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电学实验：静电力与电容充放电

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控制变量决定实验能证明什么，过程边界决定图像面积代表什么。本章把原解析所用、题面未明确给出的充分充电条件列出，不把缺条件的数值当无条件结论。

一、知识点 概念与依据

控制变量：把不可见的力转成可比较的偏角

比较静电力与距离的关系时，两球电荷量尽量不变，只改变球心距离；比较与电荷量关系时保持距离条件，再改变电荷量。悬丝偏角是力的间接显示，不是电荷量的直接读数。

设 θ\theta 为悬丝偏离竖直方向的角度，m为质量（kg），g为重力加速度（m/s²）。若小球静止、静电力水平，受重力mg、拉力T、电场力F（三力均用N），Tcos⁡θ=mgT\cos\theta=mg、Tsin⁡θ=FT\sin\theta=F，因此 F=mgtan⁡θF=mg\tan\theta。静电力不水平时要按真实方向重新分解，不能照套此式。控制相同小球和悬丝条件，并尽量减少漏电、气流扰动；实际距离是平衡后的球心间距，不简单等于悬挂点间距。

定性看到距离大、偏角小，只支持力随距离增大而减小的趋势；要论证平方反比，还须定量测量及控制其他变量，三次趋势观察并不能单独证明指数为2。

电流图的面积给出转移电荷

平均电流 Iˉ=Δq/Δt\bar I=\Delta q/\Delta t；短时间内电流变化很小时，可用该小段的代表电流I近似，得到 Δq≈IΔt\Delta q\approx I\Delta t，连续过程总转移电荷由I-t图的有向面积求得。比较充放电时应统一电流正方向，两过程的电流方向可以相反；若图中画的是电流大小，就不能把它当作包含正负号的电流图。放电电流若以放电方向为正，完整面积就是放出的电荷量；细窄矩形近似某一小时间段，而不一定是从t=0开始的一段。

电容器 C=Q/UC=Q/U，其中C用F、Q用C、U用V。充电时电容器电压上升、电流逐渐减小；经电阻放电时，电压与电流大小逐渐减小。仅当已充到电源电压且完整放电时，才能把放电总电荷直接除以电源电压；“充了一段时间”不自动保证充足。充电稳定后I可为零而电容器仍储有电荷和能量。

二、考点 方法与例题

方法一：先列固定量，再比较平衡状态

先确认A、B带同种电荷，比较各次电荷是否保持；再比较球心距离与悬丝偏角。位置变化后要待稳定，不能把摆动中的最大偏角当静力平衡数据。结论写成“在电荷量相同条件下，距离增大，静电斥力减小”，不越过实验支持范围。

例题 01 三次悬丝偏转比较什么

题目

某物理兴趣小组利用图示装置来探究影响电荷间静电力的因素。如图，A是一个带正电的小球，系在绝缘丝线上带正电的小球B会在静电力的作用下发生偏离，静电力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度显示出来。

悬丝探究静电力
悬丝探究静电力

(1)他们分别进行了以下操作。把系在丝线上的带电小球B先后挂在如图甲中横杆上的P1P_{1}、P2P_{2}、P3P_{3}等位置，小球B平衡后丝线偏离竖直方向的夹角依次____________，由此可得，两小球所带电量不变时，距离增大，两小球间静电力________。（填“增大”、“减小”或“不变”）

(2)以上实验采用的方法是______（填正确选项前的字母）。

A．等效替代法

B．理想实验法

C．控制变量法

D．微小量放大法

答案与解析

A、B均带正电而互相排斥。B依次悬在P₁、P₂、P₃，电荷量保持，图中间距增大、平衡偏角减小，反映静电力随距离增大而减小。只改变一个因素研究另一物理量的变化，属于控制变量法，选C。偏角显示力，不等于本实验已经定量证明平方反比定律。

本题结论

(1)减小，减小；(2)C（控制变量法）。

方法二：先判断开关过程，再积分电流

沿开关位置分别画充电和放电通路，判断初态是否已有电荷、放电是否完全。把图上时间单位与电流单位同时换算：1 mA⋅s=1 mC1\,\mathrm{mA\cdot s}=1\,\mathrm{mC}。求面积可用格数、梯形或细矩形近似，注意完整面积与某一时间窗面积不同。

相同C、相同初始U、完全放电时，只减小串联R不改变总电荷CU，却使初始电流更大、过程更快；固定短时间内面积一般会变化。不要把“完整面积不变”扩大成“任意时间内电量不变”。

例题 02 读放电电流图并求电容

题目

在“用传感器观察电容器的充放电过程”实验中，按图甲所示连接电路。电源电动势为8.0V，内阻可以忽略。单刀双掷开关S先跟2相接，某时刻开关改接1，一段时间后，把开关再改接2，实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。

电容器充放电电路与电流图
电容器充放电电路与电流图

(1)开关S改接2后，电容器进行的是__________（选填“充电”或“放电”）过程。此过程得到的I—t图像如图乙所示，图中用阴影标记的狭长矩形的面积的物理意义是______________________。如果不改变电路其他参数，只减小电阻R的阻值，则此过程的I—t曲线与坐标轴所围成的面积将___________（选填“减小”“不变”或“增大”）。

(2)若实验中测得该电容器在整个放电过程中释放的电荷量Q=3.44×10−3 CQ=3.44\times10^{-3}\,\mathrm C，则该电容器的电容为__________μF。

答案与解析

(1) 初始接2释放残余电荷，接1充电，再接2时经电阻和传感器放电。阴影窄矩形面积为 IΔtI\Delta t，近似表示对应0.2 s小时间段内放出的电荷量。初始电压相同且完整放电时，Q=CU不受R影响，故只减小R，全部图线与时间轴围成的面积不变。

(2) 按原解析采用的“已充分充到8.0 V”条件，C=Q/U=3.44×10−3/8.0=4.30×10−4 F=430 μFC=Q/U=3.44\times10^{-3}/8.0=4.30\times10^{-4}\,\mathrm F=430\,\mu\mathrm F。

条件说明： 原题只写接1“一段时间”，未明确充分充电。430 µF依赖充分充电、完整放电与给定电量对应全程的假设；若充电未完成，初始放电电压小于8.0 V，仅靠该总电荷和电源电压不能唯一确定C。同理，第(1)问“面积不变”也需相同初始电压；若两次仅保持相同的有限充电时长，减小R可改变充电终态，不能无条件断言总放电面积不变。

本题结论

放电；对应0.2 s内的放电电荷量（矩形近似）；相同初始电压、完整放电时面积不变；充分充电条件下430 µF。

三、坑点 辨析与纠错

坑点：过程终点和测量窗口不能省略

辨析 01 只积分前半段能否得到电容（自编辨析）

题目

电容器已充到8.0 V，放电前1 s的I-t图面积为2.0 mC，但此时仍有电流。能否断言电容是250 µF？

答案与解析

不能。2.0 mC只是在前1 s已放出的电荷，尚非全部初始电荷。若最终完全放电，则初始Q大于2.0 mC，故C大于250 µF；不能把局部面积当总面积。

本题结论

不能；在所述完整放电模型下C>250 µF。