活塞受力与接触约束

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先由活塞受力确定绝对压强，再用气体方程联系状态。销钉和卡环会让同一气体先后经历不同过程，求出的接触力还必须符合单向接触与强度限制。

一、知识点概念与依据

1. 等容变化与销钉作用

固定量理想气体体积不变时，由 $pV=nRT$ 得到查理定律：

\frac pT=\frac{nR}{V}=C,\qquad \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}.

$p$ 为绝对压强（Pa）， $T$ 用K，常量 $C$ 取决于气体量及容积。刚性密闭容器或固定位置的活塞可维持等容。微观上数密度不变，升温使分子撞壁的平均动量传递增强，所以压强升高。

销钉固定活塞时，销钉的作用力可以随温度改变；不能一边认定体积固定，一边遗漏销钉、强令气压永远平衡重力与大气压力。拔钉后若活塞移动，原等容阶段就结束；若要求拔钉后仍静止，应先找不需要销钉作用力的平衡状态。

2. 压强不是大气压的同义词

活塞一侧气体产生的压力为 $pS$ ，方向垂直活塞表面并由气体指向活塞。对上方通大气、下方封气的自由竖直活塞，忽略摩擦且静止或准静态时

pS=p_0S+mg,\qquad p=p_0+\frac{mg}{S}.

这里 $S$ 用 $\mathrm{m^2}$ ， $mg/S$ 才是Pa。横置、连接不同面积活塞、弹簧、摩擦或卡环都会改变受力式；快速运动需写合力等于 $ma$ ，不能直接用静力平衡。导热良好意味着较易与外界交换热量，不单独保证等压；用环境温度表示气温还需到达热平衡。

3. 卡环只在接触时提供允许方向的力

阶段	约束力方向	状态特征
活塞由下卡环托住	下环向上推活塞	$V$ 固定， $pS+N_b=p_0S+mg$
不接触卡环、自由移动	无卡环力	外压、重力不变时 $p$ 固定
活塞被上卡环挡住	上环向下推活塞	$V$ 固定， $pS=p_0S+mg+N_a$

两种接触力均需 $N\ge0$ ；若代数结果是负数，说明该环不能提供所需的拉力，应改用脱离接触的阶段。同时要求 $N$ 不超过承受极限。到达卡环的临界位置通常对应 $N=0$ ，但之后继续改变温度，接触力不再为零。

4. 连接双活塞整体受力

选活塞和轻杆为整体，可消去杆的内力；气体压力与外界大气压力仍是整体外力，不能因两活塞相连就删掉。分别按每块活塞的面积和受力方向相加，不能把不同面积都写成同一个 $S$ 。上小下大的双活塞中，夹在两者间的气体对上活塞向上、对下活塞向下，气体合力向下；大气的合力方向相反。

二、考点方法与例题

1. 先受力、再状态、最后验接触

选活塞或连接整体，逐项标出 $pS$ 、 $p_0S$ 、重力和约束力。
按静止或准静态写平衡式；由销钉、卡环位置判断固定的是体积还是压强。
以初末平衡状态列 $pV/T$ 关系，固定量才可约去 $nR$ 。
在自由移动与接触之间计算临界温度或体积，决定末态落在哪一段。
回代求约束力，检查方向、极限以及预设接触是否成立。负接触力不是另一种合理压力，而是否定该阶段假设。

如图所示，两端开口的导热汽缸竖直放置，用轻杆连接的A、B两活塞面积分别为 $20{cm}^{2}$ 、 $40{cm}^{2}$ ，质量分别为 $0.5kg$ 、1kg。用销钉P将A栓住，环境温度为300K，封闭气体压强为 $1\times {10}^{5}Pa$ 。已知大气压强 ${p}_{0}=1\times {10}^{5}Pa$ ，重力加速度大小g取 $10\,\mathrm{m}/{s}^{2}$ ，不计一切摩擦，缸内气体可视为理想气体。

(1)当环境温度变为285K时，求封闭气体的压强。

(2)当环境温度变为多少时，拔掉销钉后活塞还能保持静止？

答案与解析

（1）销钉固定，气体体积与量不变。达到环境温度285K后

p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=10^5\times\frac{285}{300}=9.5\times10^4\,\mathrm{Pa}.

（2）拔钉后保持静止，销钉力必须已不需要。对两活塞与轻杆整体，向上为大气合力 $p_0(S_2-S_1)$ ，向下为气体合力 $p_3(S_2-S_1)$ 及总重力 $(m_1+m_2)g$ ，故

p_0(S_2-S_1)=p_3(S_2-S_1)+(m_1+m_2)g.

注意 $S_2-S_1=20\,\mathrm{cm^2}=2.0\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$ ，得到

p_3=10^5-\frac{(0.5+1)\times10}{2.0\times10^{-3}}=92500\,\mathrm{Pa}.

拔钉前仍是等容过程， $T_3=T_1p_3/p_1=300\times0.925=277.5\,\mathrm K$ 。温度低于原来，气压下降，大气向上合力的剩余部分才能平衡重量。

本题结论

（1）9.5×10⁴Pa；（2）277.5K。销钉固定与撤去销钉对应不同受力约束。

例题 02 上下卡环限制活塞的温度范围

题目

如图所示，导热性能良好的气缸开口向上竖直放置， $a$ 、 $b$ 是固定在气缸内壁的卡环，两卡环间的距离为h，缸内一个质量为m、横截面积为S的活塞与气缸内壁接触良好，无摩擦不漏气，活塞只能在 $a$ 、 $b$ 之间移动，缸内封闭一定质量的理想气体。此时环境温度为 ${T}_{0}$ ，活塞与卡环b刚好接触，且无相互作用力，活塞离缸底的距离为 $3h$ 。已知卡环能承受的压力最大为 $\frac{1}{2}mg$ ，活塞的厚度不计，大气压强满足 ${p}_{0}=\frac{5mg}{S}$ ，重力加速度为g，求：

(1)要使卡环不被破坏，环境的温度最低能降到多少；

(2)若提高环境温度，当环境温度为 $1.4{T}_{0}$ 时，试通过计算判断卡环是否损坏？若不损坏，此时缸内气体的压强多大。

答案与解析

初态活塞与下卡环刚接触但无相互作用力， $p_1S=p_0S+mg=6mg$ ，所以 $p_1=6mg/S$ ， $V_1=3hS$ 。

（1）降温后活塞被下环托住，体积不变。最低允许温度对应下环支持力达到 $N_b=0.5mg$ ，由

p_2S+0.5mg=6mg

得 $p_2=5.5mg/S$ 。等容关系给出

T_2=T_0\frac{p_2}{p_1}=\frac{11}{12}T_0.

（2）升温先使活塞离开下环，在 $p=6mg/S$ 下自由上移。由 $V/T$ 不变，气柱从3h长到4h、刚碰上环时的温度为 $T_c=4T_0/3$ 。因为 $1.4T_0>T_c$ ，末态应被上环挡住，不是继续自由膨胀。

假设上环未损坏，末态体积 $V_3=4hS$ ，由两态式

p_3=p_1\frac{V_1}{V_3}\frac{T_3}{T_0}=\frac{6mg}{S}\times\frac34\times1.4=\frac{6.3mg}{S}.

上环向下作用力 $N_a=p_3S-6mg=0.3mg$ ，既为正又小于 $0.5mg$ ，故接触假设和未损坏假设都成立。活塞对上环的力与此等大反向，卡环并未损坏。

本题结论

（1）最低温度11T₀/12；（2）卡环未损坏，末态压强6.3mg/S。

活塞受力与接触约束

一、知识点概念与依据

1. 等容变化与销钉作用

2. 压强不是大气压的同义词

3. 卡环只在接触时提供允许方向的力

4. 连接双活塞整体受力

二、考点方法与例题

1. 先受力、再状态、最后验接触

例题 01 轻杆连接的双活塞与销钉

例题 02 上下卡环限制活塞的温度范围

三、坑点辨析与纠错

1. 固定活塞时不能遗漏固定装置的力

2. 求出末态数值后仍要检验过程