^2 一致。不同示意图可人为选择不同的画线数量，不能直接跨图数线比较绝对大小；没有画线的空白也不代表没有电场。

场线切线给 E\boldsymbol E，运动轨迹切线给 v\boldsymbol v。电场力决定加速度，速度却取决于初速度与此前的运动，二者不能混同。仅受电场力的粒子若沿弯曲场线运动，力就处处沿轨迹切线，没有转弯所需的法向力，因此一般不能沿弯曲场线走。

匀强电场：矢量处处相同

在所研究区域内，电场强度大小与方向都相同，才叫匀强电场。场线表现为等间距、同方向的平行直线。足够大、靠近且正对的两块带等量异号电荷的平行金属板，中部远离边缘的区域可近似采用此模型；边缘场线弯曲，不能认为任何位置都严格匀强。

同一粒子在匀强场中受到恒定电场力，但是否做匀速运动、直线运动，要看合力和初速度。若还有重力、绳力，应一起列入受力分析；仅有电场力时，初速度平行场线可作直线运动，有横向初速度则可发生偏转。

仅受电场力时，用场强比较不同粒子的运动还要注意 a=qE/m\boldsymbol a=q\boldsymbol E/m：即使场强相同，电荷量或质量不同，加速度仍可不同。

二、考点 方法与例题

把定义式、点源式和方向约定分开

先判断题目改变的是场源、场点还是试探电荷。随后分清大小式与矢量式：负电荷改变受力方向，不改变给定场的方向。判断两个场强相同，必须分别写出大小和方向。

例题 01 场强的四种常见说法

题目

关于电场强度，下列说法正确的是（　　）

A．电场看不见，摸不着，但是电场也是物质存在的一种形式

B．电场中某点的电场强度方向就是试探电荷在该点的受力方向

C．根据电场强度的定义式E=FqE=\frac Fq可知，EE与FF成正比，EE与qq成反比

D．由点电荷的场强公式E=kQr2E=\frac{kQ}{r^2}可知，以点电荷QQ为中心的球面上的各点的电场强度相同

答案与解析

A成立，电场可以通过施力等作用被检验。B漏掉“正”试探电荷条件，负电荷受力反向。C把随电荷量改变的力误当作独立不变的量。D在等半径球面上只能得到大小相等，不同位置的径向方向不同。

本题结论

选A。定义关系不能误读成独立比例关系。

先画方向，再叠加各点电荷的场

在同一场点画各场源产生的场强箭头，距离统一换成米。共线时取一个正方向做代数加法，不共线时分解；不要先把电荷量相加后共用一个距离。

例题 02 两个正点电荷之间的场强

题目

真空中有正点电荷Q1、Q2，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上。已知Q1、Q2的电荷量均为1.6×10−8 C1.6\times10^{-8}\,\mathrm C，静电力常量为9.0×109 N⋅m2/C29.0\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}，则x=2cm处的电场强度大小为（　　）

双正点电荷场强叠加
双正点电荷场强叠加

A．2.7×105 N/C2.7\times10^5\,\mathrm{N/C}

B．3.0×105 N/C3.0\times10^5\,\mathrm{N/C}

C．4.0×105 N/C4.0\times10^5\,\mathrm{N/C}

D．8.0×105 N/C8.0\times10^5\,\mathrm{N/C}

答案与解析

取向右为正。两场源到 x=2 cmx=2\,\mathrm{cm} 的距离分别为 0.02 m0.02\,\mathrm m 和 0.04 m0.04\,\mathrm m。Q1Q_1 的场向右，Q2Q_2 的场向左：

E1=9.0×109×1.6×10−80.022=3.6×105 N/C,E_1=\frac{9.0\times10^9\times1.6\times10^{-8}}{0.02^2}=3.6\times10^5\,\mathrm{N/C},

E2=9.0×109×1.6×10−80.042=0.9×105 N/C.E_2=\frac{9.0\times10^9\times1.6\times10^{-8}}{0.04^2}=0.9\times10^5\,\mathrm{N/C}.

所以 E总=E1−E2=2.7×105 N/CE_{\text{总}}=E_1-E_2=2.7\times10^5\,\mathrm{N/C}，方向向右。若把大小直接相加，会错得 4.5×105 N/C4.5\times10^5\,\mathrm{N/C}。

本题结论

选A，场强大小为2.7×10⁵ N/C，方向向右。

用电场线同时比较大小和方向

读箭头与当地切线，再读局部疏密。等半径只保证点源场大小相等，同一径向只可能保证方向相同，只有两项同时一致才是相同场强。图中的无箭头虚线是辅助线，不能误认成电场线。

例题 03 四幅场线图中的相同场强

题目

下列各电场的电场线分布图中，A、B两点的电场强度相同的是（　　）

A．

比较场强选项甲
比较场强选项甲

B．

比较场强选项乙
比较场强选项乙

C．

比较场强选项丙
比较场强选项丙

D．

比较场强选项丁
比较场强选项丁
答案与解析

A是负点电荷等半径的不同位置，大小相等而方向不同。B两点都在正场源右侧，方向同向，但A更近，场强更大。C平行板中部场线等距平行，大小与方向都相同。D中A附近场线更密，且A、B切线方向不同。

本题结论

选C。两点都在同一电场中，不代表场强相同。

由平衡条件反推电性与场强

受力图只画实际力：重力、绳力和电场力。先从平衡确定电场力方向，再和题给场强对比判电性；选定角度相对于水平还是竖直后再列分量，不额外添加“平衡力”。

例题 04 匀强电场中的悬球

题目

用轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1．0×10−210^{-2}kg、电荷量为2.0×10−810^{-8}C的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，如图平衡时细线与铅垂线成37°（g取10m/s2\mathrm{s}^{2}，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则（　　）

匀强电场中悬球平衡
匀强电场中悬球平衡

A．小球带正电

B．匀强电场的场强为1.5×10810^{8}N/C

C．平衡时细线的拉力为0.125N

D．平衡时细线的拉力为0.175N

答案与解析

绳力有向左的水平分量，平衡要求电场力向右，与场强同向，故小球带正电。角度相对铅垂线：

Tcos⁡37∘=mg,Tsin⁡37∘=qE.T\cos37^\circ=mg,\qquad T\sin37^\circ=qE.

于是

T=0.01×100.8=0.125 N,T=\frac{0.01\times10}{0.8}=0.125\,\mathrm N,

E=mgtan⁡37∘q=0.1×(0.6/0.8)2.0×10−8=3.75×106 N/C.E=\frac{mg\tan37^\circ}{q}=\frac{0.1\times(0.6/0.8)}{2.0\times10^{-8}}=3.75\times10^6\,\mathrm{N/C}.

A、C正确，B、D数值错误。若改变场强，必须重新检查合力，不能把原平衡关系当作始终成立。

本题结论

选AC。角度相对竖直，竖直分量用余弦。

三、坑点 辨析与纠错

把试探电荷当成场源

常见错法： 不放试探电荷便无场，或试探电荷加倍场强减半。

错因与检查： 固定场源与场点时，力随试探电荷一起改变，不能固定力来比较。区分点源公式中的Q与受力公式中的q，并检查试探电荷是否足够小。

辨析 01 移走试探电荷以后

题目

关于电场强度，下列说法正确的是（　　）

A．若在电场中的某一点不放试探电荷，则该点的电场强度为0

B．试探电荷在电场中受到的静电力大小与其电荷量大小无关

C．电场中某点电场强度的方向与单位电荷在该点受到的静电力方向相同

D．点电荷周围某点电场强度E的大小与场源电荷的电荷量Q成正比，与到场源电荷距离r的平方成反比

答案与解析

A错误，移走测量工具不让电场消失。B错误，固定场强时受力大小为|q|E。C没有说明单位正电荷，若为负电荷则反向。D在点电荷模型中成立，原选项Q默认表示电荷量大小；若Q带符号，大小式应写k|Q|/r²。

本题结论

选D。场源电荷决定场，试探电荷用来显示场。

只比较大小就说矢量相同

常见错法： 等半径或场线一样密，就直接判场强相同。

错因与检查： 再写一句“方向是否相同”。例题03A项大小相同但方向不同，B项方向相同但大小不同；若进一步比较受力，还要核对电荷量及其符号。

把电场线看成粒子必走的轨迹

常见错法： 正粒子从静止释放，就会沿任意电场线运动。

错因与检查： 初始加速度沿场强，不等于后续速度处处沿场强。曲线运动需要法向力；如果粒子仅受沿曲线切线的电场力，就不能沿那条曲线转弯。反过来也不能说轨迹永远不与场线重合，直场线及合适初速度是可能的。只有电场力充当合力时，才可由轨迹的弯曲一侧判断电场力的法向分量，再结合场强方向反推电性；若还有其他力，就不能直接这样推断。

辨析 02 沿弯曲电场线运动？

题目

如图所示是描述甲、乙两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是（　　）

异种点电荷场线与运动判断
异种点电荷场线与运动判断

A．甲带负电，乙带正电

B．甲的电荷量小于乙的电荷量

C．P点的电场强度大于Q点的电场强度

D．在P点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到Q点

答案与解析

箭头从甲出发、指向乙，甲正乙负，A错误。按题图采用的统一画线规则，甲还有伸向无穷远的场线，图示电荷量关系不是甲小于乙，B错误。P附近场线比Q密，C正确。D将力的方向当成速度方向；仅沿场线切线的力不能提供沿该弯曲场线运动所需的法向加速度，因此D错误。这里“部分电场线”须按题图整体分布理解；在任意截取、线数约定不统一的示意图中，不能只数局部线条反推总电荷。

本题结论

选C。场线给受力依据，不直接给轨迹。